解密05 三角函数图像及其性质（讲义）-高考数学二轮复习讲义+分层训练（新高考专用）

解密05  三角函数的图象与性质

考点一  三角函数的图象与性质

题组一  三角函数解析式及图像变换

☆技巧点拨☆

作三角函数图象左右平移变换时，平移的单位数是指单个变量x的变化量，因此由y＝sin ωx(ω＞0)的图象得到y＝sin(ωx＋φ)的图象时，应将图象上所有点向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移个单位，而非|φ|个单位．

例题1．将函数图象上所有的点向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则图象的一条对称轴方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】：由题意知，.

令，得.当时，，即图象的一条对称轴方程为.故选：C

例题2．已知函数的部分图象如图所示，则下列四个结论中正确的是（    ）

A．函数在区间上是增函数

B．点是函数图象的一个对称中心

C．若，则函数的值域为

D．函数的图象可以由函数的图象向右平移个单位长度得到

【答案】D

【分析】由题图及五点作图法得，，，则，，故.

由（），得（），.

所以函数在区间（）上是增函数.

时，函数在区间上是增函数，故函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，故A错.

由（），得（），函数图象的对称中心是，时，，故B错.

若，则，，则的值域为，故C错.

，将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，故D对.故选：D．

例题3 ．已知对任意实数都有．且函数的图象向左平移个单位后得到的图象关于原点对称，则的值等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】，

因为，所以，可得的周期为，

则，，所以，将函数的图象向左平移个单位后得到

，因为关于原点对称，所以，，因为，所以，，，

所以，故选：D.

例题4．已知函数，（，）的部分图象如图所示，其中点，分别是函数的图象的一个零点和一个最低点，且点的横坐标为，，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题知，设，

则，∴，∴，∴，将点代入，

解得，又，∴.故选：D.

例题5．若函数在处有最小值，为了得到的图象，则只要将的图象（    ）

A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度

C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度

【答案】C

【分析】 因为函数在处有最小值，

所以，可得：，

因为，所以，，所以，

将的图象向左平移个单位长度可得

，故选：C.

题组二  三角函数单调性值域问题

☆技巧点拨☆

求解三角函数的值域（最值）的类型与方法：

（1）形如的三角函数，可先化为的形式，再求解；

（2）形如的三角函数，可先设sin x=t，转化为关于t的二次函数求解．

（3）形如的三角函数,可先设得,把原解析式化为关于t的二次函数，再求解．

典例分析

例题1．动点在上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周，已知时间时，点，则当时，动点的横坐标关于（单位：秒）的函数的单调递增区间是（    ）

A． B． C．和 D．和

【答案】C

【分析】时，点，初始角为，

因为旋转一周用时12秒，所以角速度，所以，

根据三角函数的定义，．

要求横坐标关于（单位：秒）的函数的单调递增区间，

则令，，

给赋值，且，则或，所以单调递增区间是和故选：

例题2．已知函数，下列四个结论正确的是（    ）

A．函数在区间上是减函数

B．点是函数图象的一个对称中心

C．若，满足有两个零点，则的取值范围为

D．函数的图象可以由函数的图象向左平移个单位长度得到

【答案】C

【分析】，当时，，单增，故A错；

当时，，，函数对称中心为，故B错；

当，，，由图象性质可知，有两个零点，则，，，故C正确；

，则的图象可以由函数的图象向左平移个长度单位，再向上平移1个单位得到，故D错.故选：C

例题3．函数的图像与直线在区间上恰有三个交点，其横坐标分别为，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由得，，

又，所以在和上单调递增，同理在上递减，

，，是的图象的一条对称轴，

所以时，存在满足题意，不妨设，则，

，，所以，

所以．故选：D．

例题4 ．已知函数的两个相邻的极值点为，则函数在区间上的最大值为(    )

A． B．1 C． D．3

【答案】B

【分析】

．

∵为相邻极值点，∴，∴，∵，∴，

∴，故选：B．

题组三  三角函数字母取值范围问题

典例分析

例题1．已知函数在上是增函数，且在上恰有一个极大值点与一个极小值点，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题意，，所以，又因为，所以；又在处取得极大值，在处取得极小值，可得，所以，则.故选：C.

例题2．已知函数的图象关于中心对称﹐现将曲线的纵坐标不变横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位．得到曲线．则关于函数给出下列结论：

①若，．且，则；

②存在．使得的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称；

③若在上恰有7个零点﹐则的取值范围为；

④若在上单调递增，则的取值范围为．

其中正确结论的编号是(   )

A．①② B．②③ C．①④ D．②④

【答案】D

【分析】由为的对称中心，知：，，

，，．

①：由，且，则的最小正周期为，错误；

②：图象变换后所得函数为，若图象关于轴对称，则，得，，当时，．故正确；

③：设，当，时，．

在，上有7个零点，即在上有7个零点．

，解得．故错误；

④：由，得，

取，可得，

若在上单调递增，则，解得，正确．故选：D．

例题3 ．太极图被称为“中华第一图”，它是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼．太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美．现定义：能够将圆O的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O的一个“太极函数”．设圆，下列说法正确的是(    )

