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2021年上海市松江区中考数学二模试卷
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这是一份2021年上海市松江区中考数学二模试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列运算，结果为正数的是（ ）
A．﹣1+1B．﹣1﹣1C．﹣1×1D．（﹣1）2
2．（3分）一组数据﹣2，a，5，3，1有唯一的众数5，则这组数据的中位数是（ ）
A．﹣2B．1C．3D．5
3．（3分）已知3x＝4y（y≠0），则（ ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
4．（3分）在平面直角坐标系中，点A（m，2）与点B（3，n）关于x轴对称，则（ ）
A．m＝3，n＝﹣2B．m＝﹣3，n＝2C．m＝3，n＝2D．m＝﹣2，n＝3
5．（3分）如图，以点P为圆心作圆恰好与直线l相切，则与半径相等的线段是（ ）
A．PAB．PBC．PCD．PD
6．（3分）若x＞y，a＜1，则（ ）
A．x﹣a＞y+1B．x+1＞y+aC．ax＞ayD．x+a＞y﹣1
7．（3分）某商铺促销，单价80元的衬衫按照8折销售仍可获利10元，若这款衬衫的成本价为x元/件，则（ ）
A．80×0.8﹣x＝10B．（80﹣x）0.8﹣x＝10
C．80×0.8＝x﹣10D．（80﹣x）×0.8＝x﹣10
8．（3分）点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3）是反比例函数图象上的三个点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y3＜y2＜y1B．y1＜y3＜y2C．y2＜y3＜y1D．y3＜y1＜y2
9．（3分）在菱形ABCD中，记∠ABC＝∠α（0°＜∠α＜90°），菱形的面积记作S，菱形的周长记作C，若AD＝2，则（ ）
A．C与∠α的大小有关
B．当∠α＝45°时，S＝
C．A，B，C，D四个点可以在同一个圆上
D．S随∠α的增大而增大
10．（3分）已知平面直角坐标系中的动点A（x，y），x，y满足x＝1+2a，y＝1﹣a，其中﹣3≤x＜3，给出下列说法：①动点A（x，y）可以运动到原点；②动点A（x，y）可以运动到第一象限；③动点A（x+y，0）在x轴正半轴上；④动点A（xy﹣3y，﹣3）在第三象限，其中正确说法的序号是（ ）
A．①②B．①③C．②④D．③④
二、填空题：本题有6个小题，每小题4分，共24分
11．（4分）9的平方根是 ．
12．（4分）不透明袋子中有1个红球和2个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，恰好是红球的概率为 ．
13．（4分）分解因式：a3﹣a＝ ．
14．（4分）如图，PA，PB切⊙O于点A，B，若OA＝2，∠APB＝60°，则PB＝ ．
15．（4分）如图，点A，B，C，D在边长相同的小正方形组成的网格顶点上，AB，CD相交于点P，则tan∠APD＝ ．
16．（4分）如图，点E是平行四边形ABCD边AB上一点，将△ADE沿直线DE翻折，点A的对应点F恰好落在∠ABC的角平分线BG上，若AB＝3，AD＝2，∠ABC＝120°，则DG＝ ，BE＝ ．
三、解答题：本题有7小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（6分）下面是圆圆同学计算一道题的过程：
2÷（﹣+）×（﹣3）
＝[2÷（﹣）+2÷]×（﹣3）
＝2×（﹣3）×（﹣3）+2×4×（﹣3）
＝18﹣24
＝6．
圆圆同学这样算正确吗？如果正确请解释理由；如果不正确，请你写出正确的计算过程．
18．（8分）如图，直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（1，b）．
（1）直接写出不等式x+1＞mx+n的解集；
（2）直接写出方程组的解；
（3）直线l3：y＝nx+m是否也经过点P？请说明理由．
19．（8分）文具店购进了20盒“2B”铅笔，但在销售过程中，发现其中混入了若干“HB”铅笔．店员进行统计后，发现每盒铅笔中最多混入了2支“HB”铅笔，具体数据见下表：
（1）用等式写出m，n所满足的数量关系 ；
（2）从20盒铅笔中任意选取1盒：
①“盒中没有混入‘HB’铅笔”是 事件（填“必然”、“不可能”或“随机”）；
②若“盒中混入1支‘HB’铅笔”的概率为，求m和n的值．
20．（10分）某司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以70km/h的平均速度用3h到达目的地．
（1）当他按原路匀速返回时，汽车的速度v与时间t有怎样的函数关系？
（2）如果该司机返回到甲地的时间不超过2.5h，那么返程的平均速度不能小于多少？
21．（10分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠BDC．
（1）求证：△ABD∽△DCB；
（2）若AB＝12，AD＝8，CD＝15，求DB的长．
22．（12分）二次函数y＝2x2+bx+c的顶点M是直线y1＝﹣x和直线y2＝x+m的交点．
（1）当x≥2时，y＝2x2+bx+c的值均随x的增大而增大，求m的取值范围．
（2）若直线y1与y2交于点（2，n）．
①当t≤x≤t+1时，二次函数的最小值为﹣3，求t的取值范围．
②P（x0，p）和Q（3，q）为二次函数上的两个点，当p＜q时，求x0的取值范围．
23．（12分）如图，已知等边△ABC，在AC，BC边分别取点P，Q，使AP＝CQ，连接AQ，BP相交于点O．
（1）求证：△ABP≌△CAQ．
（2）若AP＝AC．
①求的值．
②设△ABC的面积为S1，四边形CPOQ的面积为S2，求的值．
2021年浙江省杭州市余杭区中考数学三模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求.
