四川省成都市第七中学2022-2023学年高二数学（理）下学期期中试题（Word版附解析）

2022～2023学年度下期高2024届半期考试

数学试卷（理科）

考试时长：120分钟  满分：150分

一、选择题（每小题5分，共60分）

1. 已知复数，为纯虚数，则实数m的值为（    ）

A.  B. 1 C. 0 D. 1或

【答案】B

【解析】

【分析】根据纯虚数的定义求解.

【详解】解：因为复数，为纯虚数，

所以，解得，

故选：B

2. 在极坐标系中，过点且垂直于极轴的直线的极坐标方程为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】设点是所求直线上的任意一点，．利用直角三角形的边角关系可得，即可得出．

【详解】如图所示，设是所求直线上的任意一点，，，则，

．

故选：C．

3. 利用分析法证明不等式成立，只需证明成立即可，则“成立”是“成立”的（    ）

A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要

【答案】A

【解析】

【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可得出答案.

【详解】利用分析法证明不等式成立，只需证明成立即可，

则，则“成立”是“成立”的充分条件.

故选：A.

4. 已知是圆上一点，则直线与圆相切，且为切点，类似的，点是椭圆上一点，则以为切点，与椭圆相切的切线方程为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用换元法，设将椭圆转化为圆，先求出过圆上一点圆的切线方程，再转化回椭圆的切线方程.

【详解】对于椭圆，

设，则椭圆方程变为圆，

椭圆上的点的坐标变为，

且，

因为过圆上点的切线方程为，

所以可得，

即过椭圆上点的切线方程为.

故选：D

5. 已知复数（x，）对应的点在第一象限，z的实部和虚部分别是双曲线C的实轴长和虚轴长，若，则双曲线C的焦距为（    ）

A. 8 B. 4 C.  D. 2

【答案】B

【解析】

【分析】利用双曲线的定义和复数模的定义即可求得双曲线C的焦距.

【详解】复数（x，）对应的点在第一象限，则，

又z的实部和虚部分别是双曲线C的实轴长和虚轴长，，

则双曲线C的焦距为

故选：B

6. 函数的大致图像为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用排除法，先利用函数值正负的分布判断B错误，再利用特殊值判断D错误,根据极值点确定C错误，即得答案.

【详解】函数中，，当时,,看图像知B选项错误；

函数中，，当时,, 看图像知D选项错误；

解得，故为函数的极值点，故C选项不符合，.D选项正确.
 

故选：A.

7. 将圆经过坐标变换后得到的曲线方程为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】先将反解为，再代入，最后得到新曲线的方程即可.

【详解】因为，所以，代入，

所以得到的新曲线的方程为：.

故选：C

8. 已知函数区间上单调递增，则实数的范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据在上单调递增，有恒成立，参变分离求在区间上最大值，进而求出的范围.

【详解】解：因为函数的导函数为，

并且在上单调递增，所以在上恒成立，

即，则，即恒成立，，

因为在上最大值为，所以.

故选：.

9. 已知，，，则下列不等关系正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由，可得，即可判断大小关系.

【详解】由，可得.

则，故；

，故.

综上，.

故选：B.

10. 已知椭圆的左右焦点分别为，，抛物线与椭圆C有相同的焦点，点P为抛物线E与椭圆C在第一象限内的交点，直线与抛物线E相切，则椭圆C的长轴长为（    ）

A.  B.  C. 4 D.

【答案】B

【解析】

【分析】先利用题给条件列方程组求得的坐标，再利用椭圆定义即可求得椭圆C的长轴长.

【详解】椭圆的左右焦点分别为，，

抛物线与椭圆C有相同的焦点，则，，

设直线方程为，

由，可得①，

则，解之得或（舍），

由①可得可得，则，

则，，

则椭圆C的长轴长为.

故选：B.

