2022-2023学年湖北省襄阳市老河口市高级中学高二下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年湖北省襄阳市老河口市高级中学高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．记向量为非零向量，若，则“”是“”成立的（    ）条件

A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要

【答案】C

【分析】利用充分条件和必要条件的定义求解.

【详解】解：当时，若，，但不一定共线，

当，，且时，则，

故“”是“”成立的必要不充分条件，

故选：C

2．若两条直线与相互垂直，则（    ）

A． B．

C．或 D．或

【答案】C

【分析】根据两直线垂直可得出关于实数的等式，由此可求得实数的值.

【详解】因为，则，解得或.

故选：C.

3．已知数列是各项均为正数的等比数列，若，是方程的两个根，则的值为（    ）

A．  B．  C． D．

【答案】B

【分析】由韦达定理，可得，后由等比数列性质结合对数运算性质可得答案.

【详解】由韦达定理，可得，由等比数列性质

可得，.

设，

则，

得.

故选：B

4．函数的定义域为，它的导函数的部分图象如图所示，则下面结论正确的是（    ）

A．函数在上为减函数

B．函数在上为增函数

C．函数在上有极大值

D．是函数在区间上的极小值点

【答案】C

【分析】根据导函数的正负与单调性的关系、极值点的关系判断即可

【详解】解：由的图象可知，

当时，，则单调递增，

当时，，则单调递减，

当时，，则单调递增，

又，

所以当时，取得极大值．

故选：C．

5．已知函数，则的极大值为

A．2 B． C． D．

【答案】B

【详解】，则,令x=1得，所以

则，所以函数在（0,2）上递增，在（2，+）上递减，

则的极大值为

故选B

6．鱼缸里有8条热带鱼和2条冷水鱼，为避免热带鱼咬死冷水鱼，现在把鱼缸出孔打开，让鱼随机游出，每次只能游出1条，直至2条冷水鱼全部游出就关闭出孔，若恰好第3条鱼游出后就关闭了出孔，则不同游出方案的种数为（    ）

A．32 B．36 C．40 D．48

【答案】A

【分析】由题意可知，最后一条是冷水鱼，则前两条中有一条冷水鱼和一条热带鱼，从而可求得答案

【详解】解：根据恰好第3条鱼游出后就关闭了出孔，则说明其中有一条游出的一定是热带鱼，还有一条冷水鱼，则不同游出方案的种数为

故选：A

7．如图，在四棱锥中，平面，四边形为菱形，且为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】连接、交于点，连接，说明异面直线与所成的角为或其补角，计算出、，即可求得，即可得出结论.

【详解】连接、交于点，连接，

因为四边形为菱形，，则为的中点，且，

因为为的中点，则，

所以，异面直线与所成的角为或其补角，

平面，平面，，

，，平面，

平面，，

设，因为，，则为等边三角形，

同理可知也为等边三角形，，

同理可得，，

所以，.

因此，异面直线与所成的角的余弦值为.

故选：D.

【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：

（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；

（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；

（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；

（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．

8．已知双曲线：的右焦点为，左顶点为，以为圆心，为半径的圆交的右支于，两点，且线段的垂直平分线经过点，则的离心率为

A．2 B． C． D．

【答案】B

【解析】设双曲线的左焦点为，线段的中点为，则是线段的垂直平分线，则点在上，可得是等边三角形，，故，在中，，，由双曲线的定义可得，结合余弦定理，即可得结果.

【详解】设双曲线的左焦点为，连接，

设点是线段的中点，则是线段的垂直平分线，

所以点在上，则.

如图所示

又双曲线和以为圆心的圆都关于x轴对称，

所以点关于x轴对称，

是等边三角形，

.

由题意知，.

又点在双曲线的右支上，.

在中，，由余弦定理得

，

即，

整理得，即或（舍），

.

故选：B.

【点睛】本题考查双曲线的定义、几何性质、圆的几何性质等知识，考查分析理解，计算求值的能力，综合性较强，属于中档题.

二、多选题

9．下列求导错误的是（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】AB

【分析】根据导数的计算公式分别计算.

【详解】，A错误；

，B错误；

，C正确；

，D正确．

故选：AB．

10．在递增的等比数列{an}中，Sn是数列{an}的前n项和，若a1a4＝32，a2+a3＝12，则下列说法正确的是（    ）

A．q＝1 B．数列{Sn+2}是等比数列

C．S8＝510 D．数列{lgan}是公差为2的等差数列

【答案】BC

【解析】先根据题干条件判断并计算得到q和a1的值，可得到等比数列{an}的通项公式和前n项和公式，对选项进行逐个判断即可得到正确选项．

【详解】由题意，根据等比中项的性质，可得

a2a3＝a1a4＝32＞0，a2+a3＝12＞0，

故a2＞0，a3＞0．

根据根与系数的关系，可知

a2，a3是一元二次方程x2﹣12x+32＝0的两个根．

解得a2＝4，a3＝8，或a2＝8，a3＝4．

故必有公比q＞0，

∴a10．

∵等比数列{an}是递增数列，∴q＞1．

∴a2＝4，a3＝8满足题意．

∴q＝2，a12．故选项A不正确．

an＝a1•qn﹣1＝2n．

∵Sn2n+1﹣2．

∴Sn+2＝2n+1＝4•2n﹣1．

∴数列{Sn+2}是以4为首项，2为公比的等比数列．故选项B正确．

S8＝28+1﹣2＝512﹣2＝510．故选项C正确．

∵lgan＝lg2n＝n．

∴数列{lgan}是公差为1的等差数列．故选项D不正确．

故选：BC

【点睛】本题考查了等比数列的通项公式、求和公式和性质，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.

