初中数学人教版七年级下册第八章 二元一次方程组8.3 实际问题与二元一次方程组导学案

尖子生培优题典

8.3　实际问题与二元一次方程组

第3课时　行程问题、工程问题

一、行程问题

（1）航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度

               逆水速度=静水速度-水流速度

1.一艘轮船航行在朝天门和钓鱼嘴两个码头之间，从朝天门到钓鱼嘴顺水航行用了3小时，逆水航行比顺水航行多用20分钟，已知轮船在静水中的速度是19千米/时．

（1）求水流速度以及朝天门和钓鱼嘴两个码头之间的距离；

（2）若在这两地之间建立新的码头大坪湾，使该轮船从朝天门到大坪湾的航行时间是和从钓鱼嘴到大坪湾所用的航行时间的一半，问朝天门和大坪湾两地相距多少千米？

2.一艘船顺水航行45km需要3h，逆水航行65km需要5h，若设船在静水中速度为xkm/h，水流的速度是ykm/h，则x，y值分别是（　　）

A．x＝13，y＝2 B．x＝14，y＝1 C．x＝15，y＝1 D．x＝14，y＝2

3.A，B两地相距80km，一艘船从A出发，顺水航行4h到B，而从B出发逆水航行5h到A，已知船顺水航行、逆水航行的速度分别是船在静水中的速度与水流速度的和与差，求船在静水中的速度和水流速度．

（2）相遇问题：同时不同地相向而行时，两人走的路程之和＝两地距离

4.已知A，B两地相距120千米，甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，其终点分别为B，A两地．两车均先以千米每小时的速度行驶，再以b千米每小时的速度行驶，且甲车以两种速度行驶的路程相等，乙车以两种速度行驶的时间相等．

(1)若，且甲车行驶的总时间为小时，求和b的值；

(2)若，且乙车行驶的总时间为小时．

①求和b的值；

②求两车相遇时，离A地多少千米．

5.A、B两地相距4千米，甲从A地出发步行到B地，乙从B地出发骑自行车到A地，两人同时出发，30分钟后两人相遇，又经过10分钟，甲剩余路程为乙剩余路程的3倍．

(1)求甲、乙每小时各行多少千米？

(2)在他们出发后多长时间两人相距1千米？

6.甲、乙两人分别从相距40km的两地同时出发，若同向而行，则5h后，快者追上慢者；若相向而行，则1h后，两人相遇，那么快者速度和慢者速度（单位：km/h）分别是（　　）

A．14和6 B．24和16 C．28和12 D．30和10

（3）追及问题：同地不同时同向而行时，前者走的路程＝追者走的路程；同时不同地同向而行时，两人走的路程之差＝两地距离.

7. 甲、乙两班同时从学校出发去距离学校的军营军训，甲班学生步行速度为，乙班学生步行速度为，学校有一辆汽车，该车空车速度为，载人时的速度为，且这辆汽车一次恰好只能载一个班的学生，现在要求两个班的学生同时到达军营，问他们至少需要多少时间才能到达？

8.甲、乙两人练习跑步，如果乙先跑米，则甲跑秒就可追上乙；如果乙先跑秒，则甲跑秒就可追上乙，则甲的速度为多少米/秒？乙的速度为多少米/秒？

二、工程问题

9.玲玲家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作，需6周完成，共需装修费为5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，共需装修费4.8万元，玲玲的爸爸妈妈商量后决定只选一个公司单独完成．

(1)设甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n，则可列出方程为               ．

(2)如果从节约时间的角度考虑应选哪家公司？

(3)如果从节的开支的角度考虑呢？请说明理由．

10.某工厂签了1200件商品订单，要求不超过15天完成．现有甲、乙两个车间来完成加工任务．已知甲车间加工1天，乙车间加工2天，一共可加工140个零件；甲车间加工2天，乙车间加工3天，一共可加工240个零件．

