2023年甘肃省武威市凉州区中考数学三模试卷（含解析）

2023年甘肃省武威市凉州区中考数学三模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  如图所示的几何体的俯视图是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  现在网购越来越多地成为人们的一种消费方式，在年的“双”网上促销活动中天猫和淘宝的支付交易额突破元，将数字用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  用配方法解方程时，配方后正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  不等式的解集是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  下列算式中，结果是正数的是．(    )

A.  B.  C.  D.

6.  当三角形的面积一定时，三角形的底和底边上的高成关系．(    )

A. 正比例函数 B. 反比例函数 C. 一次函数 D. 二次函数

7.  在创建文明城市的进程中，某市为美化城市环境，计划种植树木万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多，结果提前天完成任务，设原计划每天植树万棵，由题意得到的方程是(    )

A.  B.
C.  D.

8.  如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点落在点处，若，为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  体育课上测量立定跳远，其中一组六个人的成绩单位：米分别是：，，，，，，则这组数据的中位数和极差分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

10.  二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，且经过点下列说法：；；；若，是抛物线上的两点，则；其中正确的结论有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）

11.  在同一时刻，身高米的小强在阳光下的影长为米，一棵大树的影长为米，则这棵树的高度为______米．

12.  因式分解：______．

13.  在函数中，自变量的取值范围是______．

14.  若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为        ．

15.  的半径为，弦，，，则与的距离为______．

16.  如图，传送带的一个转动轮的半径为，转动轮转，传送带上的物品被传送，则______．

17.  在中，已知，，如图所示，将绕点按逆时针方向旋转后得到则图中阴影部分的面积为______．

18.  一组按规律排列的式子：，，，，，，第个式子是______用含，的式子表示，为正整数．

三、计算题（本大题共2小题，共12.0分）

19.  解方程：．

20.  先化简，再求值：，其中．

四、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

21.  本小题分
计算：．

22.  本小题分
年春节期间，满江红在各大影院上映后，小明去影院观看这部电影，该影院有、两个入口和、、三个出口，若从每个入口进影院的可能性相同，从每个出口出影院的可能性也相同．
观众不从出口出影院的概率是        ；
用列表或画树状图的方法求小明恰好经过通道与通道的概率．

23.  本小题分
中华文化源远流长，文学方面，西游记、三国演义、水浒传、红楼梦是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”某中学为了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成尚不完整的统计图如图请根据以上信息，解答下列问题．

本次调查所得数据的众数是______ ，中位数是______ ；
扇形统计图中“部”所在扇形的圆心角为______ 度；
请将条形统计图补充完整；
若该校共有名学生，请估计该校四大名著一部没有读过的学生有多少人？

24.  本小题分
在一次综合实践活动中，某小组对一建筑物进行测量．如图，在山坡坡脚处测得该建筑物顶端的仰角为，沿山坡向上走到达处，测得建筑物顶端的仰角为已知山坡坡度：，即，请你帮助该小组计算建筑物的高度．
结果精确到，参考数据：

25.  本小题分
如图，一次函数与反比例函数，图象分别交于，，与轴交于点，连接，．
求反比例函数和一次函数的表达式；
求的面积．

26.  本小题分
如图，在中，，以斜边上的中线为直径作，与交于点，与的另一个交点为，过作，垂足为．
求证：是的切线；
若的直径为，，求的长．

27.  本小题分
如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，顶点为，连接，，与抛物线的对称轴交于点．
求抛物线的表达式；
点是第一象限内抛物线上的动点，连接，，若，求点的坐标．

28.  本小题分
如图，在正方形中，是上一点，点是延长线上一点，且，求证：．
如图，在正方形中，是上一点，是上一点，如果，请你利用的结论证明：．
运用解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图，在四边形中，，，，是上一点，且，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：从上面可看到是三个左右相邻的长方形．
故选：．
找到从上面看所得到的图形即可．
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
 

2.【答案】 

【解析】解：将用科学记数法表示为：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，即．
故选：．
方程左右两边都加上，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．
本题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为得：．
故选：．
按照解一元一次不等式的步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；化系数为即可得出答案．
本题考查了解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；化系数为是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了绝对值、相反数、有理数的乘法与乘方运算在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
根据相反数的定义，有理数的运算，可得答案．
【解答】
解：，故A错误；
B.，故B错误；
C.，故C错误；
D.，故D正确；
故选D．  

