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中考数学三轮冲刺考前强化练习03 基本函数 (教师版）
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这是一份中考数学三轮冲刺考前强化练习03 基本函数 (教师版），共47页。试卷主要包含了平面直角坐标系定义等内容，欢迎下载使用。
03 基本函数
知识点包含：平面直角坐标系的定义、平面直角坐标系各象限点的特点、点到坐标轴的距离
坐标系内点关于坐标轴的对称点的求法、一次函数的解析式（图像、性质）
一次函数图像与不等式解集、一次函数与行程问题、
反比例函数的解析式（图像、性质）、一次函数与反比例函数综合
二次函数的解析式（图像、性质）、图像的平移、
知识点清单：
一、平面直角坐标系定义
1、在平面内画两条互相垂直且有公共原点 的两条数轴，就组成了平面直角坐标系．
2、平面直角坐标系中各象限点的特点：第一象限（+、+）、第二象限（—、+）
第三象限（—、—）、第四象限（+、—）
坐标轴上点的特点：横轴上的点的纵坐标为0 ；纵轴上的点的横坐标为0
3、平面直角坐标系中的点到坐标轴的距离：
到x轴距离是：点的纵坐标的绝对值
到y轴距离是：点的横坐标的绝对值
到原点距离是：点的横纵坐标平方和的算术平方根（勾股定理）
4、平面直角坐标系中的点关于坐标轴对称点的求法：口诀：关于谁谁不变；关于原点全改变
5、平行于x轴，y轴的直线上点的坐标特征：
平行于x轴的直线上点的纵坐标相同；平行于y轴的直线上点的横坐标相同
中考在线：
1、在平面直角坐标系中，点P（﹣2，x2+1）所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据非负数的性质确定出点P的纵坐标是正数，然后根据各象限内点的坐标特征解答．
【解答】解：∵x2≥0，
∴x2+1≥1，
∴点P（﹣2，x2+1）在第二象限．
故选：B．
2．（2018•东营）在平面直角坐标系中，若点P（m﹣2，m+1）在第二象限，则m的取值范围是（ ）
A．m＜﹣1 B．m＞2 C．﹣1＜m＜2 D．m＞﹣1
【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数列出不等式组求解即可．
【解答】解：∵点P（m﹣2，m+1）在第二象限，
∴，
解得﹣1＜m＜2．
故选：C．
3．（2018•扬州）在平面直角坐标系的第二象限内有一点M，点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则点M的坐标是（ ）
A．（3，﹣4） B．（4，﹣3） C．（﹣4，3） D．（﹣3，4）
【分析】根据第二象限内点的坐标特征，可得答案．
【解答】解：由题意，得
x=﹣4，y=3，
即M点的坐标是（﹣4，3），
故选：C．
4、（2018•柳州）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是 ．
【解答】解：由坐标系可得：点A的坐标是（﹣2，3）．
故答案为：（﹣2，3）．
5、若点A（a-2，3）和点B（-1，b+5）关于y轴对称，则点C（a，b）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D．
【解析】
试题解析：点A（a-2，3）和点B（-1，b+5）关于y轴对称，得
a-2=1，b+5=3．
解得a=3，b=-2．
则点C（a，b）在第四象限，
故选D．
二：函数
1、函数的定义：一般地，在某个变化过程中，有两 个变量x、y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。
2、函数常用的三种表示方法是：表格法、解析式法、图像法
技巧：函数的判定方法为：给自变量一个值，看因变量有一个值相对应就是函数，否则不是。
中考在线：
1、（2018•随州）“龟兔赛跑”这则寓言故事讲述的是比赛中兔子开始领先，但它因为骄傲在途中睡觉，而乌龟一直坚持爬行最终贏得比赛，下列函数图象可以体现这一故事过程的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据兔子的路程在一段时间内保持不变、乌龟比兔子所用时间少逐一判断即可得．
【解答】解：由于兔子在图中睡觉，所以兔子的路程在一段时间内保持不变，所以D选项错误；
因为乌龟最终赢得比赛，即乌龟比兔子所用时间少，所以A、C均错误；
故选：B．
2、（2018•广元）小明和小华是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7：40先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公交汽车到了学校．如图是他们从家到学校已走的路程s（米）和所用时间t（分钟）的关系图．则下列说法中错误的是（ ）
A．小明吃早餐用时5分钟
B．小华到学校的平均速度是240米/分
C．小明跑步的平均速度是100米/分
D．小华到学校的时间是7：55
【解答】解：A、小明吃早餐用时13﹣8＝5分钟，此选项正确；
B、小华到学校的平均速度是1200÷（13﹣8）＝240（米/分），此选项正确；
C、小明跑步的平均速度是（1200﹣500）÷（20﹣13）＝100（米/分），此选项正确；
D、小华到学校的时间是7：53，此选项错误；
故选：D．
三：一次函数
1、点在函数图像上（或函数图像过点）即：可把点的横坐标代入解析式中的自变量，纵坐标代入因变量。一般为见x换点的横坐标，见y换点的纵坐标
2、一次函数图像与x轴的交点坐标为：让一次函数解析式中的y值为0，求出x值；
与y轴的交点坐标为：让一次函数解析式中的x值为0，求出y值(就是解析式中b的值）；
3、判断一次函数y=kx+b（k≠0）所过象限：
看k判断大方向，（k＞0，过一、三；k＜0，过二、四）
看b是把图像向上或向下平移（b＞0向上平移；b＜0向下平移）
4、 两个一次函数的图像平行，说明两函数解析式的K值相等（图像平移前后也说明k值相等，5、平移口诀：左加右减，上加下减）
6、用待定系数法求一次函数解析式：
关键：确定一次函数y= kx+ b中的字母 与 的值
步骤：1、设一次函数表达式
2、将x，y的对应值或点的坐标代入表达式
3、解关于系数的方程或方程组
4、将所求的待定系数代入所设函数表达式中
7、一次函数与不等式求参数步骤：
