第六单元《圆》（原卷版+解析版）——【期末复习】2022-2023学年五年级下册数学单元复习知识点+练习学案（苏教版）

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2022-2023学年苏教版五年级下册同步重难点讲义精讲精练
第六单元 圆






知识点一：圆的认识
1、圆是由一条曲线围成的平面图形。(以前所学的图形如长方形、梯形等 都是由几条线段围成的平面图形)
2、画圆时，针尖固定的一点是圆心，通常用字母 O 表示;连接圆心和圆上任意一点的线段是半径，通常用字母 r 表示；通过圆心并且两端都在圆上的线段是直径，通常用字母d 表示。在同一个圆里，有无数条半径和直径。在同一个圆里，所有半径的长度都相等，所有直径的长度都相等。
3、用圆规画圆的过程：先两脚叉开，再固定针尖，最后旋转成圆。画圆时要注意：针尖必须固定在一点，不可移动;两脚间的距离必须保持不变； 要旋转一周。
4、在同一个圆里，半径是直径的一半，直径是半径的 2 倍。(d=2r,r=d÷2)
5、圆是轴对称图形，有无数条对称轴，对称轴就是直径。
6、圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。所以要比较两圆的大小，就是比较两个圆的直径或半径。
7、正方形里最大的圆: 两者联系：边长=直径画法：
画出正方形的两条对角线;以对角线交点为圆心，以边长为直径画圆。
8、长方形里最大的圆: 两者联系：宽=直径画法：
画出长方形的两条对角线;以对角线交点为圆心，以边长为直径画圆9、同一个圆内的所有线段中，圆的直径是最长的。
知识点二：扇形的认识
1.圆上两点间的曲线是弧；
2.一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫作扇形；
3.顶点在圆心的角叫作圆心角；
4.在同一个圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关。
知识点三：圆的周长
1、车轮滚动一周前进的路程就是车轮的周长。 每分前进米数(速度)=车轮的周长×转数
2、任何一个圆的周长除以它直径的商都是一个固定的数，我们把它叫做 圆周率。用字母π(读 pài)表示。π是一个无限不循环小数。π=3.141592653……我们在计算时，一般保留两位小数，取它的近似值 3.14。π>3.14
3、如果用 C 表示圆的周长，那么 C=πd 或 C = 2πr
4、求圆的半径或直径的方法： d=C÷π r =C÷ π÷2= C÷2π
5、半圆的周长等于圆周长的一半加一条直径。C 半圆= πr+2r C 半圆= πd÷2+d
6、常用的 3.14 的倍数：
3.14×2=6.28 3.14×3=9.42 3.14×4=12.56 3.14×5=15.7
3.14×6=18.84 3.14×7=21.98 3.14×8=25.12 3.14×9=28.26
知识点四：圆及圆环的面积
1、圆的面积公式：S=πr²。 圆的面积是半径平方的π倍。
2、圆的面积推导：圆可以切拼成近似的长方形，长方形的面积与圆的面 积相等(即S 长方形=S 圆);长方形的宽是圆的半径(即b=r);长方形的长是圆周长的一半(即a=c/2=πr)。
即：S 长方形= a × b S 圆 = πr × r=πr²
注意：切拼后的长方形的周长比圆的周长多了两条半径。
C 长方形=2πr+2r=C 圆+d
3、半圆的面积和周长。S 半圆=πr²÷2 C 半圆=C/2+d
4、大小两个圆比较，半径的倍数=直径的倍数=周长的倍数， 面积的倍数=半径的倍数的平方
5、周长相等的平面图形中，圆的面积最大； 面积相等的平面图形中，圆的周长最短。
6、求圆环的面积一般是用外圆的面积减去内圆的面积，还可以利用乘法 分配律进行简便计算。S 圆环=πR²－πr²=π(R²－r²)
7、常用的平方数：
11²=121 12²=144 13²=169 14²=196 15²=225 16² =256
17²=289 18²=324 19²=361 20²=400

