2020届内蒙古阿拉善盟高三上学期第一次模拟考试数学（理）试题（解析版）

2020届内蒙古阿拉善盟高三上学期第一次模拟考试数学（理）试题

一、单选题

1．已知，集合，，若，则（    ）

A．7 B．8 C．9 D．10

【答案】D

【解析】集合，，若.

所以，解得.

所以，解得.

所以.

故选D.

2．已知复数 ，则复数在复平面内对应的点位于（   ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【解析】在复平面内对应的点坐标为在第一象限，故选A.

3．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（    ）

A．钱 B．钱 C．钱 D．钱

【答案】B

【解析】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为,则,解得,又,则,故选B.

4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图(等腰直角三角形)和侧视图，且该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是(　　)

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

由正视图与侧视图可知，该几何体可以为如图所示的正方体截去一部分后的四棱锥，如图所示，由图知该几何体的俯视图为，故选D.

5．若实数满足则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】作出不等式组所表示的平面区域如图所示，其中.作直线，平移直线，当其经过点时，取得最小值，，

故选B.

点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.

6．将4名实习教师分配到高一年级三个班实习，每班至少安排一名教师，则不同的分配方案有（ ）种

A．12 B．36 C．72 D．108

【答案】B

【解析】试题分析：第一步从名实习教师中选出名组成一个复合元素，共有种，第二步把个元素（包含一个复合元素）安排到三个班实习有,根据分步计数原理不同的分配方案有种，故选B．

【考点】计数原理的应用．

7．数学老师给同学们出了一道证明题，以下四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题，甲：我不会证明；乙：丙会证明；丙：丁会证明；丁：我不会证明.根据以上条件，可以判定会证明此题的人是  

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

【答案】A

【解析】 四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题，丙：丁会证明；丁：我不会证明，所以丙与丁中有一个是正确的；

若丙说了真话，则甲必是假话，矛盾；若丁说了真话，则甲说的是假话，甲就是会证明的那个人，符合题意，以此类推，即可得到甲说真话，故选A.

8．执行如图的程序框图，则输出的(    )

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】A

【解析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的，的值，当，时满足条件，退出循环，输出的值为4，从而得解.

【详解】

模拟程序的运行，可得：，

执行循环体，不满足条件，，

不满足条件，执行循环体，满足条件，，

不满足条件，执行循环体，不满足条件，，

满足条件，退出循环，输出的值为4.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了循环结构的程序框图的应用问题，分析出程序的功能是解答的关键，属于基础题.

9．已知双曲线的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若，则的离心率为(    )

A． B． C．2 D．

【答案】C

【解析】双曲线的右顶点为A(a,0)，

以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．

若,可得A到渐近线bx+ay=0的距离为：，

可得：,即.

10．如图，在三棱柱中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，,.若，分别是棱，上的点，且，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】试题分析：以C为原点，CA为x轴，在平面ABC中过作AC的垂线为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，

∵在三棱柱中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，AB=4，AA1=6，

E，F分别是棱BB1，CC1上的点，且BE=B1E，C1F=CC1，

∴A1（4，0，6），E（2，，3），F（0，0，4），A（4，0，0），

=（-2，，-3），=（-4，0，4），

设异面直线A1E与AF所成角所成角为θ，则．

∴异面直线A1E与AF所成角的余弦值为

【考点】异面直线及其所成的角

11．若曲线存在与直线垂直的切线，则实数的取值范围为（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】函数，，则，若函数存在与直线垂直的切线，可得有大于0的解，则，解得，则实数的取值范围是，故选C.

点睛：本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查存在性问题的解法，注意运用参数分离法，考查运算能力，属于中档题；求出函数的导函数，结合与直线垂直的切线斜率为，可得有大于0的解，分离参数，求出实数的取值范围.

12．已知是腰长为4的等腰直角三角形，，为平面内一点，则的最小值为(    )

A． B． C．0 D．

【答案】A

【解析】如图建立坐标系，设，运用向量的坐标运算和向量数量积的坐标表示，得出关于x，y的表达式，配方即可得出结论.

