2023年河南省郑州一中中考数学二模试卷（含解析）

2023年河南省郑州一中中考数学二模试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各数中，最大的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  据中国教育报年月日公布的数据显示，今年高校毕业生达万人，比去年增加余万人，创历史新高，将数据“万”用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  天净沙秋思中的词句意境幽远如图所示，该图形经过折叠可以围成一个正方体，折好以后，与“小”字相对的字是(    )

A. 流
B. 水
C. 人
D. 家

4.  如图所示，，将一块三角板如图所示放置直角顶点在上，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

5.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  关于的一元二次方程有实数根，则可能是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  某数学兴趣小组准备了张卡片，正面依次书写“备”“战”“中”“考”，它们除此之外完全相同，把这张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片的正面汉字恰能组成“备考”的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图所示，在中，，，，以点为圆心，长为半径画弧，与交于点，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点、，作直线，分别交、于点、，则的长度为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  放射性同位素的半衰期是指一个样本内，其放射性原子衰变至原来数量的一半所需的时间镭元素符号中最稳定的同位素镭变为氡的半衰期最长，的镭衰变规律的函数图象如图所示，则下列判断错误的是(    )

A. 该图象不是反比例函数图象
B. 镭的半衰期质量减半的时间是年
C. 镭缩减为所用时间约为年
D. 的镭经过若干年的衰变能变成

10.  如图所示，在平面直角坐标系中，，，，都是等边三角形，其边长依次为，，，其中点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，，按此规律排下去，则点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  比较大小：______填“”或“”或“”

12.  不等式组的解集是______ ．

13.  甲、乙两名学生次立定跳远成绩的平均数相同，若甲次立定跳远成绩的方差为，乙次立定跳远成绩的方差为，则甲、乙两名学生次立定跳远成绩比较稳定的是______ 选填“甲”或“乙”

14.  如图所示，扇形中，，点为的中点，点为的中点，连接、交于点，则阴影部分图形的面积是______ 结果保留．

15.  如图所示，在中，，，点、分别为、上两点，且，将绕点在平面内旋转，连接、当时，的长为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：；
化简：．

17.  本小题分
年，教育部正式印发义务教育课程方案，将劳动从原来的综合实践活动课程中完全独立出来，并发布义务教育劳动课程标准年版，文中对家务劳动的时间做了细致要求某校为了了解本校学生“上周内做家务劳动所用的时间”简称“劳动时间”情况，在本校随机调查了名学生的“劳动时间”，并进行统计，绘制了如下统计表：

根据上述信息，回答下列问题：
此次调查属于______ 调查，样本容量为______ ，个体为______ ；
这名学生的“劳动时间”的中位数落在______ 组；若要绘制扇形图，组学生所对圆心角的度数为______ ；
若该校有名学生，请估计在该校学生中，“劳动时间”不少于分钟的人数．

18.  本小题分
如图所示，一次函数与反比例函数的图象在第一象限交于点，且点的横坐标为．
求反比例函数的解析式；
在第一象限内是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由．

19.  本小题分
大汉雄风图坐落于河南省永城市芒砀山主峰，是为纪念刘邦在芒砀山斩蛇起义创建四百年大汉王朝而建，是亚洲最大的历史人物雕像，外为塑铜焊接，内是钢架结构，雄浑庄重如图所示，小敏在数学实践活动中，利用所学知识对刘邦雕像的高度进行测量，她在与雕像底部平齐的水平线上放置一无人机，且无人机所在的位置与的距离为，将无人机从点垂直上升到处，测得点的仰角为，测得点的俯角为，求刘邦雕像的高度结果保留整数参考数据：，，

20.  本小题分
已知一个零刻度落在点的量角器半圆的直径为，一等腰直角三角板绕点旋转．
如图所示，当等腰直角三角板的斜边交半圆于点，一直边交半圆于点，另一直边交半圆于点，若点在量角器上的读数为，求此时点在量角器上的读数；
如图所示，当点、在量角器上的读数、满足什么关系时，直角边与半圆相切于点？请说明理由．
 

21.  本小题分
某校体育社团由于报名人数激增，决定从某体育用品店购买若干足球和篮球，用于日常训练，已知每个篮球的价格比每个足球的价格多元，用元购买足球的数量是用元购买篮球数量的倍．
求篮球和足球的单价各是多少？
根据学生报名情况，社团需一次性购买篮球和足球共个，且要求购买足球数量不超过篮球数量的，请你设计一个购买方案使得购买费用最少，最少费用为多少元？

22.  本小题分
已知二次函数的图象与轴交于点、点在点的左侧两点，与轴交于点点是直线上的一动点．
求该二次函数的解析式；
过点作轴，交抛物线于点，设的长度为，点的横坐标为，若值随的增大而增大，请确定的横坐标的取值范围．
 