考点1：圆及其性质
【典例分析01】（2022秋•石家庄期末）一张圆形纸片至少要对折（　　）次，才能找到它的圆心。
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路点拨】圆中心的那个点即圆心，所有直径都相交于圆心，将一个圆形纸片最少要对折两次，才能找到两条折痕相交的那个点，即圆心。
【规范解答】解：1张圆形纸片至少对折2次，才能找到圆心。
故选：B。
【考点评析】本题考查了确定圆心的方法，根据题意解答即可。
【典例分析02】（2021秋•恩阳区 期末）在一个边长为2dm的正方形木板上，截取一个最大的圆，这个圆的直径是（　　）dm。
A．2 B．1 C．4
【思路点拨】根据题意可知，在这个正方形内纸上剪下一个最大的圆，这个圆的直径等于正方形的边长，据此解答即可。
【规范解答】解：在一个边长为2dm的正方形木板上，截取一个最大的圆，这个圆的直径是2dm。
故选：A。
【考点评析】此题主要考查圆的认识和正方形的关系，重点是明确：在这个正方形内纸上剪下一个最大的圆，这个圆的直径等于正方形的边长。
【变式训练01】在篝火晚会中，同学们总会自然而然地围成一个圈，这是因为 　在同一圆中，半径总是相等的　。
【思路点拨】同学们总会自然而然地围成一个圆形，因为这样每一个同学都能看清楚节目，利用了圆心到圆上的距离处处相等，也就是半径相等这个知识点。
【规范解答】解：在一个圆内，所有半径都相等，每个同学与舞台的距离都是公平相等的，谁也不会遮挡谁的视线。
答：在迎新年篝火晚会中，同学们总会自然而然地围成一个圆形，这是因为在同一圆中，半径总是相等的。
故答案为：在同一圆中，半径总是相等的。
【考点评析】本题考查了圆的认识及半径的定义，结合题意分析解答即可。
【变式训练02】（2022秋•镇安县期末）将一张圆形纸片要至少对折两次，才能找到圆心．　√　（判断对错）
【思路点拨】圆是平面上的一种轴对称图形，圆中心的那个点即圆心，所有直径都相交于圆心，将一个圆形纸片最少要对折两次，才能找到两条折痕相交的那个点，即圆心．
【规范解答】解：由分析可知：将一张圆形纸片要至少对折两次，才能找到圆心，说法正确；
故答案为：√．
【考点评析】本题考查了确定圆心的方法．
考点2：圆的认识与圆周率
【典例分析03】（2022秋•浑南区期末）下面关于圆周率的描述不正确的是（　　）
A．圆周率表示圆的周长与直径的比值
B．大圆的圆周率大于小圆的圆周率
C．圆周率大约等于3.14
【思路点拨】圆周率的含义：圆的周长和它直径的比值，叫做圆周率，用字母π表示，π是一个无限不循环小数；据此进行分析解答即可。
【规范解答】解：A.根据圆周率的含义可知：π是圆的周长与它的直径的比值说法正确；
B.大圆和小圆相比，大圆的π的值要大一些说法错误，因为圆周率不随圆的大小的改变而改变；
C.3.14是π的一个近似值，所以该项说法正确，因为圆周率是一个无限不循环小数。
故选：B。
【考点评析】此题考查了圆周率的含义。
【典例分析04】（2022秋•龙华区期末）圆周率是圆的周长与直径的比值。如图，如果线段AF代表一个圆的周长，那么这个圆的直径可能是线段（　　）


A．AB B．AC C．AD D．AE
【思路点拨】圆的周长和它直径的比值，叫做圆周率，用字母“π”表示，π大约等于3.14，也就是说明同一个圆内周长是直径的3.14倍，据此选择。
【规范解答】解：因为一个圆的周长是直径的3.14倍，通过图示发现AC可能是圆的直径。
故选：B。
【考点评析】此题考查了圆的周长和它直径的关系。
【变式训练03】（2022秋•福田区期末）在我国，首先是由魏晋时期杰出的数学家（　　）得出了较精确的圆周率的值。他采用“割圆术”一直算到圆内接192边形，得到圆周率的近似值是3.14。他的方法是用圆内接正多边形从一个方向逐步逼近圆。
A．祖冲之 B．杨辉 C．刘徽 D．贾宪
【思路点拨】从古到今，国内外的数学家都在研究圆周率的问题，最早是用测量的方法，发现圆的周长总是直径的3倍多；古希腊数学家阿基米德和我国魏晋时期数学家刘徽都用割圆术研究过圆周率的值；我国南北朝时期数学家祖冲之算出π的值在3.1415926和3.1415927之间，比欧洲早1000多年，据此解答。
【规范解答】解：在我国，首先是由魏晋时期杰出的数学家刘徽得出了较精确的圆周率的值。他采用“割圆术”一直算到圆内接192边形，得到圆周率的近似值是3.14。他的方法是用圆内接正多边形从一个方向逐步逼近圆。
故选：C。
【考点评析】此题考查的目的是理解掌握圆周率的意义，以及有关圆周率研究的数学常识。
【变式训练04】（2022秋•长安区期末）赵叔叔骑自行车参加疫情防控工作。车轮做成圆形的，是因为圆形容易 　滚动　，车轴安装在轮子的中心，是利用了在同一圆中，　圆上各点到圆心距离相等　的性质。
【思路点拨】根据圆的特征：连接圆心到圆上任意一点的线段，叫做半径；在同圆中所有的半径都相等；可知：把车轮做成圆形，车轴定在圆心，而且车轮上各点到车轴即圆心的距离都等于半径，是因为圆形易滚动，当车轮在平面上滚动时，车轴与平面的距离保持不变；车轮在滚动过程中圆心始终在一条直线上运动，据此解答。
【规范解答】解：赵叔叔骑自行车参加疫情防控工作。车轮做成圆形的，是因为圆形容易滚动，车轴安装在轮子的中心，是利用了在同一圆中圆上各点到圆心距离相等。
故答案为：滚动，圆上各点到圆心距离相等。
【考点评析】此题考查了圆的特征，应注意基础知识的积累和应用。
考点3：扇形的认识
【典例分析05】（2021秋•南岸区期末）下面图形中各有一个角，如果是圆心角，在对应的（　　）里画“√”。

【思路点拨】根据圆心角的意义，顶点在圆心上且角的两条边是圆的半径的角叫做圆心角，据此判断。
【规范解答】解：

【考点评析】本题考查了圆心角的定义及认识。
【典例分析06】．如图哪些图形是扇形？是扇形的画“√”，不是扇形的画“×”。

【思路点拨】扇形是由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形，据此判断即可。
【规范解答】解：如图：

