数学九年级上册【人教版】九年级上期中数学试卷1

第一学期

初三数学期中试卷

一、选择题（共10个小题，每小题3分，共30分）  

1. 抛物线的对称轴是直线（        ）

(A)    (B)         (C)        (D)

2.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（     ）

A、等腰梯形　   B、平行四边形　  C、等边三角形     D、矩形

3.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A =40°，则∠OCB等于(         )

A．60°      B．50°   C．40°  D．30°

      第3题图                            第4题图

4. 已知二次函数y=ax2＋bx＋c的图象如右图所示，则下列结论中正确的是 (        )
  A．a>0             B．c＜0                C．          D．a＋b＋c>0s

5.将三角形绕直线旋转一周，可以得到如图所示的立体图形的是（     ）．/

6. 若将抛物线y=先向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到一个新的抛物线，则新抛物线的顶点坐标是（      ）2

    A．        B．      C．          D． i

7．如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD于E，连接BD，若∠D=30°,BD=2，则AE的长为(    )V

A．2         B．3       C．4         D．5  F

8. 将抛物线绕原点旋转180°，所得抛物线的解析式是（  　 ）i

   A．       B．       C．   D．

9.如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a 的值是（　 　）

A. 4    B.    C.    D.

10. 如图，在中，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，动点P从点A 出发，以每秒1cm的速度，沿ABC的方向运动，到达点C时停止.设,运动时间为t秒，则能反映y与t之间函数关系的大致图象是 (    ).

二、填空题（共6个小题，每小题3分，共18分） .r

11. 的解是那么抛物线与轴的两个交点的坐标分别是 ______________．

12.. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象z,写出一条此函数的性质____________．

      第12题图                                第13题图

13.如图，的半径为1，是的内接等边三角形，点D，E在圆上，四边形为矩形，这个矩形的面积是_______________. T

14.如图，二次函数的图象的对称轴是直线x＝1，则下列结论：A

   ① ② ③ ④q

  ⑤当时，y随x的增大而减小，其中正确的是              .

     第14题图                                 第15题图

15.如图，⊙O的外切正六边形ABCDEF的边长为2，则图中阴影部分的面积为__________ 

16. 如图，一段抛物线：（0≤x≤2），记为，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2 ，交x 轴于点A2 ；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x 轴于点A3；… ，如此进行下去，直至得C10．=

（1）请写出抛物线C2的解析式：                  ；

（2）若P（19，a）在第10段抛物线C10上，则a =_________．

三、解答题（每小题5分,共20分）

17.已知二次函数在与的函数值相等．

（1）求二次函数的解析式；3568895

（2）若一次函数的图象与二次函数的图象都经过点A（，），求m与k的值。

18.如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC的延长线与AD的延长线相交于点E，且DC=DE．

求证：∠A=∠AEB．

19.  已知E为正△ABC内任意一点. 求证: 以AE、BE、CE为边可以构成一个三角形. 若∠BEC=113, ∠AEC=123,  求构成三角形的各角度数. 

20. 二次函数的部分图象如图所示，其中图象与x轴交于点A（－1,0），与y轴交于点C（0，－5），且经过点D（3，－8）.

（1）求此二次函数的解析式；

（2）将此二次函数的解析式写成的形式，并直接写出顶点坐标以及它与x轴的另一个交点B的坐标.

四、解答题（每小题6分,共36分）

21. 在平面直角坐标系中，过点且平行于x轴的直线，与直线交于点A，点A关于直线的对称点为B，抛物线经过点A，B。

(1)求点A，B的坐标；

(2)求抛物线的表达式及顶点坐标；

(3)若抛物线与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围。

22.已知P为等边△ABC外接圆弧BC上一点，求证：PA=PB+PC.

23.某食品零售店为食品厂代销一种馒头，未售出的馒头可退回厂家，经统计销售情况发现，当这种馒头的单价定为7角时，每天卖出160个，在此基础上，这种馒头的单价每提高1角时，该零售店每天就会少卖出20个.考虑了所有因素后，该零售店每个馒头的成本是5角.

设这种馒头的单价为角，零售店每天销售这种馒头所获得的利润为角.

(1)用含的代数式分别表示出每个馒头的利润与卖出的馒头个数；

(2)求与之间的函数表达式；

(3)当馒头单价定为多少角时，该零售店每天销售这种馒头获得的利润最大？最大利润为多少？

24. (1)如图①, 已知在△ABC中, AB=AC, P是△ABC内部任意一点, 将AP绕A顺时针旋转至AQ, 使∠QAP =∠BAC, 连接BQ、CP.    求证: BQ = CP.

