湖北省荆州市沙市区沙市中学2022-2023学年高二数学下学期5月月考试题（Word版附答案）

2022-2023学年度下学期2021级

5月月考数学试卷

考试时间：2023年5月11日

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．函数的定义域为，其导函数在内的图象如图所示，则函数在区间内极小值点的个数是（    ）

A．1           B．2           C．3           D．4

2．若随机事件，则（  ）

A．  B．  C．    D．

3．“中国剩余定理”又称“孙子定理”,1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲. 1874年英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理,因而西方称之为“中国剩余定理”,“中国剩余定理”讲的是一个关于同余的问题.现有这样一个问题: 将正整数中能被3除余1且被2除余1的数按由小到大的顺序排成一列,构成数列, 则（   ）

A．55            B． 49            C．43            D．37

4．2023年4月世界大健康博览会将在湖北武汉举行.展会期间，需在广场处布置一个如图所示的圆形花坛，花坛分为5个区域．现有5种不同的花卉可供选择，要求相邻区域不能布置相同的花卉，且每个区域只能布置一种花卉，则不同的布置方案有（    ）

A．120种        B．240种       C．420种      D．720种

5．已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，，线段的中点为，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，则的最小值为（   ）

A．1             B．           C．2              D．

6．设表面积相等的正方体、正四面体和球的体积分别为、和，则（    ）

A．    B．    C．     D．

7．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示．下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（    ）

A．

B．第2023行中从左往右第1011个数与第1012个数相等

C．记第n行的第i个数为，则

D．第30行中第12个数与第13个数之比为13：18

8．已知向量，，与的夹角为，若对任意，，当时，恒成立，则实数m的取值范围是（    ）

A．   　　　  B． 　　    C．   　  D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．已知的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则下列结论正确的是（ ）

A．                         

B．二项式系数之和为64

C．展开式中的常数项为15 

D．将展开式中的各项重新随机排列，有理项相邻的概率为

10. 已知是数列的前n项和，．下列结论正确的是（    ）

A．若是等差数列，则         B．若是等比数列，则

C．若等差数列，则公差        D．若是等比数列，则公比是2或－2

11．有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为6%，5%，4%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数的比为5：6：9，现任取一个零件，记事件“零件为第i台车床加工”（，2，3），事件“零件为次品”，则（    ）

A．    B．     C．     D．

12．已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A．方程恰有3个不同的实数解

B．函数有两个极值点

C．若关于x的方程恰有1个解，则

D．若，且，则存在最大值

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．若，则__________.

14. 如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为3的正方形，，AP与AB，AD的夹角都是60°，若M是PC的中点，则直线MB与AP所成角的余弦值为_______.

15．已知点P为抛物线C：上的动点，直线l：，点为圆M：上的动点，设点P到直线l的距离为d，则的最小值为_____．

16．若从数字1，2，3，4中任取一个数，记为，再从1，…，（按数字从小到大顺序）中任取一个数记为.用数字1，2，3，4以及组成五位数，一共可以组成的五位数有     个；则       .

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．

17．已知的展开式中所有项的二项式系数和为128，各项系数和为.

（1）求和的值；

（2）求的展开式中的常数项.

18．已知等差数列满足，且，，成等比数列.

（1）求的通项公式；

（2）设，的前项和分别为，.若的公差为整数，且，求.

19．袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，……，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用X表示取球终止时所需要的取球次数．

　　（1）求袋中原有白球的个数；

　　（2）求甲取到白球的概率．

20．如图，三棱柱的体积为，侧面是矩形，，，且已知二面角是钝角.

（1）求的长度；

（2）求二面角的大小.

21．已知椭圆C：的焦距为，，分别为C的左，右焦点，过的直线l与椭圆C交于M，N两点，的周长为8．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过点且斜率不为零的直线与椭圆C交于E，F两点，试问：在x轴上是否存在一个定点T，使得．若存在，求出定点T的坐标；若不存在，说明理由．

22．已知函数， .

（1）试讨论的单调性；

（2）若对任意， 均有 ，求的取值范围；

（3）求证: .

高二年级5月月考数学答案

1.A

2.D  ，

故  

3.A

4.C

5.B

6.B

【详解】设正方体棱长为，正四面体棱长为，球的半径为，面积为.

正方体表面积为，所以，

所以，；

如图，正四面体，为的中点，为的中心，则是底面上的高.

则，，所以，

所以，

所以，正四面体的表面积为，所以.

又为的中心，所以.

又根据正四面体的性质，可知，

所以，

所以，；

球的表面积为，所以，

所以，.

因为，

所以，，

所以，.

故选：B.

