2022-2023学年人教版数学六年级下册小升初一轮复习（知识点清单+过关检测）：专题15 工程问题（一）（教师版·学生版）

专题15  简单的工程问题

1. 简单的工程问题。

工程问题是研究工作效率、工作时间、工作总量之间相互关系的一类问题。工程问题的基本数量关系式有:

工作效率 × 工作时间 = 工作总量

工作总量 ÷ 工作效率 = 工作时间

工作总量 ÷ 工作时间 = 工作效率

工作总量的表示方法（具体数量;假设为单位“1”或其他量）

2.工程问题有两种情况。

一种是工作总量、工作效率是具体的数量，如做100个零件，平均每天做20个，儿天完成?用100 + 20 = 5（天）解决问题。

另一种是把工作总量看成单位“1”，用单位“1”的几分之几来表示工作效率。如一项工程，甲单独完成要8天，乙单独完成需要10天，两人合作，几天完成?要把这项工程看成单位“1”，甲每天完成这项工程的，乙每天完成这项工程的，用1 ÷ （ + ）来计算。

【例1】一件工作，由甲单独去做要15天完成，由乙单独去做要20天完成。如果甲、乙两人合作，需要几天完成？

[来源:学科网ZXXK]

【点拨分析】 

把工作总量看作单位“1”，甲独做15天完成，甲每天完成工作总量的;乙程做20天完成，乙每天完成工作总量的。两人合作，每天完成工作总量的（）。工作总量除以两人的工作效率和，就是两人合作完成这件工作需要的天数。

【答 案】 

1÷（）（天）

答：甲、乙两人合作，需要天完成。

1.填空。

（1）一段公路，甲队单独修要用20天，乙队单独修要用30天。如果两队合修，每天完成这段公路的（　　），（　　）天可以修完。

（2）一堆货物，甲车单独运10小时运完，乙车单独运15小时运完。现在两车合运2小时，共运走（　　），还剩下（　　）。

（3）一项工程，甲、乙合作4天完成，甲单独做6天完成，乙单独完成全部工程的需要（　　）天。

2.一批布，如果用它做裤子，可做20条;如果用它做上衣，可做15件。如果配套（一条裤子和一件上衣为一套）做，那么做几套衣服就需要这批布的？

3.一批货物，甲汽车单独运需10小时运完，乙汽车单独运需12小时运完，丙汽车单独运需15小时运完。如果甲、乙、丙三辆汽车合运，多少小时可以运完？

[来源:学科网ZXXK]

【例2】修一条水渠，甲、乙两队合修10天可以完成。两队合修4天后，余下的由甲队单独修还需12天。那么乙队单独修这条水渠需要多少天？[来源:学科网]

【点拨分析】 

把工作总量看作单位“1”，要求乙队完成它所需的时间，关键是要求出乙队的工作效率。甲、乙两队合修10天可以完成，则两队的工作效率和是。两队合修4天可完成，那么余下的由甲队单独修用了12天，可求出甲队的工作效率是，所以乙队的工作数率是。

【答 案】 

（）÷12]＝20（天）

答：乙队单独修这条水渠需要20天。

1.一项工程，甲独做20天完成，乙独做15天完成。这项工程先由甲做了若干天后，剩下的再由乙单独完成，从开工到完成共用了18天。甲、乙两人各做了多少天？

2.一项工程，甲独做10天完成了一半，余下的甲、乙又一起合作了6天，正好全部完成。如果由乙单独做这项工程，多少天可以完成？

3.一项工程，甲、乙两队合作，6天能完成，如果他们单独做，甲队完成与乙队完成所需的时间相同。问:单独做，甲、乙两队各需多少天？

【例3】一个水池装有一个注水管和一个排水管，单开注水管5小时可将空池灌满，单开排水管7小时可将满池水排完。如果一开始是空池，打开注水管1小时后又打开排水管，再过多长时间池内有半池水？

【点拨分析】  这是一道典型的工程应用题，将一池水看作整体“1”，则每小时进水，出水。两青齐开时，池水增加，每小时增加，这就是两管齐开时的工作效率。要求时间，只需找到要完成的工作量。[来源:学,科,网Z,X,X,K]

