2023年上海市嘉定区中考数学二模试卷（含解析）

这是一份2023年上海市嘉定区中考数学二模试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列根式中，与 18为同类二次根式的是( )
A. 2B. 3C. 5D. 6
2. 下列关于x的方程一定有实数解的是( )
A. x2+1=0B. x2−x+1=0
C. x2−bx+1=0(b为常数)D. x2−bx−1=0(b为常数)
3. 某校从各年级随机抽取50名学生，每人进行10次投篮，投篮进球次数如表所示：
该投篮进球次数的中位数是( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
4. 从1，2，3，4四个数中任意取出2个数做加法，其和为奇数的概率是( )
A. 12B. 13C. 23D. 34
5. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. 等边三角形B. 矩形C. 正五边形D. 等腰梯形
6. 如图，已知点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，DE//BC，AD：DB=1：3，那么S△DEC：S△DBC等于( )
A. 1：2B. 1：3C. 2：3D. 1：4
二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）
7. 计算：x4÷x2=______．
8. 如果分式12x−3有意义，那么实数x的取值范围是______ ．
9. 已知1纳米=0.000000001米，那么2.5纳米用科学记数法表示为______ 米.
10. 如果方程 x+7−x=1，那么x= ______ ．
11. 如果反比例函数y=a−1x的图象经过点(1,−2)，那么这个反比例函数的解析式为______ ．
12. 如果函数y=x2+k的图象向左平移2个单位后经过原点，那么k= ______ ．
13. 某区有1200名学生参加了“垃圾分类”知识竞赛，为了解本次竞赛成绩分布情况，竞赛组委会从中随机抽取部分学生的成绩(得分都是整数)作为样本，绘制成频率分布直方图(如图).请根据提供的信息估计该区本次竞赛成绩在89.5分～99.5分的学生有______ 名.
14. 如果正多边形的中心角是36°，那么这个正多边形的边数是______．
15. 如图，在△ABC中，点D是AC边上一点，且AD：DC=2：1.设BA=a，BC=b，那么BD= ______ .(用a、b表示)
16. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，sinA=513，以点C为圆心，R为半径作圆，使A、B两点一点在圆内，一点在圆外，那么R的取值范围是______ ．
17. 新定义：函数图象上任意一点P(x,y)，y−x称为该点的“坐标差”，函数图象上所有点的“坐标差”的最大值称为该函数的“特征值”.一次函数y=2x+3(−2≤x≤1)的“特征值”是______ ．
18. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，点D、E分别是边BC、BA的中点，联结DE.将△BDE绕点B顺时针方向旋转，点D、E的对应点分别是点D1、E1.如果点E1落在线段AC上，那么线段CD1= ______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题10.0分)
计算：( 3− 2)−1−2sin45°+| 3−2|−(1−π)0．
20. (本小题10.0分)
解方程组：x−3y=5①x2−2xy+y2=4②．
21. (本小题10.0分)
如图，在△ABC中，AC=AB，sinA=35，圆O经过A、B两点，圆心O在线段AC上，点C在圆O内，且OC=3．
(1)求圆O的半径长；
(2)求BC的长．
22. (本小题10.0分)
A、B两城间的铁路路程为1800千米.为了缩短从A城到B城的行驶时间，列车实施提速，提速后速度比提速前速度每小时增加20千米．
(1)如果列车提速前速度是每小时80千米，提速后从A城到B城的行驶时间减少t小时，求t的值；
(2)如果提速后从A城到B城的行驶时间减少3小时，又这条铁路规定：列车安全行驶速度不超过每小时140千米.问列车提速后速度是否符合规定？请说明理由．
23. (本小题12.0分)
如图，已知CE、CF分别是∠ACB和它的邻补角∠ACD的角平分线，AE⊥CE，垂足为点E，AF//EC，联结EF，分别交AB、AC于点G、H．
(1)求证：四边形AECF是矩形；
(2)试猜想GH与BC之间的数量关系，并证明你的结论．
24. (本小题12.0分)
