44十字相乘法及分组分解法（提高）知识讲解

十字相乘法及分组分解法（提高）

【学习目标】

1. 熟练掌握首项系数为1的形如型的二次三项式的因式分解.

2. 基础较好的同学可进一步掌握首项系数非1的简单的整系数二次三项式的因式分解.

3. 对于再学有余力的学生可进一步掌握分数系数；实数系数；字母系数的二次三项式的因式分解.(但应控制好难度)

4. 掌握好简单的分组分解法.

【要点梳理】

要点一、十字相乘法

利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.

对于二次三项式，若存在 ，则

要点诠释：（1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则同号(若，则异号)，然后依据一次项系数的正负再确定的符号

（2）若中的为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止.

要点二、首项系数不为1的十字相乘法

在二次三项式(≠0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下：

　　按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即.

要点诠释：（1）分解思路为“看两端，凑中间”

　　（2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.

要点三、分组分解法

对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.

要点诠释：分组分解法分解因式常用的思路有：

要点四、添、拆项法

把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形.

添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法.

【典型例题】

类型一、十字相乘法 

1、分解因式：

【答案与解析】

解：原式＝

【总结升华】将视作常数，就以为主元十字相乘可解决.

举一反三：

【变式】分解因式：

【答案】

解：原式

2、分解因式：

【思路点拨】该题可以先将看作一个整体进行十字相乘法分解，接着再套用一次十字相乘.

【答案与解析】

解： 因为                     

所以：原式＝[－2][ －12]

          ＝

               ＝

【总结升华】十字相乘法对于二次三项式的分解因式十分方便，大家一定要熟练掌握.

举一反三：

【变式】分解因式：；

【答案】

解：原式

3、分解下列因式

(1)      (2)

【答案与解析】

 解：（1）令，

则原式

（2）令，

原式

【总结升华】此两道小题结构都非常有特点，欲分解都必须先拆开，再仔细观察每个式子中都存在大量相同的因式→整体性想法.整体性思路又称换元法，这与我们生活中搬家有些类似，要先将一些碎东西找包，会省许多事.

类型二、分组分解法 

4、分解因式：   

【思路点拨】对完全平方公式熟悉的同学，一看见该式，首先想到的肯定是式子中前三项恰好构成，第4、5项→.

【答案与解析】

解：原式

【总结升华】①熟记公式在复杂背景下识别公式架构很重要；②我们前面练习中无论公式、配方、十字相乘一般都只涉及单一字母，其实代数式学习是一个结构的学习，其中任一个字母均可被一个复杂代数式来替代，故有时要有一些整体性认识的想法.

举一反三：

【变式1】分解因式：（1）

（2）

（3）

【答案】

解：（1）原式；

（2）原式；

（3）原式.

【变式2】（2016秋•昌江区校级期末）分解因式：．

【答案】

解：

=

=

=．

类型三、拆项或添项分解因式

5、（2015春•吉州区期末）阅读理解：对于二次三项式x2+2ax+a2可以直接用公式法分解为（x+a）2的形式，但对于二次三项式x2+2ax﹣8a2，就不能直接用公式法了．我们可以在二次三项式x2+2ax﹣8a2中先加上一项a2，使其成为完全平方式，再减去a2这项，使整个式子的值不变，于是又：

x2+2ax﹣8a2

=x2+2ax﹣8a2+a2﹣a2

=（x2+2ax+a2）﹣8a2﹣a2

=（x+a）2﹣9a2

=[（x+a）+3a][（x+a）﹣3]

=（x+4a）（x﹣2a）

像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．

（1）请认真阅读以上的添（拆）项法，并用上述方法将二次三项式：x2+2ax﹣3a2分解因式．

（2）直接填空：请用上述的添项法将方程的x2﹣4xy+3y2=0化为（x﹣　  　）•（x﹣　  　）=0并直接写出y与x的关系式．（满足xy≠0，且x≠y）

（3）先化简﹣﹣，再利用（2）中y与x的关系式求值．

【答案与解析】

解：（1）x2+2ax﹣3a2

=x2+2ax+a2﹣4a2

=（x+a）2﹣4a2

=（x+a+2a）（x+a﹣2a）

=（x+3a）（x﹣a）；

（2）x2﹣4xy+3y2

=x2﹣4xy+4y2﹣y2

=（x﹣2y）2﹣y2

=（x﹣2y+y）（x﹣2y﹣y）

=（x﹣y）（x﹣3y）；

x=y或x=3y；

故答案为：y；3y

（3）原式=

=

=﹣，

若x=y，原式=﹣2；

若x=3y，原式=﹣．

【总结升华】此题考查了因式分解﹣添（拆）项法，正确地添（拆）项是解本题的关键．