安徽省十校联考2022-2023学年高二数学下学期期中联考试题（Word版附解析）

2022~2023学年度第二学期高二期中联考

命题单位：合肥八中 校审单位：合肥一六八中学

特别鸣谢联考学校：（排名不分先后）

合肥一六八中学、铜陵一中、阜阳一中、淮北一中、蚌埠二中、淮南二中、宿城一中、亳州一中、明光中学、霍邱一中、长丰一中

数 学

考生注意：

1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．

2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．

3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．

4．本五命题范围：人教A版选择性必修第二册，选择性必修第三册第六章．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 一质点作直线运动，其位移s（t）（单位：m）与时间t（单位：s）之间满足关系，则该质点在第时的瞬时速度为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据导数的物理意义求解即可.

【详解】由导数的物理意义可得该质点在第时的瞬时速度即函数在时的导数值，

因为

所以，

所以，

所以质点在第3秒时的瞬时速度为．

故选：A．

2. 保家卫国是每个公民应尽的义务，是一种神圣的职责，捍卫国家安全是每个公民的使命．防止外敌入侵，是中国军人的最高责任、最神圣的任务和最明确的目标，为增强学生爱国意识，激发学生爱国热情，某校组织学生进行爱国观影活动，备选影片有《建军大业》《我的1919》《湄公河行动》《空天猎》《厉害了我的国》5部，若甲、乙、丙三位同学每人只能选择观看其中一部影片，则不同的选择结果共有（    ）

A. 10种 B. 27种 C. 60种 D. 125种

【答案】D

【解析】

【分析】利用分步乘法计数原理求解.

【详解】解：由题意知，甲、乙、丙三位同学每人只能选择观看其中一部影片，

所以每个人有5种选择，

由分步计数原理得共有（种）．

故选：D．

3. 已知函数，则f（e）＝（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用赋值，求，再求函数的导数，赋值，求，即可求得函数的解析式，再求的值.

【详解】函数，则,解得，

所以，所以，

所以，解得，所以，

所以.

故选：D．

4. 在项数为m的等差数列中，其前3项的和为12，最后3项的和为288，所有项的和为950，则m＝（    ）

A. 16 B. 17 C. 19 D. 21

【答案】C

【解析】

分析】由条件列等式，结合等差数列性质可求，再由条件结合等差数列求和公式求.

【详解】由题意知，

由等差数列性质可得，

所以，

所以，

又，

所以．

故选：C．

5. 某公司为庆祝公司成立9周年，特意制作了两个热气球，在气球上写着“9年耕耘，硕果累累”8个大字，已知热气球在第一分钟内能上升30m，以后每分钟上升的高度都是前一分钟的，则该气球上升到70m高度至少要经过（    ）

A. 3分钟 B. 4分钟 C. 5分钟 D. 6分钟

【答案】B

【解析】

【分析】设表示热气球在第n分钟内上升的高度，由条件求出数列的通项公式，再由求前项和，由条件求气球上升到70m高度时所需时间即可.

【详解】设表示热气球在第n分钟内上升的高度，

由已知．

所以前秒热气球上升总高度，

因为，

所以数列为单调递增数列，

又，，

所以该气球至少要经过4分钟才能上升到70高度，

故选：B．

6. 著名的斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，…，满足，，则是斐波那契数列中的（    ）.

A. 第2022项 B. 第2023项 C. 第2024项 D. 第2025项

【答案】C

【解析】

【分析】将所求关系式中的“1”换为，再利用即得．

【详解】因为，

所以

.

故选：C．

7. 若，则（    ）

A. 6 B. 7 C. 6或18 D. 7或21

【答案】C

【解析】

【分析】根据组合数的性质和排列数的定义求解.

【详解】因为，又，

所以，或，

由，得，整理得解得或（舍去），

所以或；

故选：C．

8. 已知正项数列的前n项和为，若，且，则的值所在的区间是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由已知可得，结合累加法证明，由此可得，结合裂项相消法求的范围.