11．已知抛物线的焦点坐标为F，过点F的直线与抛物线相交于A，B两点，点在抛物线上．则（    ）

A． B．当轴时，

C．为定值1 D．若，则直线的斜率为

【答案】BCD

【分析】将点代入可判断A；求出焦点可判断B；设直线的方程为，将直线与抛物线方程联立，利用韦达定理即可判断C；由向量的坐标表示以及韦达定理可判断D.

【详解】对于选项A，将点代入抛物线方程，可得，故选项A错误；

对于选项B，焦点，点在抛物线上，可得，故选项B正确；

对于选项C，设点A，B的坐标分别为，，

直线的方程为，联立方程

消去y后整理为，

可得，

有，

故选项C正确；

对于选项D，有，

可得，由有解得，故选项D正确．

故选：BCD

12．设函数，，下列命题正确的是（    ）

A．若函数有两个零点，则，

B．若恒成立，则

C．若，，时，总有恒成立等价于

D．，恒成立．

【答案】AC

【分析】利用导数求函数的最大值，结合变化趋势考察与的关系可判断AB；构造函数，将问题转化为导数在大于等于0恒成立问题，然后利用导数求其最值可判断C；取，然后使用放缩法可判断D.

【详解】，当时，，当时，，故时，有最大值，又时，,且越大时，趋近于0，要使函数有两个零点，则，故A正确，B错误；

若，，时，总有恒成立等价于函数在上单调递增，等价于在区间上恒成立，令，则，当时，，所以当时，成立，当，时，，此时，不满足题意，故C正确；

记，则，因为，，所以，故在区间上存在使得，故D错误.

故选：AC

三、填空题

13．曲线在点处的切线方程为_______．

【答案】

【分析】根据求导公式求出导函数，结合导数的几何意义求出切线的斜率，进而可以求出结果.

【详解】因为，则，

所以，

又，

因此切线方程为：，即.

故答案为：.

14．为推动黄河流域生态保护和高质量发展，某市环保局派出4个宣传小组，到黄河沿岸5个社区做环保宣讲活动，每个小组至少去1个社区，每个社区只安排1个小组，则不同的安排方法共有______种（用数字作答）．

【答案】240

【分析】根据给定条件，把5个社区分成4组，再将分成的4组分配到4个宣传小组即可作答.

【详解】依题意，有一个小组必去两个社区，把5个社区分成4组有种分法，

将分成的4组安排给4个宣传小组有种方法，

所以不同的安排方法共有（种）.

故答案为：240

15．已知空间向量满足，，则的值为________．

【答案】－13

【分析】结合空间向量的数量积的定义以及运算律即可求出结果.

【详解】因为，所以，则

因此

故答案为：

16．如图，已知四棱锥P－ABCD，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD．给出下列命题：①PB⊥AC；②平面PAB与平面PCD的交线与AB平行；③平面PBD⊥平面PAC；④△PCD为锐角三角形．其中正确命题的序号是________．

【答案】②③

【分析】设AC∩BD=O，由题意证明AC⊥PO，由已知可得AC⊥PA，与在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直矛盾说明①错误；由线面平行的判定和性质说明②正确；由线面垂直的判定和性质说明③正确；由勾股定理即可判断，说明④错误．

【详解】设AC∩BD=O,如图，

①若PB⊥AC，∵AC⊥BD，则AC⊥平面PBD，∴AC⊥PO，

又PA⊥平面ABCD，则AC⊥PA，在平面PAC内过P有两条直线与AC垂直，与在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直矛盾，①错误；

②∵CD∥AB，则CD∥平面PAB，∴平面PAB与平面PCD的交线与AB平行，②正确；

③∵PA⊥平面ABCD，∴平面PAC⊥平面ABCD，

又BD⊥AC，∴BD⊥平面PAC，则平面PBD⊥平面PAC，③正确；

④∵PD2=PA2+AD2，PC2=PA2+AC2，AC2=AD2+CD2，AD=CD，

∴PD2+CD2=PC2，

∴④△PCD为直角三角形，④错误，

故答案为：②③

四、解答题

17．如图，在四边形中，，，.

(1)求的值；

(2)若，，求的面积.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）内根据余弦定理，求边长和，再根据正弦定理求;

（2）根据面积公式需求,而,最后再根据三角形的面积公式求解即可.

【详解】（1）设，则，，，

在中，

由余弦定理得，解得，

再由正弦定理得.

（2）由（1）知，又，

，

.

18．已知数列满足，．

(1)设，证明：是等差数列；

(2)设数列的前n项和为，求．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）通过计算来证得是等差数列.