【考点评析】此题考查了对扇形的认识。
【变式训练05】写出下面每个扇形（涂色部分）的圆心角和半径。


【思路点拨】根据扇形的意义，一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形，然后结合图示写出每个扇形的圆心角和半径即可。
【规范解答】解：解答如下：


【考点评析】此题是考查扇形的意义，然后结合图示写出每个扇形的圆心角和半径即可。
【变式训练06】下面图形中哪些角是圆心角？在括号里画“√”。

【思路点拨】顶点在圆心，两条边与圆有交点所形成的角，叫做圆心角。
【规范解答】解：如图：

【考点评析】本题考查了圆心角的定义及认识。
考点4：圆、圆环的周长
【典例分析07】（2022秋•花都区期末）学校准备建一个周长是16米的花圃。请你帮学校设计两个不同的花圃。
【思路点拨】根据周长的意义，一个平面图形各边长之和就是这个图形的周长．如可画边长是4米的正方形，其周长是4×4＝16米，所以一条长与宽的和是16÷2＝8米，可画长5米、宽3米的长方形，或者长6米、宽2米的长方形，其周长都是16米，答案不唯一。
【规范解答】解：答案不唯一。
（1）设计一个长5米，宽3米的长方形花圃。
（2）设计一个边长是4米的正方形花圃。
作如图下：

【考点评析】此题考查的目的是理解掌握周长的意义及应用，关键是根据周长计算公式计算出相关线段（边）的长度。
【典例分析08】（2022秋•雨花区期末）如图，求图形的周长。（圆周率取3.14）


【思路点拨】根据图示，图形的周长等于直径10厘米的圆周长的一半加2个半径10＝2＝5（厘米）的圆周长的，再加2个5厘米，据此解答即可。
【规范解答】解：3.14×10÷2+2×3.14×（10÷2）××2+（10÷2）×2
＝15.7+15.7+10
＝41.4（厘米）
答：图形周长41.4厘米。
【考点评析】本题考查了圆周长公式的灵活运用知识，结合题意分析解答即可。
【变式训练07】（2022秋•惠来县期末）求阴影部分的周长。


【思路点拨】通过观察图形可知，阴影部分的周长等于长方形的周长加上直径是2分米的圆周长，据此解答即可。
【规范解答】解：（3+2）×2+3.14×2
＝5×2+6.28
＝10+6.28
＝16.28（分米）
答：阴影部分的周长是16.28分米。
【考点评析】此题主要考查长方形的周长公式、圆的周长公式的灵活运用，关键是熟记公式。
【变式训练08】（2021秋•合阳县期末）求下面图形中大圆的周长和阴影部分的面积。

【思路点拨】大圆的半径是6厘米，小圆的半径是4厘米，阴影部分的面积等于大小圆的面积差，根据圆的周长公式：C＝2πr，环形面积公式：S＝π（R2﹣r2），把数据代入公式解答。
【规范解答】解：2×3.14×6＝37.68（厘米）
3.14×（62﹣42）
＝3.14×（36﹣16）
＝3.14×20
＝62.8（平方厘米）
答：大圆的周长是37.68厘米，阴影部分的面积是62.8平方厘米。
【考点评析】此题主要考查圆的周长公式、环形面积公式的灵活运用，关键是数据公式。
考点5：画图
【典例分析09】（2022秋•河东区期末）（1）在正方形内画一个最大的圆，将其余部分涂上阴影。
（2）计算图中阴影部分的面积是 　3.44　平方厘米。

【思路点拨】（1）由题意可知：所画圆的直径应等于正方形的边长，从而可以画出符合要求的圆，并给圆与正方形之间的部分涂上阴影；
（2）然后根据正方形的面积计算公式求出正方形的面积，根据圆的面积计算公式求出圆的面积，用正方形的面积减去圆的面积即可。
【规范解答】解：（1）如图：

（2）4×4﹣3.14×（4÷2）2
＝16﹣3.14×22
＝16﹣3.14×4
＝16﹣12.56
＝3.44（平方厘米）
答：阴影部分的面积是3.44平方厘米。
故答案为：3.44。
【考点评析】分析图形计算圆的半径，找出阴影部分面积的计算方法是解答本题的关键。
【典例分析10】（2022秋•怀宁县期末）在正方形内画出一个最大的圆，并画出圆心O、半径r和直径d．

【思路点拨】正方形内最大圆的直径是这个正方形的边长，圆心就是这个正方形的中心，由此可以画图．
【规范解答】解：根据题干分析，可以画图如下：

【考点评析】此题考查了圆的画法的灵活应用，抓住正方形内最大圆的特点，是解决本题的关键．
【变式训练09】（2022春•孟津县期末）按要求在方框内作图。
（1）画一个直径2cm的圆。
（2）用r、d、O标注半径、直径和圆心。

【思路点拨】根据“半径＝直径÷2”，代入数字，求出半径；圆心用字母“O”表示；半径用字母“r”表示；直径用字母“d”表示，据此解答即可。
【规范解答】解：半径＝2÷1＝1（厘米）
作图如下：