23.  本小题分
【问题发现】如图所示，将绕点逆时针旋转得，连接、根据条件填空：
的度数为______ ；若，则的值为______ ；
【类比探究】如图所示，在正方形中，点在边上，点在边上，且满足，，，求正方形的边长；
【拓展延伸】如图所示，在四边形中，，，、为对角线，且满足，若，，请直接写出的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
所给的各数中，最大的是．
故选：．
首先比较出与的大小关系，然后根据有理数大小比较的方法，判断出所给的各数中，最大的是哪个数即可．
此题主要考查了有理数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小．
 

2.【答案】 

【解析】解：万．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据“与形法则，可得与“小”字相对的字是”家，
故选：．
根据正方体的表面展开图找相对面的方法：“”字两端是对面，即可解答．
本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：过点作，
，
，
，，
，
，
故选：．
过点作，利用平行线的性质即可解答．
此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，内错角相等解答．
 

5.【答案】 

【解析】解：、，故A选项不符合题意；
B、不能合并，故B选项不符合题意；
C、，故C选项不符合题意；
D、，故D选项符合题意．
故选：．
根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法与除法以及幂的乘方的知识求解即可求得答案．
此题考查了合并同类项的法则，同底数幂的乘法与除法以及幂的乘方等知识，解题要注意细心．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据题意得，
即，
只有满足，而、、都不满足．
故选：．
先根据根的判别式的意义，然后分别把、、、代入进行计算，如果满足就符合题意．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

7.【答案】 

【解析】解：列表如下：

由表知，共有种等可能结果，其中这两张卡片的正面汉字恰能组成“备考”的有种结果，
所以这两张卡片的正面汉字恰能组成“备考”的概率为，
故选：．
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意得，，直线为的垂直平分线，
，，，
，
，
，
，即，
，
故选：．
根据题意得到，直线为的垂直平分线，根据勾股定理得到，求得，根据三角函数的定义即可得到结论．
本题考查了作图基本作图，线段垂直平分线的性质，解直角三角形，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：由图象知，图象过点，该图象不是反比例函数图象，故A不符合题意；
每过年镭质量减少一半，故B不符合题意；
的镭缩减为需要四次衰变，年，故C不符合题意；
的镭经过年的衰变质量为，故D符合题意．
故选：．
根据函数的图象得到图象过点，于是得到该图象不是反比例函数图象，根据每过年镭的质量减少一半，于是得到故B不符合题意；由于的镭缩减为需要四次衰变得到故C不符合题意；的镭经过年的衰变质量为，于是得到结论．
本题考查了反比例函数的应用，正确地识别图象是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：观察所给图形，发现轴上方的点是的倍数，
，
点在轴上方，
，
，
，
，
，
点的坐标为，
同理可知，点的坐标为，
点的坐标为
故选：．
观察所给图形，发现轴上方的点是的倍数，确定点在轴上方，分别求出点的坐标为，点的坐标为，，点的坐标为，即可求解．
本题考查点的坐标的变化规律；能够通过所给图形，找到点的坐标规律，利用有理数的运算解题是关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了实数的大小比较，关键是得出，题目比较基础，难度适中．根据即可得出答案．
【解答】
解：因为，
所以，
故答案为：．  

12.【答案】 

【解析】解：由得：，
由得：，
则不等式组的解集为，
故答案为：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

13.【答案】甲 

【解析】解：甲、乙两名学生次立定跳远成绩的平均数相同，甲次立定跳远成绩的方差为，乙次立定跳远成绩的方差为，
，
甲、乙两名学生次立定跳远成绩比较稳定的是甲，
故答案为：甲．
根据方差的意义可直接求解．
此题主要考查了方差，关键是掌握方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
 

14.【答案】 

【解析】
解：连接，交于点，
点为的中点，
，
，，
，
，
是等边三角形
，，
点为的中点，
，
，
，
，，，
．
故答案为：．
利用垂径定理已经等边三角形的性质得到，，解直角三角形求得，然后根据求得即可．
本题主要考查了扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积的计算及应用求不规则图形面积的方法进行求解是解决本题的关键．
 

15.【答案】或 

【解析】解：，，，
，
，
，
，
将绕点在平面内旋转，点的对应点为点，
点在以点圆心，为半径的圆上，
当时，存在两种情况，
当点在线段上时，；
当点与延长线上时，连接，如图，

过点作于点，则，，
，
，
综上，的长为或．
故答案为：或．
证明是等边三角形，推出，得到点在以点圆心，为半径的圆上，当时，存在两种情况，据此求解即可．
本题考查了旋转变换，勾股定理，等边三角形的判定和性质，分两种情况进行讨论是解题的关键．
 

16.【答案】解：原式

；

原式


． 

【解析】直接利用二次根式的性质以及零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简，进而得出答案；
将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算得出答案．
此题主要考查了分式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

