5.3 等腰三角形的性质 课件 2022-2023学年北师大版七年级数学下册

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3 简单的轴对称图形第五章 生活中的轴对称第1课时 等腰三角形的性质等腰三角形如图，在△ABC 中，AB = AC，则三角形为等腰三角形.它的各个组成部分名称分别是什么？(1) 相等的两条边都叫腰；(2) 另一边叫底边；(3) 两腰的夹角∠A 叫顶角；(4) 腰与底边夹角∠B、∠C 叫底角.等腰三角形的性质顶角底角底角腰腰底边（1） 等腰三角形是轴对称图形吗？ 如果是， 请找出它的对称轴．等腰三角形是轴对称图形.顶角底角底角腰腰底边（2） 等腰三角形顶角平分线是它的对称轴吗？ 等腰三角形顶角平分线所在的直线是它的对称轴. 等腰三角形顶角平分线所在的直线是它的对称轴吗？顶角底角底角腰腰底边（3） 等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴吗？底边上的高所在的直线呢？ 等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴，底边上的高所在的直线也是对称轴.（4） 沿对称轴对折， 你能发现等腰三角形的哪些特征？说说你的理由．等腰三角形的两个底角相等.等边对等角找一找：把剪出的等腰三角形 ABC 沿折痕对折，找出其中重合的线段和角.ACBDAB 与 ACBD 与 CDAD 与 AD∠B 与∠C∠BAD 与∠CAD∠ADB 与∠ADC 猜一猜： 由这些重合的线段和角，你能发现等腰三角形的性质吗？说一说你的猜想.(1) 等腰三角形是轴对称图形；(2)∠B＝∠C； (3)∠BAD＝∠CAD，AD 为顶角的平分线；(4)∠ADB＝∠ADC＝90°，AD 为底边上的高； (5) BD＝CD，AD 为底边上的中线.现象→性质解：在△ABD 和△ACD 中，因为 AB = AC，∠BAD =∠CAD，AD = AD，所以△ABD≌△ACD (SAS).所以 BD = CD，∠ADB =∠ADC = 90˚.所以 AD⊥BC 于点 D.即△ABC 的顶角平分线 AD 也是底边上的中线和高.由折叠可知 AD 平分了顶角，即 AD 是顶角的平分线，你能由此说明它也是底边上的中线和高吗？等腰三角形是轴对称图形.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合（也称“三线合一”），它们所在的直线就是等腰三角形的对称轴.归纳总结等腰三角形的两个底角相等.画出任意一个等腰三角形的底角平分线、这个底角所对的腰上的中线和高，看看它们是否重合？为什么不一样?1. 等腰三角形的顶角一定是锐角.2. 等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、钝角.3. 钝角三角形不可能是等腰三角形. 4. 等腰三角形的顶角平分线一定垂直于底边.5. 等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合.6. 等腰三角形底边上的中线一定平分顶角.（ X ）（ X ）（ X ）（ X ）（√）明辨是非（√）判断下列说法的正误：你有哪些办法可以得到一个等腰三角形？与同伴交流.议一议2. 你能尝试用直尺和圆规画一个等腰三角形吗？1.在△ABC 中，AB = AC.（1）若∠A = 40°，则∠C 等于多少度？（2）若∠B = 72°，则∠A 等于多少度？（1）70°（2）36°随堂演练3.如图， 在下面的等腰三角形中， ∠A 是顶角， 分别求出它们的底角的度数． （1）60° （2）45° （3）30°5. 一个等腰三角形的底角是顶角的 2 倍， 求它的各个内角的度数． 解：设该三角形的顶角度数为x，则底角度数为2x.根据三角形的内角和为180°得x+2x+2x=180°，解得x =36°该三角形的顶角为36°，底角为72°例1 等腰三角形的一个内角是 50°，则这个三角形的底角的大小是 (　　) A．65° 或 50° B．80° 或 40° C．65° 或 80° D．50° 或 80°典例精析解析：当 50° 的角是底角时，三角形的底角就是 50°；当 50° 的角是顶角时，两底角相等，根据三角形的内角和定理易得底角是 65°.A解：因为 AB = AC，BD = BC = AD，所以 ∠ABC =∠C =∠BDC，∠A =∠ABD. 