当打开排水管时，池内已有的水，故还要注入的水量是。

【答 案】 

（）÷（）（时）

答：再过小时池内有半池水。

1.一根甲种水管30分钟可以将一个空的水池灌满，一根乙种水管40分钟可以将这个空池灌满。开始是空池，先打开3根甲种水管，5分钟后再打开若干根乙种水管，再过2分钟30秒就可灌满水池。问:打开了多少根乙种水管？

2.游泳池有甲、乙、丙三根注水管，开始是空池，如果单开甲管，需要20小时注满水池;如果甲、乙两管合开，需要8小时注满水池;如果乙、丙两管合开，需要6小时注满水池。那么，单开丙管多少小时可以使水池中有的水？

3.一个水池有甲、乙两个排水管，一个进水管丙。若同时开放甲、丙两管，20小时可将满池水排空;若同时开放乙、丙两管，30小时可将满池水排空;若单独开丙管，60小时可将空池注满;若同时打开甲、乙、丙三个水管，要排空水池中的水需几小时？

【例4】加工一批零件，甲、乙合作24天可以完成。现在由甲先做16天，然后乙再做12天，还剩下这批零件的没有完成。已知甲每天比乙多加工3个零件，求这批零件的个数。

【点拨分析】 

甲、乙合作的工作效率和为，甲先做16天，然后乙再做12天，可理解为甲、乙合作12天后，甲再单独做16-12＝4（天），这样甲4天完成的工作量为，于是，可以求出甲的工作效率为，乙的工作效率为，从而求出3个零件占这批零件的（）。

【答 案】 

（）+（16-12）       （）]＝360（个）

答：这批零件共有360个。

1.加工一批零件，甲、乙合作15天可以完成。现在由甲先做10天，然后乙再做12天，还剩下这批零件的没有完成。已知甲每天比乙少加工5个零件，求这批零件的个数。

2.一批机器零件，由甲单独做5天可以完成零件总数的，乙单独做完这批零件所用的时间比甲少2天。现由两人合作3天后，接着甲又做了160个零件，乙又做了零件总数的，刚好全部做完。完成任务时，甲比乙少做了多少个零件？

3.一项工程，甲队单独做12天可以完成。如果甲队做3天后，乙队做2天恰好可以完成一半。现在甲、乙两队合作若干天后，由乙队单独完成，做完后发现两段所用的时间相等。完成这项工程共用了多少天？

满分：100分，时间：60分钟

基础达标（60分）

一、填空。（12分）[来源:Z#xx#k.Com]

