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2023届高三数学知识清单（完整版）
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这是一份2023届高三数学知识清单（完整版），共39页。试卷主要包含了879等内容，欢迎下载使用。
高三年级知识清单
数学
一平面截正方体所得图形
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必修模块 1
第一章集合与常用逻辑用语 1
一.子集 1
二．含有一个量词的命题的否定 1
第二章一元二次函数、方程和不等式 1
第三章函数的概念和性质 1
一.奇函数与偶函数的性质 1
二.函数的对称性 1
1.常用结论 1
2.函数图象的对称与周期关系常见结论 2
三．函数的周期性 2
第四章指数函数与对数函数 2
一.指数与指数函数 2
二．对数与对数函数 2
三.函数的零点 2
第五章三角函数 2
一.扇形 2
二.三角函数的概念 3
三.同角三角函数的基本关系 3
四.两角和与差的正弦、余弦、正切 3
五.二倍角的正弦、余弦、正切 3
六.降幂公式 3
七.辅助角公式： 3
八.诱导公式在△ABC中的应用 3
九.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质 4
第六章平面向量及其应用 4
一、向量的定义及表示 4
二、平面向量数量积的性质及其坐标表示 4
三.向量共线定理 5
四．向量夹角的判断 5
五．正余弦定理及其变形 5
1.正弦定理 5
2.余弦定理 5
六.三角形面积公式 5
七.解三角形所涉及的其他知识. 5
1.正三角形 5
2.判断三角形形状 6
第八章立体几何初步 6
一.空间几何体的直观图 6
1.斜二测画法的步骤 6
2.原图与直观图的关系 6
二.简单几何体的表面积与体积 6
1.旋转体的表面积 6
2.柱体、锥体、台体的体积公式 7
三.球的切、接问题（常见结论） 7
四、空间点、直线、平面之间的位置关系 8
1、三个基本事实： 8
2、基本事实1和基本事实2的三个推论 8
3、空间中直线与直线之间的位置关系 8
4、空间中直线与平面的位置关系 8
5、空间中平面与平面之间的位置关系 8
6、空间中的平行问题 9
7、空间中的垂直问题 9
第九章 统计 10
一、四数三差 10
选择性必修模块 11
第一章 空间向量与立体几何 11
一、 共面向量 11
二、空间向量 11
三、空间向量求角 11
四、空间向量求距离 12
第二章 直线与圆知识梳理 12
一、直线方程（知识梳理） 12
1.直线的平行与垂直 12
2.三个距离公式 12
3.解决过定点问题常用的三种方法 12
4.直线系方程 13
二．圆的方程 13
1.圆的方程 13
2.直线与圆 13
3.圆与圆的位置关系 13
4.与圆的代数结构有关的最值问题 14
5.其它结论 14
三.圆的切线方程常用结论 14
1.点与切线 14
2.圆系方程 14
第三章 圆锥曲线的方程 15
一、椭圆知识梳理 15
二、双曲线（知识梳理） 16
三、抛物线（知识点梳理） 17
第四章 数列 19
一.基础知识梳理 19
二.求通项的方法 20
1.公式法 20
2.知与的关系 20
3.累加法： 适用于： 20
4.累乘法： 20
5.形如型的递推式： 21
6.分式型 21
三.求和的方法 21
1.公式法： 21
2.倒序相加法： 21
2.分组转化法 21
3.裂项相消法 22
（1）等差型 22
（2）根式型 22
（3）指数型 22
（5）对数型 22
（6）幂型 22
4.错位相减法 23
第五章 一元函数的导数及其应用 23
一．导数定义： 23
二．导数的几何意义 23
三．常见函数的导数公式: 23
四．导数的四则运算和复合函数的求导法则： 23
五．导数的应用： 24
1.利用导数判断函数单调性：设函数在某个区间内可导， 24
2.利用导数求极值： 24
3.利用导数求最值：比较端点值和极值 24
六．导函数与原函数的一些常见关系 24
七.证明不等式 25
八.不等式恒（能）成立问题 25
（1）能分离参数时求参数取值范围的方法： 25
（2）不能分离参数或分离参数后不能求最值—最值转化法 25
（3）含全称、存在量词不等式恒成立问题的解题方法 25
九.常见的构造函数方法有如下几种： 25
(1)利用和、差函数求导法则构造函数 25
(2)利用积、商函数求导法则构造函数 25
(3)利用积、商函数求导法则的特殊情况构造函数 26
第六章 计数原理 26
1.排列数公式： 26
2.排列应用问题的主要方法 26
3.组合数公式： 26
4.组合数性质 26
5.阶乘 26
三． 二项式定理 27
1．二项式定理 27
2．二项式系数的性质 27
3．赋值法 27
第七章 随机变量及其分布 27
1．条件概率的定义 27
2.概率乘法公式 28
3.全概率公式 28
4.离散型随机变量的分布列及其性质 28
5.离散型随机变量的均值与方差 28
6.三种分布（二项分布、超几何分布、正态分布） 28
第八章 成对数据的统计分析 29
1. 样本相关系数 29
2.独立性检验 30
3.一元线性回归模型 30
4.残差与残差分析 30
必修模块
第一章集合与常用逻辑用语
一.子集： 若一个集合含有n个元素，则子集个数为2n个，非空子集个数为（2n-1）个，非空真子集个数为（2n-2）个。
数 集
自然数集 N
正整数集N*(或N＋)
整数集Z
有理数集Q
实数集R
二．含有一个量词的命题的否定
一般地，对于含有一个量词的命题的否定，有下面的结论：
(1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∃x∈M，﹁p(x)；
(2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∀x∈M，﹁p(x)．
全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．
第二章一元二次函数、方程和不等式
第三章函数的概念和性质
一.奇函数与偶函数的性质
（1） 奇函数与偶函数的定义域一定关于原点对称；
（2） 奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称；反之亦成立；
（3） 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性 相同；偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性 相反。
（4） 若奇函数的定义域内包含0，则f(0)= 0
（5） 奇函数的最大值与最小值之和等于0
（6） 若f(x)是偶函数，则
（7） 若函数f(x)的解析式是整式，则奇函数的解析式中没有偶次项 （奇中无偶）；偶函数的解析式中没有奇次项（偶中无奇）
（8）奇函数奇函数=奇函数；偶函数偶函数=偶函数；奇函数奇函数=偶函数；偶函数偶函数=偶函数；奇函数偶函数=奇函数
【注】利用奇偶性求函数解析式的思路：若已知f(x)的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，求关于原点对称的区间[-b，-a]上的解析式：①设-x∈[a，b]，则x∈[-b，-a]；②将-x代入已知区间[a，b]上的解析式中得f(-x)；根据函数的奇偶性与f(x)、f(-x)的关系求出f(x).
二.函数的对称性
1.常用结论
①若函数y=f(x+a)是偶函数,即f(a-x)=f(a+x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称.
②若对于R上的任意x都有f(2a-x)=f(x)或f(-x)=f(2a+x),则y=f(x)的图象关于直线x=a对称.
③若函数y=f(x+a)是奇函数,即f(-x+a)=-f(x+a),则函数y=f(x)的图象关于点(a,0)中心对称.
若函数f(-x+a)+f(x+a)=2b,则函数y=f(x)的图象关于点(a,b)中心对称.
2.函数图象的对称与周期关系常见结论
①若函数y=f(x)的两条对称轴方程分别为x=a,x=b,则函数的一个周期为T=2|a-b|;
②若函数y=f(x)的两个对称中心分别为(a,0), (b,0),则函数的一个周期为T =2|a-b|;
③若函数y=f(x)的一条对称轴方程为x=a,一个对称中心为点(b,0),则函数的一个周期为T=4|a-b|.
三．函数的周期性
(1)周期函数:一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个x∈D,都有x+T∈D,且f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期.
（2）周期性的常用结论
设函数y=f(x),x∈R,a>0.
①若f(x+a)=f(x-a),则函数的一个周期为2a. ②若f(x+a)=-f(x),则函数的一个周期为2a.
③若f(x+a)=1f(x),则函数的一个周期为2a. ④若f(x+a)=-1f(x),则函数的一个周期为2a.
第四章指数函数与对数函数
一.指数与指数函数
1．正数的分数指数幂:amn＝nam(a＞0，m，n∈N×，n＞1)
2.运算性质：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a＞0，b＞0，r，s∈Q
二．对数与对数函数
（1）运算性质①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaMN＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM(n∈R)
（2）换底公式logab＝logcblogca(a＞0，且a≠1；b＞0；c＞0，且c≠1)
三.函数的零点
1.概念：对于函数y=f(x)（x∈D），把使f(x)=0成立的实数x叫做函数y= f(x)（x∈D）的零点。
2.函数零点的意义：
方程f(x)=0有实根 ⇔ 函数y= f(x)的图像与x轴有交点 ⇔ 函数y= f(x)有零点
3.函数零点的求法：
代数法：求方程f(x)=0的实数根
几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y= f(x)的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点。
第五章三角函数
一.扇形
弧长公式和扇形面积公式：弧长:l=αR ； 扇形的面积：S=12lR=12αR2
其中R 是扇形的半径，α（0<α<2π）是圆心角，l是弧长.
