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考前适应练十九 动态圆问题-备战高考三轮复习专题-复习与训练
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例1 (多选)如图所示，在Ⅰ、Ⅱ两个区域内存在磁感应强度大小均为B的匀强磁场，磁场方向分别垂直于纸面向外和向里，AD、AC边界的夹角∠DAC＝30°，边界AC与边界MN平行，Ⅱ区域宽度为d.质量为m、电荷量为＋q的粒子可在边界AD上的不同点射入，入射速度垂直AD且垂直磁场，若入射速度大小为eq \f(qBd,m)，不计粒子重力，则( )
A．粒子在磁场中运动的半径为eq \f(d,2)
B．粒子在距A点0.5d处射入，不会进入Ⅱ区域
C．粒子在距A点1.5d处射入，在Ⅰ区域内运动的时间为eq \f(πm,qB)
D．能够进入Ⅱ区域的粒子，在Ⅱ区域内运动的最短时间为eq \f(πm,3qB)
题型二 “旋转圆”模型
例2 如图所示，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小B＝0.30 T．磁场内有一块足够大的平面感光板ab，板面与磁场方向平行，在距ab的距离l＝32 cm处，有一个点状的α粒子放射源S，它向各个方向发射α粒子，α粒子的速度都是v＝3.0×106 m/s.已知α粒子的电荷量与质量之比eq \f(q,m)＝5.0×107 C/kg.若只考虑在图纸平面内运动的α粒子，则感光板ab上被α粒子打中区域的长度是多少？(不计粒子的重力)
题型三 “放缩圆”模型
例3 一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示， eq \\ar(ab, \s\up5(⌒))为半圆，ac、bd与直径ab共线，ac间的距离等于半圆的半径．一束质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子，在纸面内从c点垂直于ac射入磁场，这些粒子具有各种速率．不计粒子之间的相互作用．在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为( )
A.eq \f(7πm,6qB) B.eq \f(5πm,4qB) C.eq \f(4πm,3qB) D.eq \f(3πm,2qB)
变式训练1真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和3a的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图所示．一速率为v的电子从圆心沿半径方向进入磁场．已知电子质量为m，电荷量为e，忽略重力．为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为( )
A.eq \f(3mv,2ae) B.eq \f(mv,ae)
C.eq \f(3mv,4ae) D.eq \f(3mv,5ae)
题型四 “磁聚焦”模型
例4 (多选)如图所示，半径为R、磁感应强度为B的圆形匀强磁场，MN是一竖直放置的足够长的感光板．大量相同的带正电粒子从圆形磁场最高点P以速率v沿不同方向垂直磁场方向射入，不考虑速度沿圆形磁场切线方向入射的粒子．粒子质量为m，电荷量为q，不考虑粒子间的相互作用和粒子的重力．关于这些粒子的运动，以下说法正确的是( )
A．对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的时间越短
B．对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的时间越长
C．若粒子速度大小均为v＝eq \f(qBR,m)，出射后均可垂直打在MN上
D．若粒子速度大小均为v＝eq \f(qBR,m)，则粒子在磁场中的运动时间一定小于eq \f(πm,qB)
课时精练
1.如图，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，P为磁场边界上的一点，大量相同的带电粒子以相同的速率经过P点，在纸面内沿不同的方向射入磁场，若粒子射入速率为v1，这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上；若粒子射入速率为v2，相应的出射点分布在三分之一圆周上．不计重力及带电粒子之间的相互作用，则v2∶v1 为( )
A.eq \r(3)∶2 B.eq \r(2)∶1
C.eq \r(3)∶1 D．3∶eq \r(2)
2.如图所示，垂直纸面向里的有界匀强磁场的宽度为d，在纸面内，相同的带正电的粒子(不计重力)从左边界的A点以大小相同的初速度，沿各种方向垂直射入磁场，有些粒子从右边界射出磁场，有些粒子从左边界射出磁场．已知粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为R，周期为T，且R＝d，下列说法中正确的是( )