（1）求甲、乙每个车间的加工能力每天各是多少件？

（2）甲、乙两个车间共同生产了若干天后，甲车间接到新任务，留下乙车间单独完成剩余工作，求甲、乙两车间至少合作多少天，才能保证完成任务．

11.全国在抗击“新冠肺炎”疫情期间，甲，乙两家公司共同参与一项改建有1800个床位的方舱医院的工程．已知甲，乙两家公司每小时改建床位的数量之比为3：2．且甲公司单独完成此项工程比乙公司单独完成此项工程要少用20小时，

（1）分别求甲，乙两家公司每小时改建床位的数量；

（2）甲，乙两家公司完成该项工程，若要求乙公司的工作时间不得少于甲公司的工作时间的，求乙公司至少工作多少小时？

12.甲、乙、丙三人完成一项工程，其中甲的工作效率是乙和丙工作效率之和的，乙的工作效率是甲和丙工作效率之和的、已知甲、乙合作完成这项工作需要8天，则甲、丙合作完成这项工作需要多少天？

三、练习巩固

13.周末，小玉骑自行车去五台山，出发时，她先以8km/h的速度走平路，而后又以4km/h的速度上坡到达五台山，共用了1.5h；返回时，她先以12km/h的速度下坡，而后以9km/h的速度走过平路，回到原出发点，共用了55min，求从出发点到五台山的路程．

14.平房区政府为了“安全，清激、美丽”河道，计划对何家沟平房区河段进行改造，现有甲乙两个工程队参加改造施工，受条件阻制，每天只能由一个工程队．若甲工程队先单独施工3天，再由乙工程队单独施工5天，则可以完成550米的施工任务；若甲工程队先单独施工2天，再由乙工程队单独施工4天，则可以完成420米的施工任务．

 （1）求甲、乙两个工程队平均每天分别能完成多少米施工任务？

（2）何家沟平房区河段全长6000米．若工期不能超过90天，乙工程队至少施工多少天？

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8.3　实际问题与二元一次方程组

第3课时　行程问题、工程问题（解析版）

四、行程问题

（3）航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度

               逆水速度=静水速度-水流速度

1.一艘轮船航行在朝天门和钓鱼嘴两个码头之间，从朝天门到钓鱼嘴顺水航行用了3小时，逆水航行比顺水航行多用20分钟，已知轮船在静水中的速度是19千米/时．

（1）求水流速度以及朝天门和钓鱼嘴两个码头之间的距离；

（2）若在这两地之间建立新的码头大坪湾，使该轮船从朝天门到大坪湾的航行时间是和从钓鱼嘴到大坪湾所用的航行时间的一半，问朝天门和大坪湾两地相距多少千米？

【答案】朝天门和大坪湾两地相距千米

【解答】解：（1）设水流速度为x千米/小时，则船在顺水中的速度为（x+19）千米/小时，船在逆水中的速度为（19﹣x）千米/小时，

根据题意，可得：，

解得：x＝1，

∴水流速度为1千米/小时，

∴（x+19）×3＝（1+19）×3＝60（千米），

∴朝天门和钓鱼嘴两个码头之间的距离为60千米；

（2）由（1）可知：船在顺水中的速度为：1+19＝20（千米/小时），船在逆水中的速度为：19﹣1＝18（千米/小时），

设朝天门和大坪湾两地相距y千米，则钓鱼嘴到大坪湾两地相距（60﹣y）千米，

根据题意，可得：，

解得：，

∴朝天门和大坪湾两地相距千米．

【点睛】本题考查了行程问题的数量关系的运用，列二元一次方程解实际问题的运用，解答时分别表示顺流速度逆流速度是解答本题的关键．

2.一艘船顺水航行45km需要3h，逆水航行65km需要5h，若设船在静水中速度为xkm/h，水流的速度是ykm/h，则x，y值分别是（　　）

A．x＝13，y＝2 B．x＝14，y＝1 C．x＝15，y＝1 D．x＝14，y＝2

【解答】：设船在静水中速度为xkm/h，水流的速度是ykm/h，根据“顺水航行45km需要3h，逆水航行65km需要5h”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．

解：设船在静水中速度为xkm/h，水流的速度是ykm/h，

根据题意得：，

解得：．

故选：B．

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

3.A，B两地相距80km，一艘船从A出发，顺水航行4h到B，而从B出发逆水航行5h到A，已知船顺水航行、逆水航行的速度分别是船在静水中的速度与水流速度的和与差，求船在静水中的速度和水流速度．