1.录入一份稿件，甲单独录人需要10小时，乙单独录入需要12小时，那么甲、乙的工效之比是（　　），时间比是（　　）。

2.加工一批零件，单独做，师傅5天完成，徒弟4天完成。两人合作，一天完成这批零件的，（　　）天完成这批零件的。

3.植树活动中，某班平均每人植树12棵。如果只由女生完成，每人应植树30棵;如果只由男同学完成，每人应植树（　　）棵。

4.一段布，可做20件上衣，也可做28条裤子。先做了15件上衣，还可以做（　　）条裤子。

5.一项工作，甲、乙合作需12天完成，若甲先做3天后，再由乙做8天，共完成这项工作的。如果这项工作由甲单独做，需（　　）天完成。

6.完成一项工作，已知甲和乙一起做需要4小时，乙和丙一起做需要2小时，甲和丙一起做需要3小时、甲、乙、丙一起做需要（　　）小时。

二、解决问题。（48分）

1.甲、乙两队挖一条水渠，甲队单独挖8天完成，乙队单独挖12天完成。现在两队合挖了几天后，乙队调走，余下的甲队3天挖完。乙队挖了多少天？

2.一项工程，甲队独做12天完成，乙队独做15天完成，丙队2天完成全部工程的。甲、乙两队合作2天后，剩下的工程由丙队独做，还要多少天完成？

3.师徒二人共同加工一批零件，15天可以完成，已知师傅和徒弟的工作效率之比是3:2。师傅单独加工这批零件需多少天？

4.有一个水池，单开进水管18分钟可注满空池，单开排水管24分钟可将满池水放尽。现在水池里已有的水，如果同时开进水管和排水管，多长时间注满水池？

5.从A地到B地，甲车要10小时行完，乙车要15小时行完。如果甲、乙两车同时相对开出，相遇时甲车行了A，B间路程的几分之几？

6.加工一批零件，如果甲、乙合作需12天完成，现在先由乙加工3天，接着再由甲加工2天后，还剩总数的没有完成。已知乙比甲每天少加工4个零件，这批零件有多少个？

能力创新（40分）

三、想一想，做一做。（40分）

1.完成一件工程，甲、乙合作10天完成，乙、丙合作8天完成，甲、丙合作12天完成。如果甲、乙、丙三人合作，多少天可以完成？

2.甲、乙两车分别从东、西两城同时出发相向而行，12小时后两车可相遇。实际甲车出发4小时后，因故障停车，乙车又走了20小时才与甲车相遇。乙车行完全程需要几小时？

3.建筑工地需要一批水泥，用甲、乙两车合运，小时运完这批水泥的60%。已知甲车单独运20小时运完，又知乙车每小时运吨。这批水泥共有多少吨？

4.一项工程，甲、乙、丙三人合作需10天完成。如果丙休息3天，乙就要多做2天，或者甲、乙两人多合作1天。这项工程由甲单独做，需多少天完成？

【附加题】

1.甲工程队每工作6天休息1天，乙工程队每工作5天休息2天。一件工程，甲队单独做需97天，乙队单独做需75天。如果两队合作，4月1日开工，那么几月几日可以完工？

2.“京新高速”是世界上穿越沙漠最长的高速公路，修其中一段公路时，甲队单独修24天可以完成，乙队单独修30天可以完成，甲、乙、丙三队合修10天也可以完成。若先由甲、乙两队合修4天后，丙队加入，还需修几天可以完成该路段？

【答案解析】

[举一反三训练1]

1.（1）（2）（3）3

（）＝6（蜜）

3.1+（）＝4（时）

[举一反三训练2]

1.乙:（）+（）＝6 （天）甲:18-6＝12（天）

2.1+（）＝30（天）

3.时间相同、工作效率的比和工作总量的比相等::2:3。

甲队:1+（）＝18（天）

乙队:1+（）＝12（天）

[举一反三训练3]

1.2分30秒分

（）         

 （根）

丙工效:

（时）

3.开1小时的排冰量:甲、丙开:甲一丙，

乙、丙开:乙丙

三管齐开:甲+乙-丙

（ ）＝10（时）

[举一反三训练4]

1.乙工效:（）÷（12-10）

甲工效:

总数:5÷（）＝ 300（个）

2.甲工效:

乙工效:1+（）

总数160÷[1-（）]＝6400（个）

乙做的个数:6400×（）＝3840（个）

甲比乙少做的个数:3840-（6400-3840）＝1280（个）

3.乙队工作效率:（）

设甲、乙两队合作x天。 

  ）（天）

[自我检测]

一、1.6:5、5:

二、1.（）+（）＝3（天）

2.（）+（）＝7（天）

3.1+（）＝25（天）或（3+2）×15+3＝25 （天）

4.（）+（）＝60（分）

（）]

6.（）+（3-2） 4+（）＝240（个）

三.1.1+（）+2]（天）

2.（）（时）

（60%）＝210（吨）

4.甲、乙工效相同，丙工效是甲的。

甲工效:（）

甲独做的天数:（天）

【附加题】

1.甲:97＝7×13+6工作时间:6×13+6＝84天）乙:75＝7×10+5工作时间:5×10+5＝55（天）以7天为一个周期，每个周期的工作量为: 工作6个周期后，剩余的工作量为:，所需时间为:（）＝ （天），所以完成整项工程所需时间为:6×7+ 1＝43（天），从4月1日起第43天是5月13日。

2.@（）（天）