A．从右边界射出的粒子在磁场中最短的运动时间是eq \f(1,4)T
B．从右边界射出的粒子在磁场中最长的运动时间是eq \f(1,4)T
C．从左边界射出的粒子在磁场中运动时间相同都是eq \f(1,2)T
D．从左边界射出的粒子在磁场中有最长的运动时间是T
3.如图所示为边长为L的正方形有界匀强磁场ABCD，带电粒子从A点沿AB方向射入磁场，恰好从C点飞出磁场；若带电粒子以相同的速度从AD的中点P垂直AD射入磁场，从DC边的M点飞出磁场(M点未画出)．设粒子从A点运动到C点所用的时间为t1，由P点运动到M点所用时间为t2(带电粒子重力不计)，则t1∶t2为( )
A．2∶1 B．2∶3
C．3∶2 D.eq \r(3)∶eq \r(2)
4．(多选)长为l的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，板间距离也为l，板不带电．现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是( )
A．使粒子的速度vB．使粒子的速度v>eq \f(5Bql,4m)
C．使粒子的速率v>eq \f(Bql,m)
D．使粒子的速度eq \f(Bql,4m)5.如图所示，在直角三角形 abc 区域(含边界)内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为 B，∠a＝60°，∠b＝90°，边长ab＝L，一个粒子源在b点将质量为 m、电荷量为q的带负电粒子以大小和方向不同的速度射入磁场，在磁场中运动时间最长的粒子中，速度的最大值是(不计粒子重力及粒子间的相互作用)( )
A.eq \f(qBL,2m) B.eq \f(qBL,3m)
C.eq \f(\r(3)qBL,2m) D.eq \f(\r(3)qBL,3m)
6．如图，圆心在O点的半圆形区域ACD(CO⊥AD)内存在着方向垂直于区域平面向外、磁感应强度为B的匀强磁场，一带电粒子(不计重力)从圆弧上与AD相距为d的P点，以速度v沿平行于直径AD的方向射入磁场，速度方向偏转60°角后从圆弧上C点离开．则可知( )
A．粒子带正电
B．直径AD的长度为4d
C．粒子在磁场中运动时间为eq \f(πd,3v)
D．粒子的比荷为eq \f(v,Bd)
7.(多选)如图所示，纸面内有宽为L、水平向右飞行的带电粒子流，粒子质量为m、电荷量为－q(q>0)、速率为v0，不考虑粒子的重力及粒子间的相互作用，要使粒子都会聚到一点，可以在粒子流的右侧虚线框内设计一匀强磁场区域，则磁场区域的形状及对应的磁感应强度可以是下列选项中的(其中B0＝eq \f(mv0,qL)，A、C、D选项中曲线均为半径为L的eq \f(1,4)圆弧，B选项中曲线为半径为eq \f(L,2)的圆)( )
8．(多选)如图所示，挡板MN位于水平面x轴上，在第一、二象限y≤L区域存在磁感应强度为B的矩形匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外．在MN上O点放置了粒子发射源，能向第二象限发射各个方向的速度为v0＝eq \f(qBL,2m)的带正电同种粒子，已知粒子质量为m、电荷量为q，不计粒子的重力和粒子间的相互作用，粒子打到挡板上时均被挡板吸收，以下说法正确的是( )
A．所有粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径均为eq \f(L,2)
B．粒子在磁场中运动的最长时间为eq \f(πm,qB)
C．所有粒子运动的区域面积为eq \f(3,8)πL2
D．所有粒子运动的区域面积为eq \f(π＋1L2,4)
9．(多选)如图，一长度为a的竖直薄挡板MN处在垂直纸面向里的匀强磁场(未画出)中，磁感应强度为B.O点有一粒子源在纸面内向各方向均匀发射电荷量为＋q、质量为m的带电粒子，所有粒子的初速度v(未知)大小相同．已知初速度与eq \x\t(ON)夹角为60°发射的粒子恰好经过N点(不被挡板吸收)，粒子与挡板碰撞则会被吸收，eq \x\t(ON)＝eq \r(3)a，eq \x\t(ON)⊥MN，不计粒子重力，不考虑粒子间的相互作用，则( )
A．粒子在磁场中做圆周运动的半径为eq \f(\r(3),2)a
B．挡板左侧能被粒子击中的竖直长度为a
C．能击中挡板右侧的粒子数占粒子总数的eq \f(1,6)
D．若调节初速度v大小使挡板的右侧被粒子击中的竖直长度为a，则v的最小值为eq \f(qBa,m)
10.如图所示，正方形区域abcd内(含边界)有垂直纸面向里的匀强磁场，ab＝l，Oa＝0.4l，大量带正电的粒子从O点沿与ab边成37°的方向以不同的初速度v0射入磁场，不计粒子重力和粒子间的相互作用，已知带电粒子的质量为m，电荷量为q，磁场的磁感应强度大小为B，sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8.