【考点评析】此类题只要先根据圆中直径和半径的关系，求出半径，然后根据半径即可画出圆。
【变式训练10】（2021秋•河西区期末）下面是一个长15cm、宽8cm的长方形。按要求完成下面的问题。
（1）在长方形中以O点为圆心，用圆规画出半径是3厘米的圆。
（2）如果将画好的圆在上面的长方形内任意移动，那么哪些地方是这个圆不可能覆盖到的？请在长方形内画出这些区域，并用阴影表示出来。
（3）画好的圆在上面的长方形内任意移动可以覆盖到的面积一共是多少平方厘米？

【思路点拨】（1）圆规两脚之间的距离即这个圆的半径，把有针尖的一只脚固定在一点上，带有铅笔的那只脚绕点旋转一周；
（2）除圆移动到的地方面积以外的部分涂上阴影。
（3）运用圆的面积公式S＝πr2进行计算即可。
【规范解答】解：（1）如图：

（2）

（3）

S＝πr2
＝3.14×32
＝3.14×9
＝28.26（平方厘米）
答：圆在上面的长方形内任意移动可以覆盖到的面积一共是28.26平方厘米。
【考点评析】本题考查了学生的动手操作能力及圆的面积公式的应用。
考点6：圆、圆环的面积
【典例分析11】（2022秋•浑南区期末）一个圆形花坛的直径是6米，它的占地面积是（　　）平方米。
A．9.42 B．18.84 C．28.26
【思路点拨】根据圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式解答。
【规范解答】解：3.14×（6÷2）2
＝3.14×9
＝28.26（平方米）
答：它的占地面积是28.26平方米。
故选：C。
【考点评析】此题主要考查圆的面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
【典例分析12】（2022秋•福田区期末）田田和福福在美术课上做手工剪纸。田田用一张边长是10厘米的正方形纸剪了一个最大的扇形，福福用一张边长是4厘米的正方形纸剪了一个最大的圆。谁对手工纸的利用更节约（　　）

A．田田 B．福福 C．两人相同 D．无法判断
【思路点拨】在边长10厘米正方形里剪去的最大的扇形的直径等于正方形的边长，要求这张纸的利用率是多少，用扇形的面积除以正方形的面积，再乘100%，即可解答问题；
在边长4厘米的正方形里剪去的最大的圆的直径等于正方形的边长，要求这张纸的利用率是多少，用圆的面积除以正方形的面积，再乘100%，即可解答问题。
【规范解答】解：×3.14×102÷（10×10）×100%
＝3.14×25÷100×100%
＝0.785×100%
＝78.5%
3.14×（4÷2）2÷（4×4）×100%
＝3.14×4÷16×100%
＝78.5%
78.5%＝78.5%
他们的利用率相同。
故选：C。
【考点评析】解决本题的关键是明确：在正方形里剪去的最大圆的、扇形的直径等于正方形的边长。
【变式训练11】（2021秋•安顺期末）求图中阴影部分的面积。

【思路点拨】阴影部分的面积是半环形的面积，根据环形面积公式：S＝π（R2﹣r2），把数据代入公式解答。
【规范解答】解：4÷2＝2（厘米）
2+2＝4（厘米）
3.14×（42﹣22）÷2
＝3.14×（16﹣4）÷2
＝3.14×12÷2
＝37.68÷2
＝18.84（平方厘米）
答：阴影部分的面积是18.84平方厘米。
【考点评析】此题主要考查环形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
【变式训练12】（2022秋•石家庄期末）阳光小区内靠墙有一个半圆形水池（如图），现在要沿着水池外沿用地砖铺一条宽2米的小路，需要多少平方米的地砖？

【思路点拨】根据题意可知，小路的面积是半环形，根据环形面积公式：S环形＝π（R2﹣r2），把数据代入公式求出环形面积的一半即可。
【规范解答】解：20÷2＝10（米）
10+2＝12（米）
3.14×（122﹣102）÷2
＝3.14×（144﹣100）÷2
＝3.14×44÷2
＝69.08（平方米）
答：需要69.08平方米的地砖。
【考点评析】此题主要考查环形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。