(2) 如图②,将点P移到等腰三角形ABC之外, (1)中的条件不变,  “BQ=CP” 还成立吗?  并证明你的结论。

25.已知：如图，AB是⊙O的直径，∠BAC=30°，M是OA上一点，过M作AB的垂线交AC于点N，交BC延长线于E，直线CF交EN于F，且∠ECF=∠E.

    （1）求证：CF是⊙O的切线；

（2）设⊙O的半径为1，且AC=CE，求MO的长.

26. 有这样一个问题：探究函数的图象与性质．

小东根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．

下面是小东的探究过程，请补充完整：

(1) 函数的自变量x的取值范围是___________；

(2) 下表是y与x的几组对应值．

求m的值；

(3) 如下图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；

(4) 进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是(2，3)，结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可）：                                          ．

五、解答题  （本题共16分，第27题5分，第28题5分，第29题6分）

27．已知二次函数与x轴有两个交点．

（1）求k的取值范围；

（2）当k取最小的整数时，求抛物线 的解析式并化成顶点式.

（3）将(2)中求得的抛物线在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象．请你画出这个新图象，并求出新图象与直线y=x+m有三个不同公共点时m的值．

28.如图，已知∠ACD=900,MN是过点A的直线，AC=CD，DB⊥MN于点B．

（1）在图1中，过点D作CE⊥CB,与直线MN于点E，

①依题意补全图形；

②求证：△BCE是等腰直角三角形；

③图1中，线段BD、AB、CB满足的数量关系是                  ；

（2）当MN绕A旋转到如图（2）和图（3）两个位置时，其它条件不变.

在图2中，线段BD、AB、CB满足的数量关系是                        ；

在图3中，线段BD、AB、CB满足的数量关系是                        ；

（3）MN在绕点A旋转过程中，当∠BCD=300，BD=时，则CB=             ．

29．在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0），将直线沿y轴向上平移3个单位长度后恰好经过B、C两点.

（1）求直线BC及抛物线的解析式；

（2）设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且∠APD =∠ACB，求点P的坐标；

（3）将直线AC绕点C顺时针旋转45°到直线l1 ，过A作AE⊥l1于点E，将直线BC绕点C逆时针旋转45°到直线l2 ，过B作BF⊥l2于点F，将直线AB绕点A顺时针旋转45°到直线l3，过B作BG⊥l3于点G，连接EF，CG，探索线段EF与线段CG的关系，并直接写出结论.

参考答案

1.A  2.D  3.B  4.D  5.B  6.B  7.B  8.D  9.B  10.C

11.(-3,0)，（5,0）

12.a-b+c=0

13.

14.②,③,④.

15.

16.（1）y=-x2+6x-8；(2)a=1；

17.(1)对称轴：x=,所以，所以，所以解析式为.

（2）当x=-3时，m=-6，所以k=4.

18.证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A+∠BCD=180°，

∵∠BCD+∠DCE=180°，∴∠A=∠DCE，∵DC=DE∴∠E=∠DCE，∴∠A=∠AEB．

19.∵△ABC是等边三角形∴AB=BC=CA；∠ACB=60°

∴将△BEC绕点C逆时针旋转60°，至△ACD，BC与AC重合∴△ADC≌△BEC

∴CE=CD；BE=AD；∠DCE=60°；∠ADC=∠AEC=123°

∴△DCE是等边三角形∴DE=CE；∠DEC=∠CDE=60°∴△ADE即所构三角形

∴∠ADE=∠ADC-60°=123°-60°=63°∠AED=∠AEC-60°=113°-60°=53°

∴∠DAE=180°-63°-53°=64°∴构成三角形的各角度数分别为：63°、53°、 64°

20.

21. ①当y＝2，则2＝x－1，x＝3，∴A(3，2)，∵AB关子x＝1对称，∴B(－1，2)．

②把(3，2)(－1，2)代入得：所以函数解析式为y=x2-2x-1,其顶点坐标为（1,-2）．

③如图，当C2过A点，B点时为临界，代入A(3，2)则9a=2，,代入B(－1，2)则a＝2..