【分析】设船在静水中的速度为x千米/小时，水流速度为y千米/小时，根据一艘船从A地出发，顺水航行4小时到B地；而从B地出发，逆水航行5小时到A地列出方程组解答问题即可．

解：设船在静水中的速度为x千米/小时，水流速度为y千米/小时，由题意得

，

解得．

答：船在静水中的速度为18千米/小时，水流速度为2千米/小时．

【点睛】此题考查二元一次方程组的实际运用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键．

（4）相遇问题：同时不同地相向而行时，两人走的路程之和＝两地距离

4.已知A，B两地相距120千米，甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，其终点分别为B，A两地．两车均先以千米每小时的速度行驶，再以b千米每小时的速度行驶，且甲车以两种速度行驶的路程相等，乙车以两种速度行驶的时间相等．

(1)若，且甲车行驶的总时间为小时，求和b的值；

(2)若，且乙车行驶的总时间为小时．

①求和b的值；

②求两车相遇时，离A地多少千米．

【答案】(1)a的值为，b的值为120

(2)①；②两车相遇时，离A地千米

【分析】（1）由甲车以两种速度行驶的路程相等，可得，再结合即可求出a、b的值；

（2）①由乙车以两种速度行驶的时间相等，可得，即可求出a、b的值；

②求出两车相遇时所用的时间，再根据甲车所走的路程，即为相遇时离A的距离．

【详解】（1）由题意，得

，解得：，

答：a的值为，b的值为120；

（2）①由题意，得

，

解得：；

②由题意，得甲前一半路程的时间为：小时，

乙一小时行驶的路程为：千米，

∴相遇时甲还没行驶到60千米处，

∴相遇时甲行驶的时间为：小时；

∴乙离A地距离，即为甲行驶的距离为：千米，

答：两车相遇时，离A地千米．

【点睛】本题考查了行程问题的数量关系的运用，列二元一次方程解实际问题的运用，解答时分别运用路程相等和时间相等建立方程组是解答本题的关键．

5.A、B两地相距4千米，甲从A地出发步行到B地，乙从B地出发骑自行车到A地，两人同时出发，30分钟后两人相遇，又经过10分钟，甲剩余路程为乙剩余路程的3倍．

(1)求甲、乙每小时各行多少千米？

(2)在他们出发后多长时间两人相距1千米？

【答案】(1)甲每小时行3千米，乙每小时行5千米

(2)出发后小时或小时两人相距1千米

【分析】（1）这是行程问题中的相遇问题，三个基本量：路程、速度、时间．关系式为：路程=速度×时间．题中的两个等量关系是：30分钟×甲的速度+30分钟×乙的速度=4千米，4千米-40分钟×甲的速度=（4千米-40分钟×乙的速度）×3，依此列出方程求解即可，注意单位换算；

（2）先求出两人一共行驶的路程，再除以速度和即可求解．

【详解】（1）解：设甲每小时行千米，乙每小时行千米．

依题意：

解方程组得

答：甲每小时行3千米，乙每小时行5千米．

（2）相遇前：（小时），

相遇后：（小时）．

故在他们出发后小时或小时两人相距1千米．

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，本题是行程问题中的相遇问题，解题关键是如何建立二元一次方程组的模型．

6.甲、乙两人分别从相距40km的两地同时出发，若同向而行，则5h后，快者追上慢者；若相向而行，则1h后，两人相遇，那么快者速度和慢者速度（单位：km/h）分别是（　　）

A．14和6 B．24和16 C．28和12 D．30和10

思路引领：设快者速度为xkm/h，根据甲、乙两人分别从相距40km的两地同时出发，若相向而行，则1h后，两人相遇可得慢者速度是（40﹣x）km/h，再根据甲、乙两人分别从相距40km的两地同时出发，若同向而行，则5h后，快者追上慢者，列方程求解即可．

解：设快者速度为xkm/h，则慢者速度是（40﹣x）km/h，

根据题意，得5[x﹣（40﹣x）]＝40，

解得，x＝24，

则40﹣x＝16（km/h）．

答：快者速度为24km/h，慢者速度是16km/h．

故选：B．

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解；本题通常利用二元一次方程组求解．

（3）追及问题：同地不同时同向而行时，前者走的路程＝追者走的路程；同时不同地同向而行时，两人走的路程之差＝两地距离.