若只有一个函数：让y=0，求得x的值（x的值为图像与x轴的交点坐标）
找到满足条件的y值(大于0找x轴上方；小于0找x轴下方）
若有两个函数：先找到两函数图像交点坐标（或把两函数解析式联立方程组求解）
利用捂交点法：谁的值大，谁的图像在上，进行判断，写出相对应的x值
函数常用方法：
1、两函数图像有交点 《=》两函数解析式组成的方程组，就是交点坐标
2、函数值比较大小 《=》
利用捂交点的方法，谁大谁的图像在上面，得到的自变量的取值
3、一次函数与反比例函数的图像与坐标轴围成的三角形面积求法
《=》以一次函数图像在y轴的截距为底
4、正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称
中考在线：
1、（2018•常德）若一次函数y=（k﹣2）x+1的函数值y随x的增大而增大，则（ ）
A．k＜2 B．k＞2 C．k＞0 D．k＜0
【分析】根据一次函数的性质，可得答案．
【解答】解：由题意，得
k﹣2＞0，
解得k＞2，
故选：B．
2．（2018•湘西州）一次函数y=x+2的图象与y轴的交点坐标为（ ）
A．（0，2） B．（0，﹣2） C．（2，0） D．（﹣2，0）
【分析】代入x=0求出y值，进而即可得出发一次函数y=x+2的图象与y轴的交点坐标．
【解答】解：当x=0时，y=x+2=0+2=2，
∴一次函数y=x+2的图象与y轴的交点坐标为（0，2）．
故选：A．
3．（2018•娄底）将直线y=2x﹣3向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，所得的直线的表达式为（ ）
A．y=2x﹣4 B．y=2x+4 C．y=2x+2 D．y=2x﹣2
【分析】根据平移的性质“左加右减，上加下减”，即可找出平移后的直线解析式，此题得解．
【解答】解：y=2（x﹣2）﹣3+3=2x﹣4．
化简，得
y=2x﹣4，
故选：A．
4、（2019•鞍山）如图，若一次函数y＝﹣2x+b的图象与两坐标轴分别交于A，B两点，点A的坐标为（0，3），则不等式﹣2x+b＞0的解集为（ ）
A．x＞ B．x＜ C．x＞3 D．x＜3
【解答】解：∵一次函数y＝﹣2x+b的图象交y轴于点A（0，3），
∴b＝3，
令y＝﹣2x+3中y＝0，则﹣2x+3＝0，解得：x＝，
∴点B（，0）．
观察函数图象，发现：
当x＜时，一次函数图象在x轴上方，
∴不等式﹣2x+b＞0的解集为x＜．
故选：B．
5、（2019•辽阳）若ab＜0且a＞b，则函数y＝ax+b的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵ab＜0，且a＞b，
∴a＞0，b＜0，
∴函数y＝ax+b的图象经过第一、三、四象限．
故选：A．
6、（2019•陕西）在平面直角坐标系中，将函数y＝3x的图象向上平移6个单位长度，则平移后的图象与x轴的交点坐标为（ ）
A．（2，0） B．（﹣2，0） C．（6，0） D．（﹣6，0）
【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将函数y＝3x的图象向上平移6个单位长度所得函数的解析式为y＝3x+6，
∵此时与x轴相交，则y＝0，
∴3x+6＝0，即x＝﹣2，
∴点坐标为（﹣2，0），
故选：B．
7、（2019•陕西）若正比例函数y＝﹣2x的图象经过点O（a﹣1，4），则a的值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【解答】解：∵正比例函数y＝﹣2x的图象经过点O（a﹣1，4），
∴4＝﹣2（a﹣1），解得：a＝﹣1．
故选：A．
8、（2019•通辽）如图，直线y＝kx+b（k≠0）经过点（﹣1，3），则不等式kx+b≥3的解集为（ ）
A．x＞﹣1 B．x＜﹣1 C．x≥3 D．x≥﹣1
【解答】解：观察图象知：当x≥﹣1时，kx+b≥3，
故选：D．
9、（2018•湘潭）若b＞0，则一次函数y=﹣x+b的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据一次函数的k、b的符号确定其经过的象限即可确定答案．
【解答】解：∵一次函数y=x+b中k=﹣1＜0，b＞0，
∴一次函数的图象经过一、二、四象限，
故选：C．
10、（2018•包头）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=﹣x+1与x轴，y轴分别交于点A和点B，直线l2：y=kx（k≠0）与直线l1在第一象限交于点C．若∠BOC=∠BCO，则k的值为（ ）
A． B． C． D．2
【分析】利用直线l1：y=﹣x+1，即可得到A（2，0）B（0，1），AB==3，过C作CD⊥OA于D，依据CD∥BO，可得OD=AO=，CD=BO=，进而得到C（，），代入直线l2：y=kx，可得k=．
【解答】解：直线l1：y=﹣x+1中，令x=0，则y=1，令y=0，则x=2，
即A（2，0）B（0，1），
∴Rt△AOB中，AB==3，
如图，过C作CD⊥OA于D，
∵∠BOC=∠BCO，
∴CB=BO=1，AC=2，
∵CD∥BO，
∴OD=AO=，CD=BO=，
即C（，），
把C（，）代入直线l2：y=kx，可得
=k，
即k=，
故选：B．
11、（2018•咸宁）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列结论：
①甲步行的速度为60米/分；
②乙走完全程用了32分钟；
③乙用16分钟追上甲；
④乙到达终点时，甲离终点还有300米[来源:学科网]
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：由图可得，
甲步行的速度为：240÷4=60米/分，故①正确，
乙走完全程用的时间为：2400÷（16×60÷12）=30（分钟），故②错误，
乙追上甲用的时间为：16﹣4=12（分钟），故③错误，
乙到达终点时，甲离终点距离是：2400﹣（4+30）×60=360米，故④错误，
故选：A．
12．（2018•陕西）若直线l1经过点（0，4），l2经过点（3，2），且l1与l2关于x轴对称，则l1与l2的交点坐标为（ ）
A．（﹣2，0） B．（2，0） C．（﹣6，0） D．（6，0）
【分析】根据对称的性质得出两个点关于x轴对称的对称点，再根据待定系数法确定函数关系式，求出一次函数与x轴的交点即可．