基础练
一．选择题（共3小题）
1．（2022秋•英山县期末）一个半圆形的周长是25.7cm，这个半圆形的面积是（　　）cm2。
A．314 B．78.5 C．39.25 D．31.4
【思路点拨】半圆的周长等于圆周长的一半加上直径，根据圆的周长公式：C＝2πr，设半径为rcm，由题意得：πr+2r＝25.7，解此方程求出半径，再根据圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式解答。
【规范解答】解：设半径为rcm，由题意得：
πr+2r＝25.7
5.14r＝25.7
r＝5
3.14×52÷2
＝3.14×25÷2
＝39.25（cm2）
答：这个半圆的面积是39.25cm2。
故选：C。
【考点评析】此题主要考查圆的周长、圆的面积公式的灵活运用，关键是熟记公式，重点明确：半圆的周长等于圆周长的一半加上直径。
2．（2022秋•衡阳期末）在观看马戏表演的时候，人们一般都会围成圆形，这是应用了圆的（　　）特征。
A．圆心决定圆的位置 B．同圆中半径都相等
C．半径决定圆的大小
【思路点拨】在观看马戏表演的时候，人们一般都会围成圆形，因为同圆中的半径都相等，所以这样人们到戏台的距离都相同，据此解答即可。
【规范解答】解：在观看马戏表演的时候，人们一般都会围成圆形，这是应用了圆特征中同圆中的半径都相等。
故选：B。
【考点评析】本题考查了圆的认识，圆上各点到圆心的距离相等。
3．（2022秋•唐河县期末）要画一个周长是43.96cm的圆，所用圆规两脚张开的距离应是（　　）cm。
A．7 B．14 C．6 D．12
【思路点拨】因为画圆时，圆规两脚间的距离是圆的半径，利用圆的周长公式：C＝2πr，计算圆的半径即可。
【规范解答】解：43.96÷3.14÷2
＝14÷2
＝7（厘米）
答：圆规两脚张开的距离应是7厘米。
故选：A。
【考点评析】本题主要考查圆的周长公式的应用，结合题意分析解答即可。
二．填空题（共3小题）
4．（2022秋•忠县期末）把一个圆平均分成若干份，拼成一个近似的长方形，这个长方形的周长是8.28cm，原来这个圆的面积是 　3.14　cm2。
【思路点拨】把一个圆平均分成若干份拼成了近似的长方形，这个长方形的周长＝2πr+2r，根据这个长方形的周长是8.28cm求出半径，再根据圆的面积S＝πr2，即可解答。
【规范解答】解：2πr+2r＝8.28
2r＝2
r＝1
3.14×12＝3.14（cm2）
答：原来这个圆的面积是3.14cm2。
故答案为：3.14。
【考点评析】本题的关键是理解圆拼成的近似长方形的周长＝2πr+2r。
5．（2022秋•浑南区期末）把圆形茶杯垫片沿直径剪开，得到两个近似的三角形，再拼成平行四边形（如图）。观察平行四边形，底相当于圆的 　圆的周长的一半　，高相当于圆的 　半径　。

【思路点拨】把圆平均分成若干份，拼成一个近似的平行四边形，平行四边形的高即圆的半径，平行四边形的底即圆周长的一半，据此即可解答问题。
【规范解答】解：根据题干分析可得，设圆的半径是r，则拼成的平行四边形的底底相当于圆的周长的一半，平行四边形的高相当于圆的半径。
故答案为：圆的周长的一半；半径。
【考点评析】解答此题的关键是应明确：把圆平均分成若干份，拼成一个近似的平行四边形，平行四边形的底等于圆的周长的一半，平行四边形的高等于圆的半径；据此解答即可。
6．（2022秋•宛城区期末）把圆分成若干等份，剪开后拼成一个近似的长方形（如图），长方形的周长比圆的周长多8厘米，圆的半径是 　4　厘米，圆的面积是 　50.24　平方厘米。


【思路点拨】把圆分成若干等份，剪开后拼成一个近似的长方形（如图），长方形的周长比圆的周长多8厘米，这个8厘米，就是两个半径的长，据此解答即可。
【规范解答】解：8÷2＝4（厘米）
3.14×4×4＝50.24（平方厘米）
答：圆的半径是4厘米，圆的面积是50.24平方厘米。
故答案为：4；50.24。
【考点评析】能求出圆的半径，是解答此题的关键。
三．判断题（共2小题）
7．（2022秋•通渭县期末）一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数。 　√　（判断对错）
【思路点拨】任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，叫做圆周率，用字母“π”表示。
【规范解答】解：一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数π。原题说法正确。
故答案为：√。
【考点评析】此题是考查圆周率的意义。
8．（2022秋•青岛期末）圆的周长与它直径的比的比值是π。 　√　（判断对错）
【思路点拨】根据圆周率知识可知，圆的周长与它直径的比的比值是π。据此解答即可。
【规范解答】解：根据圆周率知识可知，圆的周长与它直径的比的比值是π。所以本题说法正确。
故答案为：√。
【考点评析】本题圆周率知识可知，圆的周长与它直径的比的比值是π，据此解答即可。
四．计算题（共2小题）
9．（2021秋•井研县期末）求阴影部分的面积。（单位：cm）

【思路点拨】阴影部分的面积可以转化成圆环面积的一半。
【规范解答】解：3.14×[（4+2）2﹣42]÷2
＝3.14×[36﹣16]÷2
＝3.14×20÷2
＝31.4（平方厘米）
答：阴影部分的面积是31.4平方厘米。
【考点评析】本题属于求组合图形面积的问题，这种类型的题目主要把不规则图形转化为规则图形，然后根据面积公式解答即可。
10．（2020秋•郑州期末）求出阴影部分的周长和面积。（单位：cm）

【思路点拨】阴影部分的周长等于大圆周长的一半加上小圆周长的一半再加上大圆的半径4厘米；面积等于大圆面积的一半减去小圆面积的一半。
【规范解答】解：4×2×3.14÷2
＝4×3.14
＝12.56（厘米）
4×3.14÷2＝6.28（厘米）
12.56+6.28+4＝22.84（厘米）

