2023年安徽省合肥市庐阳区中考数学二模试卷（含解析）

2023年安徽省合肥市庐阳区中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各数中，是负数的有(    )

A.  B.  C.  D.

2.  经文化和旅游部数据中心测算，年春节假期国内旅游出游亿人这里亿用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列计算中，正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图出自九章算术“商功”卷，在互相垂直的墙体角落里，堆放着粟谷，将谷堆看作圆锥的一部分，则该谷堆的主视图为(    )

A.
B.
C.
D.

5.  将一副三角板的直角顶点重合，并按如图方式放置，其中，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  某登山队大本营所在地的气温为海拔每升高，气温下降队员由大本营向上登高，气温为，则与的函数关系式为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  在平面直角坐标系中，若点的横坐标与纵坐标之和为零，则称点为“零和点”已知二次函数的图象上有且只有一个“零和点”，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  在菱形中，与交于，：：的值可以是(    )

A. ：： B. ：： C. ：： D. ：：

9.  小唐参加学校组织的诗词大会，需要从九宫格中选出正确的两个字，填入诗句“海上____明月，天涯____此时”，则他答对的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，抛物线恰好经过网格区域含边界中的个格点网格线的交点，则整数的个数为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

11.  不等式的解集为______ ．

12.  如果，则的值为______ ．

13.  如图，是直径，点、、在半圆上，若，则 ______

14.  在正方形中，将绕点逆时针旋转得到，连接．
当时， ______ ；
在上取点，使，连接若，当时，的最小值为______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
计算：．

16.  本小题分
按要求画图．
将向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，画出平移后的图形；
将绕点顺时针旋转，画出旋转后的图形．
连接、、，则的面积为______ ．

17.  本小题分
某数学兴趣小组组织了一次测量桥墩高度的实践活动经测量，斜坡的坡角为，，在点处测得桥墩最高点的仰角为，，，，求桥墩的高结果保留整数参考数据：，，，

18.  本小题分
观察以下等式：
第个等式：；
第个等式：；
第个等式：；
第个等式：；

按照以上规律，解决下列问题：
写出第个等式：______ ；
写出你猜想的第个等式，并证明你的结论．

19.  本小题分
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，点坐标为．
求一次函数与反比例函数的解析式；
已知，若的面积为，求的值．

20.  本小题分
如图，在中，是直径，点在圆上，、分别平分和，的延长线交于点，连接．
求证：；
若，，求的长．

21.  本小题分
年月日是第个全国中小学生安全教育日某校开展了校园安全知识抽检活动从七、八年级分别随机抽取名学生参与抽检，并对检测情况百分制进行整理、描述和分析部分信息如下：
七年级学生的检测成绩频数分布直方图如图所示；
并且这一组的具体成绩为：，，，，，，，，，．
七、八年级检测成绩的平均数、中位数如表所示：

根据以上信息，回答下列问题：
七年级抽测学生中，分以上有______ 人，值为______ ，并补全频数分布直方图；
七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是分，请判断哪位学生在各自年级抽测学生中的排名更靠前，并简要说明理由；
该校七年级学生有人，假设全部参加此次测试，请估计成绩超过平均数分的人数．

22.  本小题分
某公司调研了历年市场行情和生产情况以后，对今年某种商品的销售价格和成本价格进行预测，提供了两方面的信息，如图所示图的图象是线段，图的图象是部分抛物线．

在月份和月份出售这种商品，哪个月商品的单件利润更大？
从月份到月份，哪个月商品的单件利润最大？最大利润是多少？

23.  本小题分
正方形中，点是延长线上一点，点是平分线上一点，连接，交于点．
如图，若，求证：平分；
如图，过点作，并截取，连接，求证：；
在的条件下，若，，则的长为______ ．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据乘方的定义，，得是正数，不是负数，故A不符合题意．
B.根据乘方的定义，，得是负数，故B符合题意．
C.根据相反数的定义，，得是正数，不是负数，故C不符合题意．
D.根据绝对值的定义，，得是正数，不是负数，故D不符合题意．
故选：．
根据乘方的定义、相反数的定义、绝对值的定义、负数的定义解决此题．
本题主要考查乘方、相反数、绝对值、负数，熟练掌握乘方的定义、相反数的定义、绝对值的定义、负数的定义是解决本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：亿．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
此题主要考查了用科学记数法表示绝对值较大的数，一般形式为，准确确定、的值是解答本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，无法合并，故此选项不合题意；
B.，故此选项不合题意；
C.，故此选项不合题意；
D.，故此选项符合题意．
故选：．
直接利用合并同类项法则以及幂的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别计算，进而得出答案．
此题主要考查了合并同类项以及幂的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据主视图的概念可知，从物体的正面看得到的视图是选项D．
故选：．
根据主视图是从物体正面看所得到的图形即可解答．
本题考查简单几何体的三视图，解题关键是掌握主视图是从正面看到的图形．
 

