2023年江西省抚州市南城县中考数学一模试卷（含解析）

2023年江西省抚州市南城县中考数学一模试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  下面由北京冬奥会比赛项目图标组成的四个图形中，可看作轴对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  一个骰子相对两面的点数之和为，它的展开图如图所示，下列判断正确的是(    )

A. 代表 B. 代表 C. 代表 D. 代表

5.  我国古代数学古典名著孙子算经中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量，木条还剩余尺；问长木多少尺？如果设木条长为尺，绳子长为尺，则下面所列方程组正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现如图所示的是该台灯的电流与电阻的关系图象，该图象经过点根据图象可知，下列说法正确的是(    )

A. 当时，
B. 与的函数关系式是
C. 当时，
D. 当时，的取值范围是

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

7.  石墨烯目前是世界上最薄、最坚硬的纳米材料，其理论厚度仅米，这个数用科学记数法表示为______。

8.  因式分解： ______ ．

9.  设，是关于的一元二次方程两个实数根，且，则 ______ ．

10.  如图，一条公路公路的宽度忽略不计的转弯处是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心，半径，圆心角，则这段弯路的长度为______

11.  如图，中，，，，、分别为，的中点，为上一点，且满足，则 ______ ．

12.  在长为，宽为的矩形纸片上，从它的一侧，剪去一个以矩形纸片宽为边长的正方形第一次操作；从剩下的矩形纸片一侧再剪去一个以宽为边长的正方形第二次操作；按此方式，如果第三次操作后，剩下的纸片恰为正方形，则的值为______．

三、解答题（本大题共11小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

13.  本小题分
计算：；
解不等式组：．

14.  本小题分
先化简，再求值：，选择一个你喜欢的值代入求值．

15.  本小题分
如图，点，，，在同一条直线上，，有下列三个条件：，，．
请在上述三个条件中选取一个条件，使得≌．
你选取的条件为填写序号 ______只需选一个条件，多选不得分，你判定≌的依据是______填“”或“”或“”或“”；
利用的结论≌求证：．

16.  本小题分
在▱中，，，、分别为边、的中点．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图保留画图痕迹．
在图中画一个以点、点为顶点的菱形．
在图中画一个以点、点为顶点的矩形．
 

17.  本小题分
有五个封装后外观完全相同的纸箱，且每个纸箱内各装有一个西瓜，其中，所装西瓜的重量分别为，，，，现将这五个纸箱随机摆放．
若从这五个纸箱中随机选个，则所选纸箱里西瓜的重量为的概率是______ ；
若从这五个纸箱中随机选个，请利用列表或画树状图的方法，求所选两个纸箱里西瓜的重量之和为的概率．

18.  本小题分
某校依据教育部印发的大中小学劳动教育指导纲要试行指导学生积极参加劳动教育．该校七年级数学兴趣小组利用课后托管服务时间，对七年级学生一周参加家庭劳动次数情况，开展了一次调查研究，请将下面过程补全．
收集数据
兴趣小组计划抽取该校七年级名学生进行问卷调查，下面的抽取方法中，合理的是______．
A.从该校七年级班中随机抽取名学生
B.从该校七作级女生中随机抽取名学生
C.从该校七年级学生中随机抽取男，女各名学生
通过问卷调查，兴趣小组获得了这名学生每人一周参加家庭劳动的次数，数据如下：


整理、描述数据
整理数据，结果如下：

分析数据

根据以上信息，解答下列问题：
补全频数分布直方图；
填空：______；
该校七年级现有名学生，请估计该校七年级学生每周参加家庭劳动的次数达到平均水平及以上的学生人数；
根据以上数据分析，写出一条你能得到的结论．

19.  本小题分
每年的月日是我国的“全国消防安全教育宣传日”，为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图，架在消防车上的云梯可伸缩最长可伸至，且可绕点转动，其底部离地面的距离为，当云梯顶端在建筑物所在直线上时，底部到的距离为．
若，求此时云梯的长．
如图，若在建筑物底部的正上方处突发险情，请问在该消防车不移动位置的前提下，云梯能否伸到险情处？请说明理由．
参考数据：，，
 

20.  本小题分
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点．
求与的值；
为轴上的一动点，当的面积为时，求的值．
 

21.  本小题分
如图，内接于，，是的直径，是延长线上一点，且．
求证：是的切线；
若，，求线段的长．

22.  本小题分
【情境呈现】如图，将两个完全相同的三角形纸片和重合放置，其中若固定，将绕着点旋转．
【初步探究】如图，当绕点旋转，点恰好落在边上若点恰好落在边的中点时，求此时旋转角的度数；若旋转角为，则的度数为______ 用含的式子表示．
【拓展提升】当绕点旋转到如图所示的位置时，求证：．
 

