2023届内蒙古阿拉善盟高三第一次模拟考试数学（理）试题含解析

2023届内蒙古阿拉善盟高三第一次模拟考试数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，，则等于（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据对数函数的单调性解出集合A，根据指数函数的性质解得集合B，结合交集的概念和运算即可求解.

【详解】由，得，

解得，即，

由，得，即，

所以.

故选：A.

2．已知复数z满足，那么复数z的虚部为（    ）

A．1 B． C．  D．

【答案】B

【分析】根据题意和复数的乘、除法运算可得，结合复数的基本概念即可求解.

【详解】由，得，

所以复数z的虚部为

故选：B.

3．从2名男生和4名女生中选3人参加校庆汇报演出，其中至少要有一男一女，则不同的选法共有（    ）

A．16种 B．192种 C．96种 D．32种

【答案】A

【分析】分1男2女和2男1女两种情况分别选取即可得出答案.

【详解】若选出的3人为1男2女的情况有种.

若选出的3人为2男1女的情况有种.

所以至少要有一男一女的选法有，

故选：A．

4．我国古代数学家李善兰在《对数探源》中利用尖锥术理论来制作对数表.他通过“对数积”求得ln2≈0.693，，由此可知ln0.2的近似值为（    ）

A．－1.519 B．－1.726 C．－1.609 D．－1.316

【答案】C

【分析】利用对数的运算性质进行简单的对数近似值的运算.

【详解】因为ln2≈0.693，所以ln4≈1.386，因为，

所以，

所以ln0.2＝－ln5≈－1.609.

故选：C

5．已知，则下列不等式不成立的是

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据指数函数、对数函数的单调性，以及不等式的性质，对选项逐一分析，由此得出不等式不成立的选项.

【详解】依题意，由于为定义域上的减函数，故，故A选项不等式成立.由于为定义域上的增函数，故，则，所以B选项不等式不成立，D选项不等式成立.由于，故，所以C选项不等式成立.综上所述，本小题选B.

【点睛】本小题主要考查指数函数和对数函数的单调性，考查不等式的性质，属于基础题.

6．已知矩形的对角线交于点O，E为AO的中点，若（，为实数），则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据向量运算的平行四边形法则求出即可．

【详解】解：如图

在矩形中，

，

在中，

，

，

，

．

故选：A．

7．已知函数，若，则下列结论正确的是（    ）

A．在区间上单调递减

B．的图象关于直线对称

C．

D．

【答案】C

【分析】结合辅助角公式可求得的值域，进而利用构造方程求得的值，知D错误；根据正弦型函数单调性、对称轴的求法可知AB正误；代入知C正确.

【详解】（其中），

，

，，解得：；

，

对于A，当时，，

则当，即时，单调递增，A错误；

对于B，当时，，不是的对称轴，B错误；

对于C，，C正确；

对于D，，D错误.

故选：C.

8．设实数x，y满足约束条件，则目标函数的最小值为（    ）

A．40 B．2 C．4 D．6

【答案】C

【分析】画出可行域，将问题转化为点到区域内一个点的距离的平方即可

【详解】约束条件所满足的区域如图所示

目标函数的几何意义是点到区域内一个点的距离的平方

由图知此最小值为以点为圆心，与直线相切的圆的半径的平方

根据点到直线的距离公式，求得圆心到直线的距离为

故最小值为4

故选：C．

9．已知是等差数列，是的前n项和，则“对任意的且，”是“”的（    ）

A．既不充分也不必要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．充要条件

【答案】B

【分析】根据充分必要的定义判断．

【详解】因为对任意的且，，当n＝2时，，当n＝4时，，所以成立；充分性成立

当成立时，可推出等差数列的公差大于零，但“对任意的且，”未必恒成立，例如，，当n＝1时，不成立，必要性不成立．

故选：B．

10．若实数，满足，则点到直线的距离的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】讨论实数，化简方程式，结合图象求得距离最值即可.

【详解】当时；当时；

当时，如图所示：

直线与渐近线的距离

点到的距离，所以当时上的点到直线的最大距离为

综上：点到直线的距离的取值范围是，

故选：C．

【点睛】讨论实数，化简方程式，数形结合是解题的关键.