5.【答案】 

【解析】解：如图：
，
，
，
故选：．
根据两直线平行，内错角相等和三角形外角性质解答即可．
此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，内错角相等解答．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据题意得：．
故选：．
登山队员由大本营向上登高时，他们所在地的气温为，根据登山队大本营所在地的气温为，海拔每升高气温下降，可求出与的关系式．
本题考查根据实际问题列一次函数式，解题的关键是读懂题意，理解气温随着高度变化，某处的气温地面的气温降低的气温．
 

7.【答案】 

【解析】解：由题意得点在直线上，
的图象上有且只有一个“零和点”时，方程，即有两个相同的解，
，
解得，
故选：．
由“零和点”的定义可得点在直线上，令，根据求解．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是理解题意，掌握二次函数与方程的关系．
 

8.【答案】 

【解析】解：在菱形中，，，，
，
：：可能是：：．
故选：．
根据矩形的性质可得，结合三角形的三边关系可求解．
本题主要考查矩形的性质，三角形的三边关系，由矩形的性质得是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：小唐从九宫格中选出一个字填入诗句第一个空有种可能情况，再从剩余的个汉字中选取个汉字填入诗句第二个空，共有种结果，
其中只有种结果是正确的，
小唐答对的概率为，
故选：．
根据题意得出所有等可能结果数，再根据概率公式计算可得．
本题主要考查列表法与树状图法求概率，得出所有可能的结果是解题的关键，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

10.【答案】 

【解析】解：当时，，
抛物线经过定点，
当抛物线过点，那么抛物线对称轴为直线，
解得，
，
如图，抛物线经过，，

；
抛物线过点，那么抛物线对称轴为直线，
解得，
，
如图，当抛物线经过，时，

，
抛物线过点，那么抛物线为，
如图，抛物线经过，，

；
抛物线过点，那么抛物线为，
如图，抛物线经过，时，

；
满足条件的有个，
故选：．
首先求得抛物线经过定点，然后结合图象分类讨论抛物线经过个格点时求的值．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，通过数形结合，分类讨论求解是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
移项得：，
不等式的两边都除以得：，
故答案为：．
移项得出，不等式的两边都除以，即可求出答案．
本题主要考查对不等式的性质，解一元一次不等式等知识点的理解和掌握，能根据不等式的性质正确解不等式是解此题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
，
，即，
当时，原式．
故答案为：．
利用完全公式得到，则有，然后把代入分式约分即可．
本题考查了分式的值：把满足条件的字母的值代入分式，计算得到对应的值称为分式的值；也可以通过整体代入约分得到分式的值．
 

13.【答案】 

【解析】解：连接，

四边形是圆内接四边形，
，
，
，
是的直径，
，
，
故答案为：．
连接，根据圆内接四边形对角互补可得，然后根据直径所对的圆周角是直角可得，然后利用角的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

14.【答案】   

【解析】解：如图，连接，
将绕点逆时针旋转得到，
，，
是等边三角形，
，，
，，
，
，
故答案为：；
如图，在上截取，连接，
，，
，
，
又，，
≌，
，
，
当点，点，点三点共线时，有最小值，最小值为的长，
，
故答案为：．
由旋转的性质可得，，由等边三角形的性质和等腰三角形的性质可求解；
由“”可证≌，可得，则当点，点，点三点共线时，有最小值，最小值为的长，由勾股定理可求解．
本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
 

15.【答案】解：原式

． 

【解析】直接利用二次根式的性质以及零指数幂的性质、特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，即为所求．
如图，即为所求．
的面积为．
故答案为：．
根据平移的性质作图即可．
根据旋转的性质作图即可．
利用割补法求三角形的面积即可．
本题考查作图平移变换、旋转变换，熟练掌握平移、旋转的性质是解答本题的关键．
 