23.  本小题分
如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接，为第一象限内抛物线上一动点，过点作于点，与交于点，设点的横坐标为．

求抛物线的表达式；
当线段的长度最大时，求点的坐标；
抛物线上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是．
故选：．
根据相反数的概念解答即可．
本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，的相反数是．
 

2.【答案】 

【解析】解：、不是同类项，因此不能用加法进行合并，故A项不符合题意，
根据同底数幂的除法运算法则，故B项符合题意，
根据单项式乘单项式的运算法则可得，故C项不符合题意，
根据完全平方公式展开，故D项不符合题意．
故选：．
根据同底数幂的除法运算法则，单项式乘单项式运算法则以及完全平方公式的展开即可正确求解．
本题主要考查同底数幂的除法运算法则，单项式乘单项式运算法则以及完全平方公式的展开，熟练运用公式是解决此题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】
解：选项A、、不能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
选项D能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：．  

4.【答案】 

【解析】解：根据正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
与点数是的对面，与点数是的对面，与点数是的对面，
骰子相对两面的点数之和为，
代表的点数是，代表的点数是，代表的点数是．
故选：．
正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体是空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
 

5.【答案】 

【解析】解：设木条长尺，绳子长尺，那么可列方程组为：
．
故选：．
直接利用“绳长木条；绳子木条”分别得出等式求出答案．
此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：设与的函数关系式是，
该图象经过点，
，
，
与的函数关系式是，故B不符合题意；
当时，，
，
随增大而减小，
当时，，当时，，当时，的取值范围是，故A、不符合题意，符合题意．
故选：．
设与的函数关系式是，利用待定系数法求出，然后求出当时，，再由，得到随增大而减小，由此对各选项逐一判断即可．
本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确求出反比例函数解析式是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
科学记数法表示绝对值小于的数的一般形式为，其中，是正整数，等于原数中第一个不等于零的数字前面的零的个数包括小数点前面的一个零。
【解答】
解：
故答案为。  

8.【答案】 

【解析】解：
．
故答案为：．
根据平方差公式计算．
本题考查了因式分解运用公式法，熟悉因式分解是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，是关于的一元二次方程两个实数根，
，
，
解得：，
故答案为：．
根据一元二次方程根与系数的关系直接列式求解即可得到答案．
本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握．
 

10.【答案】 

【解析】解：由题意得，这段弯路的长度为，
故答案为：．
根据弧长公式进行求解即可．
本题主要考查了求弧长，熟知弧长公式是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：中，，，，
，
、分别为，的中点，
是的中位线，
，
，，
，
，
，
．
故答案为：．
先由勾股定理求出，证明是的中位线，得到，再证明，则，即可求出．
本题主要考查了三角形中位线定理，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，求出，的长是解题的关键．
 

12.【答案】或者 

【解析】解：第一次操作后的两边长分别是和，第二次操作后的两边长分别是和．
当时，有，解得，
当时，有，解得．
故答案为：或者．
本题中的与不知那个大，因此需要分类讨论，从而列方程求解．
主要考查了含有字母的代数式的比较，关键是第二次操作后的边长，不知哪个是长，哪个是宽，所以分两种情况，不要丢掉任何一种．
 

13.【答案】解：原式
；
，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为． 

【解析】根据零指数幂，负整数指数幂和二次根式的性质进行求解即可；
先求出每个不等式的解集，再求出两个不等式解集的公共部分即可．
本题主要考查了化简二次根式，零指数幂，负整数指数幂，解一元一次不等式组，正确计算是解题的关键．
 

14.【答案】解：



，
当时，原式答案不唯一． 

【解析】括号外分式的分子分母先分解因式，括号内通分进行分式的加减法运算，然后再进行分式的除法运算，最后代入使分式有意义的值进行计算即可．
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的运算顺序以及运算法则是解题的关键．
 

15.【答案】   

【解析】解：在和中，
，
≌，
在上述三个条件中选取一个条件，使得≌，
选取的条件为，判定≌的依据是．
故答案为：，；
证明：≌．
，
．
根据即可证明≌，即可解决问题；
根据全等三角形的性质可得可得，再根据平行线的判定即可解决问题．
本题考查了平行线的性质和全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键．
 

16.【答案】解：如图，菱形即为所求．

如图，矩形即为所求．
 

【解析】根据四边相等的四边形是菱形，连接，即可解决问题．
根据菱形的中点四边形是矩形，画出图形即可．
本题考查作图复杂作图，平行四边形的性质，菱形的判定，矩形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

