人教A版2019高中数学必修第二册 课时跟踪检测（四十一） 事件的关系和运算（学考标准）

课时跟踪检测（四十一）  事件的关系和运算

A级——学考合格性考试达标练

1.给出事件A与B的关系示意图，如图所示，则(　　)

A．A⊆B

B．A⊇B

C．A与B互斥

D．A与B互为对立事件

解析：选C　由互斥事件的定义可知，C正确．故选C.

2．[多选]从一批产品(既有正品也有次品)中取出三件产品，设A＝{三件产品全不是次品}，B＝{三件产品全是次品}，C＝{三件产品有次品，但不全是次品}，则下列结论中正确的是(　　)

A．A与C互斥　　　　　 B．B与C互斥

C．任何两个都互斥  D．A与B对立

解析：选ABC　由题意知事件A，B，C两两不可能同时发生，因此两两互斥，因＝{三件产品不全是正品}，故样本点有三种情况：①{两件正品一件次品}，②{一件正品两件次品}，③{三件全是次品}＝B，所以A与B不对立，D错误，故选A、B、C.

3．抽查10件产品，记事件A为“至少有2件次品”，则A的对立事件为(　　)

A．至多有2件次品  B．至多有1件次品

C．至多有2件正品  D．至少有2件正品

解析：选B　至少有2件次品包含2,3,4,5,6,7,8,9,10件次品，共9种结果，故它的对立事件为含有1或0件次品，即至多有1件次品．故选B.

4．已知盒中有5个红球，3个白球，从盒中任取2个球，下列说法中正确的是(　　)

A．全是白球与全是红球是对立事件

B．没有白球与至少有一个白球是对立事件

C．只有一个白球与只有一个红球是互斥关系

D．全是红球与有一个红球是包含关系

解析：选B　从盒中任取2球，出现球的颜色情况是，全是红球，有一个红球且有一个白球，全是白球，至少有一个的对立面是没有一个．故选B.

5．掷一枚质地均匀的骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则(　　)

A．A⊆B

B．A＝B

C．A∪B表示向上的点数是1或2或3

D．AB表示向上的点数是1或2或3

解析：选C　设A＝{1,2}，B＝{2,3}，A∩B＝{2}，A∪B＝{1,2,3}，∴A∪B表示向上的点数为1或2或3.故选C.

6．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，事件E＝{向上的点数为偶数}，F＝{向上的点数为质数}，则E∩F＝{______}．

解析：E＝{向上的点数为偶数}＝{2,4,6}．

F＝{向上的点数为质数}＝{2,3,5}

∴E∩F＝{向上的点数为2}．

答案：向上的点数为2

7．打靶三次，事件Ai表示“击中i次”，i＝0,1,2,3，则“至少有一次击中”这一事件用事件的交、并运算应表示为________．

解析：因A0，A1，A2，A3彼此互斥，“至少有一次击中”包含击中一次A1，击中二次A2或击中三次A3这三个事件的并事件，应表示为A1∪A2∪A3(或A1＋A2＋A3)．

答案：A1∪A2∪A3(或A1＋A2＋A3)

8．把红、黑、蓝、白四张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”的关系是________.

解析：因为红牌只有1张，甲、乙不能同时得到红牌，所以两事件为互斥事件，但甲、乙可能都得不到红牌，即两事件有可能都不发生，故两事件互斥但不对立．

答案：互斥但不对立

9．从1,2，…，9中任取两数：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个数都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，是对立事件的有几对？并指出是哪几对．

解：①，②，④可同时发生，不是对立事件；对于③至少有一个奇数包括有一个偶数一个奇数和两个数都是奇数，显然与两个都是偶数是对立事件．故对立事件有1对，是③.

10．某市体操队有6名男生，4名女生，现任选3人去参赛，设事件A＝{选出的3人有1名男生，2名女生}，事件B＝{选出的3人有2名男生，1名女生}，事件C＝{选出的3人中至少有1名男生}，事件D＝{选出的3人中既有男生又有女生}．

问：(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？

(2)事件C与A的交事件是什么事件？

解：(1)对于事件D，可能的结果为1名男生2名女生，或2名男生1名女生，故D＝A∪B.

(2)对于事件C，可能的结果为1名男生2名女生，2名男生1名女生，3名男生，故C∩A＝A.

B级——面向全国卷高考高分练

1．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是，那么概率是的事件是(　　)

A．至多有一张移动卡

B．恰有一张移动卡

C．都不是移动卡

D．至少有一张移动卡

解析：选A　至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件．故选A.