1．（3分）下列运算，结果为正数的是（ ）
A．﹣1+1B．﹣1﹣1C．﹣1×1D．（﹣1）2
【分析】各式计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式＝0，不符合题意；
B、原式＝﹣2，不符合题意；
C、原式＝﹣1，不符合题意；
D、原式＝1，符合题意．
故选：D．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．（3分）一组数据﹣2，a，5，3，1有唯一的众数5，则这组数据的中位数是（ ）
A．﹣2B．1C．3D．5
【分析】根据众数的意义求出a的值，再根据中位数的意义求解即可．
【解答】解：由于这组数据﹣2，a，5，3，1有唯一的众数5，
所以a＝5，
将这组数据从小到大排列处在中间位置的一个数是3，因此中位数是3，
故选：C．
【点评】本题考查中位数、众数，理解中位数、众数的意义是解决问题的前提．
3．（3分）已知3x＝4y（y≠0），则（ ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
【分析】根据比例的性质：内项之积等于外项之积，可得答案．
【解答】解：A、由比例的性质得4x＝3y，与3x＝4y不一致，故A不符合题意；
B、由比例的性质得xy＝12，与3x＝4y不一致，故B不符合题意；
C、由比例的性质得4x＝3y，与3x＝4y不一致，故C不符合题意；
D、由比例的性质得3x＝4y，与3x＝4y一致，故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了比例的性质，利用比例的性质是解题关键．
4．（3分）在平面直角坐标系中，点A（m，2）与点B（3，n）关于x轴对称，则（ ）
A．m＝3，n＝﹣2B．m＝﹣3，n＝2C．m＝3，n＝2D．m＝﹣2，n＝3
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质得出答案．
【解答】解：∵点A（m，2）与点B（3，n）关于x轴对称，
∴m＝3，n＝﹣2，
故选：A．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确掌握关于x轴对称点的横坐标相同，纵坐标互为相反数是解题关键．
5．（3分）如图，以点P为圆心作圆恰好与直线l相切，则与半径相等的线段是（ ）
A．PAB．PBC．PCD．PD
【分析】根据切线的性质进行判断即可．
【解答】解：∵以点P为圆心作圆恰好与直线l相切，PB⊥l，
∴PB是圆的半径，
故选：B．
【点评】本题主要考查了切线的性质，熟练掌握“圆的切线，垂直于过切点的半径“是解决问题的关键．
6．（3分）若x＞y，a＜1，则（ ）
A．x﹣a＞y+1B．x+1＞y+aC．ax＞ayD．x+a＞y﹣1
【分析】不等式的基本性质①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，据此逐一判断即可．
【解答】解：A．不妨设x＝2，y＝1，a＝，
则x﹣a＜y+1，故本选项不合题意；
B．∵x＞y，a＜1，
∴x+1＞y+a，故本选项符合题意；
C．不妨设a＝﹣1，
则ax＜ay，故本选项不合题意；
D．不妨设x＝2，y＝1，a＝﹣3，
则x+a＜y﹣1，故本选项不合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质是解答本题的关键．
7．（3分）某商铺促销，单价80元的衬衫按照8折销售仍可获利10元，若这款衬衫的成本价为x元/件，则（ ）
A．80×0.8﹣x＝10B．（80﹣x）0.8﹣x＝10
C．80×0.8＝x﹣10D．（80﹣x）×0.8＝x﹣10
【分析】利用利润＝标价×折扣率﹣成本价，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得：80×0.8﹣x＝10．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
8．（3分）点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3）是反比例函数图象上的三个点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y3＜y2＜y1B．y1＜y3＜y2C．y2＜y3＜y1D．y3＜y1＜y2
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据各点横坐标的特点进行解答即可
【解答】解：∵中，k＝2＞0，
∴反比例函数图象在一、三象限，并且在每一象限内y随x的增大而减小，
∵﹣1＜0，
∴A点在第三象限，
∴y1＜0，
∵2＞1＞0，
∴B、C两点在第一象限，
∴y2＞y3＞0，
∴y1＜y3＜y2．
故选：B．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的性质是解答此题的关键．
9．（3分）在菱形ABCD中，记∠ABC＝∠α（0°＜∠α＜90°），菱形的面积记作S，菱形的周长记作C，若AD＝2，则（ ）
A．C与∠α的大小有关
B．当∠α＝45°时，S＝
C．A，B，C，D四个点可以在同一个圆上
D．S随∠α的增大而增大
【分析】根据菱形的周长公式、菱形的面积公式、锐角三角函数的定义判断即可．
【解答】解：A、错误．菱形的周长＝8，与∠α 的大小无关；
B、错误，∠α＝45°时，菱形的面积＝2•2•sin45°＝2；
C、错误，A，B，C，D四个点不在同一个圆上；
D、正确．∵0°＜α＜90°，S＝2•2•sinα，
∴菱形的面积S随α的增大而增大．
故选：D．
【点评】本题考查菱形的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的性质定理、四点共圆的知识以及菱形的面积公式．
10．（3分）已知平面直角坐标系中的动点A（x，y），x，y满足x＝1+2a，y＝1﹣a，其中﹣3≤x＜3，给出下列说法：①动点A（x，y）可以运动到原点；②动点A（x，y）可以运动到第一象限；③动点A（x+y，0）在x轴正半轴上；④动点A（xy﹣3y，﹣3）在第三象限，其中正确说法的序号是（ ）
A．①②B．①③C．②④D．③④
【分析】将x＝1+2a变形为a＝，把a＝代入y中，可得y＝﹣+，x＝0时，y＝，即①错误；令y＞0时，y＝﹣+中，x＜3，根据x的范围即可以在一象限，②正确；x+y＝+，由x的范围可知，当x＝﹣3时，x+y＝0，即不在正半轴上，即③错误；xy﹣3y＝﹣+3x﹣，由对称轴公式x＝﹣，得x＝3时有最大值，把x＝3代入：﹣+3x﹣中得最大值为9，即x＜3时，xy﹣3y＜0，故④正确．
【解答】解：A（x，y）满足x＝1+2a，y＝1﹣a，其中﹣3≤x＜3，
由x＝1+2a，
得：a＝，
将a＝代入y＝1﹣a，
得：y＝1﹣＝1﹣+＝﹣+，
x＝0时，y＝，