【详解】因，

所，

所以，即，

所以，，， ，

所以，又，

所以，

当时，，满足上式，

所以，又，

所以，

所以，

所以，又，所以，所以．

故选：A．

【点睛】关键点点睛：本题主要考查累加法求数列通项，和裂项相消法求数列的前项和，问题解决的关键在于由递推关系证明，结合累加法证明，再结合裂项相消法求结论.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 下列函数的求导运算正确的是（    ）

A.  B. （，且）

C. （，且） D.

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用导数的运算法则求解判断.

【详解】对于A，，故A正确；

对于B，，故B错误；

对于C，，故C正确；

对于D，，故D正确，

故选：ACD．

10. 已知，则关于其展开式的结论正确的是（    ）

A. 常数项是160 B. 二项式系数的和为64

C. 含项的系数是－192 D. 所有项的系数和为1

【答案】BCD

【解析】

【分析】求得展开式的通项公式为，令，可求得常数项，即可判断A选项；利用二项式系数和公式即可判断B选项；令，可求得含项，即可判断C选项；令x＝1，得所有项的系数和为1，即可判断D选项.

【详解】因为的展开式的通项为，

对于A，令，得，所以常数项为，故A错误；

对于B，二项式的系数和为，故B正确；

对于C，令，得，所以含项系数是，故C正确；

对于D，令x＝1，得所有项的系数和为1，故D正确．

故选：BCD．

11. 已知，直线与曲线相切，则（    ）

A. ab的最大值为 B. 的最小值为25

C. 的最小值为 D. 的最大值为2

【答案】BC

【解析】

【分析】根据导数几何意义，得到，再结合基本不等式可判断ABD的正误，利用换元法可解选项C.

【详解】设切点为，因为，所以，得，

所以，所数．

对于A，，所以，

当且仅当时，等号成立，故A不正确；

对于B，＋，

当且仅当时，等号成立，故B正确；

对于C，，

当且仅当时，等号成立，故C正确；

对于D，，

当且仅当，即时，等号成立，

故的最大值为，故D错误.

故选：BC

12. 已知是数列的前n项和，则（    ）

A. 若为等差数列，对给定的正整数不一定成等差数列

B. 若为等比数列，对给定的正整数不一定成等比数列

C. 若，且的最大项为第9项，则

D. 若且 （其中），则

【答案】BC

【解析】

【分析】对于A，由等差数列的性质判断；对于B，由等比数列的性质判断；对于C，由判断；对于D，由数列前面部分对称求解判断.

【详解】对于A，由等差数列的性质知一定成等差数列，故A错误；

对于B，由等比数列性质知，当时，成等比数列，当时，不成等比数列，故B正确；

对于C，，若，数列单调递增，无最大项，不合题意，若，当时，单调递增，且，当时，单调递减，且，故n取满足的最小整数时，取得最大值，又的最大项为，所以，所以，故C正确；

对于D，当时，易求，由于该数列前面部分是对称的，故当时，也成立，故D错误．

故选：BC．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. ___．

【答案】255

【解析】

【分析】根据二项式定理化简求值即可.

【详解】设，则

所以，

所以S＝．

故答案为：.

14. 在数列中，当时，，则其通项公式为___．

【答案】

【解析】

【分析】根据给定的递推公式，在时，用换，两式相减，再构造常数列求解作答.