(1)求带电粒子在磁场中运动的最长时间；
(2)若带电粒子从ad边离开磁场，求v0的取值范围．
11．(多选)如图所示，以水平直线为分界线，上方区域充满垂直于纸面向里的匀强磁场，大量电子(质量为m、电荷量为e，重力不计)从长度为L的PQ区域以相同速度与水平方向成θ＝60°的角度斜射入磁场，已知电子的速度大小为v0，上方磁场的磁感应强度B＝eq \f(3mv0,eL).所有从上方磁场射出的电子再次经过水平分界线下方某一半圆形区域的匀强磁场(图中未画出)偏转后都能通过磁场边界的一个点处被收集．下列说法正确的是( )
A．水平分界线上电子射出区域的长度为eq \f(L,3)
B．若减小上方磁场的磁感应强度，电子射出区域的长度将保持不变
C．欲使水平分界线上电子的出射与入射区域不重叠，则上方磁场的磁感应强度应小于eq \f(\r(3)mv0,eL)
D．下方收集电子的半圆形区域匀强磁场的最大磁感应强度为eq \f(2\r(3)mv0,3eL)
例1 (多选)如图所示，在Ⅰ、Ⅱ两个区域内存在磁感应强度大小均为B的匀强磁场，磁场方向分别垂直于纸面向外和向里，AD、AC边界的夹角∠DAC＝30°，边界AC与边界MN平行，Ⅱ区域宽度为d.质量为m、电荷量为＋q的粒子可在边界AD上的不同点射入，入射速度垂直AD且垂直磁场，若入射速度大小为eq \f(qBd,m)，不计粒子重力，则( )
A．粒子在磁场中运动的半径为eq \f(d,2)
B．粒子在距A点0.5d处射入，不会进入Ⅱ区域
C．粒子在距A点1.5d处射入，在Ⅰ区域内运动的时间为eq \f(πm,qB)
D．能够进入Ⅱ区域的粒子，在Ⅱ区域内运动的最短时间为eq \f(πm,3qB)
题型二 “旋转圆”模型
例2 如图所示，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小B＝0.30 T．磁场内有一块足够大的平面感光板ab，板面与磁场方向平行，在距ab的距离l＝32 cm处，有一个点状的α粒子放射源S，它向各个方向发射α粒子，α粒子的速度都是v＝3.0×106 m/s.已知α粒子的电荷量与质量之比eq \f(q,m)＝5.0×107 C/kg.若只考虑在图纸平面内运动的α粒子，则感光板ab上被α粒子打中区域的长度是多少？(不计粒子的重力)
题型三 “放缩圆”模型
例3 一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示， eq \\ar(ab, \s\up5(⌒))为半圆，ac、bd与直径ab共线，ac间的距离等于半圆的半径．一束质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子，在纸面内从c点垂直于ac射入磁场，这些粒子具有各种速率．不计粒子之间的相互作用．在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为( )
A.eq \f(7πm,6qB) B.eq \f(5πm,4qB) C.eq \f(4πm,3qB) D.eq \f(3πm,2qB)
变式训练1真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和3a的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图所示．一速率为v的电子从圆心沿半径方向进入磁场．已知电子质量为m，电荷量为e，忽略重力．为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为( )
A.eq \f(3mv,2ae) B.eq \f(mv,ae)
C.eq \f(3mv,4ae) D.eq \f(3mv,5ae)