二. 三角函数的概念
1.定义1：设角a的终边经过点p（x，y）它到原点的距离为r（r=x2+y2，
则 ， ，
2.定义2：设角a的终边与单位圆（原点为圆心，1为半径的圆）相交于点p（x，y）
则 y ， x ，
3.各象限角的三角函数值（符号为正）的口诀：一 全正 ，二 正弦 ，三 正切 ，四 余弦 。
三.同角三角函数的基本关系
（1） 1 。（2）sinacosa（）
注 ：
四.两角和与差的正弦、余弦、正切
（1） sinαcosβ±cosαsinβ （2）cosαcosβ∓sinαsinβ
（3）
五.二倍角的正弦、余弦、正切
（1） （2）
（3）
六.降幂公式 （1） （2）
七.辅助角公式： （）
八.诱导公式在△ABC中的应用
（1）
（2）
九.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
定义域
R
R
xx≠kπ＋π2，k∈Z
值域
[－1，1]
[－1，1]
R
单调性
单调递增区间：
2kπ－π2，2kπ＋π2，k∈Z；
单调递减区间：
2kπ＋π2，2kπ＋3π2，k∈Z
单调递增区间：
[2kπ－π，2kπ]，k∈Z；
单调递减区间：
[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z
单调递增区间：
kπ－π2，kπ＋π2，k∈Z
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
对称性
对称中心：(kπ，0)，k∈Z
对称中心：kπ＋π2，0，k∈Z
对称中心kπ2，0，k∈Z
对称轴：x＝kπ＋π2，k∈Z
对称轴：x＝kπ，k∈Z
周期
2π
2π
π
第六章平面向量及其应用
一、向量的定义及表示
向量定义：既有大小，又有方向的量叫做向量，常用表示。（向量无特定的位置，因此向量可以作任意的平移）
向量的表示：①有向线段：带有方向的线段，它包含三个要素：起点、方向、长度；
②向量的表示：几何表示、字母表示
二、平面向量数量积的性质及其坐标表示
设非零向量=(x1,y1),=(x2,y2),θ=<,>.
结论
几何表示
坐标表示
模
||=
||=x12+y12
数量积
·=||||cos θ
·=x1x2+y1y2
夹角
cos θ=
cos θ=
x1x2+y1y2x12+y12·x22+y22
⊥b
·=0
x1x2+y1y2=0
∥
=λ
x1y2=x2y1
三.向量共线定理
若点P是线段AB上一点，O是线段AB外一点，且满足则λ+μ=1，特别地当时，点P时线段AB的中点。
四．向量夹角的判断
1.夹角范围
2.锐角： 且不共线 钝角： 且不共线
五．正余弦定理及其变形
1.正弦定理
在同一个三角形中，各边与它们所对的角的正弦之比相等，并且都等于这个三角形的外接圆的直径，即
正弦定理的变形（R是三角形ABC的外接圆的半径）
①，，；
②，，；
③；
2.余弦定理
三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦值积的两倍，即；；.
余弦定理的变形:
在△ABC中，有，推论：
六.三角形面积公式
七. 解三角形所涉及的其他知识.
1.正三角形
边长为的a的正三角高，三角形面积，外接圆半径，内切圆半径
2.判断三角形形状
（1）在三角形中：
（2）三角形内角和定理:A+B+C= π
（3）已知三边(三边之比或三内角正弦之比）判定三角形的形状：
设a是三角形ABC中最长的边，则
若是锐角三角形.
若是直角三角形.
若是钝角三角形.
第八章立体几何初步
一.空间几何体的直观图
1.斜二测画法的步骤： ①平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；②平行于y轴的线长度变半，平行于x，z轴的线长度不变
2.原图与直观图的关系
二.简单几何体的表面积与体积
1.旋转体的表面积
圆柱（底面半径为r，母线长为l）
圆锥（底面半径为r，母线长为l）
圆台（上、下底面半径分别为r′，r，母线长为l）
侧面展开图
底面面积
侧面面积
表面积
2.柱体、锥体、台体的体积公式
几何体
体积
柱体
(S为底面面积，h为高) (r为底面半径，h为高)
锥体
(S为底面面积，h为高) (r为底面半径，h为高)
台体
(S′、S分别为上、下底面面积，h为高)，
(r′、r分别为上、下底面半径，h为高)
三.球的切、接问题（常见结论）
图形
结论
外接球
长方体外接球：
若长方体的长、宽、高分别为，，h，则长方体的外接球半径R=．
（正方体的棱长为，正方体的外接球R=）
正四面体外接球：
若正四面体的棱长为，正四面体的外接球半径R=；
三棱锥外接球：
若三棱锥底面三角形ABC外接圆的半径为r,(),则三棱锥外接圆半径R=
三棱柱外接球：
若三棱柱底面三角形ABC外接圆的半径为r,(),高为h,则三棱锥外接圆半径R=
内切球
正方体内球球：
正方体的棱长为，则正方体的内切球半径R=
椎体内球球：
若椎体体积为V，，表面积为S，
则内切球半径R=3VS
四、空间点、直线、平面之间的位置关系
1、三个基本事实：
（1）基本事实1：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
（2）基本事实2：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
（3）基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
2、基本事实1和基本事实2的三个推论
（1）经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面
（2）经过两条相交直线，有且只有一个平面
（3）经过两条平行直线，有且只有一个平面
3、空间中直线与直线之间的位置关系
空间的两条直线有如下三种关系：共面直线相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点平行直线： 同一平面内，没有公共点
异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点
4、空间中直线与平面的位置关系
（1）直线在平面内——有无数个公共点（2）直线与平面相交——有且只有一个公共点
（3）直线在平面平行——没有公共点
指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用aα来表示
a⊂α a∩α=A a∥α
5、空间中平面与平面之间的位置关系
（1）两个平面平行——没有公共点（2）两个平面相交——无数个公共点（在同一直线上）
α//β α∩β=a
6、空间中的平行问题
（1）直线与平面平行的判定及其性质
线面平行的判定定理：
平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。
线线平行线面平行
线面平行的性质定理：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。线面平行线线平行
（2）平面与平面平行的判定及其性质
两个平面平行的判定定理
（1）如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行
（线面平行→面面平行），
（2）如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行。
（线线平行→面面平行），
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行，
两个平面平行的性质定理
（1）如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。（面面平行→线面平行）
（2）如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（面面平行→线线平行）
7、空间中的垂直问题
（1）线线、面面、线面垂直的定义
①两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。
②线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面垂直。
③平面和平面垂直：如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角（平面角是直角），就说这两个平面垂直。
（2）垂直关系的判定和性质定理
①线面垂直判定定理和性质定理
判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。
性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
②面面垂直的判定定理和性质定理
判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。
第九章 统计
一、四数三差
一组数据为
频率分布直方图（小矩形面积=频率）
分层抽样
（第1层样本量、样本平均数和样本方差分别为m,x,s12
第2层样本量、样本平均数和样本方差分别为n,y,s22）
众数
一组数据中出现次数最多的数
最高小矩形底边中点的横坐标
平均数
X=x1+x2+···+xnn
各小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积之和
总体平均数ω=mm+nx+nm+ny
中位数
一组数据按大小顺序排列后，处于中间位置的数.如果个数是偶数，则取中间两个数据的平均数
左右两边面积各为0,5的竖线对应的横坐标
百分位数
定义：（第50百分位数就是中位数，中位数是百分位数的特例，百分位数是中位数的推广）一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有（100－p）%的数据大于或等于这个值.
（2）计算第p百分位数的步骤
第1步，按从小到大排列原始数据
第2步，计算i＝n×p%
第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第（i＋1）项数据的平均数
找出百分位数所在的区间【a,b】;设组距为d,计算第k百分位数=
方差
总体方差S2＝mm+n[s12+(x−ω)2]+nm+n[s22+(y−ω)2]
标准差
极差
一组数据中最大值与最小值的差
选择性必修模块
第一章 空间向量与立体几何
一、 共面向量
（1）共面向量定理：如果两个向量不共线，与向量共面的条件是存在实数使。
（2）四点共面：若A、B、C、P四点共面<=>
<=>
二、空间向量
（1）模长公式：若，，
则，
（2）夹角公式：。
ΔABC中①<=>A为锐角②<=>A为钝角，钝角Δ
（3）两点间的距离公式：若，，
则， 或
三、空间向量求角
图示
向量证明方法
异面直线所成的角
（，是直线上不同的两点，，是直线上不同的两点）
直线和平面的夹角
（直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为）
平面与平面的夹角
（平面与的法向量分别为和，平面与的夹角为）
四、空间向量求距离
图示
向量证明方法
点点距
设A,B为空间中任意两点,则d=|AB→|
点线距
P到直线l的距离PQ=|AP→|2−(AP∙u)2.
点到平面的距离
（为平面的法向量）
第二章 直线与圆知识梳理
一、直线方程（知识梳理）
1.直线的平行与垂直
斜截式
一般式
直线方程
平行
（注意可能重合）
垂直
2.三个距离公式
条件
距离公式
两点之间的距离公式
已知两点，
点到直线的距离公式
已知一点，
直线
两平行线的距离公式
已知直线，
以及
3.解决过定点问题常用的三种方法
(1)特殊值法：给方程中的参数取两个特殊值，可得关于x，y的两个方程，从中解出的x，y的值即为所求定点的坐标.
