2022-2023学年湖北省襄阳市老河口市第一中学高二上学期元月月考数学试题（解析版） (1)

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2022-2023学年湖北省襄阳市老河口市第一中学高二上学期元月月考数学试题 一、单选题 1．若数列的通项公式为，数列满足 ，则（　　） A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣ 【答案】D 【分析】把代入，化简整理后利用裂项相消法求和即可. 【详解】 ， 则 =． 故选：D． 2．高阶等差数列是数列逐项差数之差或高次差相等的数列，中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，展现了聪明才智如南宋数学家杨辉在《详解九章算法商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关如图是一个三角垛，最顶层有个小球，第二层有个，第三层有个，第四层有个，则第层小球的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】记第层有个球，则根据题意可得，再根据累加法求解即可. 【详解】记第层有个球，则，，，， 结合高阶等差数列的概念知，，，，，则第层的小球个数 ． 故选：B 3．若数列满足，则称是“紧密数列”．若，2，3，是“紧密数列”，且，，，，则的取值范围为（    ） A．, B．, C．, D．, 【答案】C 【分析】根据题意建立不等式即可求解． 【详解】由题意可得： ， 解得， 故选：C． 4．设A和G分别是a、b等差中项和等比中项，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用等差中项和等比中项的定义得到，，再利用计算出结果. 【详解】由题意得：，， 故选：D 5．有一辆高铁列车一共有8节车厢，从第2节车厢开始每节车厢的乘客均比前一节少10人，且前4节目车厢乘客总数是后4节车厢乘客总数的2倍，则这辆列车上的乘客总数为（    ） A．400 B．440 C．480 D．520 【答案】C 【分析】根据题意可知乘客人数构成的等差数列，且，利用等差数列前项和公式求得，进而求得，从而可求乘客总数. 【详解】依题意可知这8节车厢的乘客人数构成等差数列，不妨记为，则， 又，即，则， 整理得，即，则，故， 所以. 故选：C. 6．已知一组数据2，5，10，17，26，…，按此规律可以得到第100个数为（    ） A．9802 B．9991 C．10001 D．10202 【答案】C 【分析】由所给的数据写出数列的一个通项公式，从而可求出其第100个数 【详解】因为2，5，10，17，26，…的一个通项公式为， 所以第100个数为， 故选：C 7．半径为的圆内有一点，已知，过点的条弦的长度构成一个递增的等差数列，则的公差的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】计算出过点的直线截圆所得弦长的最大值和最小值，即可求得数列的公差的取值范围. 【详解】设圆心到过点的直线的距离为，则， 设过点的直线截圆的弦长为，则， 即过点的直线截圆所得弦长的最大值为，最小值为， 设等差数列的公差为，则且，解得. 故选：A. 8．嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，，，…，依此类推，其中．则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，再利用数列与的关系判断中各项的大小，即可求解. 【详解】[方法一]:常规解法 因为， 所以，，得到， 同理，可得， 又因为， 故，； 以此类推，可得，，故A错误； ，故B错误； ，得，故C错误； ，得，故D正确. [方法二]：特值法 不妨设则 故D正确. 二、多选题 9．以下为正奇数从小到大依次排成的数阵： 1 3  5 7  9  11 13  15  17  19 …… 第n行有n个数，则（    ） A．该数阵第n行第一个数为 B．该数阵第n行最后一个数为 C．该数阵第n行所有数的和为 D．若数阵前n行总和不大于2023，则n的最大值为9 【答案】AC 【分析】正奇数从小到大为等差数列，数阵第n行第一个数对应m依次为：，则. 