故①错误；
∵﹣3≤x＜3，
∴当﹣+＞0时，
解得：x＜3，
故当0＜x＜3时可以在第一象限，
故②正确；
x+y＝x+（﹣+）＝+，
∵当x＝﹣3时，x+y＝0，即不在正半轴上，
故③不正确；
xy﹣3y＝x•（﹣+）﹣3（﹣+）＝﹣+x+x﹣＝﹣+3x﹣，
x＝﹣时即x＝﹣＝3，
开口向下有最大值：﹣+9﹣＝0，
∵x＜3，
∴﹣+3x﹣＜0，
即xy﹣3y＜0，
则A（xy﹣3y，﹣3），
故④正确；
综上②④正确，
故选：C．
【点评】本题考查坐标与图形的性质．解本题关键要掌握二次函数的性质，和转化未知数的方法以及坐标内点的特点．
二、填空题：本题有6个小题，每小题4分，共24分
11．（4分）9的平方根是 ±3 ．
【分析】直接利用平方根的定义计算即可．
【解答】解：∵±3的平方是9，
∴9的平方根是±3．
故答案为：±3．
【点评】此题主要考查了平方根的定义，要注意：一个非负数的平方根有两个，互为相反数，正值为算术平方根．
12．（4分）不透明袋子中有1个红球和2个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，恰好是红球的概率为 ．
【分析】让红球的个数除以球的总数即为摸到红球的概率．
【解答】解：共有球1+2＝3个，红球有1个，
因此摸出的球是红球的概率为：．
故答案为：．
【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
13．（4分）分解因式：a3﹣a＝ a（a+1）（a﹣1） ．
【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：a3﹣a，
＝a（a2﹣1），
＝a（a+1）（a﹣1）．
故答案为：a（a+1）（a﹣1）．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意要分解彻底．
14．（4分）如图，PA，PB切⊙O于点A，B，若OA＝2，∠APB＝60°，则PB＝ 2 ．
【分析】由切线长定理可得：∠APO＝∠BPO＝∠APB＝30°，AO⊥AP，PA＝PB，在Rt△PAO中，由勾股定理可求PA，即为PB的长度．
【解答】解：∵PA、PB是⊙O的两条切线，∠APB＝60°，OA＝OB＝2，
∴∠APO＝∠APB＝30°，AO⊥PA，PA＝PB，
∴PO＝2AO＝4，
在Rt△PAO中，
∴PA＝＝＝2，
∴PB＝2，
故答案是2．
【点评】本题考查了切线的性质，勾股定理，熟练运用切线的性质的解题的关键．
15．（4分）如图，点A，B，C，D在边长相同的小正方形组成的网格顶点上，AB，CD相交于点P，则tan∠APD＝ 2 ．
【分析】首先连接BE，由题意易得BF＝CF，△ACP∽△BDP，然后由相似三角形的对应边成比例，易得DP：CP＝1：3，即可得PF：CF＝PF：BF＝1：2，在Rt△PBF中，即可求得tan∠BPF的值，继而求得答案．
【解答】解：如图，连接BE，
∵四边形BCED是正方形，
∴DF＝CF＝CD，BF＝BE，CD＝BE，BE⊥CD，
∴BF＝CF，
根据题意得：AC∥BD，
∴△ACP∽△BDP，
∴DP：CP＝BD：AC＝1：3，
∴DP：DF＝1：2，
∴DP＝PF＝CF＝BF，
在Rt△PBF中，tan∠BPF＝＝2，
∵∠APD＝∠BPF，
∴tan∠APD＝2，
故答案为2．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，三角函数的定义．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用．
16．（4分）如图，点E是平行四边形ABCD边AB上一点，将△ADE沿直线DE翻折，点A的对应点F恰好落在∠ABC的角平分线BG上，若AB＝3，AD＝2，∠ABC＝120°，则DG＝ 1 ，BE＝ 12﹣6 ．
【分析】根据平行四边形的性质∠A＝∠C＝60°，由角平分线性质得∠GBC＝60°，即△BCG为等边三角形，即DG＝1，由折叠性质得△DEF≌△DEA，过F作FH⊥AB交AB于点H，在直角三角形中30°所对的直角边是斜边的一半，得BH＝FH，设AE＝a，在Rt△EFH和Rt△FHB中，由勾股定理得EH、BH、FH、EB用a来表示EB＝AB﹣AE＝EH+BE，即可得EB的值．
【解答】解：如图，过点F作FH⊥AB于点H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC＝3，AD＝BC＝2，AD∥BC，
∵∠ABC＝120°，
∴∠A＝60°，
∴∠C＝∠A＝60°，
∵BG是∠ABC的角平分线，
∴∠CBG＝∠GBA＝ABC＝60°，
∴△BCG是等边三角形，
∴CG＝BC＝2，
∴DG＝DC﹣CG＝3﹣2＝1；
设AE＝a，
∵△ADE沿直线DE翻折得△FDE，
∴EF＝AE＝a，
∵∠FHB＝90°，∠FBH＝60°，
∴∠FHB＝30°，
∴BH＝FH，
∠EFB＝90°，∠EFH＝90°，EF＝a，FH＝a，BH＝a，EH＝a，EB＝EH+HB＝a，3﹣a＝a，a＝3（2﹣3），
EB＝a＝12﹣6，
故答案为：1；12﹣6．
【点评】本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，含30度角的直角三角形，解决本题的关键是运用平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，含30度角的直角三角形，折叠的性质等基本知识点．
三、解答题：本题有7小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（6分）下面是圆圆同学计算一道题的过程：
2÷（﹣+）×（﹣3）
＝[2÷（﹣）+2÷]×（﹣3）
＝2×（﹣3）×（﹣3）+2×4×（﹣3）
＝18﹣24
＝6．
圆圆同学这样算正确吗？如果正确请解释理由；如果不正确，请你写出正确的计算过程．
【分析】根据有理数的混合运算顺序计算即可．
【解答】解：2÷（﹣+）×（﹣3）
＝×（﹣3）
＝2×（﹣12）×（﹣3）
＝72．
【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，熟记有理数的乘除法法则是解答本题的关键．
18．（8分）如图，直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（1，b）．
（1）直接写出不等式x+1＞mx+n的解集；
（2）直接写出方程组的解；
（3）直线l3：y＝nx+m是否也经过点P？请说明理由．
【分析】（1）根据点P（1，b）即可得到结论；
（2）直接把（1，b）代入y＝x+1可得b的值方程组的解就是两函数图象的交点；
（3）根据l2：y＝mx+n过点P（1，2）可得2＝m+n，如果y＝nx+m经过点P则点P的坐标满足函数解析式，代入可得m+n＝2，进而可得答案．
