湖北省荆州市2022-2023学年高二数学下学期期中试题（Word版附答案）

湖北省荆州市2022-2023学年高二下学期期中考试数学试卷

1．直线的倾斜角为（        ）

A．120°    B．150°    C．30°     D．45°

2．在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的中心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系，则运动员在时瞬时速度为（        ）

A．5m/s     B．－10.9m/s   C．10.9m/s    D．－5m/s

3．圆与圆恰有两条公切线，则a的取值范围是（        ）

A．    B．    C．    D．

4．在正项等比数列中，，是，的等差中项，则（        ）

A．16     B．27     C．32     D．54

5．设函数在R上可导，其导函数且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（        ）

A．函数有极大值和极小值  B．函数有极大值和极小值

C．函数有极大值和极小值  D．函数有极大值和极小值

6．等差数列、中的前n项和分别为、，，则（        ）

A．     B．     C．     D．

7．已知函数，．若存在2个零点，则a的取值范围是（        ）

A．    B．    C．    D．

8．已知点，过点作直线l与抛物线相交于A，B两点，设直线PA，PB的斜率分别为，，则（        ）

A．－1     B．－2     C．2     D．无法确定

9．下列求导运算正确的是（        ）

A．        B．

C．      D．

10．已知曲线C的方程为，则下列结论正确的是（        ）

A．当时，曲线C为圆

B．曲线C为椭圆的充要条件是

C．若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则

D．存在实数k使得曲线C为抛物线

11．设数列的前n项和为，，且，则（        ）

A．    B．是等差数列  C．   D．

12．在棱长为1的正方体中，M为底面ABCD的中心，，，N为线段AQ的中点，则（        ）

A．CN与QM共面

B．三棱锥A-DMN的体积跟的取值无关

C．时，过A，Q，M三点的平面截正方体所得截面的周长为

D．时，

13．已知函数，则             ．

14．直线l：截圆的弦为MN，当取最小值时，m的值为             ．

15．已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是             ．

16．在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第1件首饰是1颗珠宝，第2件首饰是由6颗珠宝构成的如图①所示的正六边形，第3件首饰是由15颗珠宝构成的如图②所示的正六边形，第4件首饰是由28颗珠宝构成的如图③所示的正六边形，第5件首饰是由45颗珠宝构成的如图④所示的正六边形，以后每件首饰都在前一件的基础上按照这种规律增加一定数量的珠宝，使它构成更大的正六边形，则第6件首饰的珠宝有

             颗，依此推断第n件首饰所用珠宝总数为             （结果用n表示）．

17．已知函数，的图象在点处的切线为．

（1）求a，b的值;

（2）设，求最小值．

18．已知，，三点共线，其中是数列中的第n项．

（1）求数列的通项;

（2）设，求数列的前n项和．

19．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，，，，．

（1）求证：PA⊥平面ABCD；

（2）求直线BD与平面BPC所成角的正弦值．

20．已知正项等差数列的前n项和为，，若，，构成等比数列．

（1）求数列的通项公式;

（2）设数列的前n项和为，求证：．

21．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，半焦距为1，以线段为直径的圆恰好过椭圆C的上、下顶点．

（1）求椭圆C的方程;

（2）若关于直线对称的射线与分别与椭圆C位于x轴上方的部分交于M，N两点，求证：直线MN过x轴上一定点。

22．已知函数．

（1）当时，求证：恒成立;