【详解】

如图建立坐标系，，，，设，

则，，

∴，

∴最小值为，

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了平面向量的数量积运算，运用坐标法解题是关键，属于中档题．

二、填空题

13．在某项测量中，测量结果服从正态分布，若在内取值的概率，则在内取值的概率为         .

【答案】0.8

【解析】【详解】

由于正态分布N(1，σ2)(σ>0)的图象关于直线ξ＝1对称，且ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，因此ξ在(1,2)内取值的概率也为0.4，故ξ在(0,2)内取值的概率为0.8.

14．已知数列是递增的等比数列，，则数列的前项和等于    .

【答案】

【解析】【详解】

由题意，，解得或者，

而数列是递增的等比数列，所以，

即，所以，

因而数列的前项和，故答案为.

【考点】1.等比数列的性质；2.等比数列的前项和公式.

15．已知向量 若 ，则 的值为__________．

【答案】

【解析】

所以

16．函数且的图象恒过定点A，若点A在直线上（其中m，n＞0），则的最小值等于__________.

【答案】8

【解析】由题意可得定点，，把要求的式子化为，利用基本不等式求得结果．

【详解】

解：且

令解得，则

即函数过定点，又点在直线上，，

则，当且仅当 时，

等号成立，

故答案为：8．

【点睛】

本题考查基本不等式的应用，函数图象过定点问题，把要求的式子化为，是解题的关键，属于基础题．

三、解答题

17．如图，在中，，点在边上，且.

（Ⅰ）求的长；（Ⅱ）求的值.

【答案】(1) ;(2) .

【解析】试题分析：（1）由，进而得，然后利用正弦定理求边长；（2）由，得，.，利用余弦定理得，从而

试题解析：

（Ⅰ）在中，∵.∴ .

在中，由正弦定理得，即，解得.

（Ⅱ）∵，∴，解得，∴，在中，，在中，.

点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：

第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.

第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.

第三步：求结果.

18．近年来，我国电子商务蓬勃发展.2016年“618”期间，某网购平台的销售业绩高达516亿元人民币，与此同时，相关管理部门推出了针对该网购平台的商品和服务的评价系统.从该评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，网购者对商品的满意率为0.6，对服务的满意率为0.75，其中对商品和服务都满意的交易为80次.

（1）根据已知条件完成下面的列联表，并回答能否有的把握认为“网购者对商品满意与对服务满意之间有关系”?

（2）若将频率视为概率，某人在该网购平台上进行的3次购物中，设对商品和服务都满意的次数为随机变量，求的分布列和数学期望.

临界值表：

的观测值：（其中）.

【答案】（1）列联表见解析，能有；（2）分布列见解析，.

【解析】（1）利用数据直接填写联列表即可，求出，即可回答是否有的把握认为“网购者对商品满意与对服务满意之间有关系；

（2）由题意可得的可能值为0，1，2，3，分别可求其概率，可得分布列，进而可得数学期望.

【详解】

（1）

，

因为，

所以能有的把握认为“网购者对商品满意与对服务满意之间有关系”

（2）每次购物时，对商品和服务都满意的概率为，且的取值可以是0，1，2，3.

；；

；.

的分布列为：

所以.

【点睛】

本题主要考查独立检验以及离散性随机变量的分布列以及期望的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题.

19．如图，四棱锥的底面是正方形，底面，，点分别在棱上，且平面.

（1）求证：；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

（3）求二面角的余弦值

【答案】（1）见解析（2）（3）

【解析】试题分析：（1）先根据线面垂直性质定理得，再由，以及线面垂直判定定理得平面，即得，由平面，有，再由线面垂直判定定理得平面，即得；（2）因为平面，所以为在平面内的射影，延长交于点，则为（即）与平面所成的角，解直角三角形得线面角正弦值.（3）以空间向量求角二面角，先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，列方程组解平面法向量，由向量数量积得两法向量夹角余弦值，最后根据二面角与两法向量关系得结果

试题解析：（1）因为四边形是正方形，所以，

又因为底面，所以，故平面，

又平面，则，

而平面，有，则平面，

故.

（2）如图，延长交于点，因为平面，

所以为在平面内的射影，故为（即）与平面所成的角，

又因为，，则有，

在中，，

故与平面所成角的正弦值为.