（2）先求得，然后利用裂项求和法求得.

【详解】（1）因为，

所以数列是以1为公差的等差数列．

（2）因为，所以，

由得．

故，

所以，

，

，

．

19．如图，在三棱柱中，平面，.

（1）求证：平面，并求的长度；

（2）若M为的中点，求二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；；（2）.

【分析】（1）证明，，即可证得结论；进而可求出的长度；

（2）如图所示，分别以所在的直线为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系，则，求出平面的一个法向量为，平面的一个法向量，带入向量的夹角公式，即可得答案.

【详解】（1）∵平面，平面，∴，

∵，平面，∴平面

又∵，，∴.

（2）如图所示，分别以所在的直线为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系，则，

易知，∴，

设平面的一个法向量为，

，即，令，得，

∴

易知为平面的一个法向量

则，

由题意知：二面角的余弦值为

【点睛】本题考查线面垂直判定定理的应用、向量法求二面角的大小，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意坐标系的建立.

20．淮北市政府响应习总书记在十九大报告中提出的“绿水青山就是金山银山”，对环境进行了大力整治，目前淮北市的空气质量位列全省前列，吸引了大量的外地游客。某旅行社组织了一个旅游团于近期来到了淮北市国家湿地公园，数据显示，近期公园中每天空气质量指数近似满足函数，其中x为每天的时刻，若凌晨6点时，测得空气质量指数为29.6.

（1）求实数m的值；

（2）求近期每天时段空气质量指数最高的时刻.(参考数值：)

【答案】（1）；（2）最高的时刻为12时

【分析】(1) 由,代入函数表达式求解即可.

(2)对求导, 令再列表分析函数单调性进行最大值的求解即可.

【详解】（1）由，代入，解得；

（2）由已知函数求导，得．令，得.

列表得

所以函数在时取极大值也是最大值，即每天时段空气质量指数最高的时刻为12时.

【点睛】本题主要考查了实际问题的函数模型运用,需要根据题意求解对应的参数值,再分析

21．已知分别是椭圆的左､右顶点，若椭圆的短轴长等于焦距，且该椭圆经过点.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过椭圆的右焦点作一条直线交椭圆于，（异于，两点）两点，连接，并延长，分别交直线于不同的两点，.证明：直线与直线相交于点.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）直接由题得到关于的方程组，解出即可；

（2）设直线的方程为，，，联立直线与椭圆得到韦达定理式，写出直线，的方程，得到点的纵坐标，计算证明.

【详解】（1）由题意可得，解得.

故所求椭圆的标准方程为.

（2）由题意可设直线的方程为，，，

联立消元得.

因为焦点在椭圆内部，则直线与椭圆必有两交点，

所以，①，而，

直线的方程为，

与直线联立，可得点的纵坐标，其横坐标为，

直线的方程为与直线联立，

可得点的纵坐标，其横坐标为，

则，.

故

②，

把①代入②，可得，

所以直线与轴相交于右顶点.

同理可得直线与轴相交于右顶点.

故直线与直线相交于点.

【点睛】关键点睛：本题的关键在于设出直线的方程为，将其与椭圆方程联立得到韦达定理式，然后得到直线，的方程，得到和，计算的表达式，最后将韦达定理式直接代入即可.

22．已知函数（其中e是自然对数的底数，a，）在点处的切线方程是.

（1）求函数的单调区间.

（2）设函数，若在上恒成立，求实数m的取值范围.

【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为；（2）.

【分析】（1）求出.由题意求出，，即可求出，，代入，即可求出的单调区间；

（2）由（1）知.解法1：要使在上恒成立，只需即可，利用导数求；解法2：要使在上恒成立，等价于在上恒成立.令，则只需即可，利用导数求；解法3：要使在上恒成立，等价于在上恒成立. 先证明，可得当时，有，可得，即求实数m的取值范围.

【详解】（1）对函数求导得，

由条件可知，，解得，，

所以.

.令得，

于是，当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增.

故函数的单调递减区间为，单调递增区间为.

（2）由（1）知.

解法1：要使在上恒成立，只需即可.

因为，，

所以在上单调递增.

因为当时，，当时，，

所以，在上存在唯一的零点，满足，

所以，

且在上单调递减，在上单调递增，

于是

由得，此时必有，，

两边同时取自然对数，则有，即.

构造函数（），则，

所以函数在上单调递增，又，所以，即.

故，于是实数m的取值范围是.

解法2：要使在上恒成立，等价于在上恒成立.

令（），则只需即可.

，令（），则，

所以在上单调递增，又，，

所以有唯一的零点，且，在上单调递减，在上单调递增.

因为，两边同时取自然对数，则有，

即.

构造函数（），则，

所以函数在上单调递增，又，

所以，即.

所以.

于是实数m的取值范围是

解法3：要使在上恒成立，

等价于在上恒成立.

先证明，令（），则，于是，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，故（当且仅当时取等号）

所以，当时，有，所以，即，当且仅当时取等号，于是实数m的取值范围是.

【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和不等式恒成立问题，属于难题.