（2）若关于x的方程至少有两个不相等的实数根，求实数a的最小值．

湖北省荆州市2022-2023学年高二下学期期中考试数学试卷参考答案

1．【答案】C

【分析】本题考查了直线的斜率与倾斜角的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

利用直线的斜率与倾斜角的关系即可得出结论．

【解答】解：设直线的倾斜角为，

则，

∴．

2．【答案】D

【分析】本题考查了导数的运算、瞬时速度，属基础题．

【解答】解：

∵，

∴，

则运动员在时瞬时速度为．

3．【答案】A

【分析】本题考查了圆与圆的位置关系，属于基础题．

【解答】解：根据题意，圆，即，其圆心为，半径为2，

圆，其圆心为，半径为3，

两圆的圆心距，

若两圆恰有两条公切线，则两圆相交，则有，

解可得：，即a的取值范围为

4．【答案】D

【分析】本题考查了等比数列的通项公式、等差数列的性质，属于基础题．

由题可得，进而可得数列的公比，即可求．

【解答】解：设数列的公比为q，则，

由是，的等差中项，

则，

∴，解得，或舍去，

∴．

5．【答案】A

【分析】本题考查了利用导数求函数的极值点，属基础题．

【解答】解：由图可知：

当时，，，故在上单调递增；

当时，，，故在上单调递减；

当时，，，故在上单调递减；

当时，，，故在上单调递增；

故函数在时取得极大值，在时取得极小值．

6．【答案】B

【分析】本题考查了等差数列前n项和性质，属于基础题题．

【解答】解：

∵等差数列、中的前n项和分别为、，，

∴．

7．【答案】C

【分析】本题考查函数零点的个数，属于中档题．

【解答】解：

函数存在2个零点，

即关于x的方程有2个不同的实根，

即函数的图象与直线有2个交点，

作出直线与函数的图象如图所示，

由图可知，，解得．

8．【答案】A

【分析】本题考查了抛物线中的定值问题，属中档题．

【解答】解：设直线方程为，联立抛物线方程可得，

设，，可得，

则．

9．【答案】BD

【分析】本题考查了导数的运算，属于基础．

【解答】解：对于A，，A错误；

对于B，，B正确；

对于C，，C错误；

对于D，，D正确．

10．【答案】AC

【分析】本题考查圆、椭圆、双曲线、抛物线标准方程，属于中档题．

根据圆、椭圆、双曲线、抛物线标准方程的特征即可逐项判断求解．

【解答】解：

对于A，当时，曲线C的方程为，

此时曲线C表示圆心在原点，半径为的圆，所以A正确；

对于B，若曲线C为椭圆，则，且，

即，所以B错误；

对于C，若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，

则，，解得，所以C正确；

对于D，曲线C不存在x，y的一次项，

所以曲线C不可能是抛物线，所以D错误．

11．【答案】AD

【分析】本题考查了等比数列、等差数列的相关知识，属中档题．

【解答】解：当时，，

因为，所以，故A正确；

于是，

当时，，

所以，

即，即，

所以数列是首项为1，公比为3的等比数列，

故，，故BC错误，D正确．

12．【答案】ABC

【分析】本题考查棱锥的体积、截面问题和空间中直线与直线的位置关系，属于中档题．

【解答】解：

N为线段AQ的中点，M为线段AC的中点，所以，所以CN与QM共面，所以A正确；

，N到平面ABCD的距离为定值，△ADM的面积为定值，三棱锥A-DMN的体积跟的取值无关，所以B正确；

当时，过A，Q，M三点的平面界截正方体的截面ACEQ是等腰梯形，周长为，所以C正确；

当，，，

所以，

所以不成立，

所以D不正确．

13．【答案】

【分析】本题考查基本初等函数的求导，属于基础题．

根据导数的公式，代入求解即可．

【解答】解：

∵，

∴，

令，则，

∴．

14．【答案】1

【分析】本题考查了直线与圆的位置关系及求参，属中档题．

【解答】解：由得，

因此所给圆的圆心为，半径为3．

又因为直线l过定点，而点A在圆C内，

所以点C到直线l的距离等于，即时，直线l与圆C的相交弦MN的长最小，

而，

因此的最小值为，

此时．

15．【答案】

【分析】本题考查了利用导数由函数单调性求参，属于中档题．

【解答】解：

∵在上单调递增，

∴在上恒成立，

即在上恒成立；

又当时，，

∴，解得：，

实数a的取值范围为．

16．【答案】66 

【分析】本题考查了数列的递推关系的综合应用，解题时要探究数列的递推关系，得出通项公式，考查学生推理能力，属于中档题．

由题意可知，，，，的值，则，，，，从而得；所以求得通项公式．

【解答】解：由题意，知，，，，，…；

∴，，，，…，；

∴

；

∴，，

故答案为：66，．

17．【答案】解：

（1），，

由已知，得，解得，

∴函数的解析式为．

（2），则，

令，则，

当时，，此时单调递减

当时，，此时单调递增，

∴．

18．【答案】解：

（1）∵，，三点共线，

∴，

∴；

（2）由（1）可知，

所以，则，

两式相减得，

，

所以．

19．【答案】解：

（1）证明：由于，，所以，

由于，，PD、平面PAD，所以平面PAD，

∴平面PAD，由平面PAD，得．

取CD的中点E，连接BE，

因为底面ABCD是直角梯形，且，，

故四边形ABED为矩形，且且，

∴，

所以在△PAD中，，，，即，

由于，AB、平面ABCD，

所以平面ABCD．

（2）平面ABCD，，

以点A为坐标原点，AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，

则、、、、，

则，，，

设平面BPC的法向量为，则，

取，可得，

所以，．

所以，直线BD与平面BPC所成角的正弦值为．

20．【答案】解：

（1）由为等差数列，，

得，

则，

又，，构成等比数列，

所以，

即，

解得或舍，

所以；

（2）证明：

因为，

所以

．

21．【答案】解：

（1）∵以线段为直径的圆恰好过椭圆C的上下顶点，

∴．

∵，，

∴，

椭圆C的方程为．

（2）由题意知直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为，

联立，消去y并整理得．

设点，，

则，．

∵，且由题意知和必存在，

∴．

又，

∴，即，

整理得，

得，

即，解得，

∴MN的方程为．

∵，

即，

∴，解得．

∵M，N位于椭圆x轴上方，

∴，此时直线MN过x轴上的定点．

22．【答案】解：

（1）证明：当时，，，

令，所以当时，，单调递增；

当时，，单调递减．

故，所以恒成立．

（2）至少有两个不相等的实数根，

记，所以，

记，所以，

令（舍），

所以当，，单调递减，

当时，，单调递增，

所以的最小值为，

又，所以时，，又当时，

，

因此必存在唯一的，使得．

因此时，，单调递増，

，，单调递减，

时，，单调递増，

画出的大致图象，如图所示：

因此当时，直线与函数的图象至少有两个交点，

即关于x的方程至少有两个不相等的实数根，

所以a的最小值为．