7. 甲、乙两班同时从学校出发去距离学校的军营军训，甲班学生步行速度为，乙班学生步行速度为，学校有一辆汽车，该车空车速度为，载人时的速度为，且这辆汽车一次恰好只能载一个班的学生，现在要求两个班的学生同时到达军营，问他们至少需要多少时间才能到达？

【解答】设甲班学生从学校乘汽车出发至处下车步行，乘车，空车返回至处，乙班同学于处上车，此时已步行了．

则，解得＝，＝．
则至少需要＝（小时）．

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解；本题通常利用二元一次方程组求解．

8.甲、乙两人练习跑步，如果乙先跑米，则甲跑秒就可追上乙；如果乙先跑秒，则甲跑秒就可追上乙，则甲的速度为多少米/秒？乙的速度为多少米/秒？

【答案】解：设甲的速度为米/秒，乙的速度为米/秒，依题意有，解得．
故甲的速度为米/秒，乙的速度为米/秒．

 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，本题是行程问题中的追及问题，解题关键是如何建立二元一次方程组的模型．

五、工程问题

9.玲玲家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作，需6周完成，共需装修费为5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，共需装修费4.8万元，玲玲的爸爸妈妈商量后决定只选一个公司单独完成．

(1)设甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n，则可列出方程为               ．

(2)如果从节约时间的角度考虑应选哪家公司？

(3)如果从节的开支的角度考虑呢？请说明理由．

【答案】(1)

(2)时间上考虑选择甲公司

(3)从节约开支上考虑选择乙公司

【分析】（1）设工作总量为1，设甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n，根据工作总量等于工作效率乘以工作时间列出方程即可求解．

（2）列出方程组求出甲乙单独做所用的时间即可；

（3）列出方程组求出各自单独做的周费用，再乘以他们所需时间即可．

【详解】（1）解：设工作总量为1，设甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n，则，

故答案为：．

（2）解：设工作总量为1，设甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n，根据题意得，

解得：

∵

∴甲公司的效率高，所以从时间上考虑选择甲公司．

（3）解：设甲公司每周费用为万元，乙公司每周费用为万元，根据题意得：

解得：

∴公司共需万元，乙公司共需万元，4万元＜6万元，

∴从节约开支上考虑选择乙公司．

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键．

10.某工厂签了1200件商品订单，要求不超过15天完成．现有甲、乙两个车间来完成加工任务．已知甲车间加工1天，乙车间加工2天，一共可加工140个零件；甲车间加工2天，乙车间加工3天，一共可加工240个零件．

（1）求甲、乙每个车间的加工能力每天各是多少件？

（2）甲、乙两个车间共同生产了若干天后，甲车间接到新任务，留下乙车间单独完成剩余工作，求甲、乙两车间至少合作多少天，才能保证完成任务．

【分析】（1）设甲车间的加工能力每天是x件，乙车间的加工能力每天是y件．根据“甲车间加工1天，乙车间加工2天，一共可加工140个零件；甲车间加工2天，乙车间加工3天，一共可加工240个零件”列出方程组，求解即可；

（2）设甲、乙两车间合作m天，才能保证完成任务．根据两车间合作的天数+乙车间单独完成剩余工作的≤15列出不等式，解不等式即可．

【解析】（1）设甲车间的加工能力每天是x件，乙车间的加工能力每天是y件，

依题意得：．

解得．

答：甲车间的加工能力每天是60件，乙车间的加工能力每天是40件；

（2）设甲、乙两车间合作m天，才能保证完成任务．

根据题意得：m+[1200﹣（40+60）m]÷40≤15，

解得m≥10．

答：甲、乙两车间至少合作10天，才能保证完成任务．

11.全国在抗击“新冠肺炎”疫情期间，甲，乙两家公司共同参与一项改建有1800个床位的方舱医院的工程．已知甲，乙两家公司每小时改建床位的数量之比为3：2．且甲公司单独完成此项工程比乙公司单独完成此项工程要少用20小时，

