2023届四川省攀枝花市高三第三次统一考试数学（理）试题含解析

2023届四川省攀枝花市高三第三次统一考试数学（理）试题

一、单选题

1．设集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】求出集合、，利用交集的定义可求得集合.

【详解】因为，，

因此，.

故选：C.

2．如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数（i为虚数单位）为“等部复数”，则实数a的值为（     ）

A． B． C．0 D．1

【答案】B

【分析】先化简复数，利用“等部复数”的定义：实部和虚部相等，列出方程求出的值．

【详解】，

复数为“等部复数”，

，

故选：B．

3．攀枝花昼夜温差大，是内陆地区发展特色农业的天然宝地，干热河谷所孕育的早春蔬菜为大家送去新鲜优质的维生素和膳食纤维.下图为攀枝花年月日至日的最高气温与最低气温的天气预报数据，下列说法错误的是（     ）

A．这天的单日最大温差为度的有天

B．这天的最高气温的中位数为度

C．这天的最高气温的众数为度

D．这天的最高气温的平均数为度

【答案】D

【分析】确定这天的单日最大温差为度的日期，可判断A选项；利用中位数的定义可判断B选项；利用众数的概念可判断C选项；利用平均数公式可判断D选项.

【详解】对于A选项，这天的单日最大温差为度为月日、月日，共天，A对；

对于B选项，这天的最高气温由小到大依次为：、、、、、、（单位：），

故这天的最高气温的中位数为度，B对；

对于C选项，这天的最高气温的众数为度，C对；

对于D选项，这天的最高气温的平均数为，D错.

故选：D.

4．如图所示的程序框图中，若输出的函数值在区间内，则输入的实数x的取值范围是（     ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据程序框图，明确该程序的功能是求分段函数的值，由此根据该函数值域，可求得答案.

【详解】由程序框图可知：运行该程序是计算分段函数的值，

该函数解析式为 ，

输出的函数值在区间 内 ，

必有当时，，，

当 时 ，，，

即得 ．

故选∶B．

5．的展开式中，常数项是（    ）

A． B． C．9 D．10

【答案】A

【分析】由二项式定理的通项公式计算可得结果.

【详解】∵，

第项为：，，

的第项为：，

∴展开式中的常数项.

故选：A.

6．对于直线m和平面，，下列命题中正确的是（     ）

A．若，，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，则

【答案】C

【分析】根据线面关系和面面关系逐项判断可得出答案.

【详解】对于A，若，，则或，故A错误；

对于B，若，，则或，故B错误；

对于C，若，，则，故C正确；

对于D，若，，则与相交或或，故D错误.

故选：C.

7．已知为锐角，，角的终边上有一点，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用同角三角函数的基本关系求出的值，利用三角函数的定义可求得的值，再利用两角和的正切公式可求得的值.

【详解】因为为锐角，，则，所以，，

由三角函数的定义可得，因此，.

故选：A.

8．为落实立德树人的根本任务，践行五育并举，某学校开设、、三门德育校本课程，现有甲、乙、丙、丁四位同学报名参加校本课程的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学报名，则甲和乙都没选择门课程的不同报名种数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】对选择门课程人数进行分类讨论，再将其余的人分为两组，分配给、两门课程，结合分类加法计数原理可得结果.

【详解】分以下两种情况讨论：

①选择门课程的只有一人，只需将其余三人分为两组，再将这两组学生分配给、两门课程，

此时，不同的报名种数为种；

②选择门课程的有两人，则这两人为丙和丁，则将甲、乙分配给、两门课程，

此时，不同的报名种数为种.

综上所述，不同的报名种数为种.

故选：B.

9．“绿水青山就是金山银山”理念已经成为全党全社会的共识和行动，工业废水中的某稀有金属对环境有污染，甲企业经过数年攻关，成功开发出了针对该金属的“废水微循环处理利用技术”，废水每通过一次该技术处理，可回收20%的金属．若当废水中该金属含量低于最原始的5%时，至少需要循环使用该技术的次数为（    ）（参考数据：）

A．12 B．13 C．14 D．15

【答案】C

【分析】利用条件建立不等式，再转化成，再利用对数的运算法则和条件即可求出结果.

【详解】设至少需要循环使用该技术的次数为，则，所以，故取14.

故选：C.

10．已知函数对任意都有，则当取到最大值时，图象的一条对称轴为（     ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】先根据，得到，结合，得到的范围，求出的范围，进而得到的最大值为，再利用整体法求出函数的对称轴，得到答案.