（2）点斜式法：特含参数的直线方程写成点斜式 y-y0=k(x-x0)，则直线过定点（x0，y0），；(3)分离参数法。將含参数的直线方程整理为过交点的直线系方程：A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0的形式，则该方程表示的直线必过直线A1x+B1y+C1 =0和A2x+B2y+C2=0交点，而此交点就是定点．
4.直线系方程
(1)与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是Ax+By+m=0(m∈R且m≠C).
(2)与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程是Bx-Ay+n=0(n∈R).
(3)过直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为
A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R),但不包括l2.
二．圆的方程
1.圆的方程
（1）标准方程： ，其中为圆心，为半径；
（2）一般方程：，其中 为圆心， D2+E2−4F2为半径。
（3）参数方程：圆的参数方程为x=a+rcosθy=b+rsinθ，θ为参数。
2.直线与圆
直线(不同时为0)与圆的位置关系及判断
位置关系
相交
相切
相离
公共点
两个
一个
零个
判定方法
几何法:设圆心到直线的距离
代数法:由消元得到一元二次方程的判别式Δ
（1）相交：弦长 （圆心到直线的距离为）
（2）相离：圆上动点P到直线l距离的最大值:圆心到直线距离加半径，圆上动点P到直线l距离的最小值:圆心到直线距离减半径。
3.圆与圆的位置关系
圆与圆位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
图示
d与 的关系
公切线条数
相离⟺4条
外切⟺3条
相交⟺2条
内切⟺1条
内含⟺0条
（1）两圆相交的公共弦
-得公共弦的方程：
4.与圆的代数结构有关的最值问题
类型
代数表达
方法
截距式
求形如的最值
转化为动直线截距的最值问题
斜率式
求形如的最值
转化为动直线斜率的最值问题
距离式
求形如的最值
转化为动点到定点的距离的平方的最值问题
【注意】截距式与斜率式在学习直线与圆的位置关系后，都可转化为动直线与圆相切时取得最值.同时，需要注意若是斜率式，则需考虑斜率是否存在.
5.其它结论
1.以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径端点的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1) (y-y2)=0.
三. 圆的切线方程常用结论
1.点与切线
(1)过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2.
(2)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.
(3)过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在直线方程为x0x+y0y=r2.
2.圆系方程
(1)同心圆系方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其中a,b是定值,r是参数;
(2)过直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0交点的圆系方程:
x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ∈R)
(3)过圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0交点的圆系方程:
x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1)
(该圆系不含圆C2,解题时,注意检验圆C2是否满足题意,以防漏解).
第三章 圆锥曲线的方程
一、椭圆知识梳理
椭圆定义
（符号表示）：
的关系：.
中心
中心在原点，焦点在轴上
中心在原点，焦点在轴上
标准方程
y2a2+x2b2=1(a>b>0)
图形
顶点
轴
长轴为2a ，短轴为2b
焦点
离心率
（离心率越大，椭圆越扁）
通径
（过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段,最短的焦点弦
焦点三角形
面积：若,则，当 最大时，即为短轴端点时面积最大
周长：L= 2a+2c
三边：（1）
（2）
a+c, a-c.
焦点弦长
（为直线的倾斜角）
中点弦
点差法：, （焦点在x轴上）
周角定理
点A，B是椭圆上关于原点对称的两点，P是椭圆上异于A，B的一点，若直线PA，PB的斜率存在且不为0，则（焦在X）
椭圆焦半径
，，
巧设方程
1.共焦点，则c相同。与椭圆共焦点的椭圆方程可设为 ：
。
2.与椭圆共离心率的椭圆方程可设为：
其它：1.若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.
2.若在椭圆外，则过作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则.
3.若过焦点F的直线与椭圆相交与点A,B，且 ,则有 或； （为通径）
二、双曲线（知识梳理）
双曲线
（符号表示）：
x
O
F1
P
B2
B1
F2
的关系：.
标准方程
x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)
y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)
图形
x
O
F1
F2
P
y
A2
A1
顶点
A1(-a,0),A2(a,0)
A1(0,-a),A2(0,a)
轴
实轴为2a，虚轴轴为2b
离心率
（离心率越大，开口越大）
渐近线
，焦点到渐近线距离为b.
，焦点到渐近线距离为b.
通径
（过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段），最短的焦点弦
焦点三角形
面积：若,则
周长：，
焦点弦长
（为直线的倾斜角）
中点弦
点差法：,
周角定理
点A，B是椭圆上关于原点对称的两点，P是椭圆上异于A，B的一点，若直线PA，PB的斜率存在且不为0，则（焦在X）
等轴双曲线
当离心率两渐近线互相垂直，分别为y=，此时双曲线为等轴双曲线，可设为；
巧设方程
1.若渐近线方程为双曲线可设为(也是共离心率和共淅近线方程）
（，焦点在x轴上； ，焦点在y轴上）
2.与双曲线共焦点的双曲线系方程是
焦半径公式
PF1=ex0+a，PF2=ex0−a
其它：(1)过双曲线上一点的切线: ： 斜率为。
（2）若过焦点F的直线与椭圆相交与点A,B，则 （为通径）
三、抛物线（知识点梳理）
方程
()
()
()
()
图形
x
O
F
P
y
O
F
P
y
x
O
F
P
y
x
O
F
P
y
x
对称轴
轴
轴
轴
轴
焦点
准线
焦半径
焦点弦
二级结论
若AB为抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦,F为抛物线的焦点,A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),弦中点为M(x0,y0),则:
(1)x1x2= p24 ，y1y2= -p2 ， 1|AF|+1|BF|为定值2p.
(2)|AB|=2psin2θ(θ为弦AB的倾斜角).S△AOB=p22sinθ(θ为弦AB的倾斜角).
(3)|AB|=x1+x2+p,因为x1+x2≥2x1x2=p,所以当x1=x2时,|AB|取得最小值,最小值为2p,此时弦AB垂直于x轴,所以抛物线的焦点弦中通径(垂直于抛物线对称轴的焦点弦叫做抛物线的通径)最短.
(4)以AB为直径的圆与准线相切.
(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切.
(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直,且交点在准线上..
（7）阿基米德三角形：过抛物线上两点A（x1，y1）B（x2，y2）
作抛物线的切线，交点为P，则△ABC称为抛物线的阿基米德三角形。其中，AB称为阿基米德三角形的底边，P为该阿基米德三角形的顶点。则有性质
（1）切线PA与PB的交点P的坐标为（y1y22p，y1+y22）；
（2）Q为AB中点，则直线PQ平行或重合X轴；
第四章 数列
一.基础知识梳理
等差数列
等比数列
定义
(为常数,)
递推
公式
通项
公式
或
（）或
中项
成等差数列的充要条件：
成等比数列的充要条件：
前n
项和
；
重
要
性
质
①
②等和性：若（、、、），则
③若（、、），则．
④构成等差数列.
①
②等积性：若（、、、），
则
③若（、、），则
④构成的数列是等比数列.
单
调
性：
设d为等差数列的公差，则
d>0是递增数列；
d<0是递减数列；
d=0是常数数列.
递增数列；
递减数列；
q=1是常数数列；
q<0是摆动数列
证
明
方
法
证明一个数列为等差数列的方法：
1.定义法
2.中项法
3.通项公式法：（为常数）
4. 前n项和公式法：（A,B为常数）
证明一个数列为等比数列的方法：
1.定义法
2.中项法
3. 通项公式法：(A,q为不为0的常数)
4. 前n项和公式法：()
设元
技巧
三数等差：
四数等差：
三数等比：
四数等比：
二.求通项的方法
1.公式法
根据等差等比数列思维定义求通项
2.知与的关系
先利用a1＝S1求出a1.
用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式．
对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写
3.累加法： 适用于：
若，则 两边分别相加得
例如：已知数列满足，求数列的通项公式
4.累乘法：
若，则
两边分别相乘得，
例如：已知， ，求
5.形如型的递推式：
①待定系数法：（其中均为常数，）
解法：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解.
②待定系数法： （其中均为常数，）.（或其中均为常数）.
解法：在原递推公式两边同除以，得：，令，得：，再按第①种情况求解.
③待定系数法：
解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列.
6.分式型 取倒数法：
形如（为常数且）的递推式：两边同除于，转化为形式，化归为型求出的表达式，再求；
还有形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为型求出的表达式，再求．
三. 求和的方法
1.公式法：
如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前项和的公式来求和.