6.【答案】 

【解析】解：三角形的底高三角形面积定值，
即三角形的底和高成反比例．
故选：．
由于三角形面积底高，所以面积一定时，底高定值，即底和高成反比例．
此题主要考查反比例函数的基本定义，难易程度适中．重点是反比例函数解析式的一般式．
 

7.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
，
故选：．
根据原计划的天数实际的天数提前的天数可以列出相应的方程，本题得以解决．
本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的分式方程．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据翻折可知：，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
根据翻折可得，根据平行四边形可得，所以，从而可得，进而求解．
本题考查了翻折变换、平行四边形的性质，解决本题的关键是利用翻折的性质．
 

9.【答案】 

【解析】解：排序后为：、、、、、
中位数为
由题意可知，极差为米．
故选D．
根据极差的定义即可求得．
极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值．注意：
极差的单位与原数据单位一致．
如果数据的平均数、中位数、极差都完全相同，此时用极差来反映数据的离散程度就显得不准确．
 

10.【答案】 

【解析】解：抛物线开口向下，且交轴于正半轴，
，，
对称轴直线，即，
，
，
故正确；
二次函数的图象过点，
，
故不正确；
又可知，
，即，
故正确；
抛物线开口向下，对称轴是直线，且，，
，
故选不正确；
抛物线开口向下，对称轴是直线，
当时，抛物线取得最大值，
当时，，且，
，
故正确，
综上，结论正确，
故选：．
抛物线开口向下，且交轴于正半轴及对称轴为，推导出，、以及与之间的关系：；根据二次函数图像经过点，可得出，结合，可知；再由二次函数的对称性，当时，距离对称轴越远所对应的越小；由抛物线开口向下，对称轴是，可知当时，有最大值．据此对各个结论分别判断即可．
本题考查二次函数图象与系数的关系及二次函数图象上点的坐标特征，需要充分掌握二次函数各系数的意义，以及它们跟二次函数图象之间的联系．
 

11.【答案】 

【解析】解：设树高为米，
，
，
．
答：这棵树的高度为米．
在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．
本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了提取公因式法和公式法分解因式，熟练掌握平方差公式是解题关键．
首先提取公因式，进而利用平方差公式分解因式得出即可．
【解答】
解：．
故答案为：．  

13.【答案】 

【解析】解：由题意可知：
解得：
故答案为：
根据函数关系即可求出的取值范围．
本题考查自变量的取值范围，解题的关键是熟练运用分式的有意义条件以及分式有意义条件，本题属于基础题型．
 

14.【答案】 

【解析】解：把代入方程，得，
解得，
即的值为．
把把代入原方程得，然后解一次方程即可．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
 

15.【答案】或 

【解析】解：
如图；中，，；
根据勾股定理，得；
同理可得：；
故EF；

如图；同可得：，；
故EF；

所以与的距离是或．
根据垂径定理及勾股定理，可求出弦、的弦心距；由于两弦的位置不确定，因此需要分类讨论．
此题主要考查的是垂径定理以及勾股定理的应用，需注意弦、的位置关系有两种，需分类讨论，不要漏解．
 

16.【答案】 

【解析】解：物品被传送的距离等于转动了的弧长，
，
解得：，
故答案为：．
物品被传送的距离等于转动了的弧长，代入弧长公式即可求出的值．
本题考查了弧长的计算，理解传送距离和弧长之间的关系是解决问题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：，，，
，，
图中阴影部分面积，
故答案为：；
解直角三角形得到，，然后根据扇形的面积公式即可得到结论．
本题主要考查了图形的旋转，扇形的面积公式，解直角三角形，熟练掌握扇形的面积公式是解决问题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：，
，
，

第个式子为：．
故答案是：．
观察分母的变化为的次幂、次幂、次幂次幂；分子的变化为：、、、；分式符号的变化为：、、、．
本题考查了列代数式，规律型：数字的变化类以及分式的定义，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．
 

