2023年新高考数学排列组合专题复习专题17 构造法模型和递推模型（解析版）

专题17 构造法模型和递推模型

类型1：构造法模型

例1．某人连续射击8次有四次命中，其中有三次连续命中，按“中”与“不中”报告结果，不同的结果有多少种．

【解析】把问题转化为四个相同的黑球与四个相同白球，其中只有三个黑球相邻的排列问题．=20种

例2.个人参加秋游带10瓶饮料，每人至少带1瓶，一共有多少钟不同的带法．

【解析】把问题转化为5个相同的白球不相邻地插入已经排好的10个相同的黑球之间的9个空隙种的排列问题．=126种

例3.从1，2，3，…，1000个自然数中任取10个不连续的自然数，有多少种不同的去法．

【解析】把稳体转化为10个相同的黑球与990个相同白球，其其中黑球不相邻的排列问题。

例4.某城市街道呈棋盘形，南北向大街5条，东西向大街4条，一人欲从西南角走到东北角，路程最短的走法有多少种．

【解析】无论怎样走必须经过三横四纵，因此，把问题转化为3个相同的白球与四个相同的黑球的排列问题．=35（种）

例5.一个楼梯共18个台阶12步登完，可一步登一个台阶也可一步登两个台阶，一共有多少种不同的走法．

【解析】根据题意要想12步登完只能6个一步登一个台阶，6个一步登两个台阶，因此，把问题转化为6个相同的黑球与6个相同的白球的排列问题．=924（种）．

例6. 求（a+b+c）10的展开式的项数．

【解析】展开使的项为aαbβcγ,且α+β+γ=10，因此，把问题转化为2个相同的黑球与10个相同的白球的排列问题．=66（种）

例7. 亚、欧乒乓球对抗赛，各队均有5名队员，按事先排好的顺序参加擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，直到一方全被淘汰为止，另一方获胜，形成一种比赛过程．那么所有可能出现的比赛过程有多少种？

【解析】设亚洲队队员为a1,a2，…,a5,欧洲队队员为b1，b2，…，b5，下标表示事先排列的出场顺序，若以依次被淘汰的队员为顺序．比赛过程转化为这10个字母互相穿插的一个排列，最后师胜队种步被淘汰的队员和可能未参加参赛的队员，所以比赛过程可表示为5个相同的白球和5个相同黑球排列问题，比赛过程的总数为=252（种）

例8.马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种？

【解析】把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯有 种

 例9.25人排成5×5方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种？

【解析】将这个问题退化成9人排成3×3方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,有多少选法.这样每行必有1人从其中的一行中选取1人后,把这人所在的行列都划掉，如此继续下去.从3×3方队中选3人的方法有种。再从5×5方阵选出3×3方阵便可解决问题.从5×5方队中选取3行3列有选法所以从5×5方阵选不在同一行也不在同一列的3人有选法。

类型2：递推模型

例1．5个人站成一列，重新站队时各人都不站在原来的位置上，共有　　种不同的站法．

A．42 B．44 C．46 D．48

【解析】首先我们把人数推广到个人，即个人排成一列，重新站队时，各人都不站在原来的位置上．设满足这样的站队方式有种，现在我们来通过合理分步，恰当分类找出递推关系：

第一步：第一个人不站在原来的第一个位置，有种站法．

第二步：假设第一个人站在第2个位置，则第二个人的站法又可以分为两类：第一类，第二个人恰好站在第一个位置，则余下的个人有种站队方式；第二类，第二个人不站在第一个位置，则就是第二个人不站在第一个位置，第三个人不站在第三个位置，第四个人不站在第四个位置，，第个人不站在第个位置，所以有种站队方式．