【解答】解：∵直线l1经过点（0，4），l2经过点（3，2），且l1与l2关于x轴对称，
∴两直线相交于x轴上，
∵直线l1经过点（0，4），l2经过点（3，2），且l1与l2关于x轴对称，
∴直线l1经过点（3，﹣2），l2经过点（0，﹣4），
把（0，4）和（3，﹣2）代入直线l1经过的解析式y=kx+b，
则，
解得：，
故直线l1经过的解析式为：y=﹣2x+4，
可得l1与l2的交点坐标为l1与l2与x轴的交点，解得：x=2，
即l1与l2的交点坐标为（2，0）．
故选：B．
13、（2018•郴州）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的一个顶点在原点O处，且∠AOC=60°，A点的坐标是（0，4），则直线AC的表达式是 y=﹣x+4 ．
【分析】根据菱形的性质，可得OC的长，根据三角函数，可得OD与CD，根据待定系数法，可得答案．
【解答】解：如图，
由菱形OABC的一个顶点在原点O处，A点的坐标是（0，4），得
OC=OA=4．
又∵∠1=60°，
∴∠2=30°．
sin∠2==，
∴CD=2．
cos∠2=cos30°==，
OD=2，
∴C（2，2）．
设AC的解析式为y=kx+b，
将A，C点坐标代入函数解析式，得
，
解得，
直线AC的表达式是y=﹣x+4，
故答案为：y=﹣x+4．
14、（2018•温州）如图，直线y=﹣x+4与x轴、y轴分别交于A，B两点，C是OB的中点，D是AB上一点，四边形OEDC是菱形，则△OAE的面积为 2 ．
【分析】延长DE交OA于F，如图，先利用一次函数解析式确定B（0，4），A（4，0），利用三角函数得到∠OBA=60°，接着根据菱形的性质判定△BCD为等边三角形，则∠BCD=∠COE=60°，所以∠EOF=30°，则EF=OE=1，然后根据三角形面积公式计算．
【解答】解：延长DE交OA于F，如图，
当x=0时，y=﹣x+4=4，则B（0，4），
当y=0时，﹣x+4=0，解得x=4，则A（4，0），
在Rt△AOB中，tan∠OBA==，
∴∠OBA=60°，
∵C是OB的中点，
∴OC=CB=2，
∵四边形OEDC是菱形，
∴CD=BC=DE=CE=2，CD∥OE，
∴△BCD为等边三角形，
∴∠BCD=60°，
∴∠COE=60°，
∴∠EOF=30°，
∴EF=OE=1，
△OAE的面积=×4×1=2．
故答案为2．
15、（2017•枣庄）如图，直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，点P为OA上一动点，当PC+PD最小时，点P的坐标为（ ）
A．（﹣3，0） B．（﹣6，0） C．（﹣，0） D．（﹣，0）
【解答】解：（方法一）作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P，此时PC+PD值最小，如图所示．
令y＝x+4中x＝0，则y＝4，
∴点B的坐标为（0，4）；
令y＝x+4中y＝0，则x+4＝0，解得：x＝﹣6，
∴点A的坐标为（﹣6，0）．
∵点C、D分别为线段AB、OB的中点，
∴点C（﹣3，2），点D（0，2）．
∵点D′和点D关于x轴对称，
∴点D′的坐标为（0，﹣2）．
设直线CD′的解析式为y＝kx+b，
∵直线CD′过点C（﹣3，2），D′（0，﹣2），
∴有，解得：，
∴直线CD′的解析式为y＝﹣x﹣2．
令y＝﹣x﹣2中y＝0，则0＝﹣x﹣2，解得：x＝﹣，
∴点P的坐标为（﹣，0）．
故选C．
（方法二）连接CD，作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P，此时PC+PD值最小，如图所示．
令y＝x+4中x＝0，则y＝4，
∴点B的坐标为（0，4）；
令y＝x+4中y＝0，则x+4＝0，解得：x＝﹣6，
∴点A的坐标为（﹣6，0）．
∵点C、D分别为线段AB、OB的中点，
∴点C（﹣3，2），点D（0，2），CD∥x轴，
∵点D′和点D关于x轴对称，
∴点D′的坐标为（0，﹣2），点O为线段DD′的中点．
又∵OP∥CD，
∴点P为线段CD′的中点，
∴点P的坐标为（﹣，0）．
故选：C．
16、（2018•枣庄）如图，直线l是一次函数y＝kx+b的图象，若点A（3，m）在直线l上，则m的值是（ ）
A．﹣5 B． C． D．7
【解答】解：将（﹣2，0）、（0，1）代入，得：
解得：，
∴y＝x+1，
将点A（3，m）代入，得：+1＝m，
即m＝，
故选：C．
17．（2019•枣庄）如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，P是线段AB上任意一点（不包括端点），过点P分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为8，则该直线的函数表达式是（ ）
A．y＝﹣x+4 B．y＝x+4 C．y＝x+8 D．y＝﹣x+8
【解答】解：如图，过P点分别作PD⊥x轴，PC⊥y轴，垂足分别为D、C，
设P点坐标为（x，y），
∵P点在第一象限，
∴PD＝y，PC＝x，
∵矩形PDOC的周长为8，[来源:Zxxk.Com]
∴2（x+y）＝8，
∴x+y＝4，
即该直线的函数表达式是y＝﹣x+4，
故选：A．
18．（2019•枣庄）从﹣1、2、3、﹣6这四个数中任取两数，分别记为m、n，那么点（m，n）在函数y＝图象的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵点（m，n）在函数y＝的图象上，
∴mn＝6．
列表如下：
m
﹣1
﹣1
﹣1
2
2
2
3
3
3
﹣6
﹣6
﹣6
n
2
3
﹣6
﹣1
3
﹣6
﹣1
2
﹣6
﹣1
2
3
mn
﹣2
﹣3
6
﹣2
6
﹣12
﹣3
6
﹣18
6
﹣12
﹣18
mn的值为6的概率是＝．
故选：B．
四：反比例函数
1、定义：形如（k≠0），因为k≠0，且x≠0，所以函数值y也不可能为0。
（k≠0）还可以写成（k≠0）或xy＝k（k≠0）的形式
2、反比例函数 的图象是双曲线. 性质：
当k>0时，双曲线的两支分别在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小，并且第一象限内的y值大于第三象限内的y值；
当k<0时，双曲线的两支分别在第二、四象限，在每一象限内，y的值随x值的增大而增大，并且第二象限内的y值大于第四象限内的y值.
