单元复习01 直线与方程【过知识】-2022-2023学年高二数学单元复习（苏教版2019选择性必修第一册）

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考点1 直线的方程考点2 两直线的位置关系
考点1 直线的方程
1.直线的倾斜角与斜率
2.直线方程的几种形式
注意 当直线与x轴不垂直时,可设直线的方程为y=kx+b;当直线与y轴不垂直时,可设直线的方程为x=my+n.
考点2 两直线的位置关系
1.两条直线的位置关系
注意：两条直线平行时,不要忘记它们的斜率都不存在的情况;两条直线垂直时,不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况.
注意：点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件:(1)求点到直线的距离时,应先将直线方程化为一般式;(2)求两平行线之间的距离时,应先将方程化为一般式且x,y的系数对应相等.
考法1 求直线的方程考法2 两直线的位置关系考法3 两直线的交点与距离问题考法4 对称问题
考法1 求直线的方程
示例1 (1)已知点A(3,4),则经过点A且在两坐标轴上截距相等的直线方程为　　　　. (2)已知直线l过点P(3,2),且与x轴,y轴的正半轴分别交于A,B两点,如图9-1-1所示,当△ABO的面积取最小值时直线l 的方程为　　　　. 
方法技巧1.求解直线方程的两种方法
2.谨防三种失误(1)选用点斜式和斜截式时,要注意讨论斜率是否存在.(2)选用截距式时,要注意讨论直线是否过原点,截距是否为0,若不确定,需分类讨论.(如本例(1))(3)选用一般式Ax+By+C=0确定直线的斜率时,要注意讨论B是否为0.
3.与直线方程相关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题.先设出直线方程,建立目标函数,再利用基本不等式求解最值.(2)求参数值或范围.注意点在直线上,则点的坐标适合直线的方程,再结合函数的单调性或基本不等式求解.
思维拓展 常见的直线系方程(1)过定点P(x0,y0)的直线系方程:A(x-x0)+B(y-y0)=0(A2+B2≠0),还可以表示为y-y0=k(x-x0)或x=x0.(2)平行于直线Ax+By+C=0的直线系方程:Ax+By+λ=0(λ≠C).(3)垂直于直线Ax+By+C=0的直线系方程:Bx-Ay+λ=0.
(4)过两条已知直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程:A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R,这个直线系不包括直线l2:A2x+B2y+C2=0,解题时,注意检验l2的方程是否满足题意,以防漏解)或A2x+B2y+C2=0. 注意 利用平行直线系或垂直直线系求直线方程时,一定要注意系数及符号的变化规律.
考法2 两直线的位置关系
示例2 (1)已知经过点A(-2,0)和点B(1,3a)的直线l1与经过点P(0,-1)和点Q(a,-2a)的直线l2互相垂直,则实数a的值为　　　　. (2)已知两直线l1:x+my+6=0,l2:(m-2)x+3y+2m=0,当m为何值时,直线l1与l2:①平行;②垂直.
方法技巧 1.与两直线的位置关系有关的常见题目类型(1)判断两直线的位置关系.(2)由两直线的位置关系求参数.(3)根据两直线的位置关系求直线方程.2.两直线位置关系的判断方法(1)已知两直线的斜率存在①两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不相等;②两直线垂直⇔两直线的斜率之积为-1.
(2)已知两直线的斜率不存在当两直线在x轴上的截距不相等时,两直线平行;否则两直线重合.(3)已知两直线的一般方程设直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则l1∥l2⇔A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1≠0;l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0.该方法可避免对斜率是否存在进行讨论.
3.解决两直线平行与垂直的参数问题的“前思后想”
考法3 两直线的交点与距离问题
示例3 [2020武汉市调研考试]已知直线l 经过直线2x+y-5=0与直线x-2y=0的交点.(1)若点A(5,0)到直线l 的距离为3,求直线l的方程;(2)求点A(5,0)到直线l 的距离的最大值.
解析 (1)易知点A到直线x-2y=0的距离不等于3,可设经过两已知直线交点的直线系方程为(2x+y-5)+λ(x-2y)=0,即(2+λ)x+(1-2λ)y-5=0. (设出直线系方程)
1.过两直线交点的直线方程的求法(1)先解方程组求出两直线的交点坐标,再结合其他条件写出直线方程.(2)借助直线系方程,利用待定系数法求出直线方程,这样能简化解题过程,但需注意分类讨论.2.距离的求法利用距离公式求解即可.
3.点到几种特殊直线的距离(1)点P(x0,y0)到x轴的距离d=|y0|;(2)点P(x0,y0)到y轴的距离d=|x0|;(3)点P(x0,y0)到与x轴平行的直线y=a的距离d=|y0-a|;(4)点P(x0,y0)到与y轴平行的直线x=b的距离d=|x0-b|.
考法4 对称问题
示例4 已知直线l:2x-3y+1=0,点A(-1,-2).求:(1)点A关于直线l的对称点A'的坐标;(2)直线m:3x-2y-6=0关于直线l的对称直线m'的方程;(3)直线l关于点A对称的直线l'的方程.
思维导引 (1)设A' (x,y),由对称性求出A' 的坐标.(2)在直线m上任取一点M(2,0),由对称性求出M关于l的对称点M'的坐标,结合两直线的交点,可求出m'的方程.(3)思路一　在l上任取两点P(1,1),N(4,3),由对称性求出P,N关于点A的对称点P',N',可得直线l'的方程.思路二　在l上任取一点Q(x,y),由对称性求出点Q关于点A的对称点Q',将其坐标代入直线l的方程,可得直线l'的方程.
(3)解法一　在l:2x-3y+1=0上任取两点,如P(1,1),N(4,3),则P,N关于点A的对称点P',N'均在直线l'上.易知P'(-3,-5),N'(-6,-7),由两点式可得l'的方程为2x-3y-9=0.解法二　设Q(x,y)为l'上任意一点,则Q(x,y)关于点A(-1,-2)的对称点为Q'(-2-x,-4-y),因为点Q'在直线l上,所以2(-2-x)-3(-4-y)+1=0,即2x-3y-9=0.
方法技巧 关于对称问题的解题策略
(2)直线关于点对称①在已知直线上取两点,利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的点的坐标,再由两点式求出所求直线方程;②求出一个对称点,再利用两对称直线平行,由点斜式得到所求直线方程.
(2)直线关于直线对称设直线l1关于直线l的对称直线为l2.①当l1与l相交时,则交点必在l2上,再求出l1上某个点P1关于直线l对称的点P2,那么由交点及点P2的坐标即可求出直线l2的方程.②当l1∥l时,借助两直线平行所满足的条件设出对称直线l2的方程,再利用两平行直线间的距离公式列出方程,求得直线l2的方程中的常数项,从而得l2的方程.3.求解对称问题的关键点(1)已知点与对称点的连线与对称轴垂直;(2)以已知点和对称点为端点的线段的中点在对称轴上.
题型一 直线的方程题型二 距离问题题型三 两直线的平行与垂直题型四 求斜率的取值范围题型五 距离最值问题