2023年中考数学三轮冲刺考前查漏补缺《相似三角形》(提高版)（含答案）

2023年中考数学三轮冲刺考前查漏补缺

《相似三角形》(提高版)

一              、选择题

1.已知线段a=2，b=4，线段c为a，b的比例中项，则c为（　　）

A.3      B.        C.           D.

2.如图，AB∥CD∥EF，AC与BD相交于点E，若CE=5，CF=4，AE=BC，则值是(　　)

A.        B.       C.         D.

3.如图,在△ABC中,D,E分别是边AB，BC上的点,且DE∥AC,若S△BDE=4,S△CDE=16,则△ACD的面积为（      ）

A.64                          B.72                          C.80                           D.96

4.如图，AD是△ABC的角平分线，则AB∶AC等于(　　)

A.BD∶CD         B.AD∶CD         C.BC∶AD         D.BC∶AC

5.如图所示，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上的一点，AE⊥EF，下列结论：①∠BAE＝30°；②CE2＝AB•CF；③CF＝FD；④△ABE∽△AEF.其中正确的有(     )

A.1个            B.2个              C.3个             D.4个

6.如图，△ABC是面积为18cm2的等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，则图中阴影部分的面积为(      )

A.4cm2                        B.6cm2                         C.8cm2                           D.10cm2

7.如图，把△ABC沿着BC的方向平移到△DEF的位置，它们重叠部分的面积是△ABC面积的一半，若BC＝，则△ABC移动的距离是(　　)

A.       B.        C.       D.－

8.如图，在菱形ABCD中，AB＝BD，点E、F分别是AB、AD上任意的点(不与端点重合)，且AE＝DF，连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H.

给出如下几个结论：①△AED≌△DFB；②S四边形BCDG＝CG2；③若AF＝2DF，则BG＝6GF；④CG与BD一定不垂直；⑤∠BGE的大小为定值.

其中正确的结论个数为(　　)

A.4        B.3        C.2        D.1

二              、填空题

9.美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感.如图，某女士身高165 cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为__________.(精确到1 cm)

10.如图，等腰直角三角形ABC顶点A在x轴上，∠BCA＝90°，AC＝BC＝2，反比例函数y＝(x＞0)的图象分别与AB，BC交于点D，E．连结DE，当△BDE∽△BCA时，点E的坐标为           ．

11.如图,正方形ABCD的边长为25,内部有6个全等的正方形,小正方形的顶点E、F、G、H分别落在边AD、AB、BC、CD上，则每个小正方形的边长为        ．

12.如图，顺次连接腰长为2 的等腰直角三角形各边中点得到第1个小三角形，再顺次连接所得的小三角形各边中点得到第2个小三角形，如此操作下去，则第n个小三角形的面积为      .

13.在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB＝2m，它的影子BC＝1.6m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，PM＝1.2m，MN＝0.8m，则木竿PQ的长度为______m.

14.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD顶点A的坐标为(0，2)，B点在x轴上，对角线AC，BD交于点M，OM＝3，则点C的坐标为________.

三              、解答题

15.从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引起一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．

（1）在△ABC中,∠A=48°,CD是△ABC的完美分割线,且AD=CD,则∠ACB=   °．

（2）如图,在△ABC中,AC=2,BC=，CD是△ABC的完美分割线,且△ACD是以CD为底边的等腰三角形,求完美分割线CD的长．

16.如图，△ABC中，AB＝8厘米，AC＝16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是多少？

17.如图，∠ABD＝∠BCD＝90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于M．连接CM交DB于N．

(1)求证：BD2＝AD•CD；

(2)若CD＝6，AD＝8，求MN的长．

18.如图，BF和CE分别是钝角△ABC(∠ABC是钝角)中AC、AB边上的中线，又BF⊥CE，垂足是G，过点G作GH⊥BC，垂足为H.

(1)求证：GH2＝BH•CH；

(2)若BC＝20，并且点G到BC的距离是6，则AB的长为多少？

19.如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB.

(1)求证：PC是⊙O的切线；

(2)求证：BC=AB；

(3)点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB=4，求MN·MC的值.

20.为了改善市民的生活环境，我市在某河滨空地处修建一个如图所示的休闲文化广场．在Rt△ABC内修建矩形水池DEFG，使顶点D、E在斜边AB上，F、G分别在直角边BC、AC上；又分别以AB、BC、AC为直径作半圆，它们交出两弯新月(图中阴影部分)，两弯新月部分栽植花草；其余空地铺设地砖．其中AB＝24米，∠BAC＝60°.设EF＝x米，DE＝y米．

(1)求y与x之间的函数解析式；

(2)当x为何值时，矩形DEFG的面积最大？最大面积是多少？

(3)求两弯新月(图中阴影部分)的面积，并求当x为何值时，矩形DEFG的面积等于两弯新月面积的？

参考答案

1.B

2.C

3.D

4.A

5.C.