3、反比例函数k与面积的题目：
反比例函数图像上的点与坐标轴围成的矩形面积为 ：
三角形面积为 ：
中考在线：
1．（2019•济南）函数y＝﹣ax+a与y＝（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：a＞0时，﹣a＜0，y＝﹣ax+a在一、二、四象限，y＝在一、三象限，无选项符合．
a＜0时，﹣a＞0，y＝﹣ax+a在一、三、四象限，y＝（a≠0）在二、四象限，只有D符合；
故选：D．
2．（2019•阜新）如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，点C在y轴上，则△ABC的面积为（ ）
A．3 B．2 C． D．1
【解答】解：连结OA，如图，
∵AB⊥x轴，
∴OC∥AB，
∴S△OAB＝S△CAB，
而S△OAB＝|k|＝，
∴S△CAB＝，
故选：C．
3．（2019•朝阳）若点A（﹣1，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y2＜y1
【解答】解：∵点A（﹣1，y1）、B（﹣2，y2）、C（3，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上，
∴y1＝﹣＝8，y2＝﹣＝4，y3＝﹣，
又∵﹣＜4＜8，
∴y3＜y2＜y1．
故选：D．
4．（2019•营口）如图，A，B是反比例函数y＝（k＞0，x＞0）图象上的两点，过点A，B分别作x轴的平行线交y轴于点C，D，直线AB交y轴正半轴于点E．若点B的横坐标为5，CD＝3AC，cos∠BED＝，则k的值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．
【解答】解：∵BD∥x轴，
∴∠EDB＝90°，
∵cos∠BED＝＝，
∴设DE＝3a，BE＝5a，
∴BD＝＝＝4a，
∵点B的横坐标为5，
∴4a＝5，则a＝，
∴DE＝，
设AC＝b，则CD＝3b，
∵AC∥BD，
∴＝＝＝，
∴EC＝b，
∴ED＝3b+b＝，
∴＝，则b＝1，
∴AC＝1，CD＝3，
设B点的纵坐标为n，
∴OD＝n，则OC＝3+n，
∵A（1，3+n），B（5，n），
∴A，B是反比例函数y＝（k＞0，x＞0）图象上的两点，
∴k＝1×（3+n）＝5n，
解得k＝，
故选：D．
5．（2019•莱芜区）如图，直线l与x轴，y轴分别交于A，B两点，且与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点C，若S△AOB＝S△BOC＝1，则k＝（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：如图，作CD⊥x轴于D，设OB＝a（a＞0）．
∵S△AOB＝S△BOC，
∴AB＝BC．
∵△AOB的面积为1，
∴OA•OB＝1，
∴OA＝，
∵CD∥OB，AB＝BC，
∴OD＝OA＝，CD＝2OB＝2a，
∴C（，2a），
∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点C，
∴k＝×2a＝4．
故选：D．
6．（2019•遵义）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为4，2，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A，B两点，若菱形ABCD的面积为2，则k的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【解答】解：过点A作x轴的垂线，交CB的延长线于点E，
∵A，B两点在反比例函数y＝（x＞0）的图象，且纵坐标分别为4，2，
∴A（，4），B（，2），
∴AE＝2，BE＝k﹣k＝k，
∵菱形ABCD的面积为2，
∴BC×AE＝2，即BC＝，
∴AB＝BC＝，
在Rt△AEB中，BE＝＝1
∴k＝1，
∴k＝4．
故选：C．
7、（呼和浩特）如图，平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与双曲线在第一象限内交于点B，BC丄x轴于点C，OC=2AO．则双曲线的解析式为 ．
解：由直线与x轴交于点A的坐标为（﹣1，0），
∴OA=1．
又∵OC=2OA，
∴OC=2，
∴点B的横坐标为2，
代入直线，得y=，
∴B（2，）．
∵点B在双曲线上，
∴k=xy=2×=3，
∴双曲线的解析式为y=．
8．（2019•西藏）已知点A是直线y＝2x与双曲线y＝（m为常数）一支的交点，过点A作x轴的垂线，垂足为B，且OB＝2，则m的值为（ ）
A．﹣7 B．﹣8 C．8 D．7
【解答】解：由题意，可知点A的横坐标是±2，由点A在正比例函数y＝2x的图象上，
∴点A的坐标为（2，4）或（﹣2，﹣4），
又∵点A在反比例函数y＝（m为常数）的图象上，
∴m+1＝8，即m＝7，
故选：D．
9、（2019•鸡西）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形OABC的顶点A在反比例函数y＝上，顶点B在反比例函数y＝上，点C在x轴的正半轴上，则平行四边形OABC的面积是（ ）
A． B． C．4 D．6
【解答】解：如图作BD⊥x轴于D，延长BA交y轴于E，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AB∥OC，OA＝BC，
∴BE⊥y轴，
∴OE＝BD，
∴Rt△AOE≌Rt△CBD（HL），
根据系数k的几何意义，S矩形BDOE＝5，S△AOE＝，
∴四边形OABC的面积＝5﹣﹣＝4，
故选：C．
10、（2019•天门）反比例函数y＝﹣，下列说法不正确的是（ ）
A．图象经过点（1，﹣3） B．图象位于第二、四象限
C．图象关于直线y＝x对称 D．y随x的增大而增大
【解答】解：由点（1，﹣3）的坐标满足反比例函数y＝﹣，故A是正确的；
由k＝﹣3＜0，双曲线位于二、四象限，故B也是正确的；
由反比例函数图象的对称性，可知反比例函数y＝﹣的图象关于y＝x对称是正确的，故C也是正确的，
由反比例函数的性质，k＜0，在每个象限内，y随x的增大而增大，不在同一象限，不具有此性质，故D是不正确的，
故选：D．
11、（2019•泸州）如图，一次函数y1＝ax+b和反比例函数y2＝的图象相交于A，B两点，则使y1＞y2成立的x取值范围是（ ）
A．﹣2＜x＜0或0＜x＜4 B．x＜﹣2或0＜x＜4
C．x＜﹣2或x＞4 D．﹣2＜x＜0或x＞4
【解答】解：观察函数图象可发现：当x＜﹣2或0＜x＜4时，一次函数图象在反比例函数图象上方，
∴使y1＞y2成立的x取值范围是x＜﹣2或0＜x＜4．
故选：B．
12、（2019•咸宁）在平面直角坐标系中，将一块直角三角板如图放置，直角顶点与原点O重合，顶点A，B恰好分别落在函数y＝﹣（x＜0），y＝（x＞0）的图象上，则sin∠ABO的值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：过点A、B分别作AD⊥x轴，BE⊥x轴，垂足为D、E，
∵点A在反比例函数y＝﹣（x＜0）上，点B在y＝（x＞0）上，
∴S△AOD＝，S△BOE＝2，
又∵∠AOB＝90°
∴∠AOD＝∠OBE，
∴△AOD∽△OBE，
∴（）2＝，
∴
设OA＝m，则OB＝2m，AB＝，
在RtAOB中，sin∠ABO＝
故选：D．