【详解】当时，，当时，，

两式相减得，即，

因此，即，于是，当时也成立，n＝1时不成立，

所以．

故答案为：

15. 某集团派遣5位监事会成员去集团下属的3家子公司进行行政监察，3家子公司每家至少派遣1位监事会成员，每位监事会成员必去且只能去一家子公司，则共有___种派遣方案；若监事会成员A和B不去同一家子公司，则共有___种派遣方案．

【答案】    ①. 150    ②. 114

【解析】

【分析】先根据分堆分配问题解决方法，结合分类加法计数原理求出满足条件的派遣方案数，再由间接法求监事会成员和不去同一家子公司的.派遣方案数

【详解】5位监事会成员去3家子公司，每家至少派遣1位监事会成员，

每位监事会成员必去且只能去一家子公司的遣方案，可分为两类：

第一类，一组3人，其余两组各1人的派遣方案，

共有种分法，

第二类：一组1人，其余两组各2人的派遣方案，

共有种分法；

由分类加法计数原理可得共有种派遣方案．

监事会成员和去同一家子公司的派遣方案，可分为两类：

第一类：和与余下3人中1人去一家子公司，其余2人各去一家子公司的派遣方案，

该方案可分为两步完成，

第一步，从余下人中任选一人与成员和一起去一家子公司有种方法，

第二步，安排余下人去余下两家子公司有种方法，

由分步乘法计数原理可得共有种分法，

第二类：和去一家子公司，余下3人分为2组，一组1人，一组2人，

安排去余下两家子公司的派遣方案，该方案可分为两步完成，

第一步，安排成员和一起去一家子公司，有种方法，

第二步，将余下人，安排去余下两家子公司，

一家去人，一家去人，共有种方法，

由分步乘法计数原理可得共有种分法，

所以和去同一家子公司共有种派遣方案，

即监事会成员和不去同一家子公司，共有种派请遣方案．

故答案为：；.

16. 若等差数列满足，则n的最大值为___．

【答案】50

【解析】

【分析】设，等差数列的公差为，不妨设，则，且，即，根据，得到即有，再根据等差数列的前n项和公式，求得，从而得出，即可求解.

【详解】由题意知：等差数列满足

，

故等差数列不是常数列，且中的项一定满足或，且项数为偶数，

设，等差数列的公差为，不妨设，此时，，

则，且，即，故，.

又，则，故，即有，

则

，

可得，解得，又，

即有的最大值为，的最大值为.

故答案为：50

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 若，．

（1）求的大小（用指数式表示）；

（2）求除以所得的余数．

【答案】（1）   

（2）2

【解析】

【分析】（1）分别令、，求出、的值，再两式相减除以即得；

（2）由（1）知，再由利用二项式定理展开，即可得解.

【小问1详解】

因为，

令，得①，

令，得②，

①减②的差除以，得．

【小问2详解】

由（1）知，

因为，

所以，

因为为整数，

所以被除的余数为，即除以的余数为.

18. 已知函数的导函数为，且0和2是关于x的方程的两个实数根，．

（1）求函数的解析式：

（2）求函数的图象在点处的切线方程．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）求出导数，根据0和2是关于x的方程的两个实数根及列方程求解即可；

（2）利用导数求出切线的斜率，得到切线方程即可.

【小问1详解】

（1），

则．

因为0和2是关于x的方程的两个实数根，

所以．

因为，所以，

因为，所以

解得．

所以

【小问2详解】

由（1）知，

所以，

又，

所以函数的图象在点处的切线方程为，

即．

19. 已知等差数列的首项为1，且，___．在①；②成等比数列；③，其中是数列}的前n项和．在这三个条件中选择一个，补充在横线中，并进行解答．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列{}的前n项和．

注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分，

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）设的公差为d，选择①，结合等差数列求和公式列方程求，由此可得的通项公式；选择②，由条件结合等比中项列方程求，由此可得的通项公式；选择③，结合等差数列求和公式和通项公式列方程求，由此可得的通项公式；

（2）由（1），利用组合求和法，结合等差数列求和公式和等比数列求和公式求数列{}的前n项和．

【小问1详解】

若选择①：设的公差为d，

因为，，

所以，

所以，

所以；

若选择②：因为成等比数列，

所以，

又，所以，

又，设的公差为，

所以，解得，

所以；

若选择③：设的公差为d，

因为，

所以，又，

即，

解得，

所以；

【小问2详解】

由题知．

所以，

所以，

所以，

所以.