如图，在直角坐标平面xOy中，点A在y轴的负半轴上，点C在x轴的正半轴上，AB//OC，抛物线y=ax2−2ax−4(a≠0)经过A、B、C三点．
(1)求点A、B的坐标；
(2)联结AC、OB、BC，当AC⊥OB时，
①求抛物线表达式；
②在抛物线上是否存在点P，使得S△PAC=4S△ABC？如果存在，求出所有符合条件的点P坐标；如果不存在，请说明理由．
25. (本小题14.0分)
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点P在线段BC上，∠BPD=12∠ACB，PD交BA于点D，过点B作BE⊥PD，垂足为E，交CA的延长线于点F．
(1)如果∠ACB=45°，
①如图1，当点P与点C重合时，求证：BE=12PD；
②如图2，当点P在线段BC上，且不与点B、点C重合时，问：①中的“BE=12PD”仍成立吗？请说明你的理由；
(2)如果∠ACB≠45°，如图3，已知AB=n⋅AC(n为常数)，当点P在线段BC上，且不与点B、点C重合时，请探究BEPD的值(用含n的式子表示)，并写出你的探究过程．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查同类二次根式的概念，化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
把 18化为最简二次根式，然后根据被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式解答．
【解答】
解： 18=3 2，
所以，与 18为同类二次根式的是 2．
故选A．
2.【答案】D
【解析】解：A.Δ=02−4×1=−4<0，则方程没有实数解，所以A选项不符合题意；
B.Δ=(−1)2−4×1=−3<0，则方程没有实数解，所以B选项不符合题意；
C.Δ=b2−4×1=b2−4，当b=0时，Δ=−4<0，则方程没有实数解，所以C选项不符合题意；
D.Δ=b2−4×(−1)=b2+4>0时，则方程有两个不相等的实数解，所以CD项符合题意．
故选：D．
先计算4个方程的根的判别式的值，然后利用根的判别式的意义判断方程根的情况，从而可对各选项进行判断．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
3.【答案】B
【解析】解：这组数据的中位数为3+32=3，
故选：B．
根据中位数的定义求解即可．
本题主要考查中位数，解题的关键是掌握中位数的定义．
4.【答案】C
【解析】解：画树状图为：

共有12种等可能的结果，其中取出2个数的和为奇数的结果数为8，
所以取出2个数的和为奇数的概率=812=23．
故选：C．
画树状图展示所有12种等可能的结果，找出取出2个数的和为奇数的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．
5.【答案】B
【解析】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．
故选：B．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
解答此题要掌握等边三角形、矩形、正五边形和等腰梯形的性质以及中心对称图形与轴对称图形的概念：
轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；
中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．
6.【答案】D
【解析】解：∵AD：DB=1：3，
∴AD：AB=1：4，
∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴DEBC=ADAB=14，
∴BC=4DE，
设点C到DE的距离为h1，点D到BC的距离为h2，
∵DE//BC，
∴h1=h2，
∴S△DECS△DBC=12DE⋅h112BC⋅h2=DEBC=14，即S△DEC：S△DBC=1：4．
故选：D．
根据题意可得AD：AB=1：4，再证明△ADE∽△ABC，得DEBC=ADAB=14，即BC=4DE，根据平行线间的距离处处相等可得C到DE的距离为等于点D到BC的距离，以此即可求解．
本题主要考查平行线的性质、相似三角形的判定与性质，灵活运用相关知识解决问题是解题关键．
7.【答案】x2
【解析】解：x4÷x2=x4−2=x2．
根据同底数幂相除法则，同底数幂相除，底数不变指数相减计算．
本题考查了同底数幂的除法，熟练掌握运算性质是解题的关键．
8.【答案】x≠32
【解析】解：由题意得：2x−3≠0，
解得：x≠32，
故答案为：x≠32．
根据分式有意义的条件可得x−2≠0，再解即可．
此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．
9.【答案】2.5×10−9