11．已知双曲线C：的右支上一点M关于原点的对称点为点N，F为双曲线的右焦点，若，设，且，则双曲线C的离心率e的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】取双曲线的左焦点为，可得四边形是矩形，，这样矩形的边可用和表示，结合双曲线定义得出关系求得离心率，然后利用三角函数性质得出离心率最大值．

【详解】假设双曲线的左焦点为，由已知得点在双曲线的左支，连接，，根据双曲线的定义：，

由已知得四边形平行四边形，所以，所以有，

又，所以四边形是矩形，得，

所以，，所以，

则离心率，由，得，

所以当时，即时，的最大值为，又，所以的最大值为，

故选：D .

12．已知正三棱柱的侧棱长为，底面边长为，若该正三棱柱的外接球体积为，当最大时，该正三棱柱的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由外接球半径体积可得外接球半径，根据勾股定理，设，根据可行域可得当直线与曲线相切时最大，联立令解出的值即可.

【详解】因为正三棱柱外接球的体积为，所以，

设球心为，底面外接圆圆心为，由正三棱锥可得，底面外接圆半径，

所以由勾股定理得，

设，当直线与曲线相切时，最大，

联立方程组得，

由，得或（舍去），此时，，

所以正三棱柱的体积，

故选：B

二、填空题

13．若的展开式中的常数项是_________.

【答案】

【分析】列出此二项展开式的通项，令x的次数为0求得r，代入通项即可求得常数项.

【详解】的展开式的通项为，

令，得，所以的展开式中的常数项是.

故答案为：.

【点睛】本题考查求二项展开式的常数项，属于基础题.

14．函数在点处的切线方程为__________．

【答案】

【分析】先求导，进而得切线斜率，利用直线方程的点斜式即得.

【详解】函数的导函数为，

则，故切线斜率为2，又，

所以切线方程为，即．

故答案为：.

15．设函数，已知在上有且仅有3个极值点，则的取值范围是________.

【答案】

【分析】利用三角恒等变换公式将函数化简得，由的取值范围求出的取值范围，令，将问题转化为函数在区间上的极值点个数问题，数形结合来求解.

【详解】

，

当时，，

令，则，

作出函数的图像如图所示：

由于函数在上有且仅有个极值点，

则，解得.

故答案为：

三、双空题

16．已知等比数列的公比为q，且，，则q的取值范围为______；能使不等式成立的最大正整数______.

【答案】          4039

【分析】根据已知求得的表达式，由此求得的取值范围.根据成立列不等式，化简求得的取值范围，从而求得最大正整数.

【详解】由已知，

结合知，解得，

故q的取值范围为.

由于是等比数列，所以是首项为，公比为的等比数列.

要使成立

则

即，

将代入整理得：

故最大正整数.

故答案为：；

【点睛】本小题主要考查等比数列的性质，考查等比数列前项和公式，属于中档题.

四、解答题

17．下图的茎叶图记录了甲，乙两组各八位同学在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）.已知甲组数据的中位数为24，乙组数据的平均数为25.

（1）求x，y的值；

（2）计算甲、乙两组数据的方差，并比较哪一组的成绩更稳定？

【答案】（1），；（2）、，乙组的成绩更稳定.

【分析】（1）由题意可得，可求出的值，由平均数的公式列方程可求出y的值；

（2）利用方差公式计算甲、乙两组数据的方差，然后进行判断即可

【详解】（1）由，得，

由，得．

（2）设甲、乙两组数据的方差分别为、，

甲组数据的平均数为，

，，

因为，所以乙组的成绩更稳定．

18．已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AD =2AB，PA⊥平面ABCD，E为线段BC上一点.且平面PDE将四棱锥P - ABCD分成体积比为3：1的两部分.

（1）求证：平面PDE⊥平面PAE；

（2）若PB与平面ABCD所成的角为45°，求二面角的大小.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）由题设易得，即，再由线面垂直的性质有，根据线面、面面垂直的判定可证面面.

（2）构建为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，求面、面的法向量，根据空间向量夹角的坐标表示求二面角余弦值，进而求其大小.

【详解】（1）证明：∵平面，

∴，即，

∴为的中点，由，得，

又是矩形，则，同理：，

∴，则，

∵面，面，

∴，而，

∴面，由面，

∴面面.