【详解】，,

，

，

，

，所以的最大值为，

当时，令，

解得，

当时，对称轴为，经检验，其他三个均不合要求.

故选：A

11．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过作直线，使得它双曲线的一条渐近线垂直且垂足为点，与双曲线的右支交于点，若线段的垂直平分线恰好过的右焦点，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】连接，不妨设点在第三象限，求出、、，利用勾股定理可求得的值，再利用双曲线的离心率公式可求得结果.

【详解】连接，不妨设点在第三象限，则直线的方程为，即，

点到直线的距离为，

记线段的中点为，则，且，

又因为为的中点，则为的中点，则，

因为，所以，，

由双曲线的定义可得，

由勾股定理可得，即，整理可得，

因此，双曲线的离心率为.

故选：C.

12．定义在上的连续可导函数的导函数为，满足，且为奇函数．当时，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】推导出函数、均为周期函数，确定这两个函数的周期，结合周期性可求得的值.

【详解】因为函数为奇函数，则，

即，可得，

又因为，则，

所以，，可得，则，

即，

所以，，

在等式两边求导得，

故函数也为周期函数，且该函数的周期为，

因为，令时，则有，所以，，

所以，满足，

即当时，，此时，

所以，，

因此，.

故选：A.

二、填空题

13．已知实数x，y满足约束条件，则的最大值为___________.

【答案】2

【分析】画出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，代入即可求解.

【详解】作出约束条件对应的平面区域，如图所示，

由，可得直线，

当直线过点A时，此时直线在轴上的截距最大，此时取得最大值，

又由，解得，

所以的最大值为.

故答案为：2.

14．已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点，则________.

【答案】

【分析】求出抛物线的焦点坐标，用点斜式求出直线的方程，将直线方程与抛物线联立得到一元二次方程，利用韦达定理得到，，由即可求出.

【详解】抛物线的焦点为，

设A，B两点的坐标为和，由题意得直线的方程为，

将直线和抛物线联立，可得，

其中，

则，，

.

故答案为：

15．如图，圆台中，，其外接球的球心O在线段上，上下底面的半径分别为，，则圆台外接球的表面积为________.

【答案】

【分析】列出外接球半径所满足的方程，解出半径，得外接球表面积.

【详解】

设外接球半径为R，

则，解得，

所以外接球表面积为，

故答案为：.

16．如图，圆的内接四边形中，与相交于点，平分，，．则的面积为______．

【答案】/

【分析】作出图形，分析可得、的长，利用余弦定理可求得的长，然后利用斜率求解即可.

【详解】作出四边形的外接圆，如下图所示：

因为，，，则，

由余弦定理可得，则，

因为平分，则，所以，，则，

由余弦定理可得，

整理可得，，即的，

故.

故答案为：.

三、解答题

17．某企业从生产的一批产品中抽取个作为样本，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果制成如图所示的频率分布直方图．

(1)求这件产品质量指标值的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数；

(2)已知某用户从该企业购买了件该产品，用表示这件产品中质量指标值位于内的产品件数，用频率代替概率，求的分布列和数学期望．

【答案】(1)平均数，中位数

(2)分布列见解析，

【分析】（1）将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，将所得结果全部相加可得出，利用中位数的定义可求得样本的中位数；

（2）分析可知，利用二项分布可得出随机变量的分布列，利用二项分布的期望公式可求得的值.

【详解】（1）解：由已知得．

因为．设中位数为，则，

则，解得．

（2）解：因为购买一件产品，其质量指标值位于内的概率为，所，

，，

，，

所以的分布为

所以，．

18．已知等差数列的公差为，前n项和为，现给出下列三个条件：①成等比数列；②；③.请你从这三个条件中任选两个解答下列问题.

(1)求数列的通项公式；

(2)若，且，设数列的前n项和为，求证：.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）先分析条件①②③分别化简，若选①②，①③，②③，联立化简后条件求首项与公差得出通项公式即可；

（2）由，利用累加法求出求出，再由裂项相消法求出的前n项和，结合的单调性可得证.

【详解】（1）由条件①得，因为，，成等比数列，则，

即，又，则，

由条件②得，即，

由条件③得，可得，即.

若选①②，则有，可得，则；

若选①③，则，则；

若选②③，则，可得，所以.

（2）由，且，

当时，

则有

又也满足，故对任意的，有，

则，

所以，

由于单调递增，所以，

综上：.