对A，第n行第一个数为； 对B，第n行最后一个数为第行第一个数减2； 对C，第n行所有数的和为首项为该行第一个数，公差为2的等差数列的前n项和； 对D，数阵前n行总和为前n行每行所有数的和相加. 【详解】正奇数从小到大为等差数列，数阵第n行第一个数对应m依次为：，则. 对A，第n行第一个数为，A对； 对B，第n行最后一个数为第行第一个数减2，即，B错； 对C，第n行所有数的和为首项为，公差为2的等差数列的前n项和，即，C对； 对D，由第n行所有数的和为，则数阵前n行总和，则有当时，，当时，，故数阵前n行总和不大于2023时n的最大值为8，D错. 故选：AC 10．已知数列满足：，，，3，4，…，则下列说法正确的是（    ） A． B．对任意，恒成立 C．不存在正整数，，使，，成等差数列 D．数列为等差数列 【答案】ABD 【分析】首先判断D，根据数列的递推关系，通过D构造等差数列的定义，即可判断；根据等差数列的通项公式，得到数列的通项公式，再通过代入的方法，判断ABC. 【详解】因为，（）,所以,（）, 即，因为， 所以， 得，， 所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，即， 得，故D正确； A.，故A正确； B.，所以，故B正确； C. 若存在正整数，，使，，成等差数列，则， 即，得，令，满足等式，所以C错误； 故选：ABD 11．等差数列的各项，设其前项和为，且，则以下命题正确的是（    ） A．的值不可能为0： B．当时，的最小值为18 C．等式恒成立 D．当值最大时，的值为9 【答案】BC 【分析】由条件结合等差数列的前项和公式确定数列的首项和公差的关系，再结合通项公式和前项和公式依次判断各选项即可. 【详解】设等差数列的公差为，因为，所以，所以，即，所以，A错误；因为，令，所以，又，，所以，所以，又，所以当时，的最小值为18，B正确，因为，，所以当和时，值最大，D错误，因为，所以当时，，即，C正确； 故选：BC. 12．已知为等差数列，满足，为等比数列，满足，，则下列说法正确的是（    ） A．数列的首项比公差多 B．数列的首项比公差少 C．数列的首项为 D．数列的公比为 【答案】AD 【分析】根据等差数列与等比数列的通项公式求各基本量，进而判断各选项. 【详解】设的公差为，由， 得，化简得， 所以A正确，B错误． 设的公比为，由，得，化简得， 所以C错误，D正确， 故选：AD. 三、填空题 13．若m是2和8的等比中项，则双曲线的渐近线方程为______． 【答案】 【分析】由双曲线方程确定，再由等比中项定义求得值后可得渐近线方程． 【详解】由是双曲线方程得， 又m是2和8的等比中项，则，∴（4舍去）， 双曲线的渐近线方程为，渐近线方程为． 故答案为：． 14．已知抛物线C：的焦点为F，点，点M是抛物线C上一个动点，当取最小值时，点M的坐标为______． 【答案】## 【分析】根据抛物线的定义，结合图象，转化，利用数形结合，求最小值，即可求点的坐标. 【详解】分别过M，A作抛物线C的准线的垂线，垂足分别为，，则，当且仅当A，M，三点共线时，等号成立，所以的最小值为，此时点M的坐标为． 故答案为： 15．已知是等比数列，，，则____. 【答案】 【分析】首先求数列的公比，再判断数列是等比数列，最后利用等比数列求和公式求解. 【详解】设等比数列的公比为，所以，所以， 数列中，，， 所以数列是首项为4，公比为的等比数列， 所以. 故答案为： 16．在等比数列中，若，，则的值为_________. 【答案】 【分析】由题意，根据等比数列的通项，结合等比中项的性质，可得答案. 【详解】因为为等比数列，设其公比为，所以 因为，所以， 故. 同理，是与的等比中项， 所以，故. 所以. 故答案为：. 四、解答题 17．求下列数列的前项和： (1) (2)数列中，. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用分组求和法，通过等差等比的求和公式求和； （2）利用裂项求和法求和. 【详解】（1） ； （2） 则数列的前项和为. 18．已知圆，定点. (1)过点作圆的切线，切点是A，若线段长为，求圆的标准方程； (2)过点且斜率为1的直线，若圆上有且仅有4个点到的距离为1，求的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由题可知，圆心，，由勾股定理有，根据两点间距离公式计算即可求出a的值，进而得出圆的方程； （2）因为圆上有且仅有4个点到的距离为1，圆的半径为2，因此需圆心到直线的距离小于1，设直线的方程为：，根据点到直线的距离公式列出不等式，即可求出的取值范围. 