2．如果事件A，B互斥，记，分别为事件A，B的对立事件，那么(　　)

A．A∪B是必然事件  B．∪是必然事件

C.与一定互斥  D.与一定不互斥

解析：

选B　用Venn图解决此类问题较为直观．如图所示，∪是必然事件．故选B.

3．设H，E，F为三个事件，，，分别表示它们的对立事件，表示“三个事件恰有一个发生”的表达式为(　　)

A．H＋E＋F  B．H ＋E＋ F

C．HE＋HF＋EF   D.＋＋

解析：选B　选项A表示H，E，F三个事件至少有一个发生；选项B表示三个事件恰有一个发生；选项C表示三个事件恰有一个不发生；选项D为选项A的对立事件，即表示三个事件都不发生．故选B.

4．在实弹射击训练中，连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中目标}，B＝{两次都没击中目标}，C＝{恰有一弹击中目标}，D＝{至少有一弹击中目标}，下列关系不正确的是(　　)

A．A⊆D  B．B∩D＝∅

C．A∪C＝D  D．A∪C＝B∪D

解析：选D　“恰有一弹击中目标”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，A∪C＝D＝{至少有一弹击中目标}，不是必然事件；“至少有一弹击中目标”包含两种情况：一种是恰有一弹击中目标，一种是两弹都击中目标，B∪D为必然事件，所以A∪C≠B∪D.故选D.

5．掷一枚质地均匀的骰子，记A为事件“落地时向上的数是奇数”，B为事件“落地时向上的数是偶数”，C为事件“落地时向上的数是3的倍数”．其中是互斥事件的是________，是对立事件的是________．

解析：A，B既是互斥事件，也是对立事件．

答案：A，B　A，B

6．在掷骰子的试验中，可以得到以下事件：

A＝{出现1点}；B＝{出现2点}；C＝{出现3点}；D＝{出现4点}；E＝{出现5点}；F＝{出现6点}；G＝{出现的点数不大于1}；H＝{出现的点数小于5}；I＝{出现奇数点}；J＝{出现偶数点}．请根据这些事件，判断下列事件的关系：

 (1)B________H；(2)D________J；(3)E________I；(4)A________G.

解析：当事件B发生时，H必然发生，故B⊆H；同理D⊆J，E⊆I，而事件A与G相等，即A＝G.

答案：⊆　⊆　⊆　＝

7．在掷骰子试验中，根据向上的点数可以定义许多事件，如：A＝{出现点数1}；B＝{出现点数3或4}；C＝{出现的点数是奇数}；D＝{出现的点数是偶数}．

(1)说明以上4个事件的关系；

(2)求两两运算的结果．

解：在掷骰子的试验中，根据向上出现的点数有1,2,3,4,5,6共6个可能的基本结果，记作Ai＝{出现的点数为i}(其中i＝1,2，…，6)．则A＝A1，B＝A3∪A4，C＝A1∪A3∪A5，D＝A2∪A4∪A6.

(1)事件A与事件B互斥，但不对立，事件A包含于事件C，事件A与D互斥，但不对立；事件B与C不是互斥事件，事件B与D也不是互斥事件；事件C与D是互斥事件，也是对立事件．

(2)A∩B＝∅，A∩C＝A，A∩D＝∅.

B∩C＝A3＝{出现点数3}，

B∩D＝A4＝{出现点数4}．C∩D＝∅

A∪B＝A1∪A3∪A4＝{出现点数1或3或4}，

A∪C＝C＝{出现点数1或3或5}，

A∪D＝A1∪A2∪A4∪A6＝{出现点数1或2或4或6}．

B∪C＝{出现点数1或3或4或5}．

B∪D＝{出现点数2或3或4或6}．

C∪D＝{出现点数1或2或3或4或5或6}．

C级——拓展探索性题目应用练

某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报纸也不订”．判断下列每组事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件：

(1)A与C；(2)B与E；(3)B与D；

(4)B与C；(5)C与E.

解：(1)由于事件C“至多订一种报纸”中包括“只订甲报”，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件．

(2)事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故B与E是互斥事件；由于事件B与事件E必有一个发生，故B与E是对立事件．

(3)事件B“至少订一种报纸”中包括“只订乙报”，即有可能“不订甲报”，也就是说事件B和事件D有可能同时发生，故B与D不是互斥事件．

(4)事件B“至少订一种报纸”中的可能情况为“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”．事件C“至多订一种报纸”中的可能情况为“一种报纸也不订”“只订甲报”“只订乙报”．也就是说事件B与事件C可能同时发生，故B与C不是互斥事件．

(5)由(4)的分析，事件E“一种报纸也不订”是事件C中的一种可能情况，所以事件C与事件E可能同时发生，故C与E不是互斥事件．