4÷2＝2（厘米）
3.14×4×4÷2﹣3.14×2×2÷2
＝25.12﹣6.28
＝18.84（平方厘米）
答：阴影部分的周长是22.84厘米，面积是18.84平方厘米。
【考点评析】本题主要考查组合图形的周长和面积。
五．应用题（共5小题）
11．（2022秋•长沙县期末）如图是一个火锅桌，它的直径是1.8m，中间放置火锅的部分直径是40cm，制作这样一个桌面至少需要多少平方米的实木板呢？

【思路点拨】桌面剩下的面积实际上是一个环形，根据环形面积＝外圆面积﹣内圆面积计算即可解答。
【规范解答】解：40厘米＝0.4米
3.14×（1.8÷2）2﹣3.14×（0.4÷2）2
＝3.14×0.81﹣3.14×0.04
＝2.4178（平方米）
答：桌面的面积还剩2.4178平方米。
【考点评析】本题主要考查环形的面积，找准内圆和外圆的半径是解答本题的关键。
12．（2022秋•龙华区期末）公园里有一片梯形草地（如图），梯形上底是20m，下底是30m，高是10m。园艺设计师想在这片草地上设计一个面积最大的半圆形花圃，请你画出来，并求这个花圃的面积。

【思路点拨】在梯形里画最大的半圆，半圆的半径与梯形的高相等即可，利用半圆的面积公式S＝πr2÷2代入数据计算即可。
【规范解答】解：如图：

3.14×102÷2
＝314÷2
＝157（平方米）
答：这个花圃的面积是157平方米。

【考点评析】解答此题的关键是理解半圆最大半径与梯形各边的关系。
13．（2022秋•即墨区期末）画一画。
（1）在正方形内画一个最大的圆，然后在圆里画一个扇形并涂上阴影，使扇形面积与圆面积的比是1：4。
（2）在正方形外画一个圆，使正方形的4个顶点都有圆上。


【思路点拨】（1）在正方形内画一个最大的圆，是以正方形对角线的交点为圆心，圆的直径等于正方形的边长，据此画出圆；因为扇形面积与圆面积的比是1：4，说明扇形的面积是圆面积的，扇形的圆心角是360°的，根据分数乘法的意义，求出扇形的圆心角是90°，然后画出这个圆的一条半径，再利用量角器画出另一条半径，即可画出对应的扇形，再涂色。
（2）先找出正方形对角线的交点，以此交点为圆心，然后以交点到正方形顶点的距离为半径画出圆即可。
【规范解答】解：（1）360°×＝90°
如图：

（2）如图：



【考点评析】本题考查了比的应用、圆和扇形的画法以及正方形和圆的关系。
14．（2022秋•惠来县期末）一根横截面是圆形的木材，已知圆的周长是1.57米，这根木材的横截面的面积是多少平方分米？
【思路点拨】周长是1.57米，根据C＝2πr可以求出横截面的半径；再根据S＝πr2，即可求出横截面的面积。
【规范解答】解：r＝C÷2÷π
＝1.57÷2÷3.14
＝0.25（米）
S＝πr2
＝3.14×0.252
＝3.14×0.0625
＝0.19625（平方米）
答：这根木材的横截面的面积是0.19625平方米。
【考点评析】此题属于圆的周长和面积的实际应用，考查目的是使学生牢固掌握圆的周长和面积公式，并且能够利用圆的周长和面积公式解决有关的实际问题。
15．（2022秋•衡阳期末）折扇又名“撒扇”、“纸扇”等，是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子。如图是一把绫绢折扇，做这样一把折扇扇面至少需要绫绢面料多少平方分米？

【思路点拨】根据图形可知：所求的面积是一个半环形，根据环形面积＝外圆面积﹣内圆面积，已知外圆半径是3分米，环宽是2分米，由此可以求出内圆半径，然后把数据代入公式解答即可。
【规范解答】解：3﹣2＝1（分米）
3.14×（32﹣12）×
＝3.14×（9−1）×
＝3.14×8×
＝12.56（平方分米）
答：做这样一把折扇扇面至少需要绫绢面料12.56平方分米。
【考点评析】此题主要考查环形面积公式在实际生活中的应用，关键是熟记公式。
提高练
一．选择题（共3小题）
1．（2022秋•双牌县期末）用圆规画一个周长是18.84厘米的圆，圆规两脚之间的距离是（　　）
A．6cm B．3cm C．4cm
【思路点拨】半径决定圆的大小，画圆时，圆规两脚之间的距离等于所画圆的半径，根据圆的周长公式：C＝2πr，那么r＝C÷π÷2，把数据代入公式解答。
【规范解答】解：18.84÷3.14÷2＝3（厘米）
答：圆规两脚之间的距离是3厘米。
故选：B。
【考点评析】此题主要考查圆的周长公式的灵活运用，关键是熟记公式。
2．（2022秋•玉林期末）在一个边长为6cm的正方形中剪一个最大的圆，圆的面积是（　　）cm2。
A．28.26 B．12.56 C．50.24
【思路点拨】当从正方形上剪下最大的圆时，这个圆的直径就是这个正方形的边长，在本题中圆的直径也就是6cm，根据圆的面积公式S＝πr2即可求解。
【规范解答】解：3.14×（6÷2）2
＝3.14×9
＝28.26（cm2）
答：圆的面积是28.26cm2。
故选：A。
【考点评析】解答这道题的关键是知道在这里圆的直径相当于正方形的边长。
3．（2022秋•应县期末）一个半径是2m的圆形水池，在它的外围修一条宽1m的环形小路，环形小路的面积多少？正确的列式是（　　）
A．3.14×22﹣3.14×12
B．3.14×（2+1）2﹣3.14×22
C．3.14×22﹣3.14×（2﹣1）2
D．3.14×（2+1）2﹣3.14×（2﹣1）2
【思路点拨】根据题意可知，小路的面积是环形面积，根据环形面积公式：S＝π（R2﹣r2），把数据代入公式解答。
【规范解答】解：2+1＝3（米）
3.14×（32﹣22）
＝3.14×（9﹣4）
＝3.14×5
＝15.7（平方米）
或3.14×（2+1）2﹣3.14×22
＝3.14×9﹣3.14×4
＝28.26﹣12.56
＝15.7（平方米）
答：小路的面积是15.7平方米。
故选：B。
【考点评析】此题主要考查环形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
二．填空题（共4小题）
4．（2022秋•郾城区期末）如图，中间的圆的周长是 　18.84　cm，面积是 　28.26　cm2，右边半圆的周长是 　15.42　cm，面积是 　14.13　cm2。


