2020届四川省攀枝花市高三第二次统一考试数学（理）试题（解析版）
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一、单选题
1．设为虚数单位，表示复数的共轭复数，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵
∴
∴
故选B
2．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据集合的交并补运算即可求解.
【详解】
由或，
所以，又，
，
故选：C
【点睛】
本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题.
3．中国古代用算筹来进行记数，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯记数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，其中个位、百位、方位……用纵式表示，十位、千位、十万位……用横式表示，则56846可用算筹表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意表示出各位上的数字所对应的算筹即可得答案．
【详解】
解：根据题意可得，各个数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位用纵式表示；十位，千位，十万位用横式表示，
用算筹表示应为：纵5横6纵8横4纵6，从题目中所给出的信息找出对应算筹表示为中的．
故选：．
【点睛】
本题主要考查学生的合情推理与演绎推理，属于基础题．
4．在这组数据中，随机取出五个不同的数,则数字是取出的五个不同数的中位数的所有取法为（ ）
A．24种 B．18种 C．12种 D．6种
【答案】D
【解析】根据题意，由中位数的定义分析可得要使数字3是取出的五个不同数的中位数，则取出的数字中必须有4，5、6、7中的两个，必须有1，2这2个数字，由组合数公式计算可得答案．
【详解】
由题得必须有1，2这2个数字，4，5、6、7中必须有两个，
所以所有取法为.
故选：D
【点睛】
本题主要考查中位数的定义，考查排列组合的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
5．若 ，则（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【解析】试题分析：由，得或，所以，故选A．
【考点】同角三角函数间的基本关系，倍角公式．
【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．
6．的展开式中，含的项的系数是（）
A．-40 B．-25 C．25 D．55
【答案】B
【解析】写出二项式的展开式中的通项，然后观察含的项有两种构成，一种是中的1与中的二次项相乘得到，一种是中的与中的常数项相乘得到，将系数相加即可得出结果。
【详解】
二项式的展开式中的通项，含的项的系数为，故选B.
【点睛】
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
7．已知是两条不同的直线是两个不同的平面,则的充分条件是（ ）
A．与平面所成角相等 B．
C． D．
【答案】C
【解析】根据空间线面位置关系的判定或定义进行判断即可.
【详解】
对于A，若与平面所成角相等，则可能相交或者异面，故A错；
对于B，若，则可能相交或者异面，故B错；
对于C，若，由线面平行的性质定理可得，故C正确；
对于D，若，则可能异面，故D错；
故选：C
【点睛】
本题主要考查了空间中线面的位置关系，需掌握判断线面位置关系的定理和定义，考查了空间想象能力，属于基础题
8．已知是圆心为的圆的条弦,且,则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】过点作于，可得，在中利用三角函数的定义算出，再由向量数量积的公式加以计算，结合即可求解.
【详解】
过点作于，则为的中点，
中，，，
,
解得.
故选：B
【点睛】
本题主要考查向量数量积的几何意义以及根据数量积求模，属于基础题.
9．函数的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
【答案】C
【解析】试题分析：函数在处无意义，由图像看在轴右侧，所以，，由即，即函数的零点，故选C．
【考点】函数的图像
10．函数的图象向右平移个单位 长度得到的图象.命题的图象关于直线对称;命题是的一个单调增区间.则在命题和中,真命题是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】首先利用辅助角公式将函数化为，由三角函数的图像变化规律求出的解析式，根据三角函数的性质判断与真假，再由命题的否定以及真假表即可判断.
【详解】
，
由，解得，
显然不是对称轴，故为假命题.
由，解得，
故函数的单调递增区间为
当时，，又，故为真命题.
故为真命题，为假命题，
故为真命题；为假命题；
为真命题；为假命题；
故选：A
【点睛】
本题考查了辅助角公式、三角函数的性质、命题真假的判断以及命题的否定、真假表，需熟记三角函数的性质以及真假表，属于基础题.
11．在三棱柱中，上平面,记和四边形的外接圆圆心分别为,若,且三棱柱外接球体积为,则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，设三棱柱的外接球的球心为O,连接.设三棱柱的高为h，外接球的半径为R,
先求出R,再求的值.
【详解】
如图，设三棱柱的外接球的球心为O,连接.
设三棱柱的高为h，外接球的半径为R,由题得
在直角三角形中，
在直角三角形中，,
所以.