13、（2019•宿迁）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点A与原点O重合，顶点B落在x轴的正半轴上，对角线AC、BD交于点M，点D、M恰好都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．
【解答】解：设D（m，），B（t，0），
∵M点为菱形对角线的交点，
∴BD⊥AC，AM＝CM，BM＝DM，
∴M（，），
把M（，）代入y＝得•＝k，
∴t＝3m，
∵四边形ABCD为菱形，
∴OD＝AB＝t，
∴m2+（）2＝（3m）2，解得k＝2m2，
∴M（2m，m），
在Rt△ABM中，tan∠MAB＝＝＝，
∴＝．
故选：A．
14、（2019•株洲）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C为反比例函数y＝（k＞0）上不同的三点，连接OA、OB、OC，过点A作AD⊥y轴于点D，过点B、C分别作BE，CF垂直x轴于点E、F，OC与BE相交于点M，记△AOD、△BOM、四边形CMEF的面积分别为S1、S2、S3，则（ ）
A．S1＝S2+S3 B．S2＝S3 C．S3＞S2＞S1 D．S1S2＜S32
【解答】解：∵点A、B、C为反比例函数y＝（k＞0）上不同的三点，AD⊥y轴，BE，CF垂直x轴于点E、F，
∴S1＝k，S△BOE＝S△COF＝k，
∵S△BOE﹣SOME＝S△CDF﹣S△OME，
∴S3＝S2，
故选：B．
15、（2019•无锡）如图，已知A为反比例函数y＝（x＜0）的图象上一点，过点A作AB⊥y轴，垂足为B．若△OAB的面积为2，则k的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
【解答】解：
∵AB⊥y轴，
∴S△OAB＝|k|，
∴|k|＝2，
∵k＜0，
∴k＝﹣4．
故选：D．
16、（2019•滨州）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴的正半轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过对角线OB的中点D和顶点C．若菱形OABC的面积为12，则k的值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3[来源:学科网ZXXK]
【解答】解：设点A的坐标为（a，0），点C的坐标为（c，），
则，点D的坐标为（），
∴，
解得，k＝4，
故选：C．
17、（2019•重庆）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，点A（10，0），sin∠COA＝．若反比例函数y＝（k＞0，x＞0）经过点C，则k的值等于（ ）
A．10 B．24 C．48 D．50
【解答】解：如图，过点C作CE⊥OA于点E，
∵菱形OABC的边OA在x轴上，点A（10，0），
∴OC＝OA＝10，
∵sin∠COA＝＝．
∴CE＝8，
∴OE＝＝6
∴点C坐标（6，8）
∵若反比例函数y＝（k＞0，x＞0）经过点C，
∴k＝6×8＝48
故选：C．
18、（2019•抚顺）如图，矩形ABCD的顶点A，C在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，若点A的坐标为（3，4），AB＝2，AD∥x轴，则点C的坐标为 ．
【解答】解：∵点A的坐标为（3，4），AB＝2，
∴B（3，2），
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∵AD∥x轴，
∴BC∥x轴，
∴C点的纵坐标为2，
设C（x，2），
∵矩形ABCD的顶点A，C在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，
∴k＝2x＝3×4，
∴x＝6，
∴C（6，2），
故答案为（6，2）．
19、（2019•沈阳）如图，正比例函数y1＝k1x的图象与反比例函数y2＝（x＞0）的图象相交于点A（，2），点B是反比例函数图象上一点，它的横坐标是3，连接OB，AB，则△AOB的面积是 ．
【解答】解：（1）∵正比例函数y1＝k1x的图象与反比例函数y2＝（x＞0）的图象相交于点A（，2），
∴2＝k1，2＝，
∴k1＝2，k2＝6，
∴正比例函数为y＝2x，反比例函数为：y＝，
过点B作BD∥x轴交OA于点D，
∵点B是反比例函数图象上一点，它的横坐标是3，
∴y＝＝2，
∴B（3，2），
∴D（1，2），
∴BD＝3﹣1＝2．
∴S△AOB＝S△ABD+S△OBD＝×2×（2﹣2）+×2×2＝2，
故答案为2．
20、（2019•齐齐哈尔）如图，矩形ABOC的顶点B、C分别在x轴，y轴上，顶点A在第二象限，点B的坐标为（﹣2，0）．将线段OC绕点O逆时针旋转60°至线段OD，若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过A、D两点，则k值为 ．
【解答】解：过点D作DE⊥x轴于点E，
∵点B的坐标为（﹣2，0），
∴AB＝﹣，
∴OC＝﹣，
由旋转性质知OD＝OC＝﹣、∠COD＝60°，
∴∠DOE＝30°，
∴DE＝OD＝﹣k，OE＝ODcos30°＝×（﹣）＝﹣k，
即D（k，﹣k），
∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过D点，
∴k＝（k）（﹣k）＝﹣k2，
解得：k＝0（舍）或k＝﹣，
故答案为：﹣．
21、（2019•北京）在平面直角坐标系xOy中，点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线y＝上，点A关于x轴的对称点B在双曲线y＝，则k1+k2的值为 ．
【解答】解：∵点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线y＝上，
∴k1＝ab；
又∵点A与点B关于x轴的对称，
∴B（a，﹣b）
∵点B在双曲线y＝上，
∴k2＝﹣ab；
∴k1+k2＝ab+（﹣ab）＝0；
故答案为：0．
22、（ 广东）如图，已知A（﹣4，），B（﹣1，2）是一次函数y=kx+b与反比例函数y=（m≠0，m＜0）图象的两个交点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D．
（1）根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数大于反比例函数的值？
（2）求一次函数解析式及m的值；
（3）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．
解：（1）由图象得一次函数图象在上的部分，﹣4＜x＜﹣1，
当﹣4＜x＜﹣1时，一次函数大于反比例函数的值；
（2）设一次函数的解析式为y=kx+b，
y=kx+b的图象过点（﹣4，），（﹣1，2），则
，
解得
一次函数的解析式为y=x+，
反比例函数y=图象过点（﹣1，2），
m=﹣1×2=﹣2
（3）连接PC、PD，如图，
设P（x，x+）
由△PCA和△PDB面积相等得
（x+4）=|﹣1|×（2﹣x﹣），
x=﹣，y=x+=，
∴P点坐标是（﹣，）
23、（菏泽）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=﹣x的图象与反比例函数的图象交于A、B两点．