2.倒序相加法：
如果一个数列 与首末两端 “等距”的两项的和相等或等于同一个常数，那么用倒序相加法求这个数列的前项和。
2.分组转化法
有一类数列，它既不是等差数列，也不是等比数列，但是数列是等差数列或等比数列或常见特殊数列，则可以将这类数列适当拆开
(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组转化法求{an}的前n项和．
(2)通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组转化法求和．
注：（1）分奇偶各自新数列求和（2）要注意处理好奇偶数列对应的项：
①可构建新数列；②可“跳项”求和
(3)正负相间求和：
①奇偶项正负相间型求和，可以两项结合构成“常数数列”。
②如果需要讨论奇偶，一般情况下，先求偶，再求奇。求奇时候，直接代入偶数项公式，再加上最后的奇数项通项。
3.裂项相消法
列项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．
消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项
常见的裂项技巧
（1）等差型
（2）根式型
（3）指数型
（5）对数型
（6）幂型
4.错位相减法
错位相减求和方法
(1)适用条件：若{an}是公差为d(d≠0)的等差数列，{bn}是公比为q(q≠1)的等比数列，求数列{anbn}的前n项和Sn；
(2)基本步骤
第五章 一元函数的导数及其应用
一．导数定义：在点处的导数记作
二．导数的几何意义
函数在处导数的几何意义，曲线在点处切线的斜率是。于是相应的切线方程是：。
注意两种情况：
1.曲线在点处切线：性质：。相应的切线方程是：
2.曲线过点处切线：先设切点，切点为 ,则斜率k=，切点 在曲线上，切点在切线上，切点坐标代入方程得关于a,b的方程组，解方程组来确定切点，最后求斜率k=，确定切线方程。
三．常见函数的导数公式:
① ② ③ ④
⑤ ⑥ ⑦ ⑧
四．导数的四则运算和复合函数的求导法则：
（1） (2)
（3） （4）
五．导数的应用：
1.利用导数判断函数单调性：设函数在某个区间内可导，
①该区间内为增函数； ②该区间内为减函数；
注意：当在某个区间内个别点处为零，在其余点处为正（或负）时，在这个区间上仍是递增（或递减）的。
③在该区间内单调递增在该区间内恒成立；
④在该区间内单调递减在该区间内恒成立；
2.利用导数求极值：
（1）定义：设函数在点附近有定义，如果对附近所有的点，都有，就说是函数的一个极大值。记作＝，如果对附近所有的点，都有，就说是函数的一个极小值。记作＝。极大值和极小值统称为极值。
（2）求函数在某个区间上的极值的步骤：（i）求导数；（ii）求方程的根；（iii）检查在方程的根的左右的符号：“左正右负”在处取极大值；“左负右正”在处取极小值。
特别提醒：
①是极值点的充要条件是点两侧导数异号，而不仅是＝0，＝0是为极值点的必要而不充分条件。
②给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑，又要考虑检验“左正右负”(“左负右正”)的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记！
3.利用导数求最值：比较端点值和极值
（1）定义：函数在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点值中的“最大值”；函数在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端点值中的“最小值”。
（2）求函数在[]上的最大值与最小值的步骤：
①求函数在（）内的极值（极大值或极小值）；
②将的各极值与，比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。
六．导函数与原函数的一些常见关系
在区间上单调递增（减）在区间上恒成立；
在区间上存在单递增（减）区间在区间上能成立；
的单调递增（减）区间为的解集为；
在区间上不单调在区间上有极值点有变号根
在区间上单调在区间上无极值点
七.证明不等式
（1）证明 ，可通过构造函数，转化为证明 ；
（2）证明 ，则证明
（3）证明不等式中可考虑放缩，常见的放缩公式：
，当且仅当时取等号；
， 当且仅当时取等号；
，
八.不等式恒（能）成立问题
（1）能分离参数时求参数取值范围的方法：
；
；
；
；
（2）不能分离参数或分离参数后不能求最值—最值转化法
；
（3）含全称、存在量词不等式恒成立问题的解题方法
；
；
；
；
九.常见的构造函数方法有如下几种：
(1)利用和、差函数求导法则构造函数
对于不等式，构造函数；
特别地，对于不等式，构造函数
(2)利用积、商函数求导法则构造函数
①对于不等式构造函数
②对于不等式 ,构造函数 .
(3)利用积、商函数求导法则的特殊情况构造函数
①对于不等式，构造函数；
②对于不等式，构造函数；
③对于不等式，构造函数；
④对于不等式 ，构造函数 ；
⑤对于不等式，构造函数；
⑥对于不等式，构造函数F(x)＝；
⑧对于不等式，构造函数；
⑨对于不等式，构造函数F(x)＝.
第六章 计数原理
1.排列数公式： （，）或
2.排列应用问题的主要方法
直接法
把符合条件的排列数直接列式计算
优先法
优先安排特殊元素或特殊位置
捆绑法
把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列
插空法
对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中
定序问题除法处理
对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列
间接法
正难则反、等价转化的方法
3.组合数公式：（，）
4.组合数性质 ① ② ③ （注意此公式的逆向应用）
5.阶乘 ：表示正整数到的连乘积，叫做的阶乘， 规定
6.组合应用问题的主要方法
(1)分组问题
①完全均匀分组，每组的元素个数均相等，均匀分成n组，最后必须除以n！；
②部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！；
③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．
(2)分配问题：先分组再排列分配
三． 二项式定理
1．二项式定理
，等号右边的多项式叫做的二项展开式，共有n+1项，其中各项的系数叫做二项式系数.二项展开式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：.
2．二项式系数的性质
（1）对称性：
（2）增减性：先增后减中间项最大
①为偶数时，最大，(奇数项)；
②为奇数时，最大，(偶数项).
（3）二项式系数的和： .
奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和：.
3．赋值法
（1）形如 ， (a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可．
（2）对形如 (a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
（3）若f(x)＝，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，
奇数项系数之和为＝，
偶数项系数之和为＝.
4．利用二项式定理解决整除问题时，关键是要巧妙地构造二项式，其基本思路是：要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可.因此，一般要将被除式化为含相关除式的二项式，然后再展开.
第七章 随机变量及其分布
1．条件概率的定义
设A、B是两个事件，且P(B)>0,则称为在事件A发生的条件下,事件B的条件概率.
条件概率的性质：性质：设P(A)>0,则 (1)
(2)如果B和C是两个互斥事件,则
(3)设和B互为对立事件,则.
2.概率乘法公式：
由条件概率的定义，任意两个事件A与B ,若P(A)>0，则,我们称上式为概率的乘法公式.当事件A与B相互独立时，
概率的加法公式：任意两个事件A与B ，，
当事件A与B互斥时，，
当事件A与B对立时
3.全概率公式
一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意的事件B⊆Ω，有，称该公式为全概率公式．
4.离散型随机变量的分布列及其性质
(1)定义：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率n为X的概率分布列，简称分布列．
(2)分布列的性质:(1) (2)
5.离散型随机变量的均值与方差
(1)随机变量X的均值或数学期望:.若Y＝aX＋b，其中a，b是常数，则Y也是随机变量，且有E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
(2)随机变量X的方差: ，若Y＝aX＋b，其中a，b是常数(X是随机变量)，则Y也是随机变量，且有D(aX＋b)＝
6.三种分布（二项分布、超几何分布、正态分布）
（1）若X服从两点分布，则．
（2）重伯努利试验：在相同的条件下重复进行次，各次实验间互不影响，每次实验只有两种结果，要么发生，要么不发生，任何一次实验中发生的概率都是一样的
二项分布： 则
定义：在重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为，用表示事件发生的次数，则的分布列为：
0
1
…
…
…
…
（3）超几何分布(不放回抽样)：
件产品中含件次品，任意抽取件，期中恰有件次品的概率
k=m,m+1,...,r
设 则 ，
（4）正态分布 ，则
正态曲线的特点：
①非负性：对∀x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的上方．
②定值性：曲线与x轴之间的面积为1.
③对称性：曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称．
⑤位置：当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①.
⑥体型：当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；σ较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图②.
正态分布的几何意义：若X～N(μ，σ2)，如图所示，X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为区域B的面积．
原则：
P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；
P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；
P(u－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.
第八章 成对数据的统计分析
1. 样本相关系数
样本相关系数r的取值范围为．
当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；
当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱．
注意点：当|r|＝1时，表明成对样本数据都在一条直线上，即两个变量之间满足一种线性关系．
当r＝0时，表明成对数据间没有线性相关关系，但不排除它们之间有其他相关关系．
2.独立性检验
解决实际问题的主要环节：
（1）零假设（或原假设）：两个分类变量独立；
（2） 2×2列联表：
y1
y2
合计
x1
a
b
a＋b
x2
c
d
c+d
合计
a+c
b＋d
a+b +c+d
(3)公式：χ2＝， 其中n＝a＋b＋c＋d.
(4)查表（题目中会给出）：常用临界值表如下：
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
（5）基于小概率值的检验规则是：
当时，我们推断不成立，即认为不独立，该推断犯错误的概率不超过；
当时，我们没有充分证据推断不成立，即可以认为独立.
3.一元线性回归模型
回归直线方程必过样本点的中心（x，y）
将称为Y关于x的线性回归方程其中
4.残差与残差分析
（1）残差：对于响应变量Y,通过观测得到的数据称为观测值,通过经验回归方程得到的 称为预测值,观测值减去预测值称为残差，即 .
（2）残差平方和法
残差平方和，残差平方和越小，模型拟合效果越好，残差平方和越大，模型拟合效果越差.