【详解】（1）解：由题可知，圆心， 由勾股定理有，则 即，解得：或， 所以圆的标准方程为：或. （2）解：设直线的方程为：，即， 由题，只需圆心到直线的距离小于1即可， 所以，所以，解得， 所以的取值范围为. 19．已知双曲线的方程为. (1)直线与双曲线的一支有两个不同的交点，求的取值范围； (2)过双曲线上一点的直线分别交两条渐近线于两点，且是线段的中点，求证：为常数. 【答案】(1)； (2)，证明见解析. 【分析】（1）直线与双曲线联立，得到关于的方程满足：此方程是一元二次方程，且有两个同号根. （2）求出双曲线的渐近线的方程，把两点坐标只用来表示,然后用来表示，把点代入双曲线化简整理得. 【详解】（1）直线与双曲线即联立得 即 由题意得有两个同号根，则满足 即，即 解得： （2）双曲线的方程为，所以双曲线的渐近线为 则，所以的中点 又因为点在双曲线上，即 即，即. 20．求满足下列条件的曲线方程 (1)己知直线与圆心在原点的圆C相切，求圆C的方程． (2)已知椭圆的两个焦点分别是和，并且经过点求椭圆标准方程． (3)求平行于直线，且与它的距离为的直线方程． 【答案】(1) (2) (3)或． 【分析】（1）先求圆心到直线的距离,再求出半径,即可由圆的标准方程求得圆的方程； （2）由题意及椭圆的定义即可求出其标准方程. （3）根据平行设直线一般方程为，再利用平行线距离公式列出关于的方程，解出即可. 【详解】（1）以点为圆心,与直线相切,圆心到直线的距离等于半径,即:所求圆的标准方程:. （2）椭圆的焦点在轴上, 设它的标准方程为,由椭圆的定义知： ，又，， 椭圆的标准方程为. （3）设与直线平行的直线为,则两直线的距离为， , 或, 所求直线方程为或. 21．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，点在棱上. 条件①：； 条件②：平面平面. 从条件①和②中选择一个作为已知，解决下列问题： (1)判断与是否垂直，并证明； (2)若点为棱的中点，点在直线上，且点到平面的距离为，求线段的长. (3)求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. 注：若选择①和②分别作答，按选择①给分. 【答案】(1)，证明见解析 (2)或 (3) 【分析】（1）选①由勾股定理证得，从而证得平面，进而由证得结果；选②由面面垂直的性质证得平面，从而证得结果. （2）建立空间直角坐标系，由点到面的距离公式解得点M的坐标，进而由两点间距离公式可得BM的长. （3）由线面角公式得是关于的分式型函数，进而用换元法求分式型函数的值域可得结果. 【详解】（1）选①：. 证明：平行四边形中，. ∵， ∴中，. ∴， ∴. 又∵，，平面， ∴平面，平面， ∴. 又∵， ∴. 选②：. 证明：∵平面平面，平面平面，，平面. ∴平面，平面， ∴. （2）由（1）知：BA、BD、BP两两垂直， ∴以为原点，以的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示， 则， ∴， 设平面的法向量为， 则 令，则.此时. ∵在直线上， ∴设， ∴ ∴到平面的距离为 ∴， ∴或， ∴或， ∴或. （3）∵在棱上， ∴设， ∴， 设平面的法向量为，则 ∴，取，由于， 设直线与平面所成角为，则 ∴，令， 当时，； 当时，； ∵， ∴， ∴. ∴ 综上， 22．已知椭圆的离心率为，焦距为，抛物线的焦点是椭圆的顶点． (1)求与的标准方程； (2)已知直线与相切，与交于两点，且满足，求的值． 【答案】(1)；； (2). 【分析】（1）利用椭圆的焦距，离心率求出,即可得到椭圆的方程．利用抛物线的开口方向，焦点坐标求出抛物线方程． （2）联立直线与抛物线方程，得到与的方程，直线与椭圆方程，设，，利用韦达定理以及向量的数量积，转化求解方程组即可得到结果． 【详解】（1）解：设椭圆的焦距为，依题意有， 所以， 又因为椭圆的离心率为， ∴， 解得， 所以， 故椭圆C1的标准方程为； 又抛物线的开口向上， 所以焦点是椭圆的上顶点， ∴F（0，1）， ∴p=2， 故抛物线的标准方程为； （2）解：由，得， 则，即①， 由，得， 则，② 设，， 则， 所以，， 又， ∴， 即， ∴，解得或， 代入①可得，此时满足②， 故.