【思路点拨】圆的半径是3厘米，根据圆的周长公式：C＝2πr，圆的面积公式：S＝πr2，半圆的周长公式：C＝πr+2r，半圆的面积公式：S＝πr2÷2，把数据代入公式解答。
【规范解答】解：2×3.14×3＝18.84（厘米）
3.14×32
＝3.14×9
＝28.26（平方厘米）
3.14×3+3×3
＝9.42+6
＝15.42（厘米）
3.14×32÷2
＝3.14×9÷2
＝28.26÷2
＝14.13（平方厘米）
答：中间圆的长是18.84厘米，面积是28.26平方厘米，右边半圆的周长是15.42厘米，面积是14.13平方厘米。
故答案为：18.84；28.26；15.42；14.13。
【考点评析】此题主要考查圆的周长公式、面积公式、半圆的周长、面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
5．（2022秋•蕉岭县期末）一个圆形花坛，直径是4米，这个花坛的面积是 　12.56　平方米。在这个花坛的外面铺一条1米宽的小路，这个小路的面积是 　15.7　平方米。
【思路点拨】根据圆的面积公式：S＝πr2，环形面积公式：S＝π（R2﹣r2），把数据代入公式解答。
【规范解答】解：4÷2＝2（米）
2+1＝3（米）
3.14×22
＝3.14×4
＝12.56（平方米）
3.14×（32﹣22）
＝3.14×（9﹣4）
＝3.14×5
＝15.7（平方米）
答：这个花坛的面积是12.56平方米，这条小路的面积是15.7平方米。
故答案为：12.56，15.7。
【考点评析】此题主要考查圆的面积公式、环形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
6．（2022秋•通渭县期末）如图，在一张长4cm、宽2cm的长方形纸上画两个圆，每个圆的直径是 　2　cm，周长是 　6.28　cm，面积是 　3.14　cm2。

【思路点拨】通过观察图形可知，每个圆的直径等于长方形的宽，根据圆的周长公式：C＝πd，圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式解答。
【规范解答】解：3.14×2＝6.28（厘米）
3.14×（2÷2）2
＝3.14×1
＝3.14（平方厘米）
答：每个圆的直径是2厘米，周长是6.28厘米，面积是3.14平方厘米。
故答案为：2，6.28，3.14。
【考点评析】此题主要考查圆的周长公式、面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
7．（2022秋•府谷县期末）剪纸是中国民间艺术的瑰宝。每逢喜庆的日子，人们就张贴美丽鲜艳的剪纸来烘托节日的气氛。学校用剪纸装饰书画展，其中“福”字剪纸是从一个边长为28cm的正方形红纸上剪下的最大的圆，这个圆的周长是　87.92　cm，面积是 　615.44　cm2。
【思路点拨】根据题意可知，在这张正方形纸上剪下一个最大的圆，这个圆的直径等于正方形的边长，根据圆的周长公式：C＝πd，圆的面积公式S＝πr2，把数据代入公式解答。
【规范解答】解：3.14×28＝87.92（厘米）
3.14×（28÷2）2
＝3.14×196
＝615.44（平方厘米）
答：这个圆的周长是87.92厘米，面积是615.44平方厘米。
故答案为：87.92，615.44。
【考点评析】此题主要考查圆的周长公式、面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
三．判断题（共2小题）
8．（2022秋•辛集市期末）圆的周长和正方形的周长相等时，圆的面积比正方形的面积大。 　√　（判断对错）
【思路点拨】假设它们的周长都是6.28厘米，分别依据各自的周长公式求出正方形的边长，圆的半径，进而依据各自的面积公式即可求出它们的面积，进而比较出它们的面积的大小。
【规范解答】解：假设它们的周长是6.28厘米，
正方形边长：6.28÷4＝1.57（厘米）
正方形面积：1.57×1.57＝2.4649（平方厘米）
圆的面积：
6.28÷3.14÷2＝1（厘米）
3.14×12＝3.14（平方厘米）
2.4649＜3.14
所以周长相等时圆的面积大于正方形的面积，原题说法正确。
故答案为：√。
【考点评析】周长相等的情况下利用假设的方法分别求出它们的面积相比较，这是一种常用的方法。
9．（2022秋•郾城区期末）用一根长12.56m的绳子刚好能围一棵树的树干2圈，如果树干的横截面为圆，那么树干的横截面面积是12.56平方米。 　×　（判断对错）
【思路点拨】首先求出树干的周长，根据圆的周长公式：C＝2πr，那么r＝C÷π÷2，据此求出半径，再根据圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式解答。
【规范解答】解：12.56÷2＝6.28（米）
3.14×（6.28÷3.14÷2）2
＝3.14×1
＝3.14（平方米）
3.14平方米≠12.56平方米
因此题干中的结论是错误的。
故答案为：×。
【考点评析】此题主要考查圆的周长公式、面积公式的灵活应用，关键是熟记公式。
四．计算题（共2小题）
10．（2021秋•泉港区期末）计算如图阴影部分的周长和面积。

