浙江省温州十校联合体2022-2023学年高二数学下学期期中联考试题（Word版附解析）

2022学年第二学期温州十校联合体期中联考

高二年级数学试题

考生须知：

1.本卷共6页满分150分，考试时间120分钟.

2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号并填涂相应数字.

3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.

4.考试结束后，只需上交答题纸.

选择题部分

一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设集合则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】解一元二次不等式化简集合A，再利用交集的定义求解作答.

【详解】解不等式，得，即，而，

所以.

故选：C

2. “”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据充分必要条件的概念求解.

【详解】由，得，即，

但若，取，则不成立，

所以“”是“”的充分不必要条件；

故选:A.

3. 已知复数满足（为虚数单位），则在复平面复数所对应的点在（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限

C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】A

【解析】

【分析】根据复数的除法运算求解.

【详解】因为,所以,

所以复平面复数所对应的点在第一象限,

故选:A.

4. 对于函数，下列说法正确的是（    ）

A. 函数的图象可以由函数的图象向右平移个单位得到

B. 函数的图象可以将函数图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍得到

C. 若且，则的最小值为

D. 若为偶函数，则

【答案】C

【解析】

【分析】利用函数的图象的变换判断AB；通过函数的周期，转化求解判断C；利用函数的奇偶性判断D即可．

【详解】由函数的图象向右平移个单位得到函数，所以A不正确；

将函数图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍得到函数，所以B不正确；

因为函数的周期为，所以且，当为最小值时，此时为相邻的两个零点，故的最小值为，所以C正确；

若为偶函数，可得函数，，则，所以D不正确；

故选：C．

5. 如图，三棱锥的四个顶点都在球上，平面，，则球的表面积是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由线面垂直的判定与性质，证出且，得到与是具有公共斜边的直角三角形，从而得出，所以、、、四点在以为球心的球面上．根据题中的数据，利用勾股定理算出长，进而得到球半径，利用球的表面积公式加以计算，可得答案．

【详解】取的中点，连,

平面，平面，，

又，，平面，

平面，，

是的斜边上的中线，．

同理可得：中，，

，可得、、、四点在以为球心的球面上．

中，，，可得，

中，，可得．

球的半径，可得球的表面积为．

故选：B

6. 已知实数，其中，则大小关系是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用指数函数的值域与对数函数的性质判断得；利用指数与对数的互换判断；利用对数的运算法则与对数函数的性质判断得；从而得解.

【详解】因为，，所以，则；

因为，所以，且，所以；

因为，所以；

综上：.

故选：D.

7. 2023年2月10日，神舟十五号三位航天员完成出舱活动全部既定任务，中国空间站全面建成后的首次出舱活动取得圆满成功.该航天科研所的甲､乙､丙､丁､戊5位科学家应邀去三所不同的学校开展科普讲座活动，要求每所学校至少1名科学家.已知甲､乙到同一所学校，丙不到学校，则不同的安排方式有多少种（    ）

A. 12种 B. 24种 C. 36种 D. 30种

【答案】B

【解析】

【分析】根据排列组合的知识以及分组分配的方法求解.

【详解】因为甲､乙到同一所学校，所以将甲、乙“捆绑”看成一个元素，

因此要将四个元素：甲乙、丙、丁、戊分配到三所学校，每所学校至少1个元素，

若A学校只安排一个元素，则有种分配方法；

若A学校只安排二个元素，则有种分配方法；

所以不同的安排方式有24种，

故选:B.

8. 点在线段上（不含端点），为直线外一点，且满足，则的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据平面向量共线定理推论可得且，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解.

【详解】因为，所以，

又点在线段上（不含端点），所以，且，则，

所以

，

当且仅当，即时，等号成立，

故的最小值为.

故选：D.

二､多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 下列四个选项中，计算结果是的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据三角恒等变换公式以及诱导公式一一求解即可.

【详解】对A，，A正确；

对B，

，B正确；

对C，，C正确；

对D，，D错误；

故选:ABC.

10. 关于平面向量，有下列四个命题，则（    ）

A. 已知向量，若，则

B. 设向量，则

C. 若向量和向量是单位向量，且，则

D. 若向量，则向量在向量上的投影向量是

【答案】CD

【解析】

【分析】根据平行向量的坐标关系即可判断A的正误；根据向量数乘的几何意义即可判断B的正误；根据向量垂直的充要条件及向量数量积的运算即可判断C的正误；根据投影向量的计算公式即可判断D的正误．

【详解】，若，则，即，解得或4，A错误；

当且，且不共线时，，B错误；

是单位向量，时，，，C正确；

，在上的投影向量为：，D正确．

故选:CD

11. 一个不透明箱子中有大小形状均相同的两个红球､两个白球，从中不放回地任取2个球，每次取1个.记事件为“第次取到的球是红球”，事件为“两次取到的球颜色相同”，事件为“两次取到的球颜色不同”，则（    ）

A. 与互斥 B.

C.  D. 与相互独立

【答案】BCD

【解析】

【分析】对于A，利用互斥事件的定义即可判断；对于B，利用古典概型的概率公式即可判断；对于C，利用条件概率的计算公式即可判断；对于D，利用独立事件的概率公式即可判断.