设∠A = x°，即∠A =∠ABD = x°.因为∠A +∠ABD +∠ADB = 180°，∠BDC +∠ADB = 180°，所以∠BDC = 2x°.因为∠ABC =∠C =∠BDC = 2x°，所以 x + 2x + 2x = 180.（三角形内角和等于180°）解得 x = 36. 所以∠A = 36°，∠C = 72°.例2 如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D 在 AC 上， 且 BD = BC = AD，求∠A 和∠C 的度数. 方程外角定理 如图，在△ABC 中，AB = AD = DC，∠BAD = 26°，求∠B 和∠C 的度数.解：因为 AB = AD = DC，所以∠B =∠ADB，∠C =∠DAC.设∠C = x°，则∠DAC = x°， ∠ADB +∠ADC = 180°，∠C +∠DAC+∠ADC = 180°. 所以∠B =∠ADB =∠C +∠DAC = 2x°.在△ABC 中， 根据三角形的内角和定理，得 2x + x + 26 + x = 180，解得 x = 38.5.所以 ∠C = x° = 38.5°， ∠B = 2x° = 77°.针对训练：例3 已知点 D、E 在△ABC 的边 BC 上，AB ＝ AC.(1) 如图①，若 AD ＝ AE，试说明：BD ＝ CE；(2) 如图②，若 BD ＝ CE，F 为 DE 的中点，试说明：AF⊥BC.典例精析全等三线合一解：(1) 如图①，过 A 作 AG⊥BC 于 G.因为 AB＝AC，AD＝AE，所以 BG＝CG，DG＝EG.所以 BG－DG＝CG－EG，即 BD＝CE.(2) 因为 BD＝CE，F 为 DE 的中点，所以 BD＋DF＝CE＋EF，即 BF＝CF.因为 AB＝AC，所以 AF⊥BC.G方法总结：在等腰三角形的有关计算或说理问题中，有时需要添加辅助线，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线.解：因为 OA = AB，所以∠ABO =∠O = 15°. 所以∠BAO =150°.所以∠BAC =180°－∠ABO = 30°.因为 AB = BC，所以∠ACB =∠BAC = 30°.所以∠CBO = 135°. 所以∠CBD =180°－∠CBO = 45°.因为BC=CD，所以∠D =∠CBD = 45°. 所以∠BCD = 90°.所以∠1 = 180°－∠BCD－∠ACB = 60°.3. 如图，∠O = 15°，且 OA = AB = BC = CD. 求∠1.1. 填空：（1）等腰直角三角形的每一个锐角的度数是 .（2）如果等腰三角形的底角等于 40°，那么它的顶 角的度数是______.（3）如果等腰三角形有一个内角等于 80°，那么这 个三角形的最小内角等于____________ .20° 或 50°100°45°(4) △ABC 中，AB = AC，∠A = 36°，则∠B = ____°， ∠C = ____°.(5) △ABC 中，AB = AC，∠B = 36°，则∠A = ____°， ∠C = ____°.727210836方法总结：等腰三角形的两底角相等.2. 如图是由大小相等的等边三角形组成的图案，请找 出它的对称轴.2.下面是由大小不同的等边三角形组成的图案， 请找出它的对称轴． 解：因为 AB = AC，所以∠B =∠C.所以∠B =∠C = (180°－120°)÷2 = 30°.又因为 BD = AD，所以∠BAD =∠B = 30°.同理，∠CAE =∠C = 30°.所以∠DAE =∠BAC－∠BAD－∠CAE = 120°－30°－30° = 60°.4. 如图，在△ABC 中，AB = AC，∠BAC = 120°，点 D， E 是底边上两点，且 BD=AD，CE=AE. 求∠DAE 的度数.5. A、B 是 4×4 网格中的格点，网格中的每个小正方形的边长为1，请在图中标出使以 A、B、C 为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点 C 的位置．分别以 A、B、C 为顶角顶点来分类讨论！总共 8 个.C1C2C3C4C5C6C7C8拓展提升：这样就不会漏啦！课堂小结