6.B

7.D.

8.B.

9.答案为：8 cm

10.答案为：(，).

11.答案为：．

12.答案为：.

13.答案为：2.3.

14.答案为：(6，4).

15.解：（1）当AD=CD时，如图，∠ACD=∠A=48°，

∵△BDC∽△BCA，

∴∠BCD=∠A=48°，

∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°．

（2）由已知AC=AD=2，

∵△BCD∽△BAC，

∴=，

设BD=x，

∴（）2=x（x+2），

∵x＞0，

∴x=﹣1，

∵△BCD∽△BAC，

∴==

16.解：设运动了ts，根据题意得：AP＝2tcm，CQ＝3tcm，

则AQ＝AC﹣CQ＝16﹣3t(cm)，

当△APQ∽△ABC时，，

即，解得：t＝；

当△APQ∽△ACB时，，即，

解得：t＝4；

故当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是：s或4s.

17.证明：(1)∵DB平分∠ADC，

∴∠ADB＝∠CDB，且∠ABD＝∠BCD＝90°，

∴△ABD∽△BCD

∴

∴BD2＝AD•CD

(2)∵BM∥CD∴∠MBD＝∠BDC

∴∠ADB＝∠MBD，且∠ABD＝90°

∴BM＝MD，∠MAB＝∠MBA

∴BM＝MD＝AM＝4

∵BD2＝AD•CD，且CD＝6，AD＝8，

∴BD2＝48，

∴BC2＝BD2﹣CD2＝12

∴MC2＝MB2＋BC2＝28

∴MC＝2

∵BM∥CD∴△MNB∽△CND

∴，且MC＝2

∴MN＝

18.(1)证明：∵CE⊥BF，GH⊥BC，

∴∠CGB＝∠CHG＝∠BHG＝90°，

∴∠CGH＋∠BGH＝90°，∠BGH＋∠GBH＝90°，

∴∠CGH＝∠GBH，

∴△CGH∽△GBH，

∴＝，

∴GH2＝BH•CH；

(2)解：作EM⊥CB交CB的延长线于M.设CH＝x，HB＝y.

则有，解得或，

∵∠ABC是钝角，

∴CH＞BH，

∴CH＝18，BH＝2，

∵G是△ABC的重心，∴CG＝2EG，

∵GH⊥BC，EM⊥BC，

∴GH∥EM，

∴＝＝，

∴EM＝9，CM＝27，

∴BM＝CM﹣BC＝7，

∴BE＝，

∴AB＝2BE＝2.

19.解：(1)∵OA=OC，∴∠A=∠ACO，

∵∠COB=2∠A，∠COB=2∠PCB，

∴∠A=∠ACO=∠PCB.

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACO＋∠OCB=90°，

∴∠PCB＋∠OCB=90°，即OC⊥CP，

∵OC是⊙O的半径，

∴PC是⊙O的切线

(2)∵PC=AC，

∴∠A=∠P，∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P，

∵∠COB=∠A＋∠ACO，∠CBO=∠P＋∠PCB，

∴∠CBO=∠COB，

∴BC=OC，

∴BC=AB

(3)连结MA，MB，∵点M是弧AB的中点，

∴=，∴∠ACM=∠BCM，

∵∠ACM=∠ABM，

∴∠BCM=∠ABM，

∵∠BMC=∠NMB，

∴△MBN∽△MCB，

∴=，

∴BM2=MC·MN，

∵AB是⊙O的直径，=，

∴∠AMB=90°，AM=BM，

∵AB=4，

∴BM=2，

∴MC·MN=BM2=8.

20.解：(1)在Rt△ABC中，由题意得AC＝12米，BC＝36米，∠ABC＝30°，

所以AD＝＝＝x，BE＝＝x，

又AD＋DE＋BE＝AB，

所以y＝24﹣x﹣x＝24﹣x(0＜x＜18)．

(2)矩形DEFG的面积S＝xy＝x(24﹣x)

＝﹣x2＋24x

＝﹣(x﹣9)2＋108.

所以当x＝9时，矩形DEFG的面积最大，最大面积为108平方米．

(3)记AC为直径的半圆、BC为直径的半圆、AB为直径的半圆面积分别为S1、S2、S3，

两弯新月面积为S，则S1＝πAC2，S2＝πBC2，S3＝πAB2，

由AC2＋BC2＝AB2可知S1＋S2＝S3，

∴S1＋S2﹣S＝S3﹣S△ABC，故S＝S△ABC，

所以两弯新月的面积S＝×12×36＝216(平方米)，

由﹣(x﹣9)2＋108＝×216，即(x﹣9)2＝27，

解得x＝9±3，符合题意，

所以当x＝(9±3)米时，矩形DEFG的面积等于两弯新月面积的.