11. 关于函数的零点，下列说法正确的是（    ）

A. 函数有两个零点，，且

B. 函数有两个零点，，且

C. 函数有三个零点，，，且

D. 函数有三个零点，，，且

【答案】C

【解析】

【分析】求出，利用的单调性可得的大致图象，结合图象可得答案.

【详解】函数，

由可得或，

由可得，

所以在，上单调递增，在单调递减，

且

，

，

，，可得的大致图象如下，

，所以函数有三个零点，且，

故AB错误；

故只需验证即可，可得，

所以

，故C正确，D错误.

故选：C.

12. 已知实数a，b满足，则的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据均值不等式可得，进而根据立方和公式化简，构造函数，利用导数求解单调性，进而可求值域.

【详解】由得，

故，

由于

将和代入得，

不妨设，则，

由于当，故在单调递增，故，

故，

故选:A

【点睛】方法点睛：处理多变量不等式或者函数最值问题的方法

（1）消元法：把多变量问题转化单变量问题，消元时可以用等量消元，也可以用不等量消元.

（2）基本不等式：即给出的条件是和为定值或积为定值等，此时可以利用基本不等式来处理，用这个方法时要关注代数式和积关系的转化.

（3）利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的函数往往是解题的关键.

二、填空题（每小题5分，共20分）

13. 复数的共轭复数为，则______.

【答案】

【解析】

【分析】现根据复数的除法运算求出复数，再根据共轭复数的定义即可得解.

【详解】，

所以.

故答案为：.

14. 在极坐标系中，点，，则线段的长为______.

【答案】

【解析】

【分析】根据极坐标系中两点间的距离公式，求出线段的长即可．

【详解】由已知，，

线段的长为．

故答案为：．

15. 已知定义在R上函数的导函数为，，且，则不等式的解集为______.

【答案】

【解析】

【分析】首先构造函数，理由导数判断函数的单调性，再求解不等式.

【详解】设函数，

，所以单调递增，

不等式，即，即，

所以不等式的解集为.

故答案为：

16. 已知函数，，有以下四个命题：

①对，不等式恒成立；

②是函数的极值点；

③函数的图象与x轴及围成的区域面积为；

④.

其中正确的命题有______.

【答案】①③④

【解析】

【分析】，确定函数单调递增，计算最值得到①正确，函数单调递增，得到②错误，求积分得到③正确，根据①得到④正确，得到答案.

【详解】对①：，即，设，则恒成立，函数单调递增，故，正确；

对②：恒成立，函数单调递增，无极值点，错误；

对③：，面积为，正确；

对④：根据①知：在上恒成立，则，故，

则，正确.

故答案为：①③④

三、解答题（共70分）

17. 已知曲线C的极坐标方程为，A，B是曲线C上不同的两点，且，其中O为极点.

（1）求曲线C的直角坐标方程；

（2）求点B的极径.

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的互化即可求得曲线C的直角坐标方程；

（2）利用题给条件列方程组即可求得点B的极径.

【小问1详解】

由，，得：，

所以曲线C的直角坐标方程为；

【小问2详解】

设，则由题意可知，

将A，B坐标代入方程得：，

∴，得(负值舍去)，

∴B的极径为.

18. 某企业生产的某种乳制品的蛋白质含量x（%）与生产成本y（元）之间的数据如下表：

已知生产成本y与产品蛋白质含量x之间具有线性相关关系.

（1）求生产成本y关于蛋白质含量x的回归方程；

（2）根据（1）的结果，若公司准备将生产成本提高到60至70元，则判断生产的乳制品蛋白质含量的取值范围.（精确到小数点后两位）

参考公式：.

参考数据：，，.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用最小二乘法求解；

（2）将和代入（1）中回归直线方程求解.

【小问1详解】

解：由题中数据可得，

设生产成本y关于蛋白质含量x的回归方程为，

∵，

∴，

所以回归方程为，

【小问2详解】

当时，由（1）得.

解得，

当时，由（1）得.

解得，

所以生产的乳制品蛋白质含量的取值范围为.

19. 函数.