19．如图1，圆的内接四边形ABCD中，，，直径．将圆沿AC折起，并连接OB、OD、BD，使得△BOD为正三角形，如图2．

(1)证明：图2中的平面BCD；

(2)在图2中，求二面角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由题意得到，为直径所对的圆周角得，再由线面垂直的判定定理可得平面；

（2）有线面垂直的判定定理得平面，以点为坐标原点，平行于DC的直线为x轴，BA为y轴，BD为轴建立空间直角坐标，求出平面BOD的法向量、平面BCD的法向量，由二面角的向量求法可得答案.

【详解】（1）由题意得到，，所以，

由勾股定理的逆定理，得到，

为直径所对的圆周角，所以，

又∵，平面，∴平面；

（2）由题意得到，，，所以，

得到，为直径所对的圆周角，所以，

又∵，平面，可得平面，

以点为坐标原点，平行于DC的直线为x轴，BA为y轴，BD为轴建立如下图的空间直角坐标，，，，，

，，

设平面BOD的法向量为，由，得，

可得，

再由（1）知平面BCD的法向量为，

设二面角为，则．

20．已知椭圆的焦点坐标为和，且椭圆经过点．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)椭圆的上、下顶点分别为点和，动点在圆，动点在椭圆上，直线的斜率分别为，且．

（ⅰ）证明：三点共线；

（ⅱ）求外接圆直径的最大值．

【答案】(1)

(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）

【分析】（1）直接利用条件算出，从而求出椭圆C的标准方程；

（2）（ⅰ）利用条件直接求出，，从而得到，，进而证明结论，也可以利用条件得出，进而得到，从而证明结论；

（ⅱ）利用为直角三角形，从而将问题转化成线段的最值，进而求出结果.

【详解】（1）易知，又因为点在椭圆上，且，所以，即，

又由，得到，

所以椭圆C的标准方程为

（2）（ⅰ）法一：设，，根据对称性不妨假设A，B都在的左侧，如图

设直线：，

将代入，得到

所以，，

设直线：，

将代入，得到，

所以，又，所以，，

所以，所以，

又MN为圆的直径，所以，

故N，A，B三点共线．

法二：,所以，

又由，得，

MN为圆的直径，所以，所以．

故N，A，B三点共线．

（ⅱ）由（ⅰ）可知为直角三角形，其外接圆的直径为线段MB，

又因为，又，

故当时，取最大值，

综上，外接圆直径的最大值为．

21．已知函数在处的切线方程为

(1)求实数，的值；

(2)设函数，当时，的值域为区间的子集，求的最小值．

【答案】(1)，

(2)1

【分析】（1）对函数求导数，由切线斜率及切点坐标，列出方程组，解出a，b的值；

（2）利用导数研究的单调性，得函数的最值的取值范围，求得m，n的取值范围.

【详解】（1）定义域为，．

由题意知，解得，．

（2），

则．

令，其中，则，

所以函数在上单调递增．

因为，，所以存在唯一，

使得，即，可得．

当时，，此时函数单调递增，

当时，，此时函数单调递减．

所以，当时，

因为，，所以，

即，因为，

．

所以当时，，

即，．

所以，即的最小值为1．

【点睛】计算的单调性和最值过程中，利用隐零点的思想表示出函数的最大值，求出最大值得取值范围.

22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（t为参数），曲线，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求，的极坐标方程；

(2)若射线分别与曲线，相交于A，B两点，求的面积.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）两式平方相减消去参数即可得出曲线普通方程；利用将直角坐标方程转化为极坐标方程；

（2）利用极坐标的几何意义，求得的长，利用直线与夹角为及的长，求得边上的高，从而求得面积.

【详解】（1）依题意得，化简整理得：

令，，化简得.

对于，化简得：.

（2）设，

依题意得，解得；

，解得，

设到射线的距离为d，

，解得，

.

23．已知函数.

(1)解不等式；

(2)设函数的最小值为c，正实数a，b满足，求的最小值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）分类讨论去绝对值符号解不等式；

（2）利用绝对值三角不等式得c的值，再利用基本不等式求的最小值.

【详解】（1）当时，不等式可化为，，

当时，不等式可化为，得，即.

当时，不等式可化为，得，即.

综上所述，原不等式的解集为.

（2）由绝对值不等式性质得，

所以，即.

所以.

当且仅当，即时取到等号，

所以的最小值为.