【解析】解：∵1纳米=0.000000001米，
∴2.5纳米=2.5×0.000000001米=2.5×10−9米．
故答案为：2.5×10−9．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
10.【答案】2
【解析】解： x+7−x=1，
移项，得 x+7=1+x，
两边平方，得x+7=(1+x)2，
整理得x2+x−6=0，
解得x1=2，x2=−3，
检验：当x=2时，方程左边= 2+7−2=1=右边，则x=2为原方程的解；
当x=−3时，方程左边= −3+7−(−3)=5≠右边，则x=−3不是原方程的解；
所以原方程的解为x=2．
故答案为：2．
先移项得到 x+7=1+x，再把方程两边平方得到x+7=(1+x)2，接着解一元二次方程，然后进行检验确定原方程的解．
本题考查了解无理方程：解无理方程关键是要去掉根号，将其转化为整式方程，应注意验根．
11.【答案】y=−2x
【解析】解：把(1,−2)代入y=a−1x得a−1=1×(−2)=−2，
∴这个反比例函数的解析式为y=−2x．
故答案为：y=−2x．
直接把(1,−2)代入y=a−1x中计算出a−1的值即可得到这个反比例函数的解析式．
本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解决问题的关键．
12.【答案】−4
【解析】解：∵二次函数y=x2+k的图象向左平移2个单位后的顶点坐标为(2,k)，
∴平移后的函数解析式为y=(x+2)2+k，
∵平移后过原点(0,0)，
∴0=(0+2)2+k，
∴k=−4
故答案为：−4．
根据向下平移纵坐标减求出平移后的顶点坐标并写出解析式，然后把经过的点的坐标代入函数解析式计算即可得解．
本题考查了二次函数图象与几何变换，此类题目利用顶点的平移解答更简便．
13.【答案】180
【解析】解：该区本次竞赛成绩在89.5分−99.5分的学生有：1200×(1−0.01×10−0.02×10−0.03×10−0.025×10)=180(名)．
故答案是：180．
利用频率分布直方图中，纵坐标与组距的乘积是相应的频率，根据各小组的频率之和是1求出成绩在89.5分～99.5分的学生的频率，再用1200乘以对应的频率即可．
本题考查读频率分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
14.【答案】10
【解析】解：由题意可得：
边数为360°÷36°=10，
则它的边数是10．
故答案为10．
一个正多边形的中心角都相等，且所有中心角的和是360度，用360度除以中心角的度数，就得到中心角的个数，即多边形的边数．
本题考查了正多边形的计算，根据多边形中心角的个数与边数之间的关系解题，本题是一个基本的问题．
15.【答案】23b+13a
【解析】解：∵BA=a，BC=b，
∴AC=b−a，
∵AD：DC=2：1，
∴AD=23AC=23b−23a，
∴BD=BA+AD=a+23b−23a=23b+13a．
故答案为：23b+13a．
由题意可得AC=b−a，则AD=23AC=23b−23a，再根据BD=BA+AD可得答案．
本题考查平面向量，熟练掌握三角形法则是解答本题的关键．
16.【答案】5【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，sinA=513，
∴sinA=BCAB=513，
∴BC=5，
AC= AB2−BC2= 132−52=12，
使AB两点一点在圆内，一点在圆外，
∵CB只能是A点在圆内，B点在圆外圆O的半径要大于BC的长度，小于AC的长度，
∴R的取值范围为5故答案为：5根据点在圆上，则d=r；点在圆外，d>r；点在圆内，d此题主要考查了点与圆的位置关系，注意：点和圆的位置关系与数量之间的等价关系是解决问题的关键．
17.【答案】4
【解析】解：∵一次函数y=2x+3(−2≤x≤1)，
∴当x=−2时，y=−1，y−x=1，
当x=1时，y=5，y−x=4，
∵4>1，
∴该函数的“特征值”为4．
故答案为：4．
按照一次函数的取值求出当x最小及最大时的两个点，再分别求出y−x即可．
本题考查了一次函数的性质，准确的计算是解题关键．
18.【答案】32
【解析】解：∵点D、E分别是边BC、BA的中点，
∴DE=12AC=2，BD=CD=1，DE//AC，
∴DE=BC=2，∠BED=∠BAC，∠BDE=∠BCA=90°，
∵将△BDE绕点B顺时针方向旋转，
∴BE=BE1，∠BE1D1=∠BED=∠BAC，∠BD1E1=∠BDE=90°，∠ABC=∠E1BD1，
∴∠CBD1=∠ABE1，
在Rt△BDE和Rt△E1CB中，
BE=BE1DE=BC，
∴Rt△BDE≌Rt△E1CB(HL)，
∴CE1=BD=1，
∴AE1=3，
