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单元复习04 数列【过知识】-2022-2023学年高二数学单元复习（苏教版2019选择性必修第一册）
展开考点1 数列的有关概念
注意 (1)并不是所有的数列都有通项公式;(2)同一个数列的通项公式在形式上未必唯一;(3)对于一个数列,如果只知道它的前几项,而没有指出它的变化规律,是不能确定这个数列的;(4){an}与an是不一样的,{an}表示数列a1,a2,…,an,…,是数列的一种简记形式;而an只表示数列{an}的第n项,an与{an}是“个体”与“整体”的从属关系.
辨析比较 通项公式和递推公式的异同点
考点2 数列的函数特性
1.数列与函数的关系数列可以看成一类特殊的函数an=f(n),它的定义域是正整数集N*或正整数集N*的有限子集{1,2,3,4,…,n},所以它的图象是一系列孤立的点,而不是连续的曲线.2.数列的性质由于数列可以看作一个关于n(n∈N*)的函数,因此它具备函数的某些性质:(1)单调性——若an+1>an,则{an}为递增数列;若an+1
考点4 等差数列
1.等差数列的概念一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫作等差数列,这个常数叫作等差数列的公差,公差通常用字母d表示.定义的表达式为an+1-an=d,d为常数.规律总结 等差数列的单调性当d>0时,数列{an}为递增数列;当d<0时,数列{an}为递减数列;当d=0时,数列{an}为常数列.
考点5 等差数列的前n项和
1.等差数列的常用性质(1)若{an}是等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak+al=am+an,特别地,若p+q=2m,则ap+aq=2am.反之不一定成立.(2)若{an}是等差数列,公差为d,则{a2n}也是等差数列,公差为2d.(3)若{an},{bn}是等差数列,则{pan+qbn}(p,q∈N*)也是等差数列.(4)若{an}是等差数列,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)组成公差为md的等差数列.即下标成等差数列,则相应的项也成等差数列.(5)等差数列{an}中,若am=n,an=m,则am+n=0(m≠n).
考点6 等差数列的性质
考点7 等比数列
1.等比数列的概念一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数q(q≠0),那么这个数列叫作等比数列,这个常数q叫作等比数列的公比.注意 (1)等比数列中的任何一项都不为0,且公比q≠0.(2)若一个数列是常数列,则此数列一定是等差数列,但不一定是等比数列,如:0,0,0,…2.等比中项的概念如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫作a与b的等比中项,此时G2=ab.
考点8 等比数列的前n项和
考点9 等比数列的性质
数学归纳法的定义 一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:第一步：证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；第二步：以当“n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立”为条件, 推出“当n=k+1时命题也成立”只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.这种证明方法叫做数学归纳法.
考点10 数学归纳法
方法技巧1 利用错位相减法求和的解题技巧2.注意解题“3关键”(1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形.(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”,以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式.(3)在应用错位相减法求和时,若等比数列的公比为参数,应分公比q=1和q≠1两种情况求解.3.谨防解题“2失误”(1)两式相减时最后一项忘记变号.(2)对相减后的和式的结构认识模糊,错把中间的(n-1)项和当作n项和.
方法技巧2 用裂项相消法求和的解题技巧1.利用裂项相消法求和的基本步骤
2.裂项原则:一般是前边裂几项,后边就裂几项,直到发现被消去项的规律为止.3.消项规律:消项后前边剩几项,后边就剩几项,前边剩第几项,后边就剩倒数第几项.
注意 利用裂项相消法求和时,既要注意检验裂项前后是否等价,又要注意求和时正负项相消后消去了哪些项,保留了哪些项,切不可漏写未被消去的项.4.常见数列的裂项方法
方法技巧3 利用倒序相加法求和的解题技巧已知数列的特征是“与首末两端等距离的两项之和相等(或等于同一常数)”,可用倒序相加法求和.解题时先把数列的前n项和表示出来,再把数列求和的式子倒过来写,然后将两个式子相加,即可求出该数列的前n项和的2倍,最后求出该数列的前n项和.
方法技巧4 用并项求和法求数列的前n项和解题技巧 用并项求和法求数列的前n项和一般是指把数列的一些项合并组成我们熟悉的等差数列或等比数列来求和.可用并项求和法的常见类型:一是数列的通项公式中含有绝对值符号;二是数列的通项公式中含有符号因子“(-1)n”,如Sn=1002-992+982-972+…+22-12=(100+99)+(98+97)+…+(2+1)=5 050,可采用两项合并求解;三是数列{an}是周期数列.
示例 数列{an}的前n项和记为Sn,a1=1,an+1=2Sn+1 (n≥1).(1)求{an}的通项公式;(2)等差数列{bn}的各项为正,其前n项和为Tn,且T3=15,又a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比数列,求Tn.思维导引 (1)根据已知的递推关系求{an}的通项公式;(2)根据等比关系列方程求公差,则前n项和Tn易求..
方法技巧61.数列与不等式的综合问题的解题策略(1)判断数列问题中的一些不等关系,可以利用数列的单调性或者是借助数列对应的函数的单调性求解.(2)对于与数列有关的不等式的证明问题,则要灵活选择不等式的证明方法,如比较法、综合法、分析法、放缩法等,有时需构造函数,利用函数的单调性,最值来证明.
数列与其他知识综合
示例 实施“二孩”政策后,专家估计某地区人口总数将发生如下变化:从2021年开始到2030年,每年人口总数比上一年增加0.5万人,从2031年开始到2040年,每年人口总数为上一年的99%.已知该地区2020年人口总数为45万.(1)求实施“二孩”政策后第n年的人口总数an(单位:万人)的表达式(记2021年为第一年);(2)若“二孩”政策实施后,2021年到2040年人口平均值超过49万,则需调整政策,否则继续实施,问到2040年结束后是否需要调整政策?(参考数据:0.9910≈0.9)
方法技巧81.数列在实际应用中的常见模型(1)等差模型:如果增加(或减少)的量是一个固定的数,则该模型是等差模型,这个固定的数就是公差.(2)等比模型:如果后一个量与前一个量的比是一个固定的非零常数,则该模型是等比模型,这个固定的数就是公比.(3)递推数列模型:如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定,随项的变化而变化,则应考虑考查的是第n项an与第(n+1)项an+1(或者相邻三项等)之间的递推关系还是前n项和Sn与前(n+1)项和Sn+1之间的递推关系.
2.解答数列实际应用题的步骤(1)审题:仔细阅读题目,认真理解题意.(2)建模:将已知条件翻译成数列语言,将实际问题转化成数学问题,分清数列是等差数列、等比数列,还是递推数列,是求通项还是求前n项和.(3)求解:求出该问题的数学解.(4)还原:将所求结果还原到实际问题中.
素养提升 数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养.有关数列的应用问题,是为了让学生能够在实际情境中,用数学的思想分析数列问题,用数学的语言表达数列问题,用数学的知识构建数列模型,用数列的方法得出结论,并验证数学结论与实际问题是否相符合,最终得到符合实际规律的结果.
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