2022-2023学年江苏省南京师范大学附属中学高一下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年江苏省南京师范大学附属中学高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．已知（i为虚数单位），则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设出复数，利用复数四则运算及复数相等的充要条件求解即可.

【详解】设，则，

所以，即，所以.

故选：B

2．已知向量，，向量在向量上的投影向量的坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据投影向量的定义计算即可.

【详解】由题意易知，，

而在上的投影向量为：.

故选：B

3．设，都是非零向量，下列四个条件中，使得成立的条件是（    ）

A． B． C． D．且

【答案】C

【分析】根据单位向量的含义结合向量同向还是反向，一一判断各选项，即得答案.

【详解】由题意可知分别表示与，同向的单位向量，

对于A，当时，，反向，，A错误；

对于B，，则，反向时，，B错误；

对于C，当时，，C正确；

对于D，且时，有可能是 ，此时，D错误，

故选：C

4．如图，《周髀算经》中的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形.若直角三角形中最小的角为，且小正方形与大正方形的面积之比为，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】法一、设正方形边长，再利用的三角函数表示弦图中的对应边，化简计算即可；

法二、直接设边，计算其比例即可.

【详解】法一、设，则，同理，

所以，

平方得，

同除得，解得.

法二、设直角三角形的斜边为，两直角边为，显然.

则由题意可得：，

解之得：，而，故

故选：D

5．在中，角，，所对的边分别为，，，，，的面积为，则外接圆的直径为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由三角形的面积公式、正弦定理、余弦定理求解即可.

【详解】，

由余弦定理得，即，

由正弦定理得.

故选：C.

6．已知是第二象限，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先利用平方关系求出，再根据结合诱导公式计算即可.

【详解】由是第二象限，得，则，

又，所以，

所以.

故选：A.

7．的值为（    ）

A． B． C． D．2

【答案】B

【分析】根据三角函数诱导公式以及同角的三角函数关系结合二倍角正弦公式和辅助角公式，化简求值，即得答案.

【详解】

,

故选：B

8．如图，中，，，.在所在的平面内，有一个边长为1的正方形绕点按逆时针方向旋转（不少于1周），则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由余弦定理求得，由正方形的边长为，求得，利用向量的数量积的公式，化简得到，结合，即可求解.

【详解】在中，，，，

由余弦定理得，

所以，

又由正方形的边长为，可得，

则

，

正方形绕点按逆时针方向旋转（不少于1周），可得，

所以，即的取值范围是.

故选：A.

二、多选题

9．下列选项中，与的值相等的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】先求出，根据诱导公式及二倍角公式化简求值判断A，根据两角差的正弦公式化简求值判断B，根据两角和的正切公式化简求值判断C，根据诱导公式化简判断D.

【详解】，

A选项：，故A对；

B选项：，故B对；

C选项：，故C对；

D选项：，故D错.

故选：ABC

10．函数在一个周期内的图象如图所示，则（    ）

A．该函数的解析式为

B．点是该函数图象的一个对称中心

C．该函数的减区间是，

D．把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，可得到该函数图象

【答案】BD

【分析】由振幅得到，再由对称轴和零点得到周期，进而得到，再由，求得解析式，然后逐项判断.

【详解】解：由振幅得，由对称轴和零点得，即，所以，

由题意得，即，

因为，所以，

所以，故A错误；

，故B正确；

令，解得，

所以该函数的减区间是，故C错误.

把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍，得到，

纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到，故D正确.

故选：BD

11．在平面直角坐标系内，设两个向量，，定义运算：，下列说法正确的是（    ）

A．是的充要条件 B．

C． D．若点，，不共线，则的面积

【答案】ACD

【分析】根据题中给出的新定义，结合我们学过的共线定理，线性运算以及数量积来判断四个选项的正误.

【详解】

，而，故对；

，，故错；

设，则

，故对；

对于选项：如图是边上的高，设，，是与垂直的单位向量，

则，，

即，，

设，，则，所以对.

故选：.

12．函数的定义域为，为奇函数，且为偶函数，当时，，则下列不等式一定成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】本题利用函数的奇偶性，先判断函数的对称性，再利用函数的单调性去解决问题.

【详解】由为奇函数得关于对称，为偶函数得关于对称，所以函数为周期为4的周期函数，且函数为偶函数

因为时，函数，可知函数在上单调递减；

对于A：，故A错；

对于B：由上可知，因为，所以，因函数在上单调递减，所以故B对；

对于CD选项我们需要先证明.

证明如下：，所以， ，所以，

故知.

由在上单调递增，可得，即证.

对于C： 函数在上单调递减，由函数为偶函数，可知函数在上单调递增，所以函数在不单调，因恒成立，可知C错.

对于D：由恒成立，可知，可知D正确.

故选：BD.

三、填空题

13．复数满足（为虚数单位），则在复平面内所对应的点构成图形的面积为______.

【答案】

【分析】设复数，根据题意求得，结合圆的面积公式，即可求解.