（2）依题意，建立空间直角坐标系如下图所示，不妨设，又平面，

∴即为与平面所成角的平面角，故，

∴，则，，，，，

由（1）知：面的一个法向量，

设是平面的一个法向量，而，，

∴，令 ，故，

∴，则锐二面角的大小为.

19．已知数列{an}中，a1=3，，n∈N*.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）求数列{an}的前n项和Sn.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由递推关系可得，再根据等差数列的定义得，即可知{a}的通项公式；

（2）由（1）得，应用错位相减法求{a}的前n项和S.

【详解】（1）由得：，

∴，即数列是首项为，公差为的等差数列，

∴，故.

（2）由（1）得：，

∴①，②，

①②得：

∴ .

20．已知函数.

（Ⅰ）求的单调递减区间；

（Ⅱ）若当时，恒成立，求实数a的取值范围.

【答案】（Ⅰ）单调递减区间为；（Ⅱ）.

【分析】（Ⅰ）求函数的导函数，求的区间即为所求减区间；（Ⅱ）化简不等式，变形为，即求，令，求的导函数判断的单调性求出最小值，可求出的范围.

【详解】（Ⅰ）由题可知.

令，得，从而，

∴的单调递减区间为.

（Ⅱ）由可得，

即当时，恒成立.

设，则.

令，则当时，.

∴当时，单调递增，，

则当时，，单调递减；

当时，，单调递增.

∴，

∴.

【点睛】思路点睛：在函数中，恒成立问题，可选择参变分离的方法，分离出参数转化为或，转化为求函数的最值求出的范围.

21．已知椭圆C：的右焦点为F，且F与椭圆C上点的距离的取值范围为

（1）求a，b；

（2）若点P在圆M∶上，PA，PB 是C的两条切线，A，B是切点，求△PAB面积的最小值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由已知，结合两点距离公式及椭圆的有界性可得，再应用椭圆参数关系即可求a，b；

（2）由（1）知为，设、、，易得A，B处的切线方程，进而可得的方程：，联立椭圆并应用韦达定理、弦长公式、点线距离公式及三角形面积公式可得△PAB面积关于的函数式，进而利用单调性求其最小值即可.

【详解】（1）设椭圆上任意一点，，其中，则，

又，则，

∴，故，

由题意：，解得，则；

（2）由（1）得：椭圆为，设，，，

由，则在直线：上，将直线与椭圆联立得：

，即，

，故直线与相切，

故在处的切线方程为：，同理在处的切线方程为：，

∵直线与直线相交于点，故有且，

∴直线的方程为：，

将直线与椭圆联立得：，则，故

当时，，

故，易验证当时，该式也成立，

∵点到直线的距离，

∴△的面积，

令，则在上单调递增，

∴当，即，或时，△面积取得最小值.

【点睛】关键点点睛：第二问，应用方程思想求A，B处的切线方程，进而写出的方程，将其与椭圆方程联立，综合应用韦达定理、弦长公式、点线距离公式和三角形面积公式得到△PAB面积关于参数的函数，最后利用单调性求最值.

22．经过点M（ -2，-4）且斜率为1的直线l与抛物线C：y 2=2px（ p >0）分别交于A，B两点.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求直线l的参数方程和抛物线C的极坐标方程；

（2）若成等差数列，求p的值.

【答案】（1）（其中为参数），；（2）.

【分析】（1）根据直线所过的点及斜率即可求出直线的参数方程，利用极坐标公式可求出抛物线的极坐标方程；

（2）直线的参数方程代入抛物线方程，化简可得关于的一元二次方程，由根与系数的关系及成等差数列即可求解.

【详解】（1）直线的参数方程为（其中为参数）

把，代入得，化简得，

所以抛物线的极坐标方程为.

（2）把代入得，

即，

整理得：，

所以，.

因为，，成等差数列，

所以，，

整理得，

所以，

求得.

23．已知函数.

（1）若不等式的解集为 ，求a的值；

（2）若，使，求α的取值范围﹒

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据绝对值的性质解出不等式，再由不等式的解集可求出；

（2）由题意可转化为的最小值小于，再利用绝对值不等式的性质求出的最小值，即可求解.

【详解】（1）由得或，或，

因为不等式的解集为，

所以，解得.

（2），使的最小值小于，

因为，

所以由得，

解得.