【详解】对于A，与可以同时发生，即两次取到的都是红球，则与不互斥，故A错误；

对于B，箱子中有大小形状均相同的两个红球、两个白球，则，故B正确；

对于C，，，

则，故C正确；

对于D，，，，

则有与相互独立，故D正确.

故选：BCD.

12. 是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则下列选项正确的是（    ）

A. 4是函数的一个周期

B. 是函数图象的一条对称轴

C. 函数是偶函数

D.

【答案】AB

【解析】

【分析】利用函数周期性的概念可求解A，根据对称性的定义可求解B，结合周期性和对称性可判断C，利用周期性和对称性以及时，，可求解D.

【详解】对A，因为，即，

则，

所以，因此，4是函数的一个周期，A正确；

对B，因为，且是定义在上的奇函数

则，可得，

所以是函数图象的一条对称轴，B正确；

对C，因为，且是定义在上的奇函数，

则，可得，

所以函数是奇函数，C错误；

对D，当时，，则，

所以

，D错误；

故选：AB.

【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．

非选择题部分

三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.

13. 的展开式中的系数为__________.（用数字作答）

【答案】

【解析】

分析】利用二项式展开式的通项公式，求得展开式中的系数．

【详解】，所以展开式中的系数为．

故答案为：

14. 已知变量和的统计数据如下表：

由表中的数据得到线性回归方程，那么当时残差为__________.（注：残差观测值-预测值）

【答案】##

【解析】

【分析】利用给定数表及回归直线方程，求出时的观测值和预测值即可计算作答.

【详解】由数表知，，则，

因此时的观测值为，而时的预测值为，

所以当时残差为.

故答案为：

15. 已知函数在区间上有且只有3个零点，则的取值范围是__________.

【答案】

【解析】

【分析】根据余弦函数的图象性质即可求解.

【详解】因为，所以，

因为函数在区间上有且只有3个零点，

所以，解得，

故答案为: .

16. 已知为正三角形，其边长是2，空间中动点满足：直线与平面所成角为，则面积的最小值为__________.

【答案】##1.5

【解析】

【分析】根据线面角可求三棱柱的高，进而利用等体积法即可判断当平面时，面积取得最小值，由体积公式即可求解.．

【详解】过作平面，由于与平面所成角为，所以，

故，所以三棱锥的体积为,故当平面时，面积取得最小值，故

故答案为：．

四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 已知，函数

（1）求函数的单调递增区间；

（2）若，求函数的值域.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据三角恒等变换公式以及正弦函数增区间的求解方法求解；

（2）根据正弦函数的图像性质即可求值域.

【小问1详解】

,

令,

所以函数的单调递增区间为.

【小问2详解】

因为得：,

所以,

所以函数的值域为.

18. 中国国家流感中心3月2日发布的2023年第8周流感检测周报称：本周南､北方省份流感病毒检测阳性率继续上升.某医院用甲､乙两种疗法治疗流感患者，为了解两种治疗方案的效果，现随机抽取105名患者，调查每人的恢复期，得到如下列联表（注：恢复期大于7天为恢复期长）

（1）是否有95%的把握认为“恢复期长短”与治疗方案有关；

（2）现按分层随机抽样的方法，从采用乙治疗方案的样本中随机抽取10人，从这10人中再随机抽取3人，求其中恢复期长的人数的分布列和期望.

（3）假设甲方案治疗的恢复期为，统计发现近似服从正态分布，若某患者采用甲方案治疗，则7天后是否有大于的把握恢复健康？请说明理由.

若则，

【答案】（1）有95%的把握认为“恢复期长短”与“治疗方案”有关   

（2）分布列见解析，1.2   

（3）7天后有大于的把握恢复健康，理由见解析

【解析】

【分析】（1）根据独立性检验方法求解；

（2）利用超几何分布求解；

（3）利用正态分布直接求解.

【小问1详解】

由题意可得如下列联表：

零假设：“恢复期长短”与“治疗方案”无关,

,

所以有95%的把握认为“恢复期长短”与“治疗方案”有关.

【小问2详解】

由分层抽样得，抽取恢复期长的为4人，恢复期短的为6人，

根据题意可取，

，，

，，

可得的分布列为：

.

【小问3详解】

因为，所以

又因为

所以7天后有大于的把握恢复健康.

19. 在中，角的对边分别为，且满足__________.

从条件①､条件②这两个条件中任选一个补充在上面横线上作为已知，

（1）求角；

（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.