(3)利用刻画回归效果
决定系数R是度量模型拟合效果的一种指标，在线性模型中，代表解释变量客户预报变量的能力.，越大，即拟合效果越好，越小，模型拟合效果越差。
高三年级知识清单
数学
一平面截正方体所得图形
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目录
必修模块 1
第一章集合与常用逻辑用语 1
一.子集 1
二．含有一个量词的命题的否定 1
第二章一元二次函数、方程和不等式 1
第三章函数的概念和性质 1
一.奇函数与偶函数的性质 1
二.函数的对称性 1
1.常用结论 1
2.函数图象的对称与周期关系常见结论 2
三．函数的周期性 2
第四章指数函数与对数函数 2
一.指数与指数函数 2
二．对数与对数函数 2
三.函数的零点 2
第五章三角函数 2
一.扇形 2
二.三角函数的概念 3
三.同角三角函数的基本关系 3
四.两角和与差的正弦、余弦、正切 3
五.二倍角的正弦、余弦、正切 3
六.降幂公式 3
七.辅助角公式： 3
八.诱导公式在△ABC中的应用 3
九.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质 4
第六章平面向量及其应用 4
一、向量的定义及表示 4
二、平面向量数量积的性质及其坐标表示 4
三.向量共线定理 5
四．向量夹角的判断 5
五．正余弦定理及其变形 5
1.正弦定理 5
2.余弦定理 5
六.三角形面积公式 5
七.解三角形所涉及的其他知识. 5
1.正三角形 5
2.判断三角形形状 6
第八章立体几何初步 6
一.空间几何体的直观图 6
1.斜二测画法的步骤 6
2.原图与直观图的关系 6
二.简单几何体的表面积与体积 6
1.旋转体的表面积 6
2.柱体、锥体、台体的体积公式 7
三.球的切、接问题（常见结论） 7
四、空间点、直线、平面之间的位置关系 8
1、三个基本事实： 8
2、基本事实1和基本事实2的三个推论 8
3、空间中直线与直线之间的位置关系 8
4、空间中直线与平面的位置关系 8
5、空间中平面与平面之间的位置关系 8
6、空间中的平行问题 9
7、空间中的垂直问题 9
第九章 统计 10
一、四数三差 10
选择性必修模块 11
第一章 空间向量与立体几何 11
一、 共面向量 11
二、空间向量 11
三、空间向量求角 11
四、空间向量求距离 12
第二章 直线与圆知识梳理 12
一、直线方程（知识梳理） 12
1.直线的平行与垂直 12
2.三个距离公式 12
3.解决过定点问题常用的三种方法 12
4.直线系方程 13
二．圆的方程 13
1.圆的方程 13
2.直线与圆 13
3.圆与圆的位置关系 13
4.与圆的代数结构有关的最值问题 14
5.其它结论 14
三.圆的切线方程常用结论 14
1.点与切线 14
2.圆系方程 14
第三章 圆锥曲线的方程 15
一、椭圆知识梳理 15
二、双曲线（知识梳理） 16
三、抛物线（知识点梳理） 17
第四章 数列 19
一.基础知识梳理 19
二.求通项的方法 20
1.公式法 20
2.知与的关系 20
3.累加法： 适用于： 20
4.累乘法： 20
5.形如型的递推式： 21
6.分式型 21
三.求和的方法 21
1.公式法： 21
2.倒序相加法： 21
2.分组转化法 21
3.裂项相消法 22
（1）等差型 22
（2）根式型 22
（3）指数型 22
（5）对数型 22
（6）幂型 22
4.错位相减法 23
第五章 一元函数的导数及其应用 23
一．导数定义： 23
二．导数的几何意义 23
三．常见函数的导数公式: 23
四．导数的四则运算和复合函数的求导法则： 23
五．导数的应用： 24
1.利用导数判断函数单调性：设函数在某个区间内可导， 24
2.利用导数求极值： 24
3.利用导数求最值：比较端点值和极值 24
六．导函数与原函数的一些常见关系 24
七.证明不等式 25
八.不等式恒（能）成立问题 25
（1）能分离参数时求参数取值范围的方法： 25
（2）不能分离参数或分离参数后不能求最值—最值转化法 25
（3）含全称、存在量词不等式恒成立问题的解题方法 25
九.常见的构造函数方法有如下几种： 25
(1)利用和、差函数求导法则构造函数 25
(2)利用积、商函数求导法则构造函数 25
(3)利用积、商函数求导法则的特殊情况构造函数 26
第六章 计数原理 26
1.排列数公式： 26
2.排列应用问题的主要方法 26
3.组合数公式： 26
4.组合数性质 26
5.阶乘 26
三． 二项式定理 27
1．二项式定理 27
2．二项式系数的性质 27
3．赋值法 27
第七章 随机变量及其分布 27
1．条件概率的定义 27
2.概率乘法公式 28
3.全概率公式 28
4.离散型随机变量的分布列及其性质 28
5.离散型随机变量的均值与方差 28
6.三种分布（二项分布、超几何分布、正态分布） 28
第八章 成对数据的统计分析 29
1. 样本相关系数 29
2.独立性检验 30
3.一元线性回归模型 30
4.残差与残差分析 30
必修模块
第一章集合与常用逻辑用语
一.子集： 若一个集合含有n个元素，则子集个数为2n个，非空子集个数为（2n-1）个，非空真子集个数为（2n-2）个。
数 集
自然数集 N
正整数集N*(或N＋)
整数集Z
有理数集Q
实数集R
二．含有一个量词的命题的否定
一般地，对于含有一个量词的命题的否定，有下面的结论：
(1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∃x∈M，﹁p(x)；
(2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∀x∈M，﹁p(x)．
全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．
第二章一元二次函数、方程和不等式
第三章函数的概念和性质
一.奇函数与偶函数的性质
（1） 奇函数与偶函数的定义域一定关于原点对称；
（2） 奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称；反之亦成立；
（3） 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性 相同；偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性 相反。
（4） 若奇函数的定义域内包含0，则f(0)= 0
（5） 奇函数的最大值与最小值之和等于0
（6） 若f(x)是偶函数，则
（7） 若函数f(x)的解析式是整式，则奇函数的解析式中没有偶次项 （奇中无偶）；偶函数的解析式中没有奇次项（偶中无奇）
（8）奇函数奇函数=奇函数；偶函数偶函数=偶函数；奇函数奇函数=偶函数；偶函数偶函数=偶函数；奇函数偶函数=奇函数
【注】利用奇偶性求函数解析式的思路：若已知f(x)的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，求关于原点对称的区间[-b，-a]上的解析式：①设-x∈[a，b]，则x∈[-b，-a]；②将-x代入已知区间[a，b]上的解析式中得f(-x)；根据函数的奇偶性与f(x)、f(-x)的关系求出f(x).
二.函数的对称性
1.常用结论
①若函数y=f(x+a)是偶函数,即f(a-x)=f(a+x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称.
②若对于R上的任意x都有f(2a-x)=f(x)或f(-x)=f(2a+x),则y=f(x)的图象关于直线x=a对称.
③若函数y=f(x+a)是奇函数,即f(-x+a)=-f(x+a),则函数y=f(x)的图象关于点(a,0)中心对称.
若函数f(-x+a)+f(x+a)=2b,则函数y=f(x)的图象关于点(a,b)中心对称.
2.函数图象的对称与周期关系常见结论
①若函数y=f(x)的两条对称轴方程分别为x=a,x=b,则函数的一个周期为T=2|a-b|;
②若函数y=f(x)的两个对称中心分别为(a,0), (b,0),则函数的一个周期为T =2|a-b|;
③若函数y=f(x)的一条对称轴方程为x=a,一个对称中心为点(b,0),则函数的一个周期为T=4|a-b|.
三．函数的周期性
(1)周期函数:一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个x∈D,都有x+T∈D,且f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期.
（2）周期性的常用结论
设函数y=f(x),x∈R,a>0.
①若f(x+a)=f(x-a),则函数的一个周期为2a. ②若f(x+a)=-f(x),则函数的一个周期为2a.
③若f(x+a)=1f(x),则函数的一个周期为2a. ④若f(x+a)=-1f(x),则函数的一个周期为2a.
第四章指数函数与对数函数
一.指数与指数函数
1．正数的分数指数幂:amn＝nam(a＞0，m，n∈N×，n＞1)
2.运算性质：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a＞0，b＞0，r，s∈Q
二．对数与对数函数
（1）运算性质①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaMN＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM(n∈R)
（2）换底公式logab＝logcblogca(a＞0，且a≠1；b＞0；c＞0，且c≠1)
三.函数的零点
1.概念：对于函数y=f(x)（x∈D），把使f(x)=0成立的实数x叫做函数y= f(x)（x∈D）的零点。
2.函数零点的意义：
方程f(x)=0有实根 ⇔ 函数y= f(x)的图像与x轴有交点 ⇔ 函数y= f(x)有零点
3.函数零点的求法：
代数法：求方程f(x)=0的实数根
几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y= f(x)的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点。
第五章三角函数
一.扇形
弧长公式和扇形面积公式：弧长:l=αR ； 扇形的面积：S=12lR=12αR2
其中R 是扇形的半径，α（0<α<2π）是圆心角，l是弧长.