（3）分别以为轴建立空间直角坐标系，，

所以，，设平面的法向量，

那么，

，

令，则，由（1）知，平面的法向量，

设所求二面角的大小为，且为锐角，所以，

所以二面角的余弦值为.

20．已知函数在点处的切线为.

（1）求函数的解析式；

（2）若，且存在，使得成立，求的最小值.

【答案】（1）；（2）5．

【解析】试题分析：（1）由已知可得，；（2）原不等式化为，令，，使得，则，．令，利用导数工具判断有一零点，进而求出是极小值点，从而求出最小值为，又．的最小值为．

试题解析：解：（1）的定义域为，

，

．

（2）可化为，

令，，使得，

则，

．

令，则，

在上为增函数．

又，

故存在唯一的使得，即．

当时，，

，在上为减函数；

当时，，

，在上为增函数．

，

．

．

的最小值为5．

【考点】1、导数的几何意义；2、利用导数判定函数的单调性；3、利用导数求函数的极值和最值；4、函数的零点.

【方法点晴】本题主要考查导数的几何意义、利用导数判定函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值；和函数的零点，综合性强，属于难题.研究第二小题时首先应将原不等式转化为，再求最小值，而在求最小值时，求导得，将其分子记为，再求得零点，进而求得该零点就是的最小值点，从而得到最小值为，进而求出的最小值.

21．已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的长半轴长为半径的圆与直线相切.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知点，为动直线与椭圆的两个交点，问：在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，试求出点的坐标和定值；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）；（2）定点为，.

【解析】试题分析：（1）求得圆的方程，由直线和圆相切的条件:，可得的值，再由离心率公式，可得的值，结合的关系，可得，由此能求出椭圆的方程；（2）由直线和椭圆方程，得，由此利用韦达定理、向量的数量积，结合已知条件能求出在轴上存在点，使为定值，定点,则可求解.

试题解析：（1）由得，即①

又以原点为圆心，椭圆的长轴长为半径的圆为，

且与直线相切，

所以代入①得，

所以，所以椭圆的标准方程为.

（2）由得，

设，，所以，，

根据题意，假设轴上存在定点，

使得为定值，

则

要使上式为定值，即与无关，，

得.

此时，，所以在轴上存在定点使得为定值，且定值为.

【点睛】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题, 椭圆的标准方程,考查满足条件的定点是否存在的判断与求法，属于中档题，解决存在性问题应注意以下几点：(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；（2）当给出结论而要推导出存在条件时，先假设成立，再推出条件；（3）当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径.

22．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，圆的极坐标方程为，圆与直线交于，两点，点的直角坐标为．

（Ⅰ）将直线的参数方程化为普通方程，圆的极坐标方程化为直角坐标方程；

（Ⅱ）求的值．

【答案】(1) ,;(2) .

【解析】试题分析：（Ⅰ）将参数方程消去参数可得直线的普通方程为，把，代入圆的极坐标方程可得圆的直角坐标方程．（Ⅱ）利用参数方程中参数的几何意义求解．把参数方程代入圆的方程整理得，设，是该方程的两根，则．

试题解析：

（Ⅰ）由消去参数得，

即直线的普通方程为．

把，，代入，整理得

故圆的直角坐标方程，即．

（Ⅱ）把（为参数）代入，

化简得：，

，

设，是该方程的两根．

则．

所以,

又直线过，

所以．

23．已知函数，．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若不等式的解集包含[–1，1]，求的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【解析】【详解】试题分析：（1）分，，三种情况解不等式；（2）的解集包含，等价于当时，所以且，从而可得．

试题解析：（1）当时，不等式等价于.①

当时，①式化为，无解；

当时，①式化为，从而；

当时，①式化为，从而.

所以的解集为.

（2）当时，.

所以的解集包含，等价于当时.

又在的最小值必为与之一，所以且，得.

所以的取值范围为.

点睛:形如(或)型的不等式主要有两种解法：

(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为，， (此处设)三个部分，将每部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．

(2)图像法：作出函数和的图像，结合图像求解．