∵∠BD1E1=∠BDE=90°=∠BCA，
∴点B，点D1，点C，点E1四点共圆，
∴∠BCD1=∠BE1D1=∠BAC，
∴△BCD1∽△BAE1，
∴BD1BC=CD1AE1，
∴CD1=12×3=32，
故答案为：32．
由“HL”可证Rt△BDE≌Rt△E1CB，可得CE1=BD=1，通过证明△BCD1∽△BAE1，即可求解．
本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键．
19.【答案】解：原式=1 3− 2−2× 22+2− 3−1
= 3+ 2( 3+ 2)( 3− 2)− 2+2− 3−1
= 3+ 2− 2+2− 3−1
=1．
【解析】根据负整数指数幂的运算法则可得( 3− 2)−1=1 3− 2，再将其分母有理化得 3+ 2( 3+ 2)( 3− 2)= 3+ 2，由特殊角的三角函数值可得sin45°= 22，由绝对值的代数意义可得| 3−2|=2− 3，由零指数幂的(1−π)0=1，以此进行计算即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，涉及的知识点有负整数指数幂、分母有理化、特殊角的三角函数值、绝对值的代数意义、零指数幂，熟练掌握相应的运算法则是解题关键．
20.【答案】解：由②得
(x−y)2=4，
∴x−y=±2，
当x−y=2时，得x=2+y④，
把④代入①得
2+y−3y=5，
∴−2y=3，
∴y=−32，
把 y=−32代入④得
x=2−32=12，
∴x=12y=−32是原方程组的一个解，
当x−y=−2时．得x=y−2⑤，
把⑤代入①得
(y−2)−3y=5，
∴−2y=7，
∴y=−72，
把 y=−72代入④得
x=2+(−2)=−72
∴x=−32y=−72是原方程组的一个解，
所以原方程组的解为：x=12y=−32，x=−32y=−72．
【解析】先用完全平方公式把方程②左边因式分解，得(x−y)2=4，从而推得x−y=±2，再分类讨论，即可求解．
本题考查了二次二元方程组，关键是将二元二次方程组转化为二元一次方程组．
21.【答案】解：(1)作OD⊥AB于点D，则∠ADO=90°，AD=BD，
∵ODOA=sinA=35，
∴OD=35OA，
∴AD= OA2−OD2= OA2−(35OA)2=45OA，
∵AC=AB，OC=3，
∴AD=12AB=12AC=12(OA+3)，
∴45OA=12(OA+3)，
解得OA=5，
∴⊙O的半径长为5．
(2)作CE⊥AB于点E，则∠AEC=∠BEC=90°，
∵OC=3，OA=5，
∴AB=AC=OC+OA=3+5=8，
∴CE=AC⋅sinA=8×35=245，
∵AE= AC2−CE2= 82−(245)2=325，
∴BE=AB−AE=8−325=85，
∴BC= CE2+BE2= (245)2+(85)2=8 105，
∴BC的长是8 105．
【解析】(1)作OD⊥AB于点D，根据垂径定理得AD=BD，由ODOA=sinA=35，得OD=35OA，则AD= OA2−OD2=45OA，而AD=12AB=12AC=12(OA+3)，则45OA=12(OA+3)，所以OA=5，则⊙O的半径长为5；
(2)作CE⊥AB于点E，由OC=3，OA=5，得AB=AC=8，所以CE=AC⋅sinA=245，则AE= AC2−CE2=325，BE=AB−AE=85，即可根据勾股定理求得BC= CE2+BE2=8 105．
此题重点考查等腰三角形的性质、垂径定理、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
22.【答案】解：(1)列车提速前速度是每小时80千米，提速后速度是每小时100千米，t=180080−1800100=4.5(小时)．
(2)列车提速后速度符合规定，理由如下：
设列车提速后速度是每小时x千米，则列车提速前速度是每小时(x−20)千米，
根据题意得1800x−20−1800x=3，
解得x1=120，x2=−100，
经检验，x1=120，x2=−100都是原方程的解，但x2=−100不符合题意，舍去．
∴提速后速度是每小时120千米，
∵这个速度不超过每小时140千米．问列车提速后速度符合规定．
【解析】(1)根据列车提速前所用的时间−提速后所用的时间可得到t的值；
(2)设列车提速后速度是每小时x千米，则列车提速前速度是每小时(x−20)千米，根据列车提速前所用的时间−提速后所用的时间=3列出分式方程，求解，与每小时140千米比较即可得到结论．
本题考查了分式方程的应用解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程．
23.【答案】证明：(1)如图所示，

∵CE、CF分别是∠ACB和它的邻补角∠ACD的角平分线，
∴∠2=12∠ACB，∠3=12∠ACD，
∵∠ACB+∠ACD=180°，