【详解】设复数，

由，可得，即，

所以复数在复平面内对应的点构成图形为半径为的圆及其内部，

故其面积为.

故答案为：.

14．已知，，则向量，的夹角为______.

【答案】/

【分析】根据向量的线性运算，即可求解，，进而根据夹角公式即可求解.

【详解】由，得，，所以，

由于，所以，

故答案为：

15．在中，，，，点在的延长线上，且，则______.

【答案】14

【分析】在中，由正弦定理求得，再在中，利用余弦定理，即可求得的长，得到答案.

【详解】如图所示，在中，因为，

由正弦定理知，可得，解得，

在中，由，且，

由余弦定理得，所以.

故答案为：.

四、双空题

16．已知函数（其中），先将函数的图象向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数______；若在区间上至少存在两个不相等的实数，，使得，则的取值范围是______.

【答案】         

【分析】化简得到，再根据平移法则得到，根据周期得到，考虑，，三种情况，计算得到答案.

【详解】，

函数依据题意平移后得到；

，，

故函数在区间上至少存在两处取最大值，

首先由必要条件区间长，，

当时，，至少包含两个完整周期，满足；

当时，需满足，得到；

当时，需满足，得到.

综上所述：

故答案为：；

五、解答题

17．在直角坐标系中，向量，，，，其中，，.

(1)若 ，，三点共线，求实数的值；

(2)若四边形为菱形，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据 ，，三点共线，可得共线，根据向量共线的坐标表示列式计算，可得答案；

（2）根据菱形的性质，结合向量模以及向量的线性运算，列出方程，求得m的值，即可求得答案.

【详解】（1）由已知得，，

因为 ，，三点共线，共线，

所以；

（2）,,

由四边形为菱形得，即，

即①，

由菱形得,

将代入①，解得，

所以.

18．（1）证明：；

（2）若，，其中实数，不全为零.

①求；

②求.

【答案】（1）证明见解析；（2）①；②

【分析】（1）由两角和与差的余弦公式结合二倍角的余弦、正弦公式即可证明；

（2）将两个已知式分别平方再相加，利用三角函数的平方关系和两角差的余弦公式可求出的值，将两个已知式分别平方再相减，结合二倍角的余弦公式和两角和的余弦公式可求出的值.

【详解】（1）

；

（2）由两边平方得，

两边平方得，

①两式相加可得：，

即则，

②两式相减可得：

，

由（1）知，，

则，

，

则.

19．如图，某镇有一块空地，其中，，.当地镇政府计划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖，其中，都在边上且不与端点重合，且，挖出的泥土堆放在地带上形成假山，剩下的地带设儿童游乐场，为了安全起见，需在的周围安装防护网.

(1)当时，求防护网的总长度；

(2)为节省投入资金，人工湖的面积要尽可能小，问：多大时，可使的面积最小？最小面积是多少？

【答案】(1)km

(2)当时，的面积最小为

【分析】（1）由已知可求得，根据余弦定理可求出.然后在中，求出的长，即可得出答案；

（2）设，在以及中，根据正弦定理表示出，根据面积公式得出，进而化简可得，然后根据角的范围，即可得出面积的最小值.

【详解】（1）由已知可得，，所以，

在中，由余弦定理得

，

所以，

所以，所以，

所以，.

因此在中，有，，

所以防护网总长度为km.

（2）设，，

则在中，有，，，

由正弦定理可得，，

同理，在中有，，

由正弦定理可得，

，

所以.

因为，

所以.

因为，所以，

当且仅当，即时，面积有最小值为，

此时.

20．在锐角中，角，，所对的边分别为，，，.

(1)求的大小；

(2)若，求周长的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由两角和的正弦公式，正弦定理边化角和两角和的余弦公式化简已知表达式，可得，再由，即可求出的大小；

（2）由正弦定理、辅助角公式以及三角函数求范围可求得结果.

【详解】（1），

，

，

又有，且，解得，即；

（2）由正弦定理得，即，，

所以

在锐角三角形中有，

即，，，

.

21．在中，角，，所对的边分别为，，，且.

(1)若，求；

(2)若，，，且，求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由求出，即可求出，而，由两角差的正弦公式代入即可得出答案.

（2）求出，再由，化简代入可得，由余弦定理即可求出答案.

【详解】（1）由，所以，

因为，可得，

又因为，

因为，所以，

所以.

（2）因为，

所以，

故

，

由得可得：，

则，所以，

解得或，

因为，，所以.

在三角形中，由余弦定理得：.

22．在中，角所对的边分别为，且.

(1)求的最大值；

(2)若，，求面积的最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意，由余弦定理和基本不等式求得，结合余弦函数的单调性，即可求解；

（2）由，求得，得到，根据三角形的面积公式，化简得到，结合余弦定理和不等式、二次函数的性质，即可求解.

【详解】（1）解：在中，满足，

由余弦定理得，

当且仅当时取等，所以，

又因为，且函数在区间上为单调递减函数，

所以的最大值为.

（2）解：因为，可得，所以，

又因为，所以，整理得，

所以

.