【解答】解：（1）∵直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（1，b），
∴x+1＞mx+n的解集为x＞1；
（2）把（1，b）代入y＝x+1可得：b＝1+1＝2，
∵直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（1，2），
∴方程组的解为；
（3）直线l3：y＝nx+m经过点P，
理由：∵l2：y＝mx+n过点P（1，2），
∴2＝m+n，
将P（1，2）代入l3：y＝nx+m，可得，m+n＝2，
因此直线l3：y＝nx+m经过点P．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组和一次函数的关系，以及一次函数图象上点的坐标特点，关键是掌握方程组的解就是两函数图象的交点．
19．（8分）文具店购进了20盒“2B”铅笔，但在销售过程中，发现其中混入了若干“HB”铅笔．店员进行统计后，发现每盒铅笔中最多混入了2支“HB”铅笔，具体数据见下表：
（1）用等式写出m，n所满足的数量关系 m+n＝14 ；
（2）从20盒铅笔中任意选取1盒：
①“盒中没有混入‘HB’铅笔”是 随机 事件（填“必然”、“不可能”或“随机”）；
②若“盒中混入1支‘HB’铅笔”的概率为，求m和n的值．
【分析】（1）根据表格确定m，n满足的数量关系即可；
（2）①根据事件的性质进行解答即可；
②利用概率公式列式计算即可．
【解答】解：（1）观察表格发现：6+m+n＝20，
∴用等式写出m，n所满足的数量关系为m+n＝14，
故答案为：m+n＝14；
（2）①“盒中没有混入‘HB’铅笔”是随机事件，
故答案为：随机；
②∵“盒中混入1支‘HB’铅笔”的概率为，
∴＝，
∴m＝5，n＝9．
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．
20．（10分）某司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以70km/h的平均速度用3h到达目的地．
（1）当他按原路匀速返回时，汽车的速度v与时间t有怎样的函数关系？
（2）如果该司机返回到甲地的时间不超过2.5h，那么返程的平均速度不能小于多少？
【分析】（1）直接求出总路程，再利用路程除以时间＝速度，进而得出关系式；
（2）由题意可得v＝≤2.5，进而得出答案．
【解答】解：（1）由题意得，两地路程为70×3＝210（km），
故汽车的速度v与时间t的函数关系为：v＝．
（2）由v＝，得t＝，
又由题知：t≤2.5，
∴≤2.5．
∵v＞0
∴210≤2.5v．
∴v≥84．
答：返程时的平均速度不能低于84km/h．
【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数解析式是解题关键．
21．（10分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠BDC．
（1）求证：△ABD∽△DCB；
（2）若AB＝12，AD＝8，CD＝15，求DB的长．
【分析】（1）根据平行线的性质，可得∠ADB与∠DBC的关系，根据两个角对应相等的两个三角形相似，可得答案；
（2）根据相似三角形的性质，可得答案．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC．
∵∠A＝∠BDC，
∴△ABD∽△DCB；
（2）∵△ABD∽△DCB，AB＝12，AD＝8，CD＝15，
∴＝，即＝，
解得DB＝10，
DB的长10．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用了两个角对应相等的两个三角形相似，利用相似三角形的对应边成比例是解题关键．
22．（12分）二次函数y＝2x2+bx+c的顶点M是直线y1＝﹣x和直线y2＝x+m的交点．
（1）当x≥2时，y＝2x2+bx+c的值均随x的增大而增大，求m的取值范围．
（2）若直线y1与y2交于点（2，n）．
①当t≤x≤t+1时，二次函数的最小值为﹣3，求t的取值范围．
②P（x0，p）和Q（3，q）为二次函数上的两个点，当p＜q时，求x0的取值范围．
【分析】（1）根据两直线相交可求出交点坐标，因为抛物线开口方向向上，根据图象的变化与对称轴的关心可求出m值得范围；
（2）①根据交点坐标可以求出函数解析式，根据图象可判断t的取值；
②根据函数解析式求出q值，再根据函数值小于q求出x0的取值范围．
【解答】解：（1）∵M是直线y1＝﹣x和直线y2＝x+m的交点，
联立两解析式解得，
即M（﹣m，m），
∴二次函数y＝2x2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣m，且开口方向向上
又∵当x≥2时，y＝2x2+bx+c的值均随x的增大而增大，
∴﹣m≤2，
解得m≥﹣5，
∴m的取值范围为m≥﹣5；
（2）∵直线y1与y2交于点M（2，n），
∴﹣m＝2，
解得m＝﹣5，
∴M（2，﹣3），
∴函数解析式为：y＝2（x﹣2）2﹣3，对称轴为直线x＝2，
①∵当t≤x≤t+1时，二次函数的最小值为﹣3，
∴t≤2且t+1≥2，
∴1≤t≤2，
即t的取值为1≤t≤2；
②∵Q（3，q）为二次函数上的点，
∴q＝2（3﹣2）2﹣3＝﹣1，
当p＜q时，
即P＜﹣1时，
即2（x0﹣2）2﹣3＜﹣1，
解得1＜x0＜3，
即x0的取值范围为1＜x0＜3．
【点评】本题主要考查二次函数的综合知识，熟练掌握并应用二次函数的知识是解题的关键．
23．（12分）如图，已知等边△ABC，在AC，BC边分别取点P，Q，使AP＝CQ，连接AQ，BP相交于点O．
（1）求证：△ABP≌△CAQ．
（2）若AP＝AC．
①求的值．
②设△ABC的面积为S1，四边形CPOQ的面积为S2，求的值．
【分析】（1）由等边△ABC，可得∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC，已知AP＝CQ，利用SAS判定可得结论；
（2）①过点P作PD∥BC，交AO于点D，利用平行线分线段成比例定理可得结论；
②设△ABC的面积为a，连接PQ，四边形CPOQ的面积等于△OPQ的面积与△CPQ的面积之和，利用等高的三角形的面积比等于它们底的比，分别用a表示△OPQ的面积与△CPQ的面积，通过计算，结论可得．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC．
在△ABP和△CAQ中，
．
∴△ABP≌△CAQ（SAS）．
解（2）①过点P作PD∥BC，交AO于点D，如图，
∵PD∥BC，
∴．
∴PD＝CQ．
∵AB＝AC＝BC，AP＝CQ＝AC，
∴CQ＝BC．
∴BQ＝2CQ．
∴PD＝BQ．
∵PD∥BC，
∴．
②如图，连接PQ，设S1＝a，
∵AP＝AC，
∴CP＝AC．
∴．