17.【答案】解：过点作，垂足为，延长交于点，

由题意得：，，
在中，，，
，
，
，，
，
，
在中，，
，
，
桥墩的高约为． 

【解析】过点作，垂足为，延长交于点，根据题意可得：，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：第个等式为：；
故答案为：；
猜想：第个等式为：，
证明：等式右边

右边，
故猜想成立．
根据所给的等式的形式进行解答即可；
分析所给的等式的形式，再进行总结，对等式左边的式子进行整理即可求证．
本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是分析清楚所给的等式中序号与相应的数之间的关系．
 

19.【答案】解：把代入得：，
解得，
一次函数的解析式为，
把代入得：，
解得，
反比例函数的解析式为；
在中，令得，
解得，
，
，
，
由，解得或，
，
的面积为，
，
解得或． 

【解析】利用待定系数法即可求得；
利用一次函数解析式求得的坐标，然后根据得出关于的方程，解方程即可求得的值．
本题是一次函数与反比例函数的综合应用，考查了待定系数法求函数的解析式，求函数交点的坐标，三角形的面积，解题的关键是掌握待定系数法、会求函数图象交点的坐标．
 

20.【答案】证明：、分别平分和，
，，
，
，
，
，
；
解：与相交于点，如图，
为直径，
，
在中，，
平分，
点到和的距离相等，
：：，
：：，
，
，，
在中，，
，，
∽，
：：，即：：，
解得，
即的长为． 

【解析】先根据角平分线的定义得到，，再根据圆周角定理得到，然后证明，从而得到；
与相交于点，如图，根据圆周角定理得到，则利用勾股定理计算出，再根据角平分线性质和三角形面积公式可得到，则可计算出，，接着利用勾股定理计算出，然后证明∽，于是利用相似比可计算出的长．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．也考查了角平分线的性质和相似三角形的判定与性质．
 

21.【答案】   

【解析】解：根据频数分布直方图可知，七年级抽测学生中，分以上有人，
将七年级抽测的名学生的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为，因此中位数是，即，
七年级抽测的名学生的成绩在的人数为人，补全频数分布直方图如下：

故答案为：，；
七年级学生成绩的中位数是分，八年级学生成绩的中位数是分，而七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是分，
所以七年级学生甲名次靠前；
人，
答：该校七年级名中成绩超过平均数分的大约有人．
根据数据统计中各个分组的人数与调查总人数的关系可求出的人数，进而补全频数分布直方图；
根据七、八年级学生成绩的中位数进行判断即可；
求出七年级学生成绩超过分的人数所占的百分比，进而求出相应的人数．
本题考查频数分布直方图，中位数，理解样本估计总体，掌握频率以及中位数的计算方法是正确解答的前提．
 

22.【答案】解：由题意可知：
月份的单件利润为：元，
月份的单件利润为：元，
在月份和月份出售这种商品，月商品的单件利润更大；
设线段的解析式为，代入，，得：
，
解得：，
线段的解析式为，
由图可知：抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的解析式为，代入得：
，
解得：，
抛物线的解析式为，
设单件利润为元，
由题意可得：，
抛物线的对称轴为，
，
当时，有最大值，最大值为，
从月份到月份，月商品的单件利润最大，最大利润是元． 

【解析】根据题意，用销售价格减去成本价格即可得出利润，即可求出答案；
先分别求出线段和抛物线的解析式，即可得到利润的解析式，根据解析式即可求出答案．
本题考查二次函数的应用，关键是列出函数解析式．
 

23.【答案】 

【解析】证明：是正方形的角平分线，平分，
，，，
，
，
，
，
平分；
证明：如图，连接并延长交于，交于，

，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，，
≌，
；
解：≌，
，，
，，
，，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，

，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
∽，
，
，
．
故答案为：．
由正方形的性质以及角平分线的性质得，，，求出，即可得平分；
如图，连接并延长交于，交于，证明四边形是平行四边形，则，根据平行线的性质得，可得，证明≌，由全等三角形的性质即可得；
根据等腰三角形的性质以及相似三角形的判定和性质即可求解．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质以及等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．