题型四 “磁聚焦”模型
例4 (多选)如图所示，半径为R、磁感应强度为B的圆形匀强磁场，MN是一竖直放置的足够长的感光板．大量相同的带正电粒子从圆形磁场最高点P以速率v沿不同方向垂直磁场方向射入，不考虑速度沿圆形磁场切线方向入射的粒子．粒子质量为m，电荷量为q，不考虑粒子间的相互作用和粒子的重力．关于这些粒子的运动，以下说法正确的是( )
A．对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的时间越短
B．对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的时间越长
C．若粒子速度大小均为v＝eq \f(qBR,m)，出射后均可垂直打在MN上
D．若粒子速度大小均为v＝eq \f(qBR,m)，则粒子在磁场中的运动时间一定小于eq \f(πm,qB)
课时精练
1.如图，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，P为磁场边界上的一点，大量相同的带电粒子以相同的速率经过P点，在纸面内沿不同的方向射入磁场，若粒子射入速率为v1，这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上；若粒子射入速率为v2，相应的出射点分布在三分之一圆周上．不计重力及带电粒子之间的相互作用，则v2∶v1 为( )
A.eq \r(3)∶2 B.eq \r(2)∶1
C.eq \r(3)∶1 D．3∶eq \r(2)
2.如图所示，垂直纸面向里的有界匀强磁场的宽度为d，在纸面内，相同的带正电的粒子(不计重力)从左边界的A点以大小相同的初速度，沿各种方向垂直射入磁场，有些粒子从右边界射出磁场，有些粒子从左边界射出磁场．已知粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为R，周期为T，且R＝d，下列说法中正确的是( )
A．从右边界射出的粒子在磁场中最短的运动时间是eq \f(1,4)T
B．从右边界射出的粒子在磁场中最长的运动时间是eq \f(1,4)T
C．从左边界射出的粒子在磁场中运动时间相同都是eq \f(1,2)T
D．从左边界射出的粒子在磁场中有最长的运动时间是T
3.如图所示为边长为L的正方形有界匀强磁场ABCD，带电粒子从A点沿AB方向射入磁场，恰好从C点飞出磁场；若带电粒子以相同的速度从AD的中点P垂直AD射入磁场，从DC边的M点飞出磁场(M点未画出)．设粒子从A点运动到C点所用的时间为t1，由P点运动到M点所用时间为t2(带电粒子重力不计)，则t1∶t2为( )
A．2∶1 B．2∶3
C．3∶2 D.eq \r(3)∶eq \r(2)
4．(多选)长为l的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，板间距离也为l，板不带电．现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是( )
A．使粒子的速度v
C．使粒子的速率v>eq \f(Bql,m)
D．使粒子的速度eq \f(Bql,4m)
A.eq \f(qBL,2m) B.eq \f(qBL,3m)
C.eq \f(\r(3)qBL,2m) D.eq \f(\r(3)qBL,3m)
6．如图，圆心在O点的半圆形区域ACD(CO⊥AD)内存在着方向垂直于区域平面向外、磁感应强度为B的匀强磁场，一带电粒子(不计重力)从圆弧上与AD相距为d的P点，以速度v沿平行于直径AD的方向射入磁场，速度方向偏转60°角后从圆弧上C点离开．则可知( )
A．粒子带正电
B．直径AD的长度为4d
C．粒子在磁场中运动时间为eq \f(πd,3v)