条件①：

条件②：

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）选①，利用余弦定理即可得到的大小；选②利用诱导公式结合正余弦平方和关系即可求出，则得到的大小；

（2）利用正弦定理解得，再求出的范围则得到的范围，最后利用三角形面积公式即可.

【小问1详解】

选择条件①：

由题意及正弦定理知，

选择条件②：因为，所以，

即，

解得，又，

所以

【小问2详解】

由可得

因为是锐角三角形，由（1）知得到，

故，解得，

所以，则，所以

.

20. 已知三棱柱中，是边长为2的等边三角形，且，平面平面，三棱锥的体积为.

（1）求证：；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据面面垂直的性质定理和线面垂直的性质定理证明；

（2）方法一：利用等体积法求解；方法二：利用线面角的定义作出线面角求解.

【小问1详解】

取线段的中点，连接.

,

平面平面，平面平面,

且平面，

平面,

又,平面,

平面,平面,

.

【小问2详解】

方法一：等体积法

，

则,

因为平面,平面,所以，

所以,

因为平面,平面,所以，

所以,

所以为等腰三角形，取中点为，

则有,所以，

设点到平面的距离为.

，即，即，

则，

设直线与平面所成角为，

所以直线与平面所成角的正弦为.

方法二：定义法

作交于点，连接,则,

过作于，连接.

,平面，

平面，

又平面,

平面平面，

平面平面平面,

平面,

是直线与平面所成角,

，

则,

因为平面,平面,所以，

所以,

因为平面,平面,所以，

所以,

所以等腰三角形，取中点为，

则有,

在直角中，

根据等面积法可得，,解得，

在则,

直线与平面所成角的正弦为.

21. 党的二十大报告中提出：“我们要坚持以推动高质量发展为主题，推动经济实现质的有效提升和量的合理增长”.为了适应新形势，满足市场需求，某企业准备购进新型机器以提高生产效益.已知生产产品的质量以其质量指标值来衡量，并按照质量指标值划分产品等级如图表1：

图表1

现从试用的新机器生产的产品中随机抽取200件作为样品，检验其质量指标值，得到频率分布直方图，如图表2：

（1）根据样本估计总体的思想，求该产品的质量指标值的第70百分位数（精确到0.1）；

（2）整理该企业的以往销量数据，获得信息如图表3：

图表3

（产品各等级的销售率为等级产品销量与其对应产量的比值）

已知该企业购进新型机器的前提条件是，该机器生产的产品同时满足下列两个条件：

①质量指标值的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）不低于35.

②单件产品平均利润不低于4元.

已知该新型机器生产的产品的成本为10元/件，月产量为2000件，根据图表1､图表2､图表3信息，分析该新机器是否达到企业的购进条件.

【答案】（1）46.7   

（2）该新型机器没有达到该企业的认购条件

【解析】

【分析】（1）根据频率分布直方图数据信息结合百分位数的定义求解；

（2）利用频率分布直方图的平均数计算方法和分布列的数学期望公式求解.

【小问1详解】

设该产品的质量指标值的第70百分位数为，

由频率直方图可知.

【小问2详解】

先分析该产品质量指标值的平均数：

由频率分布直方图可知，产品质量指标值的平均数为

故满足认购条件①.

再分析该产品的单价平均利润值：

由频率分布直方图可知，新型机器生产的产品为一､二､三等品的概率估计值分别为：

，

故2000件产品中，一､二､三等品的件数估计值为：件，

则2000件产品的总利润为：元，

元，

元，

元，

故2000件产品的单件平均利润的估计值为，

故不满足认购条件②.

综上，该新型机器没有达到该企业的认购条件.

22. 已知函数

（1）若函数在区间的值域为，求的值；

（2）令，

（i）若在上恒成立，求证：；

（ii）若对任意实数，方程恒有三个不等的实数根，求实数的取值范围.

【答案】（1）   

（2）（i）证明见解析；（ii）

【解析】

【分析】（1）根据二次函数单调性即可求解最值，

（2）根据一元二次不等式恒成立转化成判别式不大于0即可求解，根据二次函数根的分布，分类讨论或者利用函数图象，即可求解.

【小问1详解】

由于函数在区间单调递减，所以，

即解得

【小问2详解】

（i）由题意可得，，

若在恒成立，则在恒成立，

即，

（ii）由题意可得，

当函数与函数图像无交点或只有一个交点时，

方程只有一个实根，不符题意；

当函数与函数图像的两个不同交点位于对称轴的同一侧时，方程只有一个实根，不符题意；

以下求解，函数与函数图像的两个交点位于对称轴的两侧时，实数的取值范围：

设函数图像与函数的图像交于两点，

化简得，

即，解得，

所以或.

，

所以，，

即得，

当时，无解，

当时，显然成立，

所以

综上所述，.

      【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路

(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；

(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．