二. 三角函数的概念
1.定义1：设角a的终边经过点p（x，y）它到原点的距离为r（r=x2+y2，
则 ， ，
2.定义2：设角a的终边与单位圆（原点为圆心，1为半径的圆）相交于点p（x，y）
则 y ， x ，
3.各象限角的三角函数值（符号为正）的口诀：一 全正 ，二 正弦 ，三 正切 ，四 余弦 。
三.同角三角函数的基本关系
（1） 1 。（2）sinacosa（）
注 ：
四.两角和与差的正弦、余弦、正切
（1） sinαcosβ±cosαsinβ （2）cosαcosβ∓sinαsinβ
（3）
五.二倍角的正弦、余弦、正切
（1） （2）
（3）
六.降幂公式 （1） （2）
七.辅助角公式： （）
八.诱导公式在△ABC中的应用
（1）
（2）
九.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
定义域
R
R
xx≠kπ＋π2，k∈Z
值域
[－1，1]
[－1，1]
R
单调性
单调递增区间：
2kπ－π2，2kπ＋π2，k∈Z；
单调递减区间：
2kπ＋π2，2kπ＋3π2，k∈Z
单调递增区间：
[2kπ－π，2kπ]，k∈Z；
单调递减区间：
[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z
单调递增区间：
kπ－π2，kπ＋π2，k∈Z
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
对称性
对称中心：(kπ，0)，k∈Z
对称中心：kπ＋π2，0，k∈Z
对称中心kπ2，0，k∈Z
对称轴：x＝kπ＋π2，k∈Z
对称轴：x＝kπ，k∈Z
周期
2π
2π
π
第六章平面向量及其应用
一、向量的定义及表示
向量定义：既有大小，又有方向的量叫做向量，常用表示。（向量无特定的位置，因此向量可以作任意的平移）
向量的表示：①有向线段：带有方向的线段，它包含三个要素：起点、方向、长度；
②向量的表示：几何表示、字母表示
二、平面向量数量积的性质及其坐标表示
设非零向量=(x1,y1),=(x2,y2),θ=<,>.
结论
几何表示
坐标表示
模
||=
||=x12+y12
数量积
·=||||cos θ
·=x1x2+y1y2
夹角
cos θ=
cos θ=
x1x2+y1y2x12+y12·x22+y22
⊥b
·=0
x1x2+y1y2=0
∥
=λ
x1y2=x2y1
三.向量共线定理
若点P是线段AB上一点，O是线段AB外一点，且满足则λ+μ=1，特别地当时，点P时线段AB的中点。
四．向量夹角的判断
1.夹角范围
2.锐角： 且不共线 钝角： 且不共线
五．正余弦定理及其变形
1.正弦定理
在同一个三角形中，各边与它们所对的角的正弦之比相等，并且都等于这个三角形的外接圆的直径，即
正弦定理的变形（R是三角形ABC的外接圆的半径）
①，，；
②，，；
③；
2.余弦定理
三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦值积的两倍，即；；.
余弦定理的变形:
在△ABC中，有，推论：
六.三角形面积公式
七. 解三角形所涉及的其他知识.
1.正三角形
边长为的a的正三角高，三角形面积，外接圆半径，内切圆半径
2.判断三角形形状
（1）在三角形中：
（2）三角形内角和定理:A+B+C= π
（3）已知三边(三边之比或三内角正弦之比）判定三角形的形状：
设a是三角形ABC中最长的边，则
若是锐角三角形.
若是直角三角形.
若是钝角三角形.
第八章立体几何初步
一.空间几何体的直观图
1.斜二测画法的步骤： ①平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；②平行于y轴的线长度变半，平行于x，z轴的线长度不变
2.原图与直观图的关系
二.简单几何体的表面积与体积
1.旋转体的表面积
圆柱（底面半径为r，母线长为l）
圆锥（底面半径为r，母线长为l）
圆台（上、下底面半径分别为r′，r，母线长为l）
侧面展开图
底面面积
侧面面积
表面积
2.柱体、锥体、台体的体积公式
几何体
体积
柱体
(S为底面面积，h为高) (r为底面半径，h为高)
锥体
(S为底面面积，h为高) (r为底面半径，h为高)
台体
(S′、S分别为上、下底面面积，h为高)，
(r′、r分别为上、下底面半径，h为高)
三.球的切、接问题（常见结论）
图形
结论
外接球
长方体外接球：
若长方体的长、宽、高分别为，，h，则长方体的外接球半径R=．
（正方体的棱长为，正方体的外接球R=）
正四面体外接球：
若正四面体的棱长为，正四面体的外接球半径R=；
三棱锥外接球：
若三棱锥底面三角形ABC外接圆的半径为r,(),则三棱锥外接圆半径R=
三棱柱外接球：
若三棱柱底面三角形ABC外接圆的半径为r,(),高为h,则三棱锥外接圆半径R=
内切球
正方体内球球：
正方体的棱长为，则正方体的内切球半径R=
椎体内球球：
若椎体体积为V，，表面积为S，
则内切球半径R=3VS
四、空间点、直线、平面之间的位置关系
1、三个基本事实：
（1）基本事实1：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
（2）基本事实2：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
（3）基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
2、基本事实1和基本事实2的三个推论
（1）经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面
（2）经过两条相交直线，有且只有一个平面
（3）经过两条平行直线，有且只有一个平面
3、空间中直线与直线之间的位置关系
空间的两条直线有如下三种关系：共面直线相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点平行直线： 同一平面内，没有公共点
异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点
4、空间中直线与平面的位置关系
（1）直线在平面内——有无数个公共点（2）直线与平面相交——有且只有一个公共点
（3）直线在平面平行——没有公共点
指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用aα来表示
a⊂α a∩α=A a∥α
5、空间中平面与平面之间的位置关系
（1）两个平面平行——没有公共点（2）两个平面相交——无数个公共点（在同一直线上）
α//β α∩β=a
6、空间中的平行问题
（1）直线与平面平行的判定及其性质
线面平行的判定定理：
平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。
线线平行线面平行
线面平行的性质定理：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。线面平行线线平行
（2）平面与平面平行的判定及其性质
两个平面平行的判定定理
（1）如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行
（线面平行→面面平行），
（2）如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行。
（线线平行→面面平行），
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行，
两个平面平行的性质定理
（1）如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。（面面平行→线面平行）
（2）如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（面面平行→线线平行）
7、空间中的垂直问题
（1）线线、面面、线面垂直的定义
①两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。
②线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面垂直。
③平面和平面垂直：如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角（平面角是直角），就说这两个平面垂直。
（2）垂直关系的判定和性质定理
①线面垂直判定定理和性质定理
判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。
性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
②面面垂直的判定定理和性质定理
判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。
第九章 统计
一、四数三差
一组数据为
频率分布直方图（小矩形面积=频率）
分层抽样
（第1层样本量、样本平均数和样本方差分别为m,x,s12
第2层样本量、样本平均数和样本方差分别为n,y,s22）
众数
一组数据中出现次数最多的数
最高小矩形底边中点的横坐标
平均数
X=x1+x2+···+xnn
各小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积之和
总体平均数ω=mm+nx+nm+ny
中位数
一组数据按大小顺序排列后，处于中间位置的数.如果个数是偶数，则取中间两个数据的平均数
左右两边面积各为0,5的竖线对应的横坐标
百分位数
定义：（第50百分位数就是中位数，中位数是百分位数的特例，百分位数是中位数的推广）一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有（100－p）%的数据大于或等于这个值.
（2）计算第p百分位数的步骤
第1步，按从小到大排列原始数据
第2步，计算i＝n×p%
第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第（i＋1）项数据的平均数
找出百分位数所在的区间【a,b】;设组距为d,计算第k百分位数=
方差
总体方差S2＝mm+n[s12+(x−ω)2]+nm+n[s22+(y−ω)2]
标准差
极差
一组数据中最大值与最小值的差
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第一章 空间向量与立体几何
一、 共面向量
（1）共面向量定理：如果两个向量不共线，与向量共面的条件是存在实数使。
（2）四点共面：若A、B、C、P四点共面<=>
<=>
二、空间向量
（1）模长公式：若，，
则，
（2）夹角公式：。
ΔABC中①<=>A为锐角②<=>A为钝角，钝角Δ
（3）两点间的距离公式：若，，
则， 或
三、空间向量求角
图示
向量证明方法
异面直线所成的角
（，是直线上不同的两点，，是直线上不同的两点）
直线和平面的夹角
（直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为）
平面与平面的夹角
（平面与的法向量分别为和，平面与的夹角为）
四、空间向量求距离
图示
向量证明方法
点点距
设A,B为空间中任意两点,则d=|AB→|
点线距
P到直线l的距离PQ=|AP→|2−(AP∙u)2.
点到平面的距离
（为平面的法向量）
第二章 直线与圆知识梳理
一、直线方程（知识梳理）
1.直线的平行与垂直
斜截式
一般式
直线方程
平行
（注意可能重合）
垂直
2.三个距离公式
条件
距离公式
两点之间的距离公式
已知两点，
点到直线的距离公式
已知一点，
直线
两平行线的距离公式
已知直线，
以及
3.解决过定点问题常用的三种方法
(1)特殊值法：给方程中的参数取两个特殊值，可得关于x，y的两个方程，从中解出的x，y的值即为所求定点的坐标.