17.【答案】抽样    个体为每名学生的劳动     

【解析】解：此次调查属于抽样调查，样本容量为，个体为每名学生的劳动时间；
故答案为：抽样；；个体为每名学生的劳动；
把名学生的“劳动时间”从小到大排列，第个数位于组，
所以这名学生的“劳动时间”的中位数落在组；
若要绘制扇形图，组学生所对圆心角的度数为．
故答案为：；；
人，
答：估计在该校学生中，“劳动时间”不少于分钟的人数大约为人．
根据抽样调查及其相关定义判断即可；
根据中位数的定义解答即可；用乘组所占比例可得答案；
用乘样本中“劳动时间”不少于分钟的人数所占比例即可．
本题考查了频数率分布表．从频数率分布表中得到必要的信息是解决问题的关键．用到的知识点为：总体数目部分数目相应百分比．
 

18.【答案】解：与的图象在第一象限交于点，且点的横坐标为，
当时，，
，
，
，
反比例函数的解析式为；
解：存在，理由如下：
在中，当时，，
，
，
当以，，，为顶点的四边形为平行四边形时，分两种情况：
当为平行四边形的边时，
点在第一象限，
，，
点的坐标为，且，
点在点的下方，
点坐标为；
当为平行四边形的对角线时，点在点的上方，可得点的坐标为，
或． 

【解析】根据题意和待定系数法得出反比例函数的解析式即可；
根据平行四边形的性质和坐标特点解答即可．
此题是反比例函数的综合题，考查反比例函数的解析式和性质以及平行四边形的性质，关键是根据待定系数法得出解析式解答．
 

19.【答案】解：如图所示，点作于点，

由题意得，，，，
，
在中，，，
，
．
答：刘邦雕像的高度约为． 

【解析】过点作于点，再结合的正切计算即可．
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题及坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
 

20.【答案】解：如图，连接，，点在量角器上的读数为，
，
，
，
；
理由：如图，连接，，
直角边与半圆相切于点，
，
，
，
，
，，
． 

【解析】如图，连接，，根据题意得到，求得，于是得到；
如图，连接，，根据切线的性质得到，根据平行线的性质得到，于是得到结论．
本题考查了切线的判定，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

21.【答案】解：设足球的单价是元，则篮球的单价是元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：篮球的单价是元，足球的单价是元；
设学校购买个篮球，则购买足球个，购买费用为元，
则，
购买足球数量不超过篮球数量的，
，
解得，
，
当时，有最小值，最小值为元，
此时，
答：社团购买个篮球，个足球费用最少，最少费用为元． 

【解析】设足球的单价是元，则篮球的单价是元，根据用元购买足球的数量是用元购买篮球数量的倍列出方程，解方程即可；
设学校可以购买个篮球，则可以购买个足球，购买费用为元，根据总费用购买篮球和足球费用的和列出函数解析式，再根据购买足球数量不超过篮球数量的，求出的取值范围，再根据函数的性质求最值．
本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出函数解析式．
 

22.【答案】解：把，分别代入得，
解得，
二次函数解析式为；
设直线的解析式为，
把，分别代入得，
解得，
直线的解析式为，
设，则，
当时，，
，
当时，值随的增大而增大；
当或时，，
当时，，
解得或，
或，
，
当时，值随的增大而增大，
，
综上所述，的横坐标的取值范围为或． 

【解析】利用待定系数法求二次函数解析式；
先求出直线的解析式为，设，则，讨论：当时，，根据二次函数的性质得当时，值随的增大而增大；当或时，，解方程得或，则或，，而根据二次函数的性质，当时，值随的增大而增大，所以，然后综合两种情况得到的横坐标的取值范围．
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了待定系数法求抛物线解析式和二次函数的性质．
 

23.【答案】  

【解析】【问题发现】解：将绕点逆时针旋转得，
，，
，
故答案为：；
是等腰直角三角形，，
，
故答案为：；
【类比探究】解：将绕逆时针旋转得，如图所示：

绕逆时针旋转得，
，，，，
，
、、共线，
，
，
即，
在与中，
，
≌，
，
，
，
设正方形边长为，则，，
在中，，
，
解得：或舍去，
正方形的边长为；
【拓展延伸】解：将绕逆时针旋转至，连接，如图所示：
，，，，
，
，，
∽，
，
，
，
，
，
，

，
．
【问题发现】根据旋转的性质和等腰直角三角形的性质解答即可；
根据等腰直角三角形的性质得出即可；
【类比探究】将绕逆时针旋转得，根据旋转的性质和证明≌，进而利用全等三角形的性质和正方形的性质解答即可；
【拓展延伸】将绕逆时针旋转至，连接，根据旋转的性质和相似三角形的判定和性质解答即可．
此题是四边形综合题，考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，关键是根据证明三角形全等，以及利用相似三角形的判定和性质解答．