17.【答案】 

【解析】解：一共有个箱子，每个箱子被选取的概率相同，而西瓜重量为的箱子有个，
这五个纸箱中随机选个，所选纸箱里西瓜的重量为的概率是，
故答案为：；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中所选两个纸箱里西瓜的重量之和为的结果有种，
所选两个纸箱里西瓜的重量之和为的概率为．
根据概率公式即可求得；
首先画出树状图，展示所有种等可能的结果数，再找出两个数字之和等于所占的结果数，再根据概率公式计算．
本题考查了求概率公式，利用画树状图求概率，熟练掌握和运用求概率的方法是解决本题的关键．
 

18.【答案】   

【解析】解：兴趣小组计划抽取该校七年级名学生进行问卷调查，下面的抽取方法中，合理的是从该校七年级学生中随机抽取男，女各名学生，
故答案为：；
补全频数分布直方图如下：

被抽取的名学生每人一周参加家庭劳动的次数从小到大排列，排在中间的两个数分别为、，故中位数，
故答案为：；
由题意可知，被抽取的名学生中达到平均水平及以上的学生人数有人，
人，
答：估计该校七年级学生每周参加家庭劳动的次数达到平均水平及以上的学生有人；
根据以上数据可知，七年级一周参加家庭劳动的次数偏少，故学校应该加强学生的劳动教育．答案不唯一．
抽样调查：根据抽样调查的要求判断即可；
由的频数为，即可补全频数分布直方图；
根据中位数的定义解答即可；
用样本估计总体即可；
根据平均数、中位数和众数的意义解答即可．
本题考查条形统计图、中位数、众数、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

19.【答案】解：在中，，，
，
此时云梯的长为；
在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处，
理由：由题意得：
，
，
，
在中，，
，
，
在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处． 

【解析】在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答；
根据题意可得，从而求出，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行比较即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

20.【答案】解：把代入，得，
，
把代入，得，
，
把代入，得，
，；

在中，当时，，
，
为轴上的动点，
，
，，
，
，
或． 

【解析】本题考查反比例函数与一次函数的交点，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会利用参数构建方程解决问题．
把点的坐标代入一次函数的解析式求出，再求出点的坐标，把点的坐标代入反比例函数的解析式中，可得结论；
根据，构建方程求解即可．
 

21.【答案】证明：是的直径，
，
，
，
，
又，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
解：由知，，
在和中，
，，
，
即，
，
在中，，，
，
解得，
即线段的长为． 

【解析】根据直径所对的圆周角是，得出，根据圆周角定理得出，推出即可得出结论；
根据得出，再根据勾股定理得出即可．
本题主要考查圆的综合题，熟练掌握圆周角定理，切线的判定，勾股定理等知识是解题的关键．
 

22.【答案】 

【解析】解：由旋转可知：，
，是的中点，
，
，
是等边三角形，
，
旋转角为．
由旋转可知：，，，
，
，
，
故答案为：；
证明：如图，过点作，垂足为，过点作交的延长线于点，
，
，
，
，
，，
，
由旋转可得：，
在和中，
，
≌，
，
，，，
．

根据旋转的性质，和直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，得到：，得到为等边三角形，即可得解；利用旋转的性质，得到，，，利用三角形的内角和定理，求出，再根据直角三角形的两个锐角互余，求出，即可得解；
如图，过点作，垂足为，过点作交的延长线于点，证明≌，利用旋转的性质和全等三角形的性质，得到两个三角形等底等高，即可得证．
本题考查旋转的性质，直角三角形斜边上的中线，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，以及三角形的内角和定理．综合性较强，熟练掌握旋转的性质：对应边相等，对应角相等，是解题的关键．
 

23.【答案】解：因为过点、，
则，
解得：，
故抛物线的表达式为：；
对于，令，则，
点，
设直线的解析式为，由直线过点、的坐标得，
，
解得，
直线的表达式为：，
设点的横坐标为，则点，
点，
，
，
有最大值，此时，
点；
存在，理由：
点，则，，
以点，，为顶点的三角形与相似，
当∽，即时，
，
解得：或舍去，
同理当∽时，
，
故，或．

 

【解析】直接利用待定系数法即可得到答案；
先求得点的坐标，再求直线的表达式，设点的横坐标为，则点，再得的表达式即可得到答案；
利用相似三角形的性质可得方程式，求解可得答案．
此题考查的是待定系数法求解析式、二次函数的最值问题、相似三角形的性质等知识，利用待定系数法求得解析式是解决此题关键．