2021-2022学年安徽省滁州市定远县民族中学高一上学期期末考试数学试题（解析版）

2021-2022学年安徽省滁州市定远县民族中学高一上学期期末考试数学试题

一、单选题

1．已知全集，集合，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由集合的交并补运算即可求解.

【详解】，

.

故选：.

2．“”是 “”的（    ）

A．充分必要条件 B．充分而不必要条件

C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】由等价于，或，再根据充分、必要条件的概念，即可得到结果.

【详解】因为，所以，或，

所以“”是 “”的充分而不必要条件.

故选:B.

3．已知正实数满足，则的最小值为（    ）

A． B．9 C． D．

【答案】A

【分析】根据，将式子化为，进而化简，然后结合基本不等式求得答案.

【详解】因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.

故选：A.

4．已知函数是定义域为R的奇函数，且 ，当 时， ，则等于（    ）

A．－2 B．2 C． D．－

【答案】B

【分析】根据奇函数性质和条件，求得函数的周期为8，再化简即可.

【详解】函数是定义域为R的奇函数，则有：

又，则

则有：

可得：

故，即的周期为

则有：

故选：B

5．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据指数函数和幂函数的图象性质即可判断.

【详解】根据指数函数和幂函数的图象性质可得B选项符合.

故选：B.

6．某工厂产生的废气经过过滤后排放，若过滤过程中剩余的废气污染物数量P（单位：与时间t（单位：h）之间的关系为，其中为过滤未开始时废气的污染物数量，则污染物减少75%大约需要的时间为（    ）（参考值）

A．20 B．17 C．14 D．22

【答案】B

【分析】认真审题，求得所需时间的代数式是本题关键所在.

【详解】由染物数量减少75%，可得

即，则

即

故选：B

7．函数的奇偶性是

A．奇函数 B．偶函数

C．既不是奇函数也不是偶函数 D．既是奇函数又是偶函数

【答案】A

【分析】先求定义域，再化简，最后根据奇偶性定义判断.

【详解】因为，

因此,而,所以函数是奇函数，选A.

【点睛】本题考查函数奇偶性，考查基本分析判断能力.

8．设是第三象限角，且，则是（    ）

A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角

【答案】B

【分析】求出的终边所在的象限，由已知可得，即可得出结论.

【详解】因为，

所以，，

若为奇数，可设，则，

此时为第四象限角；

若为偶数，可设，则，

此时为第二象限角.

因为，则，故为第二象限角.

故选：B.

二、多选题

9．设函数，若关于x的不等式的解集为或，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】根据不等式的解集可知2,3是对应方程的根，即可求出.

【详解】因为满足，

所以，可得，

所以可化为，

即，

所以方程的两根分别为6，，

可化为，

即，

所以方程的两根分别为6，，

因为，且不等式的解集为或，

所以且，解得，则，

故选：AD

10．已知函数f（x）对都有，且.则下列结论正确的是（    ）

A．f（x）为偶函数 B．若，则

C． D．若，则

【答案】ACD

【分析】根据条件，利用赋值法逐一判断即可.

【详解】因为函数f（x）对都有，且.

所以令可得，所以

令可得，所以，所以为偶函数，故A正确；

令可得，所以，故B错误；

令可得，故C正确；

若，则，所以

所以，故D正确；

故选：ACD

11．已知是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，则下列结论正确的是（    ）

A．在上单调递减 B．最多有两个零点

C． D．若实数a满足，则

【答案】ACD

【分析】A.由偶函数在对称区间上的单调性判断；B.举例判断；C.由偶函数得到 ，再利用单调性判断；D. 由偶函数得到 ，再利用单调性求解判断；

【详解】因为是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，

所以在上单调递减，故A正确；

如，令，得或或，函数有三个零点，故B错误；

，因为，所以，故C正确；

若实数a满足，即，则，解得，故D正确；

故选：ACD

12．对于函数，给出下列选项其中正确的是（    ）

A．的图象关于点对称 B．的最小正周期为

C．在区间上单调递增 D．时，的值域为

【答案】CD

【分析】由辅助角公式化简，利用正弦函数的对称中心可判断A；由正弦函数的周期公式可判断B；利用正弦函数的单调性可判断C；利用正弦函数的性质可判断D，进而可得正确选项.