故选：D
【点睛】
本题主要考查几何体的外接球问题的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
12．已知函数的图象上有且仅有四个不同的点关于直线的对称点在的图象上，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可化为函数图象与的图象有且只有四个不同的交点，结合题意作图求解即可．
【详解】
解：函数的图象上有且仅有四个不同的点关于直线的对称点在的图象上，
而函数关于直线的对称图象为，
的图象与的图象有且只有四个不同的交点，
作函数的图象与的图象如下，
易知直线恒过点，
设直线与相切于点，
，故，
解得，，故；
设直线与相切于点，
，
故，
解得，；
故，
故，
即；
故选：
【点睛】
本题考查了函数的性质的判断与应用，同时考查了学生的作图能力及数形结合的思想应用，属于难题．
二、填空题
13．已知，若，则__________．
【答案】
【解析】根据指数式与对数式的互化即可求解.
【详解】
由，则，，
，
故答案为：
【点睛】
本题主要考查指数式与对数式的互化、指数幂的运算，属于基础题.
14．若满足，则的最大值为__________．
【答案】4
【解析】当直线z＝2x＋y经过直线2x－y＝0与直线x＋y＝3的交点(1，2)时，z取最大值2×1＋2＝4.
15．已知定义在上的函数满足，且在单调递增，对任意的，恒有，则使不等式成立的的取值范围是__________.
【答案】
【解析】首先判断函数的奇偶性、单调性，再将函数不等式转化为自变量的不等式，计算可得.
【详解】
解：因为定义在上的函数满足
故，所以为奇函数，又在单调递增，根据奇函数的对称性，可知在上单调递增，又对任意的，恒有，
解得
所以，即
故答案为：
【点睛】
本题考查函数的奇偶性、单调性的应用，属于中档题.
16．如图，在直四棱柱中，底面是菱形，分别是的中点，为的中点且，则面积的最大值为___________.
【答案】
【解析】建立坐标系，使用向量法求出到直线的距离，代入面积公式，使用不等式的性质求出最值．
【详解】
解：连接交于，
底面是菱形，，
以，，为坐标轴建立空间直角坐标系，
设，，棱柱的高为，
则， ， ，，，，，．
，，，，，，
，
到直线的距离，
．当且仅当即时取等号．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了空间向量与空间距离的计算，不等式的应用，属于中档题．
三、解答题
17．已知等差数列中，为其前项和,;等比数列的前项和
(1)求数列的通项公式;
(2)当各项为正时,设,求数列的前项和.
【答案】（1）或， （2）
【解析】（1）根据等差数列的通项公式与求和公式即可求；由与的关系可求.
（2）利用错位相减法即可求和.
【详解】
解：（1）设等差数列的首项为，公差为
则
当时，
当时，也满足上式
所以
（2）由题可知，
故
【点睛】
本题考查了等差数列的通项公式、求和公式，已知求以及错位相减法，需熟记公式，属于基础题.
18．如图,在四棱锥中,侧面底面,底面为梯形，
(1)证明:;
(2) 若为正三角形,求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析 （2）
【解析】（1）先证明BD⊥平面PAD,再证明；（2）如图所示，建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的余弦值.
【详解】
（1）证明：因为，又底面为直角梯形
面底面
因为面底面,平面ABCD,
所以BD⊥平面
所以.
（2）如图所示，建立空间直角坐标系，
设平面的法向量为
所以，令
设平面的法向量为
令
设二面角的平面角为 .由图观察为钝角
【点睛】
本题主要考查空间位置关系的证明，考查空间二面角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
19．为了了解居民的家庭收入情况，某社区组织工作人员从该社区的居民中随机抽取了100户家庭进行问卷调查.经调查发现，这些家庭的月收入在3000元到10000元之间，根据统计数据作出如图所示的频率分布直方图：
（1）经统计发现，该社区居民的家庭月收入（单位：百元）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数.若落在区间的左侧，则可认为该家庭属“收入较低家庭”，社区将联系该家庭，咨询收入过低的原因，并采取相应措施为该家庭提供创收途径.若该社区家庭月收入为4100元，试判断家庭是否属于“收入较低家庭”，并说明原因；
（2）将样本的频率视为总体的概率.