∵CQ＝BC，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
【点评】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，等边三角形的性质，利用高相同的三角形的面积的比等于底的比的性质表示出两个三角形的面积比是解题的关键．
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日期：2021/6/15 12:26:21；用户：朱文磊；邮箱：fywgy23@xyh.cm；学号：21522783混入“HB”铅笔数
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盒数
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m
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混入“HB”铅笔数
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盒数
6
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n
1．（3分）下列运算，结果为正数的是（ ）
A．﹣1+1B．﹣1﹣1C．﹣1×1D．（﹣1）2
2．（3分）一组数据﹣2，a，5，3，1有唯一的众数5，则这组数据的中位数是（ ）
A．﹣2B．1C．3D．5
3．（3分）已知3x＝4y（y≠0），则（ ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
4．（3分）在平面直角坐标系中，点A（m，2）与点B（3，n）关于x轴对称，则（ ）
A．m＝3，n＝﹣2B．m＝﹣3，n＝2C．m＝3，n＝2D．m＝﹣2，n＝3
5．（3分）如图，以点P为圆心作圆恰好与直线l相切，则与半径相等的线段是（ ）
A．PAB．PBC．PCD．PD
6．（3分）若x＞y，a＜1，则（ ）
A．x﹣a＞y+1B．x+1＞y+aC．ax＞ayD．x+a＞y﹣1
7．（3分）某商铺促销，单价80元的衬衫按照8折销售仍可获利10元，若这款衬衫的成本价为x元/件，则（ ）
A．80×0.8﹣x＝10B．（80﹣x）0.8﹣x＝10
C．80×0.8＝x﹣10D．（80﹣x）×0.8＝x﹣10
8．（3分）点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3）是反比例函数图象上的三个点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y3＜y2＜y1B．y1＜y3＜y2C．y2＜y3＜y1D．y3＜y1＜y2
9．（3分）在菱形ABCD中，记∠ABC＝∠α（0°＜∠α＜90°），菱形的面积记作S，菱形的周长记作C，若AD＝2，则（ ）
A．C与∠α的大小有关
B．当∠α＝45°时，S＝
C．A，B，C，D四个点可以在同一个圆上
D．S随∠α的增大而增大
10．（3分）已知平面直角坐标系中的动点A（x，y），x，y满足x＝1+2a，y＝1﹣a，其中﹣3≤x＜3，给出下列说法：①动点A（x，y）可以运动到原点；②动点A（x，y）可以运动到第一象限；③动点A（x+y，0）在x轴正半轴上；④动点A（xy﹣3y，﹣3）在第三象限，其中正确说法的序号是（ ）
A．①②B．①③C．②④D．③④
二、填空题：本题有6个小题，每小题4分，共24分
11．（4分）9的平方根是 ．
12．（4分）不透明袋子中有1个红球和2个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，恰好是红球的概率为 ．
13．（4分）分解因式：a3﹣a＝ ．
14．（4分）如图，PA，PB切⊙O于点A，B，若OA＝2，∠APB＝60°，则PB＝ ．
15．（4分）如图，点A，B，C，D在边长相同的小正方形组成的网格顶点上，AB，CD相交于点P，则tan∠APD＝ ．
16．（4分）如图，点E是平行四边形ABCD边AB上一点，将△ADE沿直线DE翻折，点A的对应点F恰好落在∠ABC的角平分线BG上，若AB＝3，AD＝2，∠ABC＝120°，则DG＝ ，BE＝ ．
三、解答题：本题有7小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（6分）下面是圆圆同学计算一道题的过程：
2÷（﹣+）×（﹣3）
＝[2÷（﹣）+2÷]×（﹣3）
＝2×（﹣3）×（﹣3）+2×4×（﹣3）
＝18﹣24
＝6．
圆圆同学这样算正确吗？如果正确请解释理由；如果不正确，请你写出正确的计算过程．
18．（8分）如图，直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（1，b）．
（1）直接写出不等式x+1＞mx+n的解集；
（2）直接写出方程组的解；
（3）直线l3：y＝nx+m是否也经过点P？请说明理由．
19．（8分）文具店购进了20盒“2B”铅笔，但在销售过程中，发现其中混入了若干“HB”铅笔．店员进行统计后，发现每盒铅笔中最多混入了2支“HB”铅笔，具体数据见下表：
（1）用等式写出m，n所满足的数量关系 ；
（2）从20盒铅笔中任意选取1盒：
①“盒中没有混入‘HB’铅笔”是 事件（填“必然”、“不可能”或“随机”）；
②若“盒中混入1支‘HB’铅笔”的概率为，求m和n的值．
20．（10分）某司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以70km/h的平均速度用3h到达目的地．
（1）当他按原路匀速返回时，汽车的速度v与时间t有怎样的函数关系？
（2）如果该司机返回到甲地的时间不超过2.5h，那么返程的平均速度不能小于多少？
21．（10分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠BDC．
（1）求证：△ABD∽△DCB；
（2）若AB＝12，AD＝8，CD＝15，求DB的长．
22．（12分）二次函数y＝2x2+bx+c的顶点M是直线y1＝﹣x和直线y2＝x+m的交点．
（1）当x≥2时，y＝2x2+bx+c的值均随x的增大而增大，求m的取值范围．
（2）若直线y1与y2交于点（2，n）．
①当t≤x≤t+1时，二次函数的最小值为﹣3，求t的取值范围．
②P（x0，p）和Q（3，q）为二次函数上的两个点，当p＜q时，求x0的取值范围．
23．（12分）如图，已知等边△ABC，在AC，BC边分别取点P，Q，使AP＝CQ，连接AQ，BP相交于点O．
（1）求证：△ABP≌△CAQ．
（2）若AP＝AC．
①求的值．
②设△ABC的面积为S1，四边形CPOQ的面积为S2，求的值．
2021年浙江省杭州市余杭区中考数学三模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求.
