解密05 三角函数图像及其性质（分层训练）-高考数学二轮复习讲义+分层训练（新高考专用）

解密05  三角函数图像及其应用

一、单选题

1．（2021·湖南·高三阶段练习）已知，则（    ）

A． B．1 C． D．5

【答案】D

【分析】由题意，则．

故选：D﹒

2．（2021·吉林·长春市第二十九中学高三阶段练习（理））将函数的图象向右平移，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到函数的图象，则下列说法正确的是（    ）

A．函数的图象关于点对称 B．函数的最小正周期为

C．函数的图象关于直线对称 D．函数在区间上单调递增

【答案】D

【分析】由题意得：，当时，，故不是对称中心，故A选项错误；，B选项错误；当时，，故是的对称中心，故C选项错误；当时，，此时单调递增，故函数在区间上单调递增，D选项正确

故选：D

3．（2021·上海虹口·一模）设函数，其中，，若对任意的恒成立，则下列结论正确的是（    ）

A． B．的图像关于直线对称

C．在上单调递增 D．过点的直线与函数的图像必有公共点

【答案】D  由题意，，，而函数在处取得最大值，所以，所以，，则.

对A，因为，即，A错误；

对B，因为，所以B错误；

对C，因为，所以函数在上单调递减，所以C错误；

对D，因为的最大值为，而，所以过点的直线与函数的图象必有公共点，D正确.

故选：D.

4．（2021·云南·高三阶段练习）将函数的图象上所有点的横坐标缩小到原来的倍，纵坐标保持不变，得到函数的图象，若，则的最小值为(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题得，，，

∵，∴＝1且＝－1或且＝1，

作的图象，

∴的最小值为＝，故选：D．

5．（2021·新疆昌吉·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

，

故将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象.故选：C.

6．（2021·陕西·长安一中高三阶段练习（理））已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）

A．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象

B．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象

C．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象

D．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象

【答案】A

【分析】由图象可知，函数的最小正周期为，则，，

，则，可得，

，所以，，

所以，，

因此，将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象.

故选：A.

7．（2021·天津·南开中学高三阶段练习）已知函数在区间内没有零点，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】，

，

在区间内没有零点，即，

，且，，

当在区间内有零点时，则，

即，，，

又，或，

在区间内没有零点，的取值范围是.故选：A

8．（2020·陕西·西安市铁一中学高三阶段练习（理））函数为奇函数，且在上为减函数的值可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

所以 ，由于函数为奇函数，故有，即：，可排除、选项

然后分别将和选项代入检验，

当时，，，其单调递减区间为，，在区间上单调递增，不符题意.

易知当时，，其单调递减区间为，

故其在区间上递减，满足题意.故选：D．

9．（2021·天津·耀华中学高三阶段练习）现有以下这些命题：

（1）函数对称中心为.

（2）已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为.

（3）首项为的等差数列，若从第项开始为负数，则公差的取值范围是.

（4）已知数列是等比数列，是其前项和，则数列、、、仍是等比数列.

以上命题中，正确的个数是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】对于（1）由，可得，

所以，函数对称中心为，（1）对；

对于（2），因为，则为等边三角形，

因为，则，即，所以，为的中点，

所以，为直角三角形，且为直角，且，

所以，向量在向量上的投影向量为，（2）错；

对于（3），由已知可得，解得，（3）错；

对于（4），取，且为正偶数，，

，，，

则，（4）错.

故选：A.

10．（2021·天津一中高三阶段练习）若函数的图象向右平移个长度单位后关于点对称，则在上的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】将函数的图象向右平移个长度单位后

得到的图象，因为的图象关于点对称，

所以，所以，即，

又因为，所以，即，因为，

所以，则，即在上的最小值为.

故选：C.

一、单选题

1．（2021·山西运城·高三期中（）如图所示的曲线为函数（，，）的部分图象，将图象上的所有点的横坐标伸长到原来的，再将所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ）

A．函数在上单调递减 B．点为图象的一个对称中心

C．直线为图象的一条对称轴 D．函数在上单调递增

【答案】D

【分析】由图象知，

又，所以的一个最低点为，而的最小正周期为，所以

又，则，

所以,即，又，所以，

所以，将函数图象上的所有点的横坐标伸长到原来的得的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度得，即.

由得，

所以在上单调递增，

在上单调递减，

当时，可知在递增，在递减，所以错误；

因为，

所以不是图象的一个对称中心，故B错误；因为，

所以直线不是图象的一条对称轴，故C错误；因为在上单调递增，

所以函数在上单调递增，故正确；故选：.