【思路点拨】通过观察图形可知，阴影部分是直径为2厘米的两个半圆，相当于一个直径为2厘米的圆的周长加上直径的2倍，阴影部分的面积等于直径为厘米的圆的面积公式，根据圆的周长公式：C＝πd，圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式解答。
【规范解答】解：3.14×2+2×2
＝6.28+4
＝10.28（厘米）
3.14×（2÷2）2
＝3.14×1
＝3.14（平方厘米）
答：阴影部分的周长是10.28厘米，面积是3.14平方厘米。
【考点评析】此题主要考查半圆的周长公式、圆的面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
11．（2021秋•淮滨县期末）计算操场的周长。

【思路点拨】通过观察图形可知，操场的周长等于直径是50米的圆的周长加上2个90米，根据圆的周长公式：C＝πd，把数据代入公式解答。
【规范解答】解：3.14×50+90×2
＝157+180
＝337（米）
答：它的周长是337米。
【考点评析】此题主要考查圆的周长公式的灵活运用，关键是熟记公式。
五．解答题（共4小题）
12．（2022秋•大兴区期末）礼堂里的一扇窗户，上面是一个半圆，下面是一个长方形。已知长方形的长是1.6米，宽是1.2米。这扇窗户的面积大约是多少平方米？

【思路点拨】根据半圆的面积公式：S＝πr2÷2，长方形的面积公式：S＝ab，把数据代入公式求出它们的面积和即可。
【规范解答】解：3.14×（1.2÷2）2÷2+1.2×1.6
＝3.14×0.36÷2+1.92
＝0.5652+1.92
＝2.4852（平方米）
答：这扇窗户的面积大约是2.4852平方米。
【考点评析】此题主要考查半圆的面积公式、长方形的面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
13．（2022秋•沈丘县期末）把一个圆形纸片剪开后，拼成一个宽等于半径，面积相等的近似长方形．这个长方形的周长是24.84厘米，原来这个圆形纸片的面积是多少平方厘米？
【思路点拨】把一个圆形纸片剪开后，拼成一个宽等于半径、面积不变的近似长方形．这个近似长方形的长就是圆周长的一半，求出圆的半径，根据圆面积公式求出圆的面积．据此解答．
【规范解答】解：圆的半径是：
24.84÷2÷（1+3.14），
＝12.42÷4.14，
＝3（厘米）；
圆的面积是：
3.14×32，
＝3.14×9，
＝28.26（平方厘米）．
答：这个圆形纸片的面积是28.26平方厘米．
【考点评析】本题考查了学生把圆剪开拼组后，近似长方形的周长是圆周长加上直径．
14．（2022秋•大冶市期末）街心公园运来了一批用于装饰的中空石柱，石柱的半径是0.5m，内壁厚度是0.2m。一根石柱的横截面的面积是多少平方米？

【思路点拨】根据环形面积公式：S＝π（R2﹣r2），把数据代入公式解答。
【规范解答】解：0.5﹣0.2＝0.3（米）
3.14×（0.52﹣0.32）
＝3.14×（0.25﹣0.09）
＝3.14×0.16
＝0.5024（平方米）
答：一根石柱的横截面的面积是0.5024平方米。
【考点评析】此题主要考查环形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
15．（2022秋•阳新县期末）如图，院子的两堵墙分别为5m和8m，墙外是一片草地，墙上拴着一只小羊，绳长4米。如果将小羊A和小羊B分别拴在图1、图2中的位置，哪只小羊吃到草的面积更大一些？相差多少？请用算式或其他方法说明。（结果可用含有π的式子表示）

【思路点拨】通过观察图形可知，图1中，小羊A吃到草的面积等于半径为4米的圆的面积的四分之三，图2中，小羊B能吃到草的面积等于半径为4米的半圆面积加上半径为（4﹣2）米，圆心角为90度的扇形面积，根据圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式解答。
【规范解答】解：小羊A吃到草的面积：
π×42÷4×3
＝π×16÷4×3
＝12π（平方米）
小羊B吃到草的面积：
π×42÷2+π×（4﹣2）2÷4
＝π×16÷2+π×4÷4
＝8π+π
＝9π（平方米）
12π﹣9π＝3π（平方米）
答：小羊A吃到草的面积大一些，相差3π平方米。
【考点评析】此题主要考查圆的面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。