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    人教版九年级下册27.2.2 相似三角形的性质导学案

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    这是一份人教版九年级下册27.2.2 相似三角形的性质导学案,共7页。学案主要包含了学习目标,要点梳理,典型例题,答案与解析,总结升华等内容,欢迎下载使用。

    相似多边形及位似--知识讲解

                                    

    【学习目标】

    1、掌握相似多边形的性质及应用;

    2、了解图形的位似,知道位似变换是特殊的相似变换,能利用位似的方法,将一个图形放大或缩小;

    3、了解黄金分割值及相关运算.

    【要点梳理】

    要点一、相似多边形

    相似多边形的性质:

    (1)相似多边形的对应角相等,对应边的比相等.

    (2)相似多边形的周长比等于相似比.

    (3)相似多边形的面积比等于相似比的平方.

    要点诠释:

    用相似多边形定义判定特殊多边形的相似情况:

    (1)对应角都相等的两个多边形不一定相似,如:矩形;

    (2)对应边的比都相等的两个多边形不一定相似,如:菱形;

    (3)边数相同的正多边形都相似,如:正方形,正五边形.

    要点二、位似

    1.位似图形定义: 如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点所在的直线都经过同一点,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心.

    2.位似图形的性质:

    (1)位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上;
     (2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比;
     (3)位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.

    要点诠释:

    (1)位似图形与相似图形的区别:位似图形是一种特殊的相似图形,而相似图形未

    必能构成位似图形.
    (2)位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点

    为位似中心,相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.
    3. 平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同:

    图形经过平移、旋转或轴对称的变换后,虽然对应位置改变了,但大小和形状没有改变,即两个图形是全等的;而位似变换之后图形是放大或缩小的,是相似的.

    4. 作位似图形的步骤
      第一步:在原图上找若干个关键点,并任取一点作为位似中心;
      第二步:作位似中心与各关键点连线;
      第三步:在连线上取关键点的对应点,使之满足放缩比例;
      第四步:顺次连接各对应点.

    要点诠释:

    位似中心可以取在多边形外、多边形内,或多边形的一边上、或顶点,下面是位似中心不同的画法.

     

    要点三、黄金分割

     

    定义:如图,将一条线段AB分割成大小两条线段AP、PB,若小段与大段的长度之比等于大段的长度与全长之比,即(此时线段AP叫作线段PB、AB的比例中项),则P点就是线段AB的黄金分割点(黄金点),这种分割就叫黄金分割.

     

     

    要点诠释:

    1.黄金分割值:设AB=1,AP=x,则BP=

                  

               

                (舍负)

    2.黄金三角形:顶角为36°的等腰三角形,它的底角为72°,恰好是顶角的2倍,人们称这种三角形为黄金三角形.

    黄金三角形性质:底角平分线将其腰黄金分割.

     

    【典型例题】

    类型一、相似多边形

    1.如图,矩形草坪长20m,宽16m,沿草坪四周有2m宽的环形小路,小路内外边缘所形成的两个矩形相似吗?为什么?

     

     

     

     

     

     

     

     

    答案与解析

    因为矩形的四个角都是直角,所以关键是看矩形ABCD与矩形EFGH的对应边的比是否相等.

    矩形ABCD与矩形EFGH的对应边的比不相等,因而它们不相似.

    【总结升华】两个边数相同的多边形,必须同时满足对应边都相等,对应角相等这两个条件才能相似,缺一不可.

    举一反三

    【变式】(2015•梧州一模)如图,一张矩形纸片ABCD的长AB=a,宽BC=b.将纸片对折,折痕为EF,所得矩形AFED与矩形ABCD相似,则a:b=(  )

    A. 2:1       B. :1      C. 3:      D. 3:2

    【答案】B.

    提示: ∵矩形纸片对折,折痕为EF,

    ∴AF=AB=a,

    ∵矩形AFED与矩形ABCD相似,

    =,即=

    ∴(2=2,

    =.故选B.

     

     2.2014甘肃模拟)如图,在长8cm,宽4cm 的矩形中截去一个矩形使留下的矩形(阴影部分)与原矩形相似,那么留下的矩形的面积为    

     A. 2cm       B. 4cm        C. 8cm      D. 16cm

    【答案】C.