1．（3分）下列运算，结果为正数的是（ ）
A．﹣1+1B．﹣1﹣1C．﹣1×1D．（﹣1）2
【分析】各式计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式＝0，不符合题意；
B、原式＝﹣2，不符合题意；
C、原式＝﹣1，不符合题意；
D、原式＝1，符合题意．
故选：D．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．（3分）一组数据﹣2，a，5，3，1有唯一的众数5，则这组数据的中位数是（ ）
A．﹣2B．1C．3D．5
【分析】根据众数的意义求出a的值，再根据中位数的意义求解即可．
【解答】解：由于这组数据﹣2，a，5，3，1有唯一的众数5，
所以a＝5，
将这组数据从小到大排列处在中间位置的一个数是3，因此中位数是3，
故选：C．
【点评】本题考查中位数、众数，理解中位数、众数的意义是解决问题的前提．
3．（3分）已知3x＝4y（y≠0），则（ ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
【分析】根据比例的性质：内项之积等于外项之积，可得答案．
【解答】解：A、由比例的性质得4x＝3y，与3x＝4y不一致，故A不符合题意；
B、由比例的性质得xy＝12，与3x＝4y不一致，故B不符合题意；
C、由比例的性质得4x＝3y，与3x＝4y不一致，故C不符合题意；
D、由比例的性质得3x＝4y，与3x＝4y一致，故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了比例的性质，利用比例的性质是解题关键．
4．（3分）在平面直角坐标系中，点A（m，2）与点B（3，n）关于x轴对称，则（ ）
A．m＝3，n＝﹣2B．m＝﹣3，n＝2C．m＝3，n＝2D．m＝﹣2，n＝3
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质得出答案．
【解答】解：∵点A（m，2）与点B（3，n）关于x轴对称，
∴m＝3，n＝﹣2，
故选：A．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确掌握关于x轴对称点的横坐标相同，纵坐标互为相反数是解题关键．
5．（3分）如图，以点P为圆心作圆恰好与直线l相切，则与半径相等的线段是（ ）
A．PAB．PBC．PCD．PD
【分析】根据切线的性质进行判断即可．
【解答】解：∵以点P为圆心作圆恰好与直线l相切，PB⊥l，
∴PB是圆的半径，
故选：B．
【点评】本题主要考查了切线的性质，熟练掌握“圆的切线，垂直于过切点的半径“是解决问题的关键．
6．（3分）若x＞y，a＜1，则（ ）
A．x﹣a＞y+1B．x+1＞y+aC．ax＞ayD．x+a＞y﹣1
【分析】不等式的基本性质①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，据此逐一判断即可．
【解答】解：A．不妨设x＝2，y＝1，a＝，
则x﹣a＜y+1，故本选项不合题意；
B．∵x＞y，a＜1，
∴x+1＞y+a，故本选项符合题意；
C．不妨设a＝﹣1，
则ax＜ay，故本选项不合题意；
D．不妨设x＝2，y＝1，a＝﹣3，
则x+a＜y﹣1，故本选项不合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质是解答本题的关键．
7．（3分）某商铺促销，单价80元的衬衫按照8折销售仍可获利10元，若这款衬衫的成本价为x元/件，则（ ）
A．80×0.8﹣x＝10B．（80﹣x）0.8﹣x＝10
C．80×0.8＝x﹣10D．（80﹣x）×0.8＝x﹣10
【分析】利用利润＝标价×折扣率﹣成本价，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得：80×0.8﹣x＝10．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
8．（3分）点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3）是反比例函数图象上的三个点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y3＜y2＜y1B．y1＜y3＜y2C．y2＜y3＜y1D．y3＜y1＜y2
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据各点横坐标的特点进行解答即可
【解答】解：∵中，k＝2＞0，
∴反比例函数图象在一、三象限，并且在每一象限内y随x的增大而减小，
∵﹣1＜0，
∴A点在第三象限，
∴y1＜0，
∵2＞1＞0，
∴B、C两点在第一象限，
∴y2＞y3＞0，
∴y1＜y3＜y2．
故选：B．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的性质是解答此题的关键．
9．（3分）在菱形ABCD中，记∠ABC＝∠α（0°＜∠α＜90°），菱形的面积记作S，菱形的周长记作C，若AD＝2，则（ ）
A．C与∠α的大小有关
B．当∠α＝45°时，S＝
C．A，B，C，D四个点可以在同一个圆上
D．S随∠α的增大而增大
【分析】根据菱形的周长公式、菱形的面积公式、锐角三角函数的定义判断即可．
【解答】解：A、错误．菱形的周长＝8，与∠α 的大小无关；
B、错误，∠α＝45°时，菱形的面积＝2•2•sin45°＝2；
C、错误，A，B，C，D四个点不在同一个圆上；
D、正确．∵0°＜α＜90°，S＝2•2•sinα，
∴菱形的面积S随α的增大而增大．
故选：D．
【点评】本题考查菱形的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的性质定理、四点共圆的知识以及菱形的面积公式．
10．（3分）已知平面直角坐标系中的动点A（x，y），x，y满足x＝1+2a，y＝1﹣a，其中﹣3≤x＜3，给出下列说法：①动点A（x，y）可以运动到原点；②动点A（x，y）可以运动到第一象限；③动点A（x+y，0）在x轴正半轴上；④动点A（xy﹣3y，﹣3）在第三象限，其中正确说法的序号是（ ）
A．①②B．①③C．②④D．③④
【分析】将x＝1+2a变形为a＝，把a＝代入y中，可得y＝﹣+，x＝0时，y＝，即①错误；令y＞0时，y＝﹣+中，x＜3，根据x的范围即可以在一象限，②正确；x+y＝+，由x的范围可知，当x＝﹣3时，x+y＝0，即不在正半轴上，即③错误；xy﹣3y＝﹣+3x﹣，由对称轴公式x＝﹣，得x＝3时有最大值，把x＝3代入：﹣+3x﹣中得最大值为9，即x＜3时，xy﹣3y＜0，故④正确．
【解答】解：A（x，y）满足x＝1+2a，y＝1﹣a，其中﹣3≤x＜3，
由x＝1+2a，
得：a＝，
将a＝代入y＝1﹣a，
得：y＝1﹣＝1﹣+＝﹣+，
x＝0时，y＝，
故①错误；
∵﹣3≤x＜3，
∴当﹣+＞0时，
解得：x＜3，
故当0＜x＜3时可以在第一象限，
故②正确；
x+y＝x+（﹣+）＝+，
∵当x＝﹣3时，x+y＝0，即不在正半轴上，
故③不正确；
xy﹣3y＝x•（﹣+）﹣3（﹣+）＝﹣+x+x﹣＝﹣+3x﹣，
