专题04 立体几何-冲刺高考数学大题突破+限时集训（新高考专用）

专题04  立体几何

立体几何一般作为全国卷第20题21题.重点题型主要是

1 体积问题及表面积问题

2 线面距离及线面角问题

3 二面角问题

4  空间几何综合问题

题型一：体积及表面积问题

1．在如图所示的多面体ABCDE中，平面ABC，，，，．

(1)证明：平面平面BDE；

(2)求多面体ABCDE的体积．

1．如图①，在平面四边形中，，，．将沿着折叠，使得点到达点的位置，且二面角为直二面角，如图②．已知分别是的中点，是棱上的点，且与平面所成角的正切值为．

(1)证明：平面平面；

(2)求四棱锥的体积．

题型二：线面距离及线面角问题

1 如图，在多面体中，已知，，均为等边三角形，平面平面ABC，平面平面ABC，H为AB的中点．

(1)判断DE与平面ABC的位置关系，并加以证明；

(2)求直线DH与平面ACE所成角的正弦值．

1 如图，垂直于梯形所在平面，，为的中点，，，四边形为矩形.

(1)求证：平面；

(2)求平面与平面的夹角的大小；

(3)求点到平面的距离.

题型三： 二面角问题

1  如图，四棱锥P-ABCD中，已知，BC=2AD，AD=DC，∠BCD=60°，CD⊥PD，PB⊥BD．

(1)证明：PB⊥AB；

(2)设E是PC的中点，直线AE与平面ABCD所成角等于45°，求二面角B-PC-D的余弦值．

1 如图，在四棱锥中，底面ABCD为梯形，，，，为正三角形，，.

(1)求证：平面平面SBC；

(2)求二面角的余弦值.

题型四：  空间几何综合问题

1．如图所示，正方形ABCD所在平面与梯形ABMN所在平面垂直，，，，.

(1)证明：平面；

(2)在线段CM（不含端点）上是否存在一点E，使得二面角的余弦值为.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

1 如图，在四棱锥E-ABCD中，平面ADE⊥平面ABCD，O､M分别为线段AD､DE的中点，四边形BCDO是边长为1的正方形，AE=DE，AE⊥DE.

(1)求证：CM平面ABE；

(2)求直线CM与BD所成角的余弦值；

(3)点N在直线AD上，若平面BMN⊥平面ABE，求线段AN的长.

1．（2023·山东·潍坊一中校联考模拟预测）如图，在四棱锥中，为等边三角形，为的中点，，平面平面．

(1)证明：平面平面；

(2)若，，，求平面与平面夹角的余弦值．

2．（2023·山东·日照一中校考模拟预测）如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．

(1)求A到平面的距离；

(2)设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．

3．（2023·吉林·长春十一高校联考模拟预测）如图，在三棱柱中，平面ABC，D为线段AB的中点，，，，三棱锥的体积为8．

(1)证明：平面；

(2)求平面与平面夹角的余弦值．

4．（2022·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，为等边三角形，为线段的中点，且平面平面，是线段上的点.

(1)求证：；

(2)若直线与平面的夹角的正弦值为，求四棱锥的体积.

5．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考模拟预测）如图，直四棱柱中，，E是的中点，底面ABCD是平行四边形，若平面.

(1)若，证明：底面是正方形

(2)若，求二面角的余弦值

6．（2022·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）直四棱柱被平面所截，所得的一部分如图所示，．

（1）证明：平面；

（2）若，，平面与平面所成角的正切值为，求点到平面的距离．

1．（2021·全国·统考高考真题）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点，且．

（1）求；

（2）求二面角的正弦值．

2．（2021·全国·统考高考真题）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．

（1）证明：；

（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小?

3．（2021·全国·统考高考真题）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.

（1）证明：；

（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.

4．（2022·全国·统考高考真题）如图，四面体中，，E为的中点．

(1)证明：平面平面；

(2)设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值．

5．（2022·全国·统考高考真题）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为8（单位：）的正方形，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直．

(1)证明：平面；

(2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．

6．（2022·全国·统考高考真题）如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．

(1)求A到平面的距离；

(2)设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．

7．（2022·全国·统考高考真题）如图，是三棱锥的高，，，E是的中点．

(1)证明：平面；

(2)若，，，求二面角的正弦值．

8．（2022·北京·统考高考真题）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，M，N分别为，AC的中点．

(1)求证：平面；

(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．

条件①：；

条件②：．

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

9．（2022·天津·统考高考真题）直三棱柱中，，D为的中点，E为的中点，F为的中点．

(1)求证：平面；

(2)求直线与平面所成角的正弦值；

(3)求平面与平面所成二面角的余弦值．