22.在PA上截取PE=PC,连接CE

∵△ABC是等边三角形∴∠APC=∠ABC=60°∴△PCE是等边三角形

∴PC=CE,∠PCE=∠ACB=60°∴∠PCB=∠ACE

∵BC=AC,∠PBC=∠CAE∴△ACE≌△PBC∴PB=AE∴PA=PB+PC

23.（1）设这种面包单价为x角，得  160-（ x-7）×20=100，解得x=10，

利润为100×（10-5）=500角=50元，

答：这种面包的单价定为10角，这天卖面包的利润是50元．

（2）设这种面包单价为y角，由题意得，[160-20(y-7)](y-5)=480,化简得，y2-20y+99=0，

解得  y1=9，y2=11，答：这种面包的单价定为9角或11角（0.9元或1.1元）．

24.证明：（1）∵∠QAP=∠BAC，∴∠QAP-∠BAP=∠BAC-∠BAP，即∠QAB=∠CAP；

在△BQA和△CPA中，AQ＝AP,∠QAB＝∠CAP,AB＝AC,∴△BQA≌△CPA（SAS）；∴BQ=CP．

（2）BQ=CP仍然成立，理由如下：

∵∠QAP=∠BAC，∴∠QAP+∠PAB=∠BAC+∠PAB，即∠QAB=∠PAC；

在△QAB和△PAC中，AQ＝AP,∠QAB＝∠PAC,AB＝AC,∴△QAB≌△PAC（SAS），∴BQ=CP．

25.（1）证明：如图，连接OC，

∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠BAC=30°，∴∠ABC=60°；

在Rt△EMB中，∵∠E+∠MBE=90°，∴∠E=30°；

∵∠E=∠ECF，∴∠ECF=30°，∴∠ECF+∠OCB=90°；

∵∠ECF+∠OCB+∠OCF=180°，∴∠OCF=90°，∴CF为⊙O的切线；

（2）在Rt△ACB中，∠A=30°，∠ACB=90°，∴AC=ABcos30°=，BC=ABsin30°=1；

∵AC=CE，∴BE=BC+CE=1+，在Rt△EMB中，∠E=30°，∠BME=90°，

∴MB=BEsin30°=，∴MO=MB-OB=．

26.（1）x≠0；（2）当x=3 时，m=；

（3）注：要用光滑的曲线连接，图象不能与y轴相交；  

（4）函数的性质有很多(写对一条得2分)．如：

     ①当x<0时，y值随着x值的增大而减小； 

     ②该函数没有最大值；                   

     ③该函数图象与y轴没有交点．

27. 解：（1）∵抛物线与x轴有两个交点，

∴△=4(k+1)2-4（k2-2k-3）=16k+16＞0．∴k＞-1．∴k的取值范围为k＞-1．

（2）∵k＞-1，且k取最小的整数，∴k=0．∴y=x2-2x-3=(x-1)2-4．

（3）翻折后所得新图象如图所示．

平移直线y=x+m知：直线位于l1和l2时，它与新图象有三个不同的公共点．

①当直线位于l1时，此时l1过点A（-1，0），

∴0=-1+m，即m=1．

②∵当直线位于l2时，此时l2与函数y=-x2+2x+3（-1≤x≤3）的图象有一个公共点

∴方程x+m=-x2+2x+3，即x2-x-3+m=0有两个相等实根．

∴△=1-4（m-3）=0，即m=.综上所述，m的值为1或.

28.解：（1）如图（2）：AB-BD=CB．

证明：过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E，

∵∠ACD=90°，∴∠ACE=90°-∠DCE，∠BCD=90°-∠ECD，∴∠BCD=∠ACE．

∵DB⊥MN，∴∠CAE=90°-∠AFC，∠D=90°-∠BFD，

∵∠AFC=∠BFD，∴∠CAE=∠D，又∵AC=DC，∴△ACE≌△DCB，∴AE=DB，CE=CB，

∴△ECB为等腰直角三角形，∴BE=CB．

又∵BE=AB-AE，∴BE=AB-BD，∴AB-BD=CB．

如图（3）：BD-AB=CB．

证明：过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E，

∵∠ACD=90°，∴∠ACE=90°+∠ACB，∠BCD=90°+∠ACB，∴∠BCD=∠ACE．

∵DB⊥MN，∴∠CAE=90°-∠AFB，∠D=90°-∠CFD，

∵∠AFB=∠CFD，∴∠CAE=∠D，

又∵AC=DC，∴△ACE≌△DCB，∴AE=DB，CE=CB，∴△ECB为等腰直角三角形，∴BE=CB．

又∵BE=AE-AB，∴BE=BD-AB，∴BD-AB=CB．