x＝﹣时即x＝﹣＝3，
开口向下有最大值：﹣+9﹣＝0，
∵x＜3，
∴﹣+3x﹣＜0，
即xy﹣3y＜0，
则A（xy﹣3y，﹣3），
故④正确；
综上②④正确，
故选：C．
【点评】本题考查坐标与图形的性质．解本题关键要掌握二次函数的性质，和转化未知数的方法以及坐标内点的特点．
二、填空题：本题有6个小题，每小题4分，共24分
11．（4分）9的平方根是 ±3 ．
【分析】直接利用平方根的定义计算即可．
【解答】解：∵±3的平方是9，
∴9的平方根是±3．
故答案为：±3．
【点评】此题主要考查了平方根的定义，要注意：一个非负数的平方根有两个，互为相反数，正值为算术平方根．
12．（4分）不透明袋子中有1个红球和2个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，恰好是红球的概率为 ．
【分析】让红球的个数除以球的总数即为摸到红球的概率．
【解答】解：共有球1+2＝3个，红球有1个，
因此摸出的球是红球的概率为：．
故答案为：．
【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
13．（4分）分解因式：a3﹣a＝ a（a+1）（a﹣1） ．
【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：a3﹣a，
＝a（a2﹣1），
＝a（a+1）（a﹣1）．
故答案为：a（a+1）（a﹣1）．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意要分解彻底．
14．（4分）如图，PA，PB切⊙O于点A，B，若OA＝2，∠APB＝60°，则PB＝ 2 ．
【分析】由切线长定理可得：∠APO＝∠BPO＝∠APB＝30°，AO⊥AP，PA＝PB，在Rt△PAO中，由勾股定理可求PA，即为PB的长度．
【解答】解：∵PA、PB是⊙O的两条切线，∠APB＝60°，OA＝OB＝2，
∴∠APO＝∠APB＝30°，AO⊥PA，PA＝PB，
∴PO＝2AO＝4，
在Rt△PAO中，
∴PA＝＝＝2，
∴PB＝2，
故答案是2．
【点评】本题考查了切线的性质，勾股定理，熟练运用切线的性质的解题的关键．
15．（4分）如图，点A，B，C，D在边长相同的小正方形组成的网格顶点上，AB，CD相交于点P，则tan∠APD＝ 2 ．
【分析】首先连接BE，由题意易得BF＝CF，△ACP∽△BDP，然后由相似三角形的对应边成比例，易得DP：CP＝1：3，即可得PF：CF＝PF：BF＝1：2，在Rt△PBF中，即可求得tan∠BPF的值，继而求得答案．
【解答】解：如图，连接BE，
∵四边形BCED是正方形，
∴DF＝CF＝CD，BF＝BE，CD＝BE，BE⊥CD，
∴BF＝CF，
根据题意得：AC∥BD，
∴△ACP∽△BDP，
∴DP：CP＝BD：AC＝1：3，
∴DP：DF＝1：2，
∴DP＝PF＝CF＝BF，
在Rt△PBF中，tan∠BPF＝＝2，
∵∠APD＝∠BPF，
∴tan∠APD＝2，
故答案为2．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，三角函数的定义．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用．
16．（4分）如图，点E是平行四边形ABCD边AB上一点，将△ADE沿直线DE翻折，点A的对应点F恰好落在∠ABC的角平分线BG上，若AB＝3，AD＝2，∠ABC＝120°，则DG＝ 1 ，BE＝ 12﹣6 ．
【分析】根据平行四边形的性质∠A＝∠C＝60°，由角平分线性质得∠GBC＝60°，即△BCG为等边三角形，即DG＝1，由折叠性质得△DEF≌△DEA，过F作FH⊥AB交AB于点H，在直角三角形中30°所对的直角边是斜边的一半，得BH＝FH，设AE＝a，在Rt△EFH和Rt△FHB中，由勾股定理得EH、BH、FH、EB用a来表示EB＝AB﹣AE＝EH+BE，即可得EB的值．
【解答】解：如图，过点F作FH⊥AB于点H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC＝3，AD＝BC＝2，AD∥BC，
∵∠ABC＝120°，
∴∠A＝60°，
∴∠C＝∠A＝60°，
∵BG是∠ABC的角平分线，
∴∠CBG＝∠GBA＝ABC＝60°，
∴△BCG是等边三角形，
∴CG＝BC＝2，
∴DG＝DC﹣CG＝3﹣2＝1；
设AE＝a，
∵△ADE沿直线DE翻折得△FDE，
∴EF＝AE＝a，
∵∠FHB＝90°，∠FBH＝60°，
∴∠FHB＝30°，
∴BH＝FH，
∠EFB＝90°，∠EFH＝90°，EF＝a，FH＝a，BH＝a，EH＝a，EB＝EH+HB＝a，3﹣a＝a，a＝3（2﹣3），
EB＝a＝12﹣6，
故答案为：1；12﹣6．
【点评】本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，含30度角的直角三角形，解决本题的关键是运用平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，含30度角的直角三角形，折叠的性质等基本知识点．
三、解答题：本题有7小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（6分）下面是圆圆同学计算一道题的过程：
2÷（﹣+）×（﹣3）
＝[2÷（﹣）+2÷]×（﹣3）
＝2×（﹣3）×（﹣3）+2×4×（﹣3）
＝18﹣24
＝6．
圆圆同学这样算正确吗？如果正确请解释理由；如果不正确，请你写出正确的计算过程．
【分析】根据有理数的混合运算顺序计算即可．
【解答】解：2÷（﹣+）×（﹣3）
＝×（﹣3）
＝2×（﹣12）×（﹣3）
＝72．
【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，熟记有理数的乘除法法则是解答本题的关键．
18．（8分）如图，直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（1，b）．
（1）直接写出不等式x+1＞mx+n的解集；
（2）直接写出方程组的解；
（3）直线l3：y＝nx+m是否也经过点P？请说明理由．
【分析】（1）根据点P（1，b）即可得到结论；
（2）直接把（1，b）代入y＝x+1可得b的值方程组的解就是两函数图象的交点；
（3）根据l2：y＝mx+n过点P（1，2）可得2＝m+n，如果y＝nx+m经过点P则点P的坐标满足函数解析式，代入可得m+n＝2，进而可得答案．
【解答】解：（1）∵直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（1，b），
∴x+1＞mx+n的解集为x＞1；
（2）把（1，b）代入y＝x+1可得：b＝1+1＝2，
∵直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（1，2），
∴方程组的解为；
（3）直线l3：y＝nx+m经过点P，
理由：∵l2：y＝mx+n过点P（1，2），
∴2＝m+n，
将P（1，2）代入l3：y＝nx+m，可得，m+n＝2，