①根据图象求k的值；
②点P在y轴上，且满足以点A、B、P为顶点的三角形是直角三角形，试写出点P所有可能的坐标．
解答：解：①把x=﹣1代入y=﹣x得：y=1，
即A的坐标是（﹣1，1），
∵反比例函数y=经过A点，
∴k=﹣1×1=﹣1；
②点P的所有可能的坐标是（0，），（0，﹣），（0，2），（0，﹣2）．
五、 二次函数
1、二次函数的平移口诀：左加右减、上加下减
2、二次函数的 顶点坐标（、）
3、二次函数a、b、c 的符号
a看开口方向，向上=a大于0，反之a小于0
C看与y轴交点，交点在y轴正半轴=C大于0，
在y轴负半轴=C小于0，
图像过原点c=0
b用对称轴在y轴左右和a的符号判断
a+b+c==让x的值为1，所对应y的值;
a-b+c==让x的值为--1，所对应y的值
的符号，看图像与X轴的交点个数确定，
两个==大于0
一个==等于0；
无交点===小于0
4、二次函数中
（1）求两线段的和最小（周长最短） 《=》先找一个定点关于动点所在直线对称点，连接对称点与另一定点的线段就是所求（若求动点的坐标，把动点所在直线的值代入即可） [来源:学*科*网Z*X*X*K]
（2）求一条线段的最大值（面积最大）《=》用大值减小值
(在x轴上用点的横坐标相减；在y轴上用点的纵坐标相减）
（3）形成特殊三角形：等腰三角形和直角三角形
解题思路是：用字母分别表示出构成三角形的三边的长度，
构成等腰三角形：分别让三边中的两条边两两相等；
构成直角三角形：分别让三边为斜边，根据勾股定理列出方程，即可。
若题目中有特殊要求的，按题目中的要求去做。
（4）形成相似三角形：相似三角形存在的形式一般有：A字型和旋转型两种。
解题思路是：一般是利用两角对应相等，两三角形相似。判断角相等一般找公共角或线平行；特殊情况要依据：对应边成比例且夹角相等进行判定。
（5）形成特殊平行四边形： 解题思路是：利用特殊平行四边形对边分别相等且平行的性质进行判断。
讨论：动点所在的线段为对边和对角线两种情况。
中考在线：
1、（2019•雅安）在平面直角坐标系中，对于二次函数y＝（x﹣2）2+1，下列说法中错误的是（ ）
A．y的最小值为1
B．图象顶点坐标为（2，1），对称轴为直线x＝2
C．当x＜2时，y的值随x值的增大而增大，当x≥2时，y的值随x值的增大而减小
D．它的图象可以由y＝x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到
【解答】解：二次函数y＝（x﹣2）2+1，a＝1＞0，
∴该函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点为（2，1），当x＝2时，y有最小值1，当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，当x＜2时，y的值随x值的增大而减小；
故选项A、B的说法正确，C的说法错误；
根据平移的规律，y＝x2的图象向右平移2个单位长度得到y＝（x﹣2）2，再向上平移1个单位长度得到y＝（x﹣2）2+1；
故选项D的说法正确，
故选：C．
2、（2019•朝阳）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现给出下列结论：
①abc＞0；②9a+3b+c＝0；③b2﹣4ac＜8a；④5a+b+c＞0．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：①由图象可知：a＞0，c＜0，
∴由于对称轴＞0，
∴b＜0，
∴abc＞0，故①正确；
②抛物线过（3，0），
∴x＝3，y＝9a+3b+c＝0，故②正确；
③顶点坐标为：（，）
由图象可知：＜﹣2，
∵a＞0，
∴4ac﹣b2＜﹣8a，
即b2﹣4ac＞8a，故③错误；
④由图象可知：＞1，a＞0，
∴2a+b＜0，
∵9a+3b+c＝0，
∴c＝﹣9a﹣3b，
∴5a+b+c＝5a+b﹣9a﹣3b＝﹣4a﹣2b＝﹣2（2a+b）＞0，故④正确；
故选：C．
3、（2019•西藏）把函数y＝﹣x2的图象，经过怎样的平移变换以后，可以得到函数y＝﹣（x﹣1）2+1的图象（ ）
A．向左平移1个单位，再向下平移1个单位
B．向左平移1个单位，再向上平移1个单位
C．向右平移1个单位，再向上平移1个单位
D．向右平移1个单位，再向下平移1个单位
【解答】解：抛物线y＝﹣x2的顶点坐标是（0，0），抛物线线y＝﹣（ x﹣1）2+1的顶点坐标是（1，1），
所以将顶点（0，0）向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到顶点（1，1），
即将函数y＝﹣x2的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到函数y＝﹣（x﹣1）2+1的图象．
故选：C．
4、（2019•河南）已知抛物线y＝﹣x2+bx+4经过（﹣2，n）和（4，n）两点，则n的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．4
【解答】解：抛物线y＝﹣x2+bx+4经过（﹣2，n）和（4，n）两点，
可知函数的对称轴x＝1，
∴＝1，
∴b＝2；
∴y＝﹣x2+2x+4，
将点（﹣2，n）代入函数解析式，可得n＝﹣4；
故选：B．
5、（2019•呼和浩特）二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax+a在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：由一次函数y＝ax+a可知，一次函数的图象与x轴交于点（﹣1，0），排除A、B；
当a＞0时，二次函数y＝ax2开口向上，一次函数y＝ax+a经过一、二、三象限，当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、三、四象限，排除C；
故选：D．
6、（2019•烟台）已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表：
x
﹣1
0
2
3
4
y
5
0
﹣4
﹣3
0
下列结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线x＝2；③当0＜x＜4时，y＞0；④抛物线与x轴的两个交点间的距离是4；⑤若A（x1，2），B（x2，3）是抛物线上两点，则x1＜x2，其中正确的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：设抛物线解析式为y＝ax（x﹣4），
把（﹣1，5）代入得5＝a×（﹣1）×（﹣1﹣4），解得a＝1，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x，所以①正确；
抛物线的对称轴为直线x＝2，所以②正确；
∵抛物线与x轴的交点坐标为（0，0），（4，0），
∴当0＜x＜4时，y＜0，所以③错误；
抛物线与x轴的两个交点间的距离是4，所以④正确；
若A（x1，2），B（x2，3）是抛物线上两点，则|x2﹣2|＞|x1﹣2|，所以⑤错误．
故选：B．
7、（2019•长春）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax+（a＞0）与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于点M．P为抛物线的顶点．若直线OP交直线AM于点B，且M为线段AB的中点，则a的值为 ．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax+（a＞0）与y轴交于点A，