（1）若是函数的极值点，求a的值，并判断是极大值点还是极小值点；

（2）求函数的单调区间.

【答案】（1），极小值点；   

（2）当时，函数在R上单调递增；

当时，函数在，上单调递增，在上单调递减；

当时，函数在，上单调递增，在上单调递减.

【解析】

【分析】（1）利用，求得，再根据在两侧的正负，可确定是极大值点还是极小值点；

（2）由题意可得，分、和三种情况讨论的正负，从而即可确定函数单调区间.

【小问1详解】

解：因，

∵是函数的极值点，

∴，

解得，

当时，，∴在上递减，

当时，，∴在上递增，

∴是函数的极小值点；

【小问2详解】

解：∵，

①当时，在R上恒成立，

所以函数在R上单调递增，

②当时，令，解得或，

所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

③当时，令，解得或，

所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

综上，当时，函数在R上单调递增，

当时，函数在，上单调递增，在上单调递减，

当时，函数在，上单调递增，在上单调递减.

20. 在四棱锥中，底面ABCD为矩形，为边长为2的正三角形，且平面平面ABCD，E为线段AD的中点，PE与平面ABCD所成角为45°.

（1）求证：平面平面PBC；

（2）求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出对应点的坐标，分别求出平面与平面的法向量，利用空间向量证明垂直的方式即可证明；

（2）结合（1）的结论，利用空间向量的夹角公式即可求解.

【小问1详解】

取AB中点O，连接PO、OE，

由题知平面ABCD

∴，∴

又，∴，，

如图建立空间坐标系，

，，，，

，，

设平面PCE法向量为

则，令，，

所以，

，，

设平面PBC的法向量为，

则，令，，，

可得，

又

所以平面平面PBC，

【小问2详解】

由（1）知，，平面的法向量，

所以，

所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为.

21. 已知过点的直线与抛物线相交于A，B两点，M为线段AB的中点，过M作x轴的垂线与抛物线交于点N.

（1）若抛物线在N点处切线的斜率等于2，求直线AB的方程；

（2）设，求与面积之差的最大值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）设直线方程，联立抛物线，韦达定理求出中点横坐标，即可求出N点坐标，利用导数几何意义即可求出直线斜率，即可求解；

（2）利用弦长公式求出弦长AB，利用距离公式及面积公式列出面积差的关系式，换元，构造函数，利用导数研究最值即可.

【小问1详解】

设直线AB方程为，，，

联立，消y得，所以，，

所以，所以，代入抛物线得，

又函数的导函数为，

所以抛物线在N点处的切线的斜率为，所以

所以直线AB方程为；

【小问2详解】

由（1）问可得，

又点到直线AB距离为，

点到直线AB的距离为，

所以，

令，

所以，即函数，，

则，令得

令得，令得，

所以函数在区间上单调递增，在上单调递减，

所以，函数取到最大为，

即时，与面积之差取得最大值.

22. 已知函数.

（1）求函数的最小值；

（2）证明不等式.

【答案】（1）2    （2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）对函数求导，利用导函数的正负判断函数的单调性，进而求出函数的最小值；

（2）结合（1）的结论，得到当时，成立，用数学归纳法证明.

【小问1详解】

对函数求导可得，

令函数，则，

所以函数在区间上单调递增，

又∵，

当时，，即，

当时，，即，

所以函数在上单调递减，在上单调递增，

∴，

【小问2详解】

由（1）问知，即，

所以当时，成立，

现用数学归纳法证明：

当时，成立，

假设当时，不等式成立，

则当时，，

要证明，

，

，

，令，则

，∵

，，，

∵，∴，成立，

∴成立，

综上，对，均有不等式成立.

【点睛】1．数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时步骤(1)和(2)缺一不可，步骤(1)是步骤(2)的基础，步骤(2)是递推的依据．

2．在用数学归纳法证明时，第(1)步验算的不一定为1，而是根据题目要求选择合适的起始值．第(2)步，证明时命题也成立的过程，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法.