①函数是圆O的一个“太极函数”；

②若函数是圆O的“太极函数”，则；

③函数的图像关于原点中心对称是为圆O的“太极函数”的充要条件；

④圆O的所有非常值函数的太极函数都不能为偶函数．

A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④

【答案】A

【分析】对于①函数是经过原点的奇函数，如图：

∴函数是圆O的一个“太极函数”，故①正确；

对于②函数f(x)＝kx3﹣kx为奇函数，∵f(x)＝kx(x＋1)(x－1)，∴f(x)与圆恒有两个交点(－1，0)，(1，0)，

，得k2x6﹣2k2x4＋(1＋k2)x2﹣1＝0，

令t＝x2，得k2t3﹣2k2t2＋(1＋k2)t﹣1＝0，

即(t﹣1)(k2t2﹣k2t＋1)＝0

得t＝1即x＝±1；

对k2t2﹣k2t2＋1，当k＝0时显然无解，Δ＜0即0＜k2＜4时也无解，

即k∈(﹣2，2)时两曲线仅有两个交点，函数能把圆一分为二，且周长和面积均等分．

若k＝±2时，函数图象与圆有4个交点，若k2＞4时，函数图象与圆有6个交点，均不能把圆一分为二．

对于③函数f(x)的图像关于原点中心对称是f(x)为圆O的“太极函数”的充分不必要条件，故③错误；

④如图所示：

圆O的所有非常值函数的太极函数可以为偶函数，故④错误．

则①②正确，

故选：A．

例题4 ．设函数的最小正周期为，且在内恰有3个零点，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】因为，所以.由，得.

当时，，又，则.

因为在上的零点为，，，，且在内恰有3个零点，所以或解得.

故选：D

例题5．已知函数，将的图象向右平移个单位得到函数的图象，点，，是与图象的连续相邻的三个交点，若是钝角三角形，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由条件可得，，作出两个函数图象，如图：

，，为连续三交点，(不妨设在轴下方)，为的中点，.

由对称性可得是以为顶角的等腰三角形，，

由，整理得，得，

则，所以，

要使为钝角三角形，只需即可，

由，所以.

故选：D.

考点二  三角函数的图象综合应用

例题1．已知函数，下列说法正确的是（    ）

①函数是周期函数；

②是函数图象的一条对称轴；

③函数的增区间为；

④函数的最大值为.

A．①④ B．①③ C．②③④ D．①③④

【答案】D

【分析】为函数的一个周期，故①正确；

因为，所以不是函数的对称轴，故②不正确；

，

令，得，

所以函数的增区间为，故③正确；

，，不妨取，

又因为求最大值必有，所以只需考虑，

又可由，

得在上单调递增，在上单调递减，

所以函数的最大值为，故④正确.故选：D.

例题2．关于函数有下述四个结论：①的最小正周期为；②的最大值为；③的最小值为；④在区间上单调递增；其中所有正确结论的编号是（    ）

A．①②④ B．①③④ C．①③ D．②④

【答案】B

【分析】：和的最小正周期均为，

的最小正周期为，故①正确；

当时，，

当时，在上单调递减，，

当时，，其中，

，可设，由，得，

又，

在上单调递增，在上单调递减，

，，②错误，③正确；

，在上单调递增，④正确.故选：B.

例题3 ．元宵节是中国的传统节日之一．要将一个上底为正方形ABCD的长方体状花灯挂起，将两根等长（长度大于A、C两点距离）的绳子两头分别拴住A、C；B、D，再用一根绳子OP与上述两根绳子连结并吊在天花板上，使花灯呈水平状态，如图．花灯上底面到天花板的距离设计为1米，上底面边长为0.8米，设∠PAC＝θ，所有绳子总长为y米．（打结处的绳长忽略不计）

（1）将y表示成θ的函数，并指出定义域；

（2）要使绳子总长最短，请你设计出这三根绳子的长．（精确到0.01米）

【答案】（1）y＝，；（2）1.17米，1.17米，0.85米．

【分析】（1）设上底中心为M，则|AM|＝0.4，|PM|＝0.4tanθ，|PA|＝，

故绳子总长

＝＝，

因为，所以．

（2）记A＝，则sinθ+Acosθ＝4，即，

由sin（θ+φ）≤1，得，等号成立时，

从而ymin＝0.4+1≈3.19（米），

此时这三根绳子长分别约为1.17米，1.17米，0.85米．

例题4．已知函数的图像相邻对称轴之间的距离是，若将的图像向右移个单位，所得函数为奇函数.

(1)求的解析式；

(2)若函数的零点为，求；

(3)若对任意，有解，求的取值范围.

【答案】(1)；(2)；(3).

【分析】(1)因为相邻对称轴之间的距离是，

所以，，，解得，，

将的图像向右移个单位，可得函数，

因为函数为奇函数，所以，，

因为，所以，，

(2)因为函数的零点为，

所以，，

因为，

所以，

(3)令，有解即有解，

因为，所以，，

因为，所以当时，，

因为有解，所以的取值范围为.

例题5．已知函数.

（1）求函数的最小正周期和单调递减区间；

（2）若将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求函数在区间上的最大值和最小值；

（3）在中，、、分别是角、、的对边，若，，的面积为，求边的长.

【答案】（1）， ，；（2）最大值为2，最小值为；（3）5.

【分析】（1），

最小正周期，令得单调减区间为，.

（2）由已知得，，，

∴，∴.

（3）∵，∴，

∵，∴，又，∴，

根据余弦定理， 又，∴.