∴A（0，），抛物线的对称轴为x＝1
∴顶点P坐标为（1，﹣a），点M坐标为（2，）
∵点M为线段AB的中点，
∴点B坐标为（4，）
设直线OP解析式为y＝kx（k为常数，且k≠0）
将点P（1，）代入得＝k
∴y＝（）x[来源:Zxxk.Com]
将点B（4，）代入得＝（）×4
解得a＝2
故答案为：2．
8、（2019•天水）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，若M＝4a+2b，N＝a﹣b．则M、N的大小关系为M N．（填“＞”、“＝”或“＜”）
【解答】解：当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，
当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，
M﹣N＝4a+2b﹣（a﹣b）
＝4a+2b+c﹣（a﹣b+c）＜0，
即M＜N，
故答案为：＜
9、（2019•潍坊）如图，直线y＝x+1与抛物线y＝x2﹣4x+5交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点，当△PAB的周长最小时，S△PAB＝ ．
【解答】解：，
解得，或，
∴点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（4，5），
∴AB＝＝3，
作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B与y轴的交于P，则此时△PAB的周长最小，
点A′的坐标为（﹣1，2），点B的坐标为（4，5），
设直线A′B的函数解析式为y＝kx+b，
，得，
∴直线A′B的函数解析式为y＝x+，
当x＝0时，y＝，
即点P的坐标为（0，），
将x＝0代入直线y＝x+1中，得y＝1，
∵直线y＝x+1与y轴的夹角是45°，
∴点P到直线AB的距离是：（﹣1）×sin45°＝＝，
∴△PAB的面积是：＝，
故答案为：．
10、（2019•永州）如图，已知抛物线经过两点A（﹣3，0），B（0，3），且其对称轴为直线x＝﹣1．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点P是抛物线上点A与点B之间的动点（不包括点A，点B），求△PAB的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线对称轴是直线x＝﹣1且经过点A（﹣3，0）
由抛物线的对称性可知：抛物线还经过点（1，0）
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0）
即：y＝a（x﹣1）（x+3）
把B（0，3）代入得：3＝﹣3a
∴a＝﹣1
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3．
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∵A（﹣3，0），B（0，3），
∴，
∴直线AB为y＝x+3，
作PQ⊥x轴于Q，交直线AB于M，
设P（x，﹣x2﹣2x+3），则M（x，x+3），
∴PM＝﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x，
∴S＝（﹣x2﹣3x）×3＝﹣（x+）2+．
当x＝﹣时，S最大＝，y＝﹣（﹣）2﹣2×（﹣）+3＝，
∴△PAB的面积的最大值为，此时点P的坐标为（﹣，）
11、（2018•岳阳）已知抛物线F：y＝x2+bx+c的图象经过坐标原点O，且与x轴另一交点为（﹣，0）．
（1）求抛物线F的解析式；
（2）如图1，直线l：y＝x+m（m＞0）与抛物线F相交于点A（x1，y1）和点B（x2，y2）（点A在第二象限），求y2﹣y1的值（用含m的式子表示）；
（3）在（2）中，若m＝，设点A′是点A关于原点O的对称点，如图2．
①判断△AA′B的形状，并说明理由；
②平面内是否存在点P，使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c的图象经过点（0，0）和（﹣，0），
∴，解得：，
∴抛物线F的解析式为y＝x2+x．
（2）将y＝x+m代入y＝x2+x，得：x2＝m，
解得：x1＝﹣，x2＝，
∴y1＝﹣+m，y2＝+m，
∴y2﹣y1＝（+m）﹣（﹣+m）＝（m＞0）．
（3）∵m＝，
∴点A的坐标为（﹣，），点B的坐标为（，2）．
∵点A′是点A关于原点O的对称点，
∴点A′的坐标为（，﹣）．
①△AA′B为等边三角形，理由如下：
∵A（﹣，），B（，2），A′（，﹣），
∴AA′＝，AB＝，A′B＝，
∴AA′＝AB＝A′B，
∴△AA′B为等边三角形．
②∵△AA′B为等边三角形，
∴存在符合题意的点P，且以点A、B、A′、P为顶点的菱形分三种情况，设点P的坐标为（x，y）．
（i）当A′B为对角线时，有，
解得：，
∴点P的坐标为（2，）；
（ii）当AB为对角线时，有，
解得：，
∴点P的坐标为（﹣，）；
（iii）当AA′为对角线时，有，
解得：，
∴点P的坐标为（﹣，﹣2）．
综上所述：平面内存在点P，使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形，点P的坐标为（2，）、（﹣，）和（﹣，﹣2）．
12、（2017•雅安）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c的图象经过点A（1，0），B（﹣3，0），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴与x轴相交于点E，连接BD．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若点P在直线BD上，当PE＝PC时，求点P的坐标．
（3）在（2）的条件下，作PF⊥x轴于F，点M为x轴上一动点，N为直线PF上一动点，G为抛物线上一动点，当以点F，N，G，M四点为顶点的四边形为正方形时，求点M的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c的图象经过点A（1，0），B（﹣3，0），
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3；
（2）由（1）知，抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3；
∴C（0，﹣3），抛物线的顶点D（﹣1，﹣4），
∴E（﹣1，0），
设直线BD的解析式为y＝mx+n，
∴，
∴，
∴直线BD的解析式为y＝﹣2x﹣6，
设点P（a，﹣2a﹣6），
∵C（0，﹣3），E（﹣1，0），
根据勾股定理得，PE2＝（a+1）2+（﹣2a﹣6）2，PC2＝a2+（﹣2a﹣6+3）2，
∵PC＝PE，
∴（a+1）2+（﹣2a﹣6）2＝a2+（﹣2a﹣6+3）2，
∴a＝﹣2，
∴y＝﹣2×（﹣2）﹣6＝﹣2，
∴P（﹣2，﹣2），
（3）如图，作PF⊥x轴于F，
∴F（﹣2，0），
设M（d，0），
∴G（d，d2+2d﹣3），N（﹣2，d2+2d﹣3），