（1）分别求甲，乙两家公司每小时改建床位的数量；

（2）甲，乙两家公司完成该项工程，若要求乙公司的工作时间不得少于甲公司的工作时间的，求乙公司至少工作多少小时？

【分析】（1）设甲公司每小时改建床位的数量是x个，则乙公司公司每小时改建床位的数量是y个，根据甲，乙两家公司每小时改建床位的数量之比为3：2；甲做的工作量+乙做的工作量＝工作总量建立方程组求出其解即可；

（2）设乙公司工作z小时，根据乙公司的工作时间不得少于甲公司的工作时间的，建立不等式求出其解即可．

【解析】（1）设甲公司每小时改建床位的数量是x个，则乙公司公司每小时改建床位的数量是y个，依题意有

，

解得，

经检验，是方程组的解且符合题意，

故甲公司每小时改建床位的数量是45个，乙公司公司每小时改建床位的数量是30个；

（2）设乙公司工作z小时，依题意有

z，

解得z≥15．

故乙公司至少工作15小时．

12.甲、乙、丙三人完成一项工程，其中甲的工作效率是乙和丙工作效率之和的，乙的工作效率是甲和丙工作效率之和的、已知甲、乙合作完成这项工作需要8天，则甲、丙合作完成这项工作需要多少天？

【答案】甲、丙合作完成这项工作需要天

【分析】设甲的效率为，丙的效率为，根据题意列出方程组，解方程组即可求解．

【详解】解：设甲的效率为，丙的效率为，

∵甲、乙合作完成这项工作需要8天，

∴甲、乙的工作效率之和为，

则乙的效率为

∵甲的工作效率是乙和丙工作效率之和的，乙的工作效率是甲和丙工作效率之和的，

∴甲的效率的3倍等于乙和丙的效率，

乙的效率的4倍等于甲和丙的效率，

∴，

解得：

∴甲、丙的效率和为，

∴甲、丙合作完成这项工作需要天．

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键．

六、练习巩固

13.周末，小玉骑自行车去五台山，出发时，她先以8km/h的速度走平路，而后又以4km/h的速度上坡到达五台山，共用了1.5h；返回时，她先以12km/h的速度下坡，而后以9km/h的速度走过平路，回到原出发点，共用了55min，求从出发点到五台山的路程．

思路引领：设平路为x千米，坡路为y千米，根据往返所用的时间列出二元一次方程组，解方程组，即可解决问题．

解：设平路为x千米，坡路为y千米，

根据题意得：，

解得：，

则x+y＝6+3＝9（千米）．

答：从出发点到五台山的路程是9千米．

总结提升：本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键

14.平房区政府为了“安全，清激、美丽”河道，计划对何家沟平房区河段进行改造，现有甲乙两个工程队参加改造施工，受条件阻制，每天只能由一个工程队．若甲工程队先单独施工3天，再由乙工程队单独施工5天，则可以完成550米的施工任务；若甲工程队先单独施工2天，再由乙工程队单独施工4天，则可以完成420米的施工任务．

 （1）求甲、乙两个工程队平均每天分别能完成多少米施工任务？

（2）何家沟平房区河段全长6000米．若工期不能超过90天，乙工程队至少施工多少天？

【分析】（1）分别利用“甲工程队先单独施工3天，再由乙工程队单独施工5天，则可以完成550米的施工任务；若甲工程队先单独施工2天，再由乙工程队单独施工4天，则可以完成420米的施工任务”，得出等式组成方程组求出答案；

（2）利用何家沟平房区河段全长6000米，工期不能超过90天，得出不等关系求出答案．

【解析】（1）设甲工程队每天施工x米，乙工程队每天施工y米．

根据题意得：，

 解得：，

答：甲工程队每天能完成施工任务50米，乙工程队每天能完成施工任务80米；

（2）设乙工程队施工a天，

根据题意 得：80a+50（90﹣a）≥6000，

解得：a≥50，

答：乙工程队至少施工50天．