35乘法公式（基础）知识讲解

乘法公式（基础）

责编：杜少波

【学习目标】

1. 掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；　　

2. 学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；

3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算.

【要点梳理】

要点一、平方差公式

平方差公式：

两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.

    要点诠释：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.

抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：

（1）位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型

（2）系数变化：如

（3）指数变化：如

（4）符号变化：如

（5）增项变化：如

（6）增因式变化：如

要点二、完全平方公式

    完全平方公式：

两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.

要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：

要点三、添括号法则

添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.

要点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确.

要点四、补充公式

；；

    ；.

【典型例题】

类型一、平方差公式的应用 

1、下列两个多项式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能?能用平方差公式计算的，写出计算结果．

    (1)；       (2) ；

    (3) ；    (4) ；

    (5) ；     (6) ．

【思路点拨】两个多项式因式中，如果一项相同，另一项互为相反数就可以用平方差公式.

【答案与解析】

 解：(2)、(3)、(4)、(5)可以用平方差公式计算，(1)、(6)不能用平方差公式计算．

    (2) ＝－＝．

    (3) ＝ － ＝．

    (4) ＝－ ＝．

    (5) ＝－＝．

【总结升华】利用平方差公式进行乘法运算，一定要注意找准相同项和相反项（系数为相反数的同类项）．

举一反三：

【变式】计算：（1）；   （2）；

（3）．

【答案】

解：（1）原式．

（2）原式．

（3）原式．

2、计算：

    (1)59.9×60.1；    (2)102×98．

【答案与解析】

解：(1)59.9×60.1＝(60－0.1)×(60＋0.1)＝＝3600－0.01＝3599.99

    (2)102×98＝(100＋2)(100－2)＝＝10000－4＝9996．

【总结升华】用构造平方差公式计算的方法是快速计算有些有理数乘法的好方法，构造时可利用两数的平均数，通过两式(两数)的平均值，可以把原式写成两数和差之积的形式．这样可顺利地利用平方差公式来计算．

举一反三：

【变式】（2015春•莱芜校级期中）怎样简便就怎样计算：

（1）1232﹣124×122                          

（2）（2a+b）（4a2+b2）（2a﹣b）

【答案】

解：（1）1232﹣124×122  

=1232﹣（123+1）（123﹣1）

=1232﹣（1232﹣1）

=1232﹣1232+1     

=1；

（2）（2a+b）（4a2+b2）（2a﹣b）

=（2a+b）（2a﹣b）（4a2+b2）

=（4a2﹣b2）（4a2+b2）

=（4a2）2﹣（b2）2

=16a4﹣b4．

类型二、完全平方公式的应用

3、计算：

    (1)；  (2)；  (3)；  (4)．

【思路点拨】此题都可以用完全平方公式计算，区别在于是选“和”还是“差”的完全平方公式.

【答案与解析】

 解：(1) ．

     (2) ．

     (3) ．

     (4) ．

【总结升华】(1)在运用完全平方公式时要注意运用以下规律：当所给的二项式符号相同时，结果中三项的符号都为正，当所给的二项式符号相反时，结果中两平方项为正，乘积项的符号为负．(2)注意之间的转化．

4、（2015春•吉安校级期中）图a是由4个长为m，宽为n的长方形拼成的，图b是由这四个长方形拼成的正方形，中间的空隙，恰好是一个小正方形．

（1）用m、n表示图b中小正方形的边长为　     　．

（2）用两种不同方法表示出图b中阴影部分的面积；

（3）观察图b，利用（2）中的结论，写出下列三个代数式之间的等量关系，代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn；

（4）根据（3）中的等量关系，解决如下问题：已知a+b=7，ab=5，求（a﹣b）2的值．

【答案与解析】

解：（1）图b中小正方形的边长为m﹣n．故答案为m﹣n；

（2）方法①：（m﹣n）（m﹣n）=（m﹣n）2；

方法②：（m+n）2﹣4mn；

（3）因为图中阴影部分的面积不变，所以（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn；

（4）由（3）得：（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab，

∵a+b=7，ab=5，

∴（a﹣b）2=72﹣4×5

=49﹣20

=29．

【总结升华】本题考查了完全平方公式的应用，列代数式，可以根据题中的已知数量利用代数式表示其他相关的量．

5、（2016春•常州期末）已知x+y=3，（x+3）（y+3）=20．

（1）求xy的值；

（2）求x2+y2+4xy的值．

【思路点拨】

（1）先根据多项式乘以多项式法则展开，再把x+y=3代入，即可求出答案；

（2）先根据完全平方公式变形，再代入求出即可．

【答案与解析】

解：（1）∵x+y=3，（x+3）（y+3）=xy+3（x+y）+9=20，

∴xy+3×3+9=20，

∴xy=2；

（2）∵x+y=3，xy=2，

∴x2+y2+4xy=（x+y）2+2xy=32+2×2=13．

【总结升华】本题考查了多项式乘以多项式的应用，能熟记多项式乘以多项式法则和乘法公式是解此题的关键．

举一反三：

【变式】已知，，求和的值．

【答案】

解：由，得；   ①

由，得．   ②

①＋②得，∴  ．

①－②得，∴  ．