2．（2021·广西桂林·模拟预测）下列命题：①若，则对恒成立；②要得到函数的图象，只需将的图象向右平移个单位；③若锐角，满足，则．其中真命题的个数是（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】B

【分析】①，函数的周期，不满足对恒成立，故①不成立；

②的图象向右平移个单位后得到，故②不成立；

③，因为是锐角，所以也是锐角，

，则，故③正确.

故选：B

3．（2021·山东济宁·高三期中）已知函数，下面结论错误的是（    ）

A．在区间上单调递减

B．是函数图象的一个对称中心

C．在上的值域为

D．图象上的所有点向右平移个单位后得到函数的图象

【答案】D

【分析】A. ，则，所以在区间上单调递减，故正确；

B. 因为，所以是函数图象的一个对称中心，故正确；

C. ，则，则，所以在上的值域为，故正确；

D. 图象上的所有点向右平移个单位后得到函数，故错误；

故选：D

4．（2021·江苏如东·高三期中）已知函数（>0，）的最小正周期，且是函数的一条对称轴，是函数的一个对称中心，则函数在上的取值范围是（    ）

A．（-1，] B．（-1，2] C．（，1] D．[-1，2]

【答案】B

【分析】由题意，，知，即，故，因此，

代入点，得，即，由，得，故，

因为，所以，

结合正弦函数图像性质得，故.

故选：B.

5．（2021·天津·耀华中学高三阶段练习）若将函数图象上所有的点向右平移个单位长度得到函数的图象，已知函数.）的部分图象如图所示，则下列说法错误的是（    ）

A．在上的最小值是

B．是的一个对称中心

C．在上单调递减

D．的图象关于点对称

【答案】C

【分析】由函数，）的部分图象，

可得且，解得，所以，

又由时，，即，解得，

因为，可得，所以，

所以，

对于A中，当时，可得，

当时，即时，函数取得最小值，所以A正确；

对于B中，当时，可得，

所以点点是的一个对称中心，所以B正确；

对于C中，当时，可得，

此时为先减后增的函数，所以C不正确；

对于D中，当时，可得，

所以是函数的对称中心，所以D正确.

故选：C..

6．（2021·湖北·孝感高中高三阶段练习）函数 的最大值为  （    ）

A． B．1 C． D．2

【答案】C

【分析】由

又,则，

所以当时，取得最大值.

故选：C

7．（2021·天津滨海新·一模）将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】将函数的图象先向右平移个单位长度，得到的图象，

再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数，周期，

因为函数在上没有零点，所以，得，得，得，

假设函数在上有零点，

令，得，，得，，

则，得，，

又，所以或，

又函数在上有零点，且，

所以或.

故选：A

8．（2021·山东省济南市莱芜第一中学高三期中）设函数，若对于任意实数，在区间上至少有2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】令，则令，则

则问题转化为在区间上至少有两个，至少有三个t，使得，求的取值范围.作出和的图像，观察交点个数，

可知使得的最短区间长度为2π，最长长度为，

由题意列不等式的：

解得：.故选：B

二、解答题

9．（2021·江苏·无锡市教育科学研究院高三期中）在①､②两个条件中任取一个填入下面的横线上，并完成解答.①在上有且仅有4个零点；②在上有且仅有2个极大值点和2个极小值点.

设函数，且满足___________.

（1）求ω的值；

（2）将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，求在（0，2π）上的单调递减区间.

【答案】

（1）

（2），

【分析】选①

因为，所以，若函数在上有且仅有4个零点，则，即，又，所以；

选②

因为，所以，

若函数在上有且仅有2个极大值点和2个极小值点，

则，即，

又，所以.

（2）

因为，将函数的图象向右平移个单位得到

函数，

单调递减区间为，，

即，，

因为，所以单调递减区间有，.

10．（2021·江西高安·模拟预测）已知函数的图象如图所示．

（1）求的解析式；

（2）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数．设．求函数在上的值域．

【答案】

（1）

（2）

【分析】由图可知，，即，所以，

又，则可得，

因为，所以，

所以；

（2）

由题，，

则

，

因为，所以，

则当时，，当，，

所以在上的值域为.

11．（2020·江苏·海安高级中学模拟预测）某房地产开发商在其开发的某小区前修建了一个弓形景观湖．如图，该弓形所在的圆是以为直径的圆，且米，景观湖边界与平行且它们间的距离为米．开发商计划从点出发建一座景观桥（假定建成的景观桥的桥面与地面和水面均平行），桥面在湖面上的部分记作．设．

（1）用表示线段并确定的范围；

（2）为了使小区居民可以充分地欣赏湖景，所以要将的长度设计到最长，求的最大值．

【答案】（1），；（2）米.

【分析】：

过点作于点 则,

在中,,,

由正弦定理得：, ,

,,

,因为,化简得

,

令,,且,

因为,故令即,

记,

当时,单调递增；当时,单调递减,

又, 当时,取最大值,

此时,的最大值为米．