【详解】，

对于A：令，可得，故选项A不正确；

对于B：的最小正周期为，故选项B不正确；

对于C：若，则，所以在区间上单调递增，故选项C正确；

对于D：当时，，所以，所以时，的值域为，故选项D正确；

故选：CD.

三、填空题

13．已知命题：“∃，”为真命题，则实数的取值范围为___________.

【答案】

【分析】求出，进而得出，再由不等式性质得出实数a的取值范围.

【详解】解由，得，

∵，∴，

∴，即，

故实数a的取值范围是.

故答案为：

14．函数的定义域为___________.

【答案】

【分析】根据被开方数不小于零，分母不为零列式计算即可.

【详解】由已知得，解得且

故函数定义域为.

故答案为：.

15．若函数关于对称，则常数的最大负值为________．

【答案】

【分析】根据函数的对称性，利用，建立方程进行求解即可．

【详解】若关于对称，

则，

即，

即，

则，

则，，

当时，，

故答案为：

16．若，则___________.

【答案】1010

【分析】根据题意，求出的解析式，分析可得，据此计算可得答案．

【详解】根据题意，函数，则，

则有；

故；

故答案为：1010．

四、解答题

17．已知集合，集合或，全集.

(1)若，求;

(2)若⫋，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题知，再根据集合运算求解即可；

（2）根据题意得或，再解不等式即可得答案.

【详解】（1）解：当时，

所以，

又或，

所以.

（2）解：因为，或,⫋，

所以或，解得或，

所以实数的取值范围是.

18．已知，且．

（Ⅰ）求，的值；

（Ⅱ）求的值．

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）-1.

【分析】（Ⅰ）由同角三角函数的平方关系和商数关系求得．再根据角的范围可求得答案；

（Ⅱ）根据同角三角函数的商数关系化为关于正切的关系式，代入可得答案.

【详解】（Ⅰ）由，得．

∵，∴．

∵，∴，．

∴，．

（Ⅱ）原式

∵，∴原式．

19．已知二次函数，且，．

(1)求函数的解析式；

(2)若函数，，求函数的最小值．

【答案】(1)；

(2).

【分析】(1)由给定条件列式求出b，c即可得解；

(2)求出二次函数，再分类讨论求出在上的最小值即可.

【详解】（1）由，则，又，解得，

∴函数的解析式为.

（2）由(1)知，， 其对称轴，而，

当，即时，在上单调递增，，

当，即时，在上单调递减，，

当时，，

∴.

20．已知幂函数为偶函数，．

(1)求的解析式；

(2)判断函数的奇偶性，并说明理由；

(3)若函数在上是严格增函数，求k的取值范围．

【答案】(1)；

(2)当时， 为偶函数，当时，为非奇非偶函数；

(3).

【分析】（1）由条件可得，解出的值，然后验证即可；

（2），分、两种情况讨论即可；

（3）当时，，然后化简可得，然后可得答案.

【详解】（1）因为为偶函数，所以

解得或

当时，为偶函数，满足题意

当时，是非奇非偶函数，不满足题意

所以

（2）因为，所以

所以当时，，为偶函数，

当时，，为非奇非偶函数，

（3）因为函数在上是严格增函数，

所以当时，，即

所以，

因为，所以，所以

因为，所以，所以

21．已知函数的部分图象如下图所示.

(1)求函数的解析式，并求函数单调递增区间；

(2)将图象上所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到的图象.若为函数的一个零点，求的最大值.

【答案】(1)，(k∈Z)

(2)

【分析】（1）由图象先确定A的值，再确定周期，进而求得的值，利用特殊点坐标代入解析式中，求得 ，可得解析式，最后求得单调区间;

（2）根据函数图象变换的规律先求得的表达式，再利用为函数的一个零点得到 ，进而求得结果.

【详解】（1）由图象知， .

又 ， ， ， ，

，将点 代入 ，

，

，，

又，  ，则.…

由得，

所以函数的单调递增区间为(k∈Z).

（2），，

又 为函数的一个零点，

，

，

， ，

故k=1时，t取最大值.

22．已知函数.

(1)求的单调减区间；

(2)求证：的图象关于直线对称.

【答案】(1)，

(2)证明见解析

【分析】（1）利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，整理后利用两角和与差得正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的单调减区间为，，，求出的范围即可；

（2）要证的图象关于直线对称，即证.

【详解】（1）

，

由，得：，，

的单调减区间为，；

（2）证明：∵，

∴，

，

∴，

∴的图象关于直线对称.