人教A版2019高中数学必修第二册 课时跟踪检测（四十二） 古典概型（学考标准）

课时跟踪检测（四十二）  古典概型

A级——学考合格性考试达标练

1．已知集合A＝{2,3,4,5,6,7}，B＝{2,3,6,9}，在集合A∪B中任取一个元素，则它是集合A∩B中的元素的概率是(　　)

A.　　　　　　　　　　　 B.

C.   D.

解析：选C　A∪B＝{2,3,4,5,6,7,9}，A∩B＝{2,3,6}，所以由古典概型的概率公式得，所求的概率是.故选C.

2．两名同学分3本不同的书，其中一人没有分到书，另一人分得3本书的概率为(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选B　两名同学分3本不同的书，记这三本书分别为a，b，c，该试验样本空间Ω＝{(0,3)，(a,2)，(b,2)，(c,2)，(2，a)，(2，b)，(2，c)，(3,0)}共8个样本点．其中一人没有分到书，另一人分到3本书的样本点有2个，∴一人没有分到书，另一人分得3本书的概率P＝＝.故选B.

3．若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m，n，则点P(m，n)在一次函数y＝－x＋4图象上的概率是(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选D　由题意(m，n)的取值情况有(1,1)，(1,2)，…，(1,6)；(2,1)，(2,2)，…，(2,6)；…；(6,1)，(6,2)，…，(6,6)，共36种，而满足点P(m，n)在一次函数y＝－x＋4图象上的取值情况有(1,3)，(2,2)，(3,1)，共3种．故所求概率为＝.故选D.

4．某部三册的小说，任意排放在书架的同一层上，则各册从左到右或从右到左恰好为第1,2,3册的概率为(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选B　所有样本点为：(1,2,3)，(1,3,2)，(2,1,3)，(2,3,1)，(3,1,2)，(3,2,1)，共6种．其中从左到右或从右到左恰好为第1,2,3册包含的样本点为(1,2,3)，(3,2，1)，共2种，∴P＝＝.故选B.

5．设a是从集合中随机取出的一个数，b是从集合中随机取出的一个数，构成一个样本点(a，b)．记“这些样本点中，满足logba≥1”为事件E，则E发生的概率是(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选B　试验发生包含的样本点是分别从两个集合中取1个数字，共有12种结果，满足条件的事件是满足logba≥1，可以列举出所有的样本点，当b＝2时，a＝2,3,4，当b＝3时，a＝3,4，共有5个，∴根据古典概型的概率公式得到概率是.故选B.

6．在5瓶饮料中，有2瓶已过了保质期，从中任取2瓶，取到的全是已过保质期的饮料的概率为________．

解析：设过保质期的2瓶记为a，b，没过保质期的3瓶用1,2,3表示，试验的样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1，a)，(1，b)，(2,3)，(2，a)，(2，b)，(3，a)，(3，b)，(a，b)}，共10个样本点，2瓶都过保质期的样本点只有1个，∴P＝.

答案：

7．从长度分别为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________.

解析：此试验的样本空间Ω＝{(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)}，共有4个样本点，设事件A＝“可构成三角形”，则A＝{(2,3,4)，(2,4,5)，(3,4,5)}，共有3个样本点，故P(A)＝＝.

答案：

8．从3男3女共6名同学中任选2名(每名同学被选中的机会均等)，这2名都是女同学的概率等于________．

解析：设3名男同学分别为a1，a2，a3,3名女同学分别为b1，b2，b3，则试验的样本空间Ω＝{a1a2，a1a3，a2a3，a1b1，a1b2，a1b3，a2b1，a2b2，a2b3，a3b1，a3b2，a3b3，b1b2，b1b3，b2b3}，其中共有15个样本点．设事件A＝“都是女同学”，则A＝{b1b2，b1b3，b2b3}，所以n(A)＝3.故P(A)＝＝＝.

答案：

9．某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．

(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；

(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析：

①列出所有可能的抽取结果；

②求抽取的2所学校均为小学的概率．

解：(1)由分层抽样的定义知，

从小学抽取的学校数目为6×＝3(所)，

从中学抽取的学校数目为6×＝2(所)，

从大学抽取的学校数目为6×＝1(所)．

(2)①在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A1，A2，A3,2所中学分别记为A4，A5,1所大学记为A6，则抽取2所学校的样本空间Ω＝{(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)}，共15个样本点．

②“抽取的2所学校均为小学”记为事件B，则B＝{(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)}，共3个样本点，所以P(B)＝＝.

10．抛掷两粒均匀的骰子，求：

(1)点数之和为5的概率；

(2)点数之和为7的概率；

(3)出现两个4点的概率．

解：在抛掷两粒均匀的骰子的试验中，每粒骰子均可出现1点，2点，…，6点，共6种结果．两粒骰子出现的点数可以用有序实数对(x，y)来表示，它与直角坐标系内的一个点对应，则该试验的样本空间

Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，

(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，

(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，

(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，

(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，

(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}，共36个样本点．

(1)设事件A＝“点数之和为5”，从图中可以看到事件A＝{(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)}，所以P(A)＝＝.