D．粒子的比荷为eq \f(v,Bd)
7.(多选)如图所示，纸面内有宽为L、水平向右飞行的带电粒子流，粒子质量为m、电荷量为－q(q>0)、速率为v0，不考虑粒子的重力及粒子间的相互作用，要使粒子都会聚到一点，可以在粒子流的右侧虚线框内设计一匀强磁场区域，则磁场区域的形状及对应的磁感应强度可以是下列选项中的(其中B0＝eq \f(mv0,qL)，A、C、D选项中曲线均为半径为L的eq \f(1,4)圆弧，B选项中曲线为半径为eq \f(L,2)的圆)( )
8．(多选)如图所示，挡板MN位于水平面x轴上，在第一、二象限y≤L区域存在磁感应强度为B的矩形匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外．在MN上O点放置了粒子发射源，能向第二象限发射各个方向的速度为v0＝eq \f(qBL,2m)的带正电同种粒子，已知粒子质量为m、电荷量为q，不计粒子的重力和粒子间的相互作用，粒子打到挡板上时均被挡板吸收，以下说法正确的是( )
A．所有粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径均为eq \f(L,2)
B．粒子在磁场中运动的最长时间为eq \f(πm,qB)
C．所有粒子运动的区域面积为eq \f(3,8)πL2
D．所有粒子运动的区域面积为eq \f(π＋1L2,4)
9．(多选)如图，一长度为a的竖直薄挡板MN处在垂直纸面向里的匀强磁场(未画出)中，磁感应强度为B.O点有一粒子源在纸面内向各方向均匀发射电荷量为＋q、质量为m的带电粒子，所有粒子的初速度v(未知)大小相同．已知初速度与eq \x\t(ON)夹角为60°发射的粒子恰好经过N点(不被挡板吸收)，粒子与挡板碰撞则会被吸收，eq \x\t(ON)＝eq \r(3)a，eq \x\t(ON)⊥MN，不计粒子重力，不考虑粒子间的相互作用，则( )
A．粒子在磁场中做圆周运动的半径为eq \f(\r(3),2)a
B．挡板左侧能被粒子击中的竖直长度为a
C．能击中挡板右侧的粒子数占粒子总数的eq \f(1,6)
D．若调节初速度v大小使挡板的右侧被粒子击中的竖直长度为a，则v的最小值为eq \f(qBa,m)
10.如图所示，正方形区域abcd内(含边界)有垂直纸面向里的匀强磁场，ab＝l，Oa＝0.4l，大量带正电的粒子从O点沿与ab边成37°的方向以不同的初速度v0射入磁场，不计粒子重力和粒子间的相互作用，已知带电粒子的质量为m，电荷量为q，磁场的磁感应强度大小为B，sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8.
(1)求带电粒子在磁场中运动的最长时间；
(2)若带电粒子从ad边离开磁场，求v0的取值范围．
11．(多选)如图所示，以水平直线为分界线，上方区域充满垂直于纸面向里的匀强磁场，大量电子(质量为m、电荷量为e，重力不计)从长度为L的PQ区域以相同速度与水平方向成θ＝60°的角度斜射入磁场，已知电子的速度大小为v0，上方磁场的磁感应强度B＝eq \f(3mv0,eL).所有从上方磁场射出的电子再次经过水平分界线下方某一半圆形区域的匀强磁场(图中未画出)偏转后都能通过磁场边界的一个点处被收集．下列说法正确的是( )
A．水平分界线上电子射出区域的长度为eq \f(L,3)
B．若减小上方磁场的磁感应强度，电子射出区域的长度将保持不变
C．欲使水平分界线上电子的出射与入射区域不重叠，则上方磁场的磁感应强度应小于eq \f(\r(3)mv0,eL)
D．下方收集电子的半圆形区域匀强磁场的最大磁感应强度为eq \f(2\r(3)mv0,3eL)
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