①从该社区所有家庭中随机抽取户家庭，若这户家庭月收入均低于8000元的概率不小于50%，求的最大值；
②在①的条件下，某生活超市赞助了该社区的这次调查活动，并为这次参与调查的家庭制定了赠送购物卡的活动，赠送方式为：家庭月收入低于的获赠两次随机购物卡，家庭月收入不低于的获赠一次随机购物卡；每次赠送的购物卡金额及对应的概率分别为：
赠送购物卡金额（单位：元） | 100 | 200 | 300 |
概率 |
则家庭预期获得的购物卡金额为多少元？（结果保留整数）
【答案】（1）家庭不属于“收入较低家庭”，详见解析（2）①②元
【解析】（1）根据频率分布直方图，计算该社区居民的家庭月收入平均值，计算，比较可得；
（2）①用样本的频率视为总体的概率，计算出月收入低于8000元的概率，根据相互独立事件的概率公式得到不等式，解得即可；②由（1）可知该家庭可获赠两次随机购物卡，设所获得的购物卡金额为随机变量，则的取值分别为200，300，400，500，600，分别计算出概率，求出期望即可；
【详解】
解：（1）该社区居民的家庭月收入平均值为：
（百元）
又因为该社区居民的家庭月收入（单位：百元）近似地服从正态分布
所以，故
该社区家庭月收入为4100元百元，故家庭不属于“收入较低家庭”.
（2）①将样本的频率视为总体的概率，由频率分布直方图可知，抽取一户家庭其月收入低于8000元的概率为
随机抽取户家庭月收入均低于8000元的概率为，由题意知，解得
②由（1）知百元元，故家庭月收入低于，可获赠两次随机购物卡，设所获得的购物卡金额为随机变量，则的取值分别为200，300，400，500，600
，
，
则家庭预期获得的购物卡金额为元.
【点睛】
本题考查离散型随机变量的分布列及期望的计算，频率分布直方图的应用，以及相互独立事件的概率公式的应用，属于中档题.
20．已知椭圆的短轴顶点分别为,且短轴长为为椭圆上异于的任意-一点,直线的斜率之积为
(1)求椭圆的方程;
(2)设为坐标原点,圆的切线与椭圆C相交于两点,求面积的最大值.
【答案】（1） （2）
【解析】（1）根据题意设出点，列出方程化简即可求解.
（2）分类讨论当直线斜率不存在时，可求出弦长，当斜率存在时，切线方程为 与椭圆联立，根据弦长公式求出弦长的最大值，再由面积公式即可求解.
【详解】
解：（1）设，由题意知，设直线 的斜率为，直线的斜率为 ，
则，由，得
整理得椭圆的方程为
（2）当切线垂直轴时
当切线不垂直 轴时，设切线方程为
由已知，得
把代入椭圆方程，整理得
设，则
当且仅当，即时等号成立，当时，
综上所述.所以当取最大值时，
面积
【点睛】
本题考查了直接法求轨迹方程，直线与椭圆的位置关系、弦长公式以及基本不等式求最值，属于中档题.
21．已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，若函数与的图象有且仅有一个交点，求的值（其中表示不超过的最大整数，如）.
参考数据：.
【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）
【解析】（1）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）问题转化为方程在只有一个根，令，根据函数的单调性求出的值即可．
【详解】
解：（1）
，
对于函数，
当时，在单调递减
当时，在单调递减，在单调递增
当时，在单调递减，在单调递增.
（2）且两函数有且仅有一个交点，则方程
即方程在只有一个根.
令，则
令，则
在单调递减，在上单调递增，故
注意到在无零点，在仅有一个变号的零点，
在单调递减，在单调递增，注意到
根据题意为的唯一零点即
，消去，得：
令，可知函数在上单调递增
.
【点睛】
本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，属于难题．
22．平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为
(1)写出曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；
(2)若射线平分曲线，且与曲线交于点，曲线上的点满足，求.
【答案】（1）：，：；（2）
【解析】（1）根据，即可求解；
（2）曲线是圆，射线过圆心，所以方程是，将代入的极坐标方程求出，进而求出即可求解.
【详解】
解：（1）曲线的直角坐标方程是，即
化成极坐标方程为：
曲线的直角坐标方程是；
（2）曲线是圆，射线过圆心，所以方程是
代入，得
又，将，代入，得
因此
【点睛】
本题主要考查极坐标方程与普通方程的互化以及利用极坐标求弦长，属于基础题.
23．已知，且
（1）证明：
（2）若恒成立，求的取值范围
【答案】（1）证明见解析 （2）
【解析】（1）利用基本不等式即可证出.
（2）利用基本不等式求出的最小值，然后再分类讨论解不等式即可求解.
【详解】
解：（1）
（2）由，得
所以恒成立
当时，故
当时，解得，故
当时，解得，故，故
综上可知：
【点睛】
本题考查了基本不等式求最值、解绝对值不等式，属于基础题.
