第二章 等式与不等式（A卷·基础通关练）-【单元测试】2022-2023学年高一数学分层训练AB卷（人教B版2019必修第一册）

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第二章  等式与不等式（A卷·基础提升练）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知，则下列不等关系中一定成立的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

解：因为，所以，故A正确；

对于B：当时，故B错误；

对于C：当，，显然满足，但是，故C错误；

对于D：当，，显然满足，但是，故D错误；

故选：A

2．不等式的解集是（       ）

A． B． C． D．，或

【答案】C

【解析】

【分析】

根据一元二次不等式的解法计算可得；【详解】

解：由，解得，即不等式的解集为；

故选：C

3．已知的解集为，则的值为（       ）

A．1 B．2 C．-1 D．-2

【答案】B

【详解】

因为的解集为，

所以为方程的一个根，

所以．

故选:B．

4．若关于x的不等式在区间内有解，则实数a的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

设，开口向上，对称轴为直线，

所以要使不等式在区间(2，5)内有解，只要即可，

即，得，

所以实数a的取值范围为，

故选：D

5．不等式的解集是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】

解：

解得：.

故选：C.

6．已知不等式的解集为，则的解集为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】

解：∵不等式的解集为，

∴2和3是方程的两个根.

∴，可得.

可化为，即，

即,解得.

故选:A.

7．已知为正实数，且，则的最小值是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

因为，所以，而为正实数，

所以，

当且仅当时取等号，故的最小值为8.

故选：C

8．若下列3个关于x的方程，，中最多有两个方程没有实数根，则实数a的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】

假设3个关于x的方程都没有实数根，则即所以，

所以若这3个关于x的方程中最多有两个方程没有实数根，则实数a的取值范围是.

故选：A.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．已知实数x，y满足，，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【详解】

由，，知，，A、C正确；

，故，B错误；，故，D错误.

故选：AC.

10．如果a<b<0，c<d<0，那么下面一定成立的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】BD

【详解】

取，则，，故AC不正确；

因为，所以，故B正确；

因为，所以，故D正确.

故选：BD

11．设，，则下列说法正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】CD

【详解】

因为，，

令，则，故A错误．

因为，

所以，当且仅当时取等号，故B错误；

所以，当且仅当时取等号，故C正确；

因为，当且仅当时取等号，故D正确.

故选：CD.

12．下列说法正确的有（       ）

A．的最小值为2

B．任意的正数， 且，都有

C．若正数、满足，则的最小值为3

D．设、为实数，若，则的最大值为

【答案】BCD

【详解】

选项A： ，

当 时， ，当且仅当时有最小值.

故A不正确.

选项B：

对于任意正数 ， ，而 ，所以 ，

当且仅当 时取得最大值.

所以 ，当且仅当时取得最大值.

故B正确.

选项C：对于正数， ,所以

所以

当且仅当 ，即时取得最小值.

故C正确.

选项D：因

所以 ，即

所以 ，当且仅当 时等号成立.

故D正确.

故选：BCD.

三．填空题 本题共4小题，每小题5分，共20分

13．不等式的解集为______．

【答案】

【详解】

∵不等式等价于，

所以不等式的解集为．

故答案为：.

14．方程的两根都大于，则实数的取值范围是_____．

【答案】

【详解】

解：由题意，方程的两根都大于，

令，

可得，即，解得．

故答案为：.

15．设函数，不等式的解集为，若对任意恒成立，则实数的取值范围为__________.

【答案】

【详解】

由函数，且不等式的解集为，

即是方程两个实数根，

可得，解得，所以，

又由，且，

当时，函数取得最大值，最大值为，

因为对任意恒成立，即恒成立，

解得或，所以实数的取值范围为.

故答案为：.

16．已知实数，满足，则的最小值为__________．

【答案】

【详解】

设，，，

可得，

则.

当且仅当，即时，等号成立.

故答案为：.

四、解答题：本题共6小题，17题10分，剩下每题12分。共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．求下列不等式的解集：

(1)；

(2)；

(3)；

【答案】(1)；(2)；(3).

【解析】(1)

解：

解得：

不等式解集为：.

(2)

解：，整理得：

即

解得：

不等式解集为：.

(3)

解：，整理得：

，故不等式再实数范围内无解

不等式解集为：.

18．解关于x的不等式．

【解析】原不等式变形为．

①当时，；

②当时，不等式即为，

当时，x或；

由于，于是

当时，；

当时，；

当时，．

综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为．

19．（1）已知，求的最小值；

（2）设，求函数的最大值．

【答案】（1）4；（2）.

【详解】

（1）∵，且

∴，当且仅当，即，时，等号成立.

∴的最小值为4.

（2）∵，则，

∴，当且仅当时等号成立.

∴的最大值.

20．已知函数.

(1)若，求不等式的解集；

(2)若不等式对一切实数都成立，求的取值范围.

【答案】(1)(2)

【解析】(1)

当时，，

由，得，

，解得，

所以不等式的解集为

(2)

由题意可得对一切实数都成立，

当时，恒成立，符合题意，

当时，因为对一切实数都成立，

所以，解得，

综上，，

即的取值范围为

21．黔东南某地有一座水库，设计最大容量为128000m3．根据预测，汛期时水库的进水量（单位：m3）与天数的关系是，水库原有水量为80000m3，若水闸开闸泄水，则每天可泄水4000m3；水库水量差最大容量23000m3时系统就会自动报警提醒，水库水量超过最大容量时，堤坝就会发生危险；如果汛期来临水库不泄洪，1天后就会出现系统自动报警．

(1)求的值；

(2)当汛期来临第一天，水库就开始泄洪，估计汛期将持续10天，问：此期间堤坝会发生危险吗？请说明理由．

【答案】(1)(2)汛期的第9天会有危险，理由见解析

【解析】(1)

由题意得： ，

 即

(2)

由（1）得

设第天发生危险，由题意得 ，即，得．

所以汛期的第9天会有危险

22．已知函数．

(1)若关于的不等式的的解集是，求，的值；

(2)设关于不等式的在上恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)，(2)

【解析】(1)

根据二次不等式的解集与系数的关系可得和是方程的两根，故，解得，由韦达定理有，解得.

故，

(2)

在上恒成立，即恒成立.当时满足题意，当时，恒成立，因为，当且仅当时取等号.故，即的取值范围为.