(2)设事件B＝“点数之和为7”，从图中可以看到事件B＝{(6,1)，(5,2)，(4,3)，(3,4)，(2,5)，(1,6)}，所以P(B)＝＝.

(3)设事件C＝“出现两个4点”，则从图中可以看到事件C＝{(4,4)}，所以P(C)＝.

B级——面向全国卷高考高分练

1．(2019·全国卷Ⅲ)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选D　设两位男同学分别为A，B，两位女同学分别为a，b，则用“树状图”表示四位同学排成一列所有可能的结果如图所示．

由图知，共有24种等可能的结果，其中两位女同学相邻的结果(画“√”的情况)共有12种，故所求概率为＝.故选D.

2．某天上午要安排语文、数学、历史、体育四节课，则体育课不排在第一节的概率为(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选D　我们不考虑语文、数学、历史排在第几节，只考虑体育的排法，体育等可能地排在第一节、第二节、第三节、第四节，共4个样本点，因此体育课不排在第一节的概率为.故选D.

3．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数a，从{2,3,4}中随机选取一个数b，则b>a的概率是(　　)

A.  B．

C.  D.

解析：选C　此试验的样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(5,2)，(5,3)，(5,4)}，其中共有15个样本点．设事件A＝“b>a”，则A＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，所以n(A)＝6，故所求的概率为P(A)＝＝＝.故选C.

4．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木、木克土、土克水、水克火、火克金．”从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率为(　　)

A.  B．

C.  D.

解析：选C　从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则样本空间Ω＝{(金，木)，(金，水)，(金，火)，(金，土)，(木，水)，(木，火)，(木，土)，(水，火)，(水，土)，(火，土)}，共10个样本点．其中金克木，木克土，土克水，水克火，火克金，即相克的有5种，则不相克的也是5种，所以抽取的两种物质不相克的概率为.故选C.

5．在两个袋内，分别装着写有0,1,2,3,4,5六个数字的6张卡片，从每个袋中各任取一张卡片，则两张卡片上数字之和等于7的概率为________．

解析：试验结果如表所示：

由表可知，此试验的样本空间共有36个样本点，其中和为7的有4个样本点，∴所求事件的概率为＝.

答案：

6．将一枚质地均匀的骰子投两次，得到的点数依次记为a和b，则方程ax2＋bx＋1＝0有实数解的概率是________．

解析：由题意，a，b∈{1,2,3,4,5,6}，所以(a，b)的不同取值情况如下表所示，

共有6×6＝36(种)，即总的样本点总数n＝36.

记“方程ax2＋bx＋1＝0有实数解”为事件A，下面求事件A所包含的样本点的个数n(A)．

由题意，事件为“方程ax2＋bx＋1＝0无实数解”．

显然方程无解的条件是Δ＝b2－4a<0，可得a>.

故b＝1时，a>，故a＝1,2,3,4,5,6；b＝2时，a>1，故a＝2,3,4,5,6；

b＝3时，a>，故a＝3,4,5,6；b＝4时，a>4，故a＝5,6；

b＝5时，a>，故a无解；b＝6时，a>9，故a无解．

所以事件包含的样本点共有6＋5＋4＋2＋0＋0＝17(个)．

故事件的概率为P()＝.

故P(A)＝1－P()＝1－＝.

答案：

7．2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72,108,120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．

(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？

(2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，D，E，F.享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访.

①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；

②设事件M＝“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率．

解：(1)由已知得老、中、青员工人数之比为6∶9∶10，由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人．

(2)①从已知的6人中随机抽取2人的样本空间Ω＝{(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)}，共有15个样本点．

②由表格知，M＝{(A，B)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，E)，(C，F)，(D，F)，(E，F)}，所以n(M)＝11.

从而，事件M发生的概率P(M)＝＝.

C级——拓展探索性题目应用练

海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.

(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；

(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．

解：(1)因为样本量与总体中的个体数的比是＝，

所以样本中包含三个地区的个体数量分别是：

50×＝1(件)，150×＝3(件)，100×＝2(件)，

所以A，B，C三个地区的商品被抽取的件数分别为1,3,2.

(2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为A1；B1，B2，B3；C1，C2，则此试验的样本空间

Ω＝{(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A1，C2)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，B3)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B3，C1)，(B3，C2)，(C1，C2)}．

每个样品被抽到的机会均等，因此这些样本点出现的可能性相等．

设事件D＝“抽取的这2件商品来自相同地区”，则D＝{(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，(C1，C2)}，所以n(D)＝4，

从而P(D)＝＝，

即这2件商品来自相同地区的概率为.