∴∠2+∠3=12(∠ACB+∠ACD)=90°，
∴EC⊥CF，
∵AE⊥CE，
∴AE//FC，
又∵AF//EC，
∴四边形AECF是矩形；
(2)GH//BC.理由如下：
∵四边形AECF是矩形，
∴EF=AC，EH=12EF，AH=HC=12AC，
∴EH=HC，
∴∠2=∠5，
又∵CE平分∠ACB，
∴∠1=∠2，
∴∠1=∠5，
∴GH//BC，
∴GHBC=AHAC=12，
∴GH=12BC．
【解析】(1)根据CE、CF分别是∠ACB和∠ACD的平分线得到∠ECF=90°，推导出EC⊥CF，然后根据AE⊥CE，得到AE//FC，再利用AF//EC证得四边形AECF是矩形；
(2)根据矩形的性质得到内错角相等即可证得两条直线平行．
本题考查了矩形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及平行线的判定的知识，解题的关键是了解矩形的几个判定定理．
24.【答案】解：(1)抛物线的对称轴为：x=−b2a=1，
对于y=ax2−2ax−4，令x=0，则y=−4，即点A(0,−4)，
根据抛物线的对称性，则点B(2,−4)，
即点A、B的坐标分别为：(0,−4)、(2,−4)；

(2)①由点B的坐标得，tan∠AOB=OBOA=12
∵AC⊥OB，
则tan∠OAC=2，
∵OA=4，则OC=8，即点C(8,0)，
将点C的坐标代入抛物线表达式得：64a−16a−4=0，
解得：a=112，
则抛物线的表达式为：y=112x2−16x−4①；
②存在，理由：
过点B作直线n//AC交y轴于点N，在点A的上方取点M，使AM=4AN，

则S△PAC=4S△ABC，过点M作直线m//AC，
则直线m的表达式为：y=12(x−2)−4，
当x=0时，y=−5，即点N(0,−5)，
则AN=1，则AM=4，
即点M(0,0)，
则直线m的表达式为：y=12x②，
联立①②得：112x2−16x−4=12x，
解得：x=4±4 7，
即点P的坐标为：(4±4 7,2±2 7).
【解析】(1)抛物线的对称轴为：x=−b2a=1，对于y=ax2−2ax−4，令x=0，则y=−4，即点A(0,−4)，根据抛物线的对称性，则点B(2,−4)，即可求解；
(2)①求出直线AC的表达式为：y=12x−4，得到点C(8,0)，即可求解；
②过点B作直线n//AC交y轴于点N，在点A的上方取点M，使AM=4AN，则S△PAC=4S△ABC，即可求解．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数和二次函数的图象和性质、平行线的性质等，有一定能够的综合性，难度适中．
25.【答案】(1)①证明：∵CE⊥BF，
∴∠BED=90°，
∵∠DAC=90°，
∴∠BED=∠CAD=90°，
∵∠BDE=∠ADC，
∴∠ABE=∠ACD，
∵∠BAC=90°，∠ACB=45°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴AB=AC，
在△BAE和△CAD中，
∠ABE=∠ACDAB=AC∠BAE=∠CAD=90°，
∴△BAE≌△CAD(ASA)，
∴BF=CD，
∵∠BCP=12∠ACB，
∴∠BCE=∠ACE=22.5°，
∴∠CBE=∠CFE=67.5°，
∴CB=CF，
∵CE⊥BF，
∴BE=EF，
∴BE=12CD，即BE=12PD；
②解：结论：BE=12PD．
理由：如图2中，过点P作PT//CF交BF于点T．

∵PT//CF，
∴∠BPT=∠C，
∵∠BPD=12∠ACB，
∴∠BPD=12∠BPT，
由(1)可知，BE=12PD；
(2)解：过点P作PK//CA交BF于点K，交AB于点J．

∵PK//AC，
∴PJAC=BJBA，
∴BJPJ=BAAC=n，
同法可证PB=PK，BE=EK，
∵∠KBJ=∠DPJ，∠BJK=∠PJD=90°，
∴△BJK∽△PJD，
∴BKPD=BJPJ=n，
∴2BEPD=n，
∴BEPD=n2．
【解析】(1)①证明△BAE≌△CAD(ASA)，推出BF=CD，再证明BE=EF，可得结论；
②结论：BE=12PD.如图2中，过点P作PT//CF交BF于点T.证明∠BPD=12∠BPT，可得结论；
(2)过点P作PK//CA交BF于点K，交AB于点J.首先证明BJPJ=BAAC=n，再证明△BJK∽△PJD，可得BKPD=BJPJ=n，即可解决问题．
本题属于相似形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形即三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题．
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