    解析设留下的矩形的宽为x

    留下的矩形与原矩形相似,

    x=2

    留下的矩形的面积为:2×4=8cm2

    故答案为:8故选C.

    【总结升华】本题主要考查了相似多边形的性质,在解题时要能根据相似多边形的性质列出方程是本题的关键.

    类型二、位似

    3. 利用位似图形的方法把五边形ABCDE放大1.5倍.

     

     

     

     

    答案与解析即是要画一个五边形ABCDE,要与五边形ABCDE相似且相似比为1.5.   

     

     

     

     

     

    画法是:

        1.在平面上任取一点O.

        2.以O为端点作射线OA、OB、OC、OD、OE.

    3.在射线OA、OB、OC、OD、OE上分别取点A、B、C、D、E,使OA:OA= OB:OB=OC:OC=OD:OD=OE:OE=1.5.

        4.连结AB、BC、CD、DE、EA.

    这样:=1.5.

       则五边形ABCDE为所求. 另外一种情况,所画五边形跟原五边形分别在位似中心的两侧.

    【总结升华】由本题可知,利用位似的方法,可以把一个多边形放大或缩小.

     

    4. 如图,矩形OABC的顶点坐标分别为O00),A60),B64),C04.画出以点O为位似中心,矩形OABC的位似图形OA B C ,使它的面积等于矩形OABC面积的,并分别写出ABC三点的坐标.

     

    答案与解析

    因为矩形OABC与矩形OABC是位似图形,面积比为14,所以它

    们的位似比为12. 连接OB

    (1)分别取线段OAOBOC的中点ABC,连接O AABBC CO,矩形OABC就是所求的图形.

    ABC三点的坐标分别为A30),B32),C02.

    (2)分别在线段OAOBOC的反向延长线上截取O A、O B、O C,使OA=OA,OB=OB,O C=OC,连接 ABBC,则矩形O ABC为所求.

    ABC三点的坐标分别为A(-30),B(-3,-2),C0,-2.

     

    【总结升华】平面直角坐标系内画位似图形,若没有明确指出只画一个,一定要把两种情况都画在坐标系内,并写出两种坐标.

    举一反三

    【变式】在已知三角形内求作内接正方形.

    【答案】

    作法:

    (1)在AB上任取一点G,作GD⊥BC;

    (2)以GD为边,在△ABC内作一正方形DEFG

    (3)连接BF,延长交AC于F;

    (4)作FG∥CB,交AB于G,从F、G分别作BC的垂线FE, GD;

    ∴四边形DEFG即为所求.

     

     

     

     

     

     

     

     

    类型三、黄金分割

    5.求做黄金矩形(写出具体做题步骤)并证明.

    答案与解析

    宽与长的比是的矩形叫黄金矩形.心理测试表明:黄金矩形令人赏心悦目,它给我们以协调,匀称的美感.

    黄金矩形的作法如下(如图所示):

    第一步:作一个正方形ABCD;

    第二步:分别取AD,BC的中点M,N,连接MN;

    第三步:以N为圆心,ND长为半径画弧,交BC的延长线于E;

    第四步:过E作EF⊥AD,交AD的延长线于F.

    矩形DCEF为黄金矩形.

    证明:在正方形ABCD中,取

    ∵ N为BC的中点,

    中,

    又∵

    故矩形DCEF为黄金矩形.

    【总结升华】要求熟练掌握多边形相似的比例关系.会利用相似比,求未知线段的长度或比值.

    举一反三

    【变式】美是一种感觉,当人的肚脐是人的身高的黄金分割点时,人的下半身长与身高之比约为0.618,人的身段成为黄金比例,给人一种美感.某女士身高165cm,下半身长与身高的比值是0.60,为尽可能达到匀称的效果,她应穿高跟鞋的高度大约为(  )

    A.4cm     B.5cm     C.6cm     D.8cm

    【答案】D.

    该女士身高165cm,下半身长与身高的比值是0.60,
    此女士下半身长是165×0.60=99cm,
    设需要穿的高跟鞋是xcm,根据黄金分割的定义得:
    0.618,
    解得:x8.
    故选D.

     

     

     

     

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