由分步计数原理和分类计数原理，我们便得到了数列的递推关系式：

，显然，，，，，，有44种排法

故选：．

例2．欲登上第10级楼梯，如果规定每步只能跨上一级或二级，问共有　89　种不同的走法．

【解析】最后走到第十阶，可能是从第八阶直接上去，也可以从第九阶上去，

设上级楼梯的走法是，则的值与等于与的值的和，

一阶为1种走法：（1）

二阶为2种走法：（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）

（9）

故答案为：89．

制发例3.甲、乙、丙三人互相传球，先由甲开始作第一次传球，则5次后球仍回到甲手中的不同传球方式有　　

A．6 种 B．8种 C．10种 D．16种

【解析】根据题意，设在第次传球后，有种情况球在甲手中，

即经过次传递后，球又被传回给甲，

而前次传球中，每次传球都有2种方法，则前次传球的不同的传球方法共有种，

那么在第次传球后，球不在甲手中的情况有种情况，即球在乙或丙手中，

只有在这些情况时，在第次传球后，球才会被传回甲，即；

易得，则，，，

故选：．

例4．甲，乙，丙三人练习传球，首先由甲发球，连续10次传球后，球又回到甲手中的不同传球路线有　342　种．

【解析】解：设经过次传球后球回到甲手中的传法有种．

则经过次传球后球回到甲手中的传法有种．

而次传球一共有次传法，

所以经过次传球后球没有回到甲手中的传法有，

，，

故答案为342

例5．某校有教职员工150人，为了丰富教工的课余生活，每天下午同时开放健身房和娱乐室，要求所有教工每天必须参加一个活动．据调查统计，每次去健身房的人有下次去娱乐室，而在娱乐室的人有下次去健身房．请问，随着时间的推移，去健身房的人数能否趋于稳定？

【解析】记第天去健身房的人数为，去娱乐室的人数为，则；

当时，则，

当时，

，

则，

即；

数列是为首项，以0.7为公比的等比数列；

，

即；

当时，，

，

；

即随着时间的推移，去健身房的人数应稳定于100人左右．

例6.五个人排成一列,重新站队时,各人都不站在原来的位置上,那么不同的站队方式共有（     ）

A.60种       B.44种 C.36种           D.24种

【解析】首先我们把人数推广到个人,即个人排成一列,重新站队时,各人都不站在原来的位置上.设满足这样的站队方式有种,现在我们来通过合理分步,恰当分类找出递推关系:第一步:第一个人不站在原来的第一个位置,有种站法.第二步:假设第一个人站在第2个位置,则第二个人的站法又可以分为两类:第一类,第二个人恰好站在第个位置,则余下的个人有种站队方式;第二类,第二个人不站在第一个位置,则就是第二个人不站在第一个位置,第三个人不站在第三个位置,第四个人不站在第四个位置,第个人不站在第个位置,所以有种站队方式.由分步计数原理和分类计数原理,我们便得到了数列的递推关系式:显然再由递推关系有故应选B.

例7.有排成一行的个方格,用红、黄、蓝三色涂每个格子,每格涂一色，要求任何相邻的格不同色，且首尾两格也不同色,阳有多少种涂法?

【解析】设共有种不同涂法.易得，且当时,将个格子依此编号后,则格1与格()不相邻.

(1)若格涂色与格1不同,此时格只有一色可涂,且前格满足首尾两格不同色,故有种不同涂法.

(2)若格(-1)涂色与格1相同,此时格(-2)与格1涂色必然不同,否则格与格相同,于是前格有种不同涂法.因为格与格1不同色,有两种涂法,故有种不同涂法.综上可得递推关系式并可得.

例8.一只猴子爬一个8级的梯子,每次可爬一级或上跃二级,最多上跃三级.从地面上到最上一级,一共可以有多少种不同的爬跃方式？

【解析】易得.把问题一般化,设一共有级梯子,每次可爬一级或上跃二级,最多上跃三级.设共有种不同的爬跃方式.若第一次爬了一级,则有种方式;若第一次上跃二级，则有种方式;若第一次上跃三级,则有种方式.因此:易得.即共有81种不同的爬跃方式.

例9.用4种不同颜色涂四边形的4个顶点,要求每点染一种颜色,相邻的顶点染不同的颜色，求不同的染色方法？

【解析】我们先把这个题目推广:用种不同颜色给边形的个顶点染色（其中且为常数),每点染一种颜色,相邻的顶点染不同的颜色,不同的染色方法有多少种?

设不同的染色方法有种，现在我们来通过合理分布，恰当分类找出递推关系：

第一步:染有种染法第二步:染,有种染法同理，染均有种染法，最后染如果仅考虑与不同色，则仍有种染法，相乘得种染法,但要去掉与同色的染法数,此时可将与合并看成一个点,得出需要排除的染法数为,所以有显然.

又本题中,颜色数所以递推关系为又所以种),故不同的染色方法种数有84种.

例10.五个人排成一列,重新站队时,各人都不站在原来的位置上,那么不同的站队方式共有多少种?

【解析】首先我们把人数推广到个人,即个人排成一列,重新站队时,各人都不站在原来的位置上.设满足这样的站队方式有种，现在我们来通过合理分步,恰当分类找出递推美系：第一步:第一个人不站在原来的第一个位置,有种站法.

第二步：假设第一个人站在第2个位置，则第二个人的站法又可以分为两

类:第一类,第二个人恰好站在第一个位置，则余下的-2个人有种站队方式;第二类，第二个人不站在第一个位置,则就是第二个人不站在第一个位置，第三个人不站在第三个位置，第四个人不站在第四个位置，……，第个人不站在第个位置,所以有种站队方式.由分步计数原理和分类计数原理，,我们便得到了数列的递推关系式：再由递推关系有故共有44种.