7．【答案】C

【解析】由可得

，故A错误；

第2023行是奇数，中间两项最大，即和，也就是第2023行中第1012个数和第1013个数相等，故选项B错误；

第n行的第i个数为，所以，

故C正确；第30行中第12个数与第13个数之比为

，故D错误．故选C．

8．【答案】D

【解析】由已知可求得，对任意的，，

，又，∴，

∴，即，

，记，则．

因此函数在上递减，又，由，∴，

所以的单调递减区间为，∴．故选D．

9.BC

10.AB

11．【答案】ACD

【解析】事件“零件为第i台车床加工”（，2，3），事件“零件为次品”，则，，，，，，故A正确，B错误；

，故C正确；

，故D正确．故选ACD．

12．【答案】ABD

【解析】由已知

由方程得或或，

由图可知，无解，无解，有3个解，故A正确；

由图可知，和是函数的两个极值点，故B正确；

若方程数恰有1个零点，即函数与的图象仅有一个交点，可得或，故C错误；

由，则，，，则，设，则，

设，显然在上单调递增，且，，

所以存在，使，且当时，，单调递增，

当时，，单调递减，所以存在最大值，故D正确．故选ABD．

13．28 

【详解】由，得或，

解得，或舍去，.

【详解】记，

因为，所以.

又因为，所以.

易得，

所以，

,所以，

又

故答案为：

15．【解析】抛物线C：的焦点为，准线为直线l：，

圆M：的圆心，半径，

由抛物线的定义知，，则，

当P，F，M三点共线时，取最小值为．

16.（1）

  （2）解析：设事件=“取出数字i”，i＝1，2，3，4，

易知P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(A4)＝，

事件B=“取出y=2”

则P(B|A1)＝0，P(B|A2)＝，P(B|A3)＝，P(B|A4)＝，

所以P(B)＝P(Ai)P(B|Ai)＝＝.

17.【答案】（1）    （2）448

【解析】

（1）∵由条件可得，∴解得.

（2）.

∵展开式的通项为：.

∴①当即时，；

②当即时，；

∴所求的常数项为.

18.【答案】（1）或    （2）

【解析】（1）设等差数列的公差为d，∵，∴，

∵，，成等比，∴，

即，得，解得或，

∴当时，；

当时，；

∴或.

（2）因为等差数列的公差为整数，由（1）得，

所以，则，

∴.

①当为偶数时

②当为奇数时

所以

19.【答案】（1）n＝3；（2）P(A)＝.

解：(1)设袋中原有n个白球，

由题意知＝＝，

可得n＝3或n＝－2(舍去)，即袋中原有3个白球．

(2)由题意，X的可能取值为1,2,3,4,5.

P(X＝1)＝；

P(X＝3)＝＝；

P(X＝5)＝＝.

因为甲先取，所以甲只有可能在第1次，第3次和第5次取球，记“甲取到白球”为事件A，则P(A)＝P(X＝1)＋P(X＝3)＋P(X＝5)＝.

20.（1） ；   （2）

【解析】（1）侧面是矩形，则，

又∵且，平面，

∴AC⊥平面，

∵，∴平面，平面，

∴，∴.

∵可知二面角的平面角是钝角，

∴在平面中作垂直BC的延长线于H

而平面，

，，且，平面，

∴平面ABC，

，，则，，

，

∴，∴，

∴中，，∴，∴.

∵中，，，

∴由余弦定理可求得，

∴.

（2）以C为坐标原点，以CA、CB分别为x、y轴，过C作平面BAC的垂线作为z轴，建立空间直角坐标系.

∵，，，，

∴，

设平面的法向量为，则，则，令，则，

∴可得平面的法向量为.

又可知平面的法向量为.

设所求角为θ，

∵可知所求二面角为锐角，

∴，，

∴二面角为.

21．【解析】（1）已知椭圆的焦距，则，……1分

又的周长为8，

∴，则，……3分

所以，故椭圆C的方程为；……4分

（2）证明：假设存在x轴上的定点，使得，

则结合图形可得，所以，……5分

由题意，直线EF的斜率一定存在，设直线EF的方程为，

由得，设，，

则，∴且……7分

直线ET的斜率为，直线FT的斜率为，

由得，……8分

∴，

即，……10分

∴，则，……11分

所以在x轴上存在一个定点，使得．……12分

22.【详解】（1） ,        

若 则， 在 上单调递减；           

若，则由,得,

当时,在上单调递增,       

当时,,在 上单调递减.

（2）当时,符合题意； 当时,由（1）知在 上单调递减，而 ，不合题意；        

   当时,结合（1）得，，

即，得， 综上，的取值范围是；

（3）证明：由（2）知，当 时，即           

所以，

所以，           

所以 ，

即得证.