20. 部队是青年学生成长成才的大学校，是砥砺品格、增强意志的好课堂，是施展才华、成就事业的大舞台，国防和军队现代化建设迫切需要一大批有责任、敢担当的有志青年携笔从戎、报效祖国．为响应征兵号召，某高等院校7名男生和5名女生报名参军，经过逐层筛选，有5人通过入伍审核．

（1）若学生甲和乙都接到了入伍通知，其余入伍人员尚未接到通知，求所有可能结果有多少种？

（2）若至少有2名女生通过入伍审核，但入伍人员尚未接到通知，求所有可能结果有多少种？

（3）若通过入伍审核的5人恰好是海军、空军、陆军、火箭军、武警各1人，且入伍陆军的是女生，入伍火箭军的是男生，求所有可能结果有多少种？

【答案】（1）   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）从学生甲和乙以外的人中任选人，利用组合数公式计算可得；

（2）利用间接法，求出没有女生和有名女生的可能结果，即可得解；

（3）先选一个女生入伍陆军，再选一个男生入伍火箭军，其余从剩下的人中选人排列即可.

【小问1详解】

因为学生甲和乙都接到了入伍通知，其余入伍人员尚未接到通知，

所以从学生甲和乙以外的10人中任选3人，

所以所有的可能结果有种

【小问2详解】

从12人中任选5人的所有可能结果有种，

选出的5人中没有女生所有可能结果有种，

选出的5人中有1名女生所有可能结果有种，

所以至少有2名女生被选出的选法数为种．

【小问3详解】

先入伍陆军的是女生，入伍火箭军的是男生，再从剩余的10人中任选3人，

故所有的可能结果有种

21. 已知数列是等差数列，数列是正项等比数列，且．

（1）求数列与的通项公式；

（2）求数列|的前n项和；

（3）构造数列 （），若，求该数列前2023项和．

【答案】（1）   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为，由条件列方程求，由此可得结论；

（2）由（1），利用错位相减法求其前n项和；

（3）讨论，结合组合求和法和等比数列求和公式求.

【小问1详解】

设等差数列的公差为d，等比数列的公比为，

因为

所以，，

所以，，

所以．

【小问2详解】

由（1）得，．

所以数列的前n项和为：

，

，

两式作差得

所以

所以，

所以；

【小问3详解】

由题意得，

故原数列为，

当，即时，，

当，即时， ，

，

所以．

22. 设函数，，.

（1）求在上单调区间；

（2）若在y轴右侧，函数图象恒不在函数的图象下方，求实数a的取值范围；

（3）证明：当时，.

【答案】（1）答案见解析   

（2）a≤1    （3）证明见解析

【解析】

【分析】（1）求得，分和，两种情况讨论，结合导数的符号，即可求解函数的单调区间；

（2）设函数，求得，令，求得，分和，两种情况讨论，求解函数的单调，进而求得的取值范围.

（3）取，由（2）知，令，，令，化简得到，进而证得结论.

【小问1详解】

解：由函数，可得，

当，即时，，此时函数在上单调递增；

当，即时，令，解得；

令，解得，

函数在上单调递增，在上单调递减，

综上，当时，函数单调递增区间为；当时，单调递增区间为，递减区间为.

【小问2详解】

解：设函数，则，

令，则，

当，即时，，即，

即，所以成立，此时符合题意；

当，即时，令，解得，所以在区间上单调递减，又由，此时在上单调递减，

所以，显然不满足题意.

综上可得，实数的取值范围为.

【小问3详解】

证明：取，由（2）知，

因为，令，代入得到，

即，且，

令，，即，代入化简得到，

所以成立.

【点睛】方法总结：利用导数证明或判定不等式问题：

1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；

2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；

3、适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；

4、构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.