因此直线l3：y＝nx+m经过点P．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组和一次函数的关系，以及一次函数图象上点的坐标特点，关键是掌握方程组的解就是两函数图象的交点．
19．（8分）文具店购进了20盒“2B”铅笔，但在销售过程中，发现其中混入了若干“HB”铅笔．店员进行统计后，发现每盒铅笔中最多混入了2支“HB”铅笔，具体数据见下表：
（1）用等式写出m，n所满足的数量关系 m+n＝14 ；
（2）从20盒铅笔中任意选取1盒：
①“盒中没有混入‘HB’铅笔”是 随机 事件（填“必然”、“不可能”或“随机”）；
②若“盒中混入1支‘HB’铅笔”的概率为，求m和n的值．
【分析】（1）根据表格确定m，n满足的数量关系即可；
（2）①根据事件的性质进行解答即可；
②利用概率公式列式计算即可．
【解答】解：（1）观察表格发现：6+m+n＝20，
∴用等式写出m，n所满足的数量关系为m+n＝14，
故答案为：m+n＝14；
（2）①“盒中没有混入‘HB’铅笔”是随机事件，
故答案为：随机；
②∵“盒中混入1支‘HB’铅笔”的概率为，
∴＝，
∴m＝5，n＝9．
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．
20．（10分）某司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以70km/h的平均速度用3h到达目的地．
（1）当他按原路匀速返回时，汽车的速度v与时间t有怎样的函数关系？
（2）如果该司机返回到甲地的时间不超过2.5h，那么返程的平均速度不能小于多少？
【分析】（1）直接求出总路程，再利用路程除以时间＝速度，进而得出关系式；
（2）由题意可得v＝≤2.5，进而得出答案．
【解答】解：（1）由题意得，两地路程为70×3＝210（km），
故汽车的速度v与时间t的函数关系为：v＝．
（2）由v＝，得t＝，
又由题知：t≤2.5，
∴≤2.5．
∵v＞0
∴210≤2.5v．
∴v≥84．
答：返程时的平均速度不能低于84km/h．
【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数解析式是解题关键．
21．（10分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠BDC．
（1）求证：△ABD∽△DCB；
（2）若AB＝12，AD＝8，CD＝15，求DB的长．
【分析】（1）根据平行线的性质，可得∠ADB与∠DBC的关系，根据两个角对应相等的两个三角形相似，可得答案；
（2）根据相似三角形的性质，可得答案．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC．
∵∠A＝∠BDC，
∴△ABD∽△DCB；
（2）∵△ABD∽△DCB，AB＝12，AD＝8，CD＝15，
∴＝，即＝，
解得DB＝10，
DB的长10．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用了两个角对应相等的两个三角形相似，利用相似三角形的对应边成比例是解题关键．
22．（12分）二次函数y＝2x2+bx+c的顶点M是直线y1＝﹣x和直线y2＝x+m的交点．
（1）当x≥2时，y＝2x2+bx+c的值均随x的增大而增大，求m的取值范围．
（2）若直线y1与y2交于点（2，n）．
①当t≤x≤t+1时，二次函数的最小值为﹣3，求t的取值范围．
②P（x0，p）和Q（3，q）为二次函数上的两个点，当p＜q时，求x0的取值范围．
【分析】（1）根据两直线相交可求出交点坐标，因为抛物线开口方向向上，根据图象的变化与对称轴的关心可求出m值得范围；
（2）①根据交点坐标可以求出函数解析式，根据图象可判断t的取值；
②根据函数解析式求出q值，再根据函数值小于q求出x0的取值范围．
【解答】解：（1）∵M是直线y1＝﹣x和直线y2＝x+m的交点，
联立两解析式解得，
即M（﹣m，m），
∴二次函数y＝2x2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣m，且开口方向向上
又∵当x≥2时，y＝2x2+bx+c的值均随x的增大而增大，
∴﹣m≤2，
解得m≥﹣5，
∴m的取值范围为m≥﹣5；
（2）∵直线y1与y2交于点M（2，n），
∴﹣m＝2，
解得m＝﹣5，
∴M（2，﹣3），
∴函数解析式为：y＝2（x﹣2）2﹣3，对称轴为直线x＝2，
①∵当t≤x≤t+1时，二次函数的最小值为﹣3，
∴t≤2且t+1≥2，
∴1≤t≤2，
即t的取值为1≤t≤2；
②∵Q（3，q）为二次函数上的点，
∴q＝2（3﹣2）2﹣3＝﹣1，
当p＜q时，
即P＜﹣1时，
即2（x0﹣2）2﹣3＜﹣1，
解得1＜x0＜3，
即x0的取值范围为1＜x0＜3．
【点评】本题主要考查二次函数的综合知识，熟练掌握并应用二次函数的知识是解题的关键．
23．（12分）如图，已知等边△ABC，在AC，BC边分别取点P，Q，使AP＝CQ，连接AQ，BP相交于点O．
（1）求证：△ABP≌△CAQ．
（2）若AP＝AC．
①求的值．
②设△ABC的面积为S1，四边形CPOQ的面积为S2，求的值．
【分析】（1）由等边△ABC，可得∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC，已知AP＝CQ，利用SAS判定可得结论；
（2）①过点P作PD∥BC，交AO于点D，利用平行线分线段成比例定理可得结论；
②设△ABC的面积为a，连接PQ，四边形CPOQ的面积等于△OPQ的面积与△CPQ的面积之和，利用等高的三角形的面积比等于它们底的比，分别用a表示△OPQ的面积与△CPQ的面积，通过计算，结论可得．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC．
在△ABP和△CAQ中，
．
∴△ABP≌△CAQ（SAS）．
解（2）①过点P作PD∥BC，交AO于点D，如图，
∵PD∥BC，
∴．
∴PD＝CQ．
∵AB＝AC＝BC，AP＝CQ＝AC，
∴CQ＝BC．
∴BQ＝2CQ．
∴PD＝BQ．
∵PD∥BC，
∴．
②如图，连接PQ，设S1＝a，
∵AP＝AC，
∴CP＝AC．
∴．
∵CQ＝BC，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
【点评】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，等边三角形的性质，利用高相同的三角形的面积的比等于底的比的性质表示出两个三角形的面积比是解题的关键．
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日期：2021/6/15 12:26:21；用户：朱文磊；邮箱：fywgy23@xyh.cm；学号：21522783混入“HB”铅笔数
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混入“HB”铅笔数
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