（2）点斜式法：特含参数的直线方程写成点斜式 y-y0=k(x-x0)，则直线过定点（x0，y0），；(3)分离参数法。將含参数的直线方程整理为过交点的直线系方程：A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0的形式，则该方程表示的直线必过直线A1x+B1y+C1 =0和A2x+B2y+C2=0交点，而此交点就是定点．
4.直线系方程
(1)与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是Ax+By+m=0(m∈R且m≠C).
(2)与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程是Bx-Ay+n=0(n∈R).
(3)过直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为
A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R),但不包括l2.
二．圆的方程
1.圆的方程
（1）标准方程： ，其中为圆心，为半径；
（2）一般方程：，其中 为圆心， D2+E2−4F2为半径。
（3）参数方程：圆的参数方程为x=a+rcosθy=b+rsinθ，θ为参数。
2.直线与圆
直线(不同时为0)与圆的位置关系及判断
位置关系
相交
相切
相离
公共点
两个
一个
零个
判定方法
几何法:设圆心到直线的距离
代数法:由消元得到一元二次方程的判别式Δ
（1）相交：弦长 （圆心到直线的距离为）
（2）相离：圆上动点P到直线l距离的最大值:圆心到直线距离加半径，圆上动点P到直线l距离的最小值:圆心到直线距离减半径。
3.圆与圆的位置关系
圆与圆位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
图示
d与 的关系
公切线条数
相离⟺4条
外切⟺3条
相交⟺2条
内切⟺1条
内含⟺0条
（1）两圆相交的公共弦
-得公共弦的方程：
4.与圆的代数结构有关的最值问题
类型
代数表达
方法
截距式
求形如的最值
转化为动直线截距的最值问题
斜率式
求形如的最值
转化为动直线斜率的最值问题
距离式
求形如的最值
转化为动点到定点的距离的平方的最值问题
【注意】截距式与斜率式在学习直线与圆的位置关系后，都可转化为动直线与圆相切时取得最值.同时，需要注意若是斜率式，则需考虑斜率是否存在.
5.其它结论
1.以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径端点的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1) (y-y2)=0.
三. 圆的切线方程常用结论
1.点与切线
(1)过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2.
(2)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.
(3)过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在直线方程为x0x+y0y=r2.
2.圆系方程
(1)同心圆系方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其中a,b是定值,r是参数;
(2)过直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0交点的圆系方程:
x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ∈R)
(3)过圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0交点的圆系方程:
x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1)
(该圆系不含圆C2,解题时,注意检验圆C2是否满足题意,以防漏解).
第三章 圆锥曲线的方程
一、椭圆知识梳理
椭圆定义
（符号表示）：
的关系：.
中心
中心在原点，焦点在轴上
中心在原点，焦点在轴上
标准方程
y2a2+x2b2=1(a>b>0)
图形
顶点
轴
长轴为2a ，短轴为2b
焦点
离心率
（离心率越大，椭圆越扁）
通径
（过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段,最短的焦点弦
焦点三角形
面积：若,则，当 最大时，即为短轴端点时面积最大
周长：L= 2a+2c
三边：（1）
（2）
a+c, a-c.
焦点弦长
（为直线的倾斜角）
中点弦
点差法：, （焦点在x轴上）
周角定理
点A，B是椭圆上关于原点对称的两点，P是椭圆上异于A，B的一点，若直线PA，PB的斜率存在且不为0，则（焦在X）
椭圆焦半径
，，
巧设方程
1.共焦点，则c相同。与椭圆共焦点的椭圆方程可设为 ：
。
2.与椭圆共离心率的椭圆方程可设为：
其它：1.若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.
2.若在椭圆外，则过作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则.
3.若过焦点F的直线与椭圆相交与点A,B，且 ,则有 或； （为通径）
二、双曲线（知识梳理）
双曲线
（符号表示）：
x
O
F1
P
B2
B1
F2
的关系：.
标准方程
x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)
y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)
图形
x
O
F1
F2
P
y
A2
A1
顶点
A1(-a,0),A2(a,0)
A1(0,-a),A2(0,a)
轴
实轴为2a，虚轴轴为2b
离心率
（离心率越大，开口越大）
渐近线
，焦点到渐近线距离为b.
，焦点到渐近线距离为b.
通径
（过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段），最短的焦点弦
焦点三角形
面积：若,则
周长：，
焦点弦长
（为直线的倾斜角）
中点弦
点差法：,
周角定理
点A，B是椭圆上关于原点对称的两点，P是椭圆上异于A，B的一点，若直线PA，PB的斜率存在且不为0，则（焦在X）
等轴双曲线
当离心率两渐近线互相垂直，分别为y=，此时双曲线为等轴双曲线，可设为；
巧设方程
1.若渐近线方程为双曲线可设为(也是共离心率和共淅近线方程）
（，焦点在x轴上； ，焦点在y轴上）
2.与双曲线共焦点的双曲线系方程是
焦半径公式
PF1=ex0+a，PF2=ex0−a
其它：(1)过双曲线上一点的切线: ： 斜率为。
（2）若过焦点F的直线与椭圆相交与点A,B，则 （为通径）
三、抛物线（知识点梳理）
方程
()
()
()
()
图形
x
O
F
P
y
O
F
P
y
x
O
F
P
y
x
O
F
P
y
x
对称轴
轴
轴
轴
轴
焦点
准线
焦半径
焦点弦
二级结论
若AB为抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦,F为抛物线的焦点,A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),弦中点为M(x0,y0),则:
(1)x1x2= p24 ，y1y2= -p2 ， 1|AF|+1|BF|为定值2p.
(2)|AB|=2psin2θ(θ为弦AB的倾斜角).S△AOB=p22sinθ(θ为弦AB的倾斜角).
(3)|AB|=x1+x2+p,因为x1+x2≥2x1x2=p,所以当x1=x2时,|AB|取得最小值,最小值为2p,此时弦AB垂直于x轴,所以抛物线的焦点弦中通径(垂直于抛物线对称轴的焦点弦叫做抛物线的通径)最短.
(4)以AB为直径的圆与准线相切.
(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切.
(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直,且交点在准线上..
（7）阿基米德三角形：过抛物线上两点A（x1，y1）B（x2，y2）
作抛物线的切线，交点为P，则△ABC称为抛物线的阿基米德三角形。其中，AB称为阿基米德三角形的底边，P为该阿基米德三角形的顶点。则有性质
（1）切线PA与PB的交点P的坐标为（y1y22p，y1+y22）；
（2）Q为AB中点，则直线PQ平行或重合X轴；
第四章 数列
一.基础知识梳理
等差数列
等比数列
定义
(为常数,)
递推
公式
通项
公式
或
（）或
中项
成等差数列的充要条件：
成等比数列的充要条件：
前n
项和
；
重
要
性
质
①
②等和性：若（、、、），则
③若（、、），则．
④构成等差数列.
①
②等积性：若（、、、），
则
③若（、、），则
④构成的数列是等比数列.
单
调
性：
设d为等差数列的公差，则
d>0是递增数列；
d<0是递减数列；
d=0是常数数列.
递增数列；
递减数列；
q=1是常数数列；
q<0是摆动数列
证
明
方
法
证明一个数列为等差数列的方法：
1.定义法
2.中项法
3.通项公式法：（为常数）
4. 前n项和公式法：（A,B为常数）
证明一个数列为等比数列的方法：
1.定义法
2.中项法
3. 通项公式法：(A,q为不为0的常数)
4. 前n项和公式法：()
设元
技巧
三数等差：
四数等差：
三数等比：
四数等比：
二.求通项的方法
1.公式法
根据等差等比数列思维定义求通项
2.知与的关系
先利用a1＝S1求出a1.
用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式．
对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写
3.累加法： 适用于：
若，则 两边分别相加得
例如：已知数列满足，求数列的通项公式
4.累乘法：
若，则
两边分别相乘得，
例如：已知， ，求
5.形如型的递推式：
①待定系数法：（其中均为常数，）
解法：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解.
②待定系数法： （其中均为常数，）.（或其中均为常数）.
解法：在原递推公式两边同除以，得：，令，得：，再按第①种情况求解.
③待定系数法：
解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列.
6.分式型 取倒数法：
形如（为常数且）的递推式：两边同除于，转化为形式，化归为型求出的表达式，再求；
还有形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为型求出的表达式，再求．
三. 求和的方法
1.公式法：
如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前项和的公式来求和.
