高三数学知识点总结:20:三角函数的图像和性质2+题目
展开都成立,则称为周期函数,叫做这个函数的周期.如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
函数和的周期均为;
函数的周期为.
3.五点法画y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图
用五点法画y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要找五个关键点,如下表所示:
4.函数y=sin x的图象变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象的步骤
(1)确定y=Asin(ωx+φ)+k(A>0,ω>0,|φ|<π)中的参数的方法:
在由图象求解析式时,若最大值为M,最小值为m,则A=eq \f(M-m,2),k=eq \f(M+m,2),ω由周期T确定,即由eq \f(2π,ω)=T求出,φ由特殊点确定,优先选择最值点,慎用平衡点.注:相邻两个最高点(或最低点)之间的距离为,相邻两个与轴交点的距离为,相邻一个最高点与最低点的距离为,相邻的一个最高点(或最低点)与轴交点的距离为
(2)由y=sin x的图象变换到的图象,两种方法如下(横线上填步骤)
y=Asin(ωx+φ)的有关概念和实际意义
实际意义:y=Asin(ωx+φ)+B刻画摩天轮匀速转动中,表示摩天轮的半径,表示摩天轮转动的角速度,表示初始位置所对应的角,B表示圆心到地面的距离。
典型例题:(方法:整体代换+数形结合)
(重点)例1:已知函数
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①求值域; = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②当时,求值域; = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③若,求的取值集合.
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①求的最值及取最值时对应的取值集合; = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②当时,求最值.
(3) = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①求单调区间; = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②当时,求单调增区间; = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③若求的单调增区间.
(4)求对称中心和对称轴.
(5)若 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①是偶函数,求; = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②是奇函数,求;
(6)的图象可由的图象经过怎样的变换得到.
(7)用“五点法”作出一个周期的函数图象.
若求的振幅,周期,频率,初相.
求函数的零点.
当时, = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①若有解,求的取值范围;
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②若有两解,求的取值范围; = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③若恒成立,求的取值范围;
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④若有解,求的取值范围.
(易错点)例2.已知
求(1)周期;(2)定义域;(3)单调区间;(4)对称中心;(5)当时,求值域;
(6)当时,求的取值范围;(7)求函数的零点.
答案:例1(1) = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ① = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②; = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①最大值3,此时;最小值此时.
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②当时,取最小值;当时,取最大值
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①单调增区间为;单调减区间为;
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②和 = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③单调增区间为;
对称中心,对称轴(5) = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①; = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②
(6) 向右平移个单位 纵坐标不变,横坐标变为原来的倍
方法一:
横坐标不变,纵坐标变为原来的倍 向上平移1个单位
纵坐标不变,横坐标变为原来的倍 向右平移个单位
方法二:
横坐标不变,纵坐标变为原来的倍 向上平移1个单位
(7)
振幅2,周期,频率,初相.(9)和
(10) = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①; = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②; = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③; = 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④.
答案:例2(1);(2);(3)单调增区间为;
;(5);(6);
(7)
ωx+φ
x
eq \f(π-φ,ω)
eq \f(2π-φ,ω)
y=Asin(ωx+φ)
0
A
0
-A
0
y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),
表示一个振动量时
振幅
周期
频率
相位
初相
1
3
1
1
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