19.【答案】解：，
移项得：
整理得：
或
解得：或 

【解析】移项后提取公因式，利用因式分解法求得一元二次方程的解即可．
本题考查了因式分解法解一元二次方程，解题的关键是先移项，然后提取公因式，防止两边同除以，这样会漏根．
 

20.【答案】解：原式，
当时，原式． 

【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

21.【答案】解：


． 

【解析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、开方和特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
 

22.【答案】 

【解析】解：观众不从出口出影院，即从或出口出影院，
观众不从出口出影院的概率是．
故答案为：．
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中小明恰好经过通道与通道的结果有种，
小明恰好经过通道与通道的概率为．
观众不从出口出影院，即从或出口出影院，根据概率公式计算即可．
画树状图得出所有等可能的结果数和小明恰好经过通道与通道的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
 

23.【答案】     

【解析】解：本次调查的人数：人，
读部的人数：人，
本次调查所得数据的众数是，
中位数：，
故答案为：，；
扇形统计图中“部”所在扇形的圆心角为：，
故答案为：；
由知，读部的人数：人，
补全条形统计图如图所示：

人，
答：估计该校四大名著一部没有读过的学生约有人．
根据读部的人数和所占百分比，可以求出本次调查的人数，再算出读部的人数，然后即可得到众数和中位数；
用乘以读部所占的百分比即可得到答案；
根据中读部的人数，可以将条形统计图补充完整；
用全校人数乘以一部没有读过的百分比即可求得答案．
本题考查了条形统计图和扇形统计图，中位数和众数，用样本的百分比估计总体，圆心角度数等，明确题意，利用数形结合的思想是解答本题的关键．
 

24.【答案】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，

则，，
在中，，
设米，则米，
，
，
或舍去，
米，米，
设米，
米，
在中，，
米，
米，
米，
在中，，
，
解得：，
经检验：是原方程的根，
米，
建筑物的高度约为米． 

【解析】过点作，垂足为，过点作，垂足为，则，，在中，根据已知可设米，则米，然后利用勾股定理进行计算可求出，的长，再设米，从而可得米，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义列出关于的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

25.【答案】解：点在的图象上，
，
，
点在上，
，
，
一次函数的表达式为，
点在的图象上，
，
，
点在的图象上，
，
反比例函数的表达式为；
直线与轴交于点，
当时，，即，
．
的面积为． 

【解析】先求出点坐标，再求出一次函数解析式，再求出点坐标，最后求出反比例函数解析式；
由一次函数解析式求出点坐标，再把三角形的面积转化为三角形和三角形面积之和，由面积公式求解即可．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．
 

26.【答案】证明：连接，如图，

，
，
在中，是斜边上的中线，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
解：连接，，

是的直径，
，，
即，，
由知：，
为的中点，
，
，
在中，，
，
在中，，
． 

【解析】连接，求出，求出，根据切线的判定推出即可；
连接和，求出，，解直角三角形求出和，再求出答案即可．
本题考查了切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质和判定，解直角三角形等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
 

27.【答案】解：抛物线过点和点，
，
解得，
抛物线的解析式为；
如图，过点作轴，交轴于点，交于点，

当时，，
，
设直线的解析式为，
将，代入得：
，解得：，
直线的解析式为，
设，则，
，
，
，
，
即，解得，，
的坐标为或． 

【解析】根据待定系数法求解即可；
过点作轴，交轴于点，交于点，先求出直线的解析式，表示出、的坐标，进而求出的长，利用即可求解．
本题考查了二次函数的图象和性质，正确理解题意和灵活运用所学的知识是解题的关键．
 

28.【答案】证明：如图，

四边形是正方形，
，，
又，
≌，
；

证明：延长到，使得，连接．

，
，
≌，
，
，即，
，且，，
≌，
，
；

解：如图：过点作于，延长到，使得，连接．

，，
，
，，
四边形是矩形，且，
四边形是正方形，
，
，
设，，
，
，
，，
，
，
，
由可知，，
，
． 

【解析】根据正方形的性质，可证明≌，从而得出；
由≌，可得，即可求，且，可证≌，则结论可求；
过点作于，延长到，使得，连接可证四边形是正方形，根据的结论，利用参数解决问题即可．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．．