2.倒序相加法：
如果一个数列 与首末两端 “等距”的两项的和相等或等于同一个常数，那么用倒序相加法求这个数列的前项和。
2.分组转化法
有一类数列，它既不是等差数列，也不是等比数列，但是数列是等差数列或等比数列或常见特殊数列，则可以将这类数列适当拆开
(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组转化法求{an}的前n项和．
(2)通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组转化法求和．
注：（1）分奇偶各自新数列求和（2）要注意处理好奇偶数列对应的项：
①可构建新数列；②可“跳项”求和
(3)正负相间求和：
①奇偶项正负相间型求和，可以两项结合构成“常数数列”。
②如果需要讨论奇偶，一般情况下，先求偶，再求奇。求奇时候，直接代入偶数项公式，再加上最后的奇数项通项。
3.裂项相消法
列项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．
消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项
常见的裂项技巧
（1）等差型
（2）根式型
（3）指数型
（5）对数型
（6）幂型
4.错位相减法
错位相减求和方法
(1)适用条件：若{an}是公差为d(d≠0)的等差数列，{bn}是公比为q(q≠1)的等比数列，求数列{anbn}的前n项和Sn；
(2)基本步骤
第五章 一元函数的导数及其应用
一．导数定义：在点处的导数记作
二．导数的几何意义
函数在处导数的几何意义，曲线在点处切线的斜率是。于是相应的切线方程是：。
注意两种情况：
1.曲线在点处切线：性质：。相应的切线方程是：
2.曲线过点处切线：先设切点，切点为 ,则斜率k=，切点 在曲线上，切点在切线上，切点坐标代入方程得关于a,b的方程组，解方程组来确定切点，最后求斜率k=，确定切线方程。
三．常见函数的导数公式:
① ② ③ ④
⑤ ⑥ ⑦ ⑧
四．导数的四则运算和复合函数的求导法则：
（1） (2)
（3） （4）
五．导数的应用：
1.利用导数判断函数单调性：设函数在某个区间内可导，
①该区间内为增函数； ②该区间内为减函数；
注意：当在某个区间内个别点处为零，在其余点处为正（或负）时，在这个区间上仍是递增（或递减）的。
③在该区间内单调递增在该区间内恒成立；
④在该区间内单调递减在该区间内恒成立；
2.利用导数求极值：
（1）定义：设函数在点附近有定义，如果对附近所有的点，都有，就说是函数的一个极大值。记作＝，如果对附近所有的点，都有，就说是函数的一个极小值。记作＝。极大值和极小值统称为极值。
（2）求函数在某个区间上的极值的步骤：（i）求导数；（ii）求方程的根；（iii）检查在方程的根的左右的符号：“左正右负”在处取极大值；“左负右正”在处取极小值。
特别提醒：
①是极值点的充要条件是点两侧导数异号，而不仅是＝0，＝0是为极值点的必要而不充分条件。
②给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑，又要考虑检验“左正右负”(“左负右正”)的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记！
3.利用导数求最值：比较端点值和极值
（1）定义：函数在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点值中的“最大值”；函数在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端点值中的“最小值”。
（2）求函数在[]上的最大值与最小值的步骤：
①求函数在（）内的极值（极大值或极小值）；
②将的各极值与，比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。
六．导函数与原函数的一些常见关系
在区间上单调递增（减）在区间上恒成立；
在区间上存在单递增（减）区间在区间上能成立；
的单调递增（减）区间为的解集为；
在区间上不单调在区间上有极值点有变号根
在区间上单调在区间上无极值点
七.证明不等式
（1）证明 ，可通过构造函数，转化为证明 ；
（2）证明 ，则证明
（3）证明不等式中可考虑放缩，常见的放缩公式：
，当且仅当时取等号；
， 当且仅当时取等号；
，
八.不等式恒（能）成立问题
（1）能分离参数时求参数取值范围的方法：
；
；
；
；
（2）不能分离参数或分离参数后不能求最值—最值转化法
；
（3）含全称、存在量词不等式恒成立问题的解题方法
；
；
；
；
九.常见的构造函数方法有如下几种：
(1)利用和、差函数求导法则构造函数
对于不等式，构造函数；
特别地，对于不等式，构造函数
(2)利用积、商函数求导法则构造函数
①对于不等式构造函数
②对于不等式 ,构造函数 .
(3)利用积、商函数求导法则的特殊情况构造函数
①对于不等式，构造函数；
②对于不等式，构造函数；
③对于不等式，构造函数；
④对于不等式 ，构造函数 ；
⑤对于不等式，构造函数；
⑥对于不等式，构造函数F(x)＝；
⑧对于不等式，构造函数；
⑨对于不等式，构造函数F(x)＝.
第六章 计数原理
1.排列数公式： （，）或
2.排列应用问题的主要方法
直接法
把符合条件的排列数直接列式计算
优先法
优先安排特殊元素或特殊位置
捆绑法
把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列
插空法
对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中
定序问题除法处理
对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列
间接法
正难则反、等价转化的方法
3.组合数公式：（，）
4.组合数性质 ① ② ③ （注意此公式的逆向应用）
5.阶乘 ：表示正整数到的连乘积，叫做的阶乘， 规定
6.组合应用问题的主要方法
(1)分组问题
①完全均匀分组，每组的元素个数均相等，均匀分成n组，最后必须除以n！；
②部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！；
③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．
(2)分配问题：先分组再排列分配
三． 二项式定理
1．二项式定理
，等号右边的多项式叫做的二项展开式，共有n+1项，其中各项的系数叫做二项式系数.二项展开式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：.
2．二项式系数的性质
（1）对称性：
（2）增减性：先增后减中间项最大
①为偶数时，最大，(奇数项)；
②为奇数时，最大，(偶数项).
（3）二项式系数的和： .
奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和：.
3．赋值法
（1）形如 ， (a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可．
（2）对形如 (a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
（3）若f(x)＝，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，
奇数项系数之和为＝，
偶数项系数之和为＝.
4．利用二项式定理解决整除问题时，关键是要巧妙地构造二项式，其基本思路是：要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可.因此，一般要将被除式化为含相关除式的二项式，然后再展开.
第七章 随机变量及其分布
1．条件概率的定义
设A、B是两个事件，且P(B)>0,则称为在事件A发生的条件下,事件B的条件概率.
条件概率的性质：性质：设P(A)>0,则 (1)
(2)如果B和C是两个互斥事件,则
(3)设和B互为对立事件,则.
2.概率乘法公式：
由条件概率的定义，任意两个事件A与B ,若P(A)>0，则,我们称上式为概率的乘法公式.当事件A与B相互独立时，
概率的加法公式：任意两个事件A与B ，，
当事件A与B互斥时，，
当事件A与B对立时
3.全概率公式
一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意的事件B⊆Ω，有，称该公式为全概率公式．
4.离散型随机变量的分布列及其性质
(1)定义：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率n为X的概率分布列，简称分布列．
(2)分布列的性质:(1) (2)
5.离散型随机变量的均值与方差
(1)随机变量X的均值或数学期望:.若Y＝aX＋b，其中a，b是常数，则Y也是随机变量，且有E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
(2)随机变量X的方差: ，若Y＝aX＋b，其中a，b是常数(X是随机变量)，则Y也是随机变量，且有D(aX＋b)＝
6.三种分布（二项分布、超几何分布、正态分布）
（1）若X服从两点分布，则．
（2）重伯努利试验：在相同的条件下重复进行次，各次实验间互不影响，每次实验只有两种结果，要么发生，要么不发生，任何一次实验中发生的概率都是一样的
二项分布： 则
定义：在重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为，用表示事件发生的次数，则的分布列为：
0
1
…
…
…
…
（3）超几何分布(不放回抽样)：
件产品中含件次品，任意抽取件，期中恰有件次品的概率
k=m,m+1,...,r
设 则 ，
（4）正态分布 ，则
正态曲线的特点：
①非负性：对∀x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的上方．
②定值性：曲线与x轴之间的面积为1.
③对称性：曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称．
⑤位置：当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①.
⑥体型：当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；σ较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图②.
正态分布的几何意义：若X～N(μ，σ2)，如图所示，X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为区域B的面积．
原则：
P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；
P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；
P(u－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.
第八章 成对数据的统计分析
1. 样本相关系数
样本相关系数r的取值范围为．
当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；
当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱．
注意点：当|r|＝1时，表明成对样本数据都在一条直线上，即两个变量之间满足一种线性关系．
当r＝0时，表明成对数据间没有线性相关关系，但不排除它们之间有其他相关关系．
2.独立性检验
解决实际问题的主要环节：
（1）零假设（或原假设）：两个分类变量独立；
（2） 2×2列联表：
y1
y2
合计
x1
a
b
a＋b
x2
c
d
c+d
合计
a+c
b＋d
a+b +c+d
(3)公式：χ2＝， 其中n＝a＋b＋c＋d.
(4)查表（题目中会给出）：常用临界值表如下：
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
（5）基于小概率值的检验规则是：
当时，我们推断不成立，即认为不独立，该推断犯错误的概率不超过；
当时，我们没有充分证据推断不成立，即可以认为独立.
3.一元线性回归模型
回归直线方程必过样本点的中心（x，y）
将称为Y关于x的线性回归方程其中
4.残差与残差分析
（1）残差：对于响应变量Y,通过观测得到的数据称为观测值,通过经验回归方程得到的 称为预测值,观测值减去预测值称为残差，即 .
（2）残差平方和法
残差平方和，残差平方和越小，模型拟合效果越好，残差平方和越大，模型拟合效果越差.
(3)利用刻画回归效果
决定系数R是度量模型拟合效果的一种指标，在线性模型中，代表解释变量客户预报变量的能力.，越大，即拟合效果越好，越小，模型拟合效果越差。
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