∵以点F，N，G，M四点为顶点的四边形为正方形，必有FM＝MG，
∴|d+2|＝|d2+2d﹣3|，
∴d＝或d＝，
∴点M的坐标为（，0），（，0），（，0），（，0）．
13．（2017•巴中）如图，已知两直线l1，l2分别经过点A（1，0），点B（﹣3，0），且两条直线相交于y轴的正半轴上的点C，当点C的坐标为（0，）时，恰好有l1⊥l2，经过点A、B、C的抛物线的对称轴与l1、l2、x轴分别交于点G、E、F，D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）试说明DG与DE的数量关系？并说明理由；
（3）若直线l2绕点C旋转时，与抛物线的另一个交点为M，当△MCG为等腰三角形时，请直接写出点M的坐标．
【解答】解：（1）设抛物线的函数解析式为y＝ax2+bx+c．
∵点A（1，0），点B（﹣3，0），点C（0，）在抛物线上，
∴，解得，
∴抛物线的函数解析式为y＝﹣x2﹣x+；
（2）DG＝DE．理由如下：
设直线l1的解析式为y＝k1x+b1，将A（1，0），C（0，）代入，解得y＝﹣x+；
设直线l2的解析式为y＝k2x+b2，将B（﹣3，0），C（0，）代入，解得y＝x+；
∵抛物线与x轴的交点为A（1，0），B（﹣3，0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
又∵点G、D、E均在对称轴上，
∴G（﹣1，2），D（﹣1，），E（﹣1，），
∴DG＝2﹣＝，DE＝﹣＝，
∴DG＝DE；
（3）若直线l2绕点C旋转时，与抛物线的另一个交点为M，当△MCG为等腰三角形时，分三种情况：
①以G为圆心，GC为半径画弧交抛物线于点M1、C，点M1与C关于抛物线的对称轴对称，则M1的坐标为（﹣2，）；
②以C为圆心，GC为半径画弧交抛物线于点M2、M3，点M2与点A重合，点A、C、G在一条直线上，不能构成三角形，M3与M1重合；
③作线段GC的垂直平分线，交抛物线于点M4、M5，点M4与点D重合，点D的坐标为（﹣1，），M5与M1重合；
综上所述，满足条件的点M只有两个，其坐标分别为（﹣2，），（﹣1，）．
03 基本函数
知识点包含：平面直角坐标系的定义、平面直角坐标系各象限点的特点、点到坐标轴的距离
坐标系内点关于坐标轴的对称点的求法、一次函数的解析式（图像、性质）
一次函数图像与不等式解集、一次函数与行程问题、
反比例函数的解析式（图像、性质）、一次函数与反比例函数综合
二次函数的解析式（图像、性质）、图像的平移、
知识点清单：
一、平面直角坐标系定义
1、在平面内画两条互相垂直且有公共原点 的两条数轴，就组成了平面直角坐标系．
2、平面直角坐标系中各象限点的特点：第一象限（+、+）、第二象限（—、+）
第三象限（—、—）、第四象限（+、—）
坐标轴上点的特点：横轴上的点的纵坐标为0 ；纵轴上的点的横坐标为0
3、平面直角坐标系中的点到坐标轴的距离：
到x轴距离是：点的纵坐标的绝对值
到y轴距离是：点的横坐标的绝对值
到原点距离是：点的横纵坐标平方和的算术平方根（勾股定理）
4、平面直角坐标系中的点关于坐标轴对称点的求法：口诀：关于谁谁不变；关于原点全改变
5、平行于x轴，y轴的直线上点的坐标特征：
平行于x轴的直线上点的纵坐标相同；平行于y轴的直线上点的横坐标相同
中考在线：
1、在平面直角坐标系中，点P（﹣2，x2+1）所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据非负数的性质确定出点P的纵坐标是正数，然后根据各象限内点的坐标特征解答．
【解答】解：∵x2≥0，
∴x2+1≥1，
∴点P（﹣2，x2+1）在第二象限．
故选：B．
2．（2018•东营）在平面直角坐标系中，若点P（m﹣2，m+1）在第二象限，则m的取值范围是（ ）
A．m＜﹣1 B．m＞2 C．﹣1＜m＜2 D．m＞﹣1
【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数列出不等式组求解即可．
【解答】解：∵点P（m﹣2，m+1）在第二象限，
∴，
解得﹣1＜m＜2．
故选：C．
3．（2018•扬州）在平面直角坐标系的第二象限内有一点M，点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则点M的坐标是（ ）
A．（3，﹣4） B．（4，﹣3） C．（﹣4，3） D．（﹣3，4）
【分析】根据第二象限内点的坐标特征，可得答案．
【解答】解：由题意，得
x=﹣4，y=3，
即M点的坐标是（﹣4，3），
故选：C．
4、（2018•柳州）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是 ．
【解答】解：由坐标系可得：点A的坐标是（﹣2，3）．
故答案为：（﹣2，3）．
5、若点A（a-2，3）和点B（-1，b+5）关于y轴对称，则点C（a，b）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D．
【解析】
试题解析：点A（a-2，3）和点B（-1，b+5）关于y轴对称，得
a-2=1，b+5=3．
解得a=3，b=-2．
则点C（a，b）在第四象限，
故选D．
二：函数
1、函数的定义：一般地，在某个变化过程中，有两 个变量x、y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。
2、函数常用的三种表示方法是：表格法、解析式法、图像法
技巧：函数的判定方法为：给自变量一个值，看因变量有一个值相对应就是函数，否则不是。
中考在线：
1、（2018•随州）“龟兔赛跑”这则寓言故事讲述的是比赛中兔子开始领先，但它因为骄傲在途中睡觉，而乌龟一直坚持爬行最终贏得比赛，下列函数图象可以体现这一故事过程的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据兔子的路程在一段时间内保持不变、乌龟比兔子所用时间少逐一判断即可得．
【解答】解：由于兔子在图中睡觉，所以兔子的路程在一段时间内保持不变，所以D选项错误；
因为乌龟最终赢得比赛，即乌龟比兔子所用时间少，所以A、C均错误；
故选：B．
2、（2018•广元）小明和小华是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7：40先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公交汽车到了学校．如图是他们从家到学校已走的路程s（米）和所用时间t（分钟）的关系图．则下列说法中错误的是（ ）
A．小明吃早餐用时5分钟
B．小华到学校的平均速度是240米/分
C．小明跑步的平均速度是100米/分
D．小华到学校的时间是7：55
【解答】解：A、小明吃早餐用时13﹣8＝5分钟，此选项正确；
B、小华到学校的平均速度是1200÷（13﹣8）＝240（米/分），此选项正确；
C、小明跑步的平均速度是（1200﹣500）÷（20﹣13）＝100（米/分），此选项正确；
D、小华到学校的时间是7：53，此选项错误；
故选：D．
三：一次函数
1、点在函数图像上（或函数图像过点）即：可把点的横坐标代入解析式中的自变量，纵坐标代入因变量。一般为见x换点的横坐标，见y换点的纵坐标
2、一次函数图像与x轴的交点坐标为：让一次函数解析式中的y值为0，求出x值；
与y轴的交点坐标为：让一次函数解析式中的x值为0，求出y值(就是解析式中b的值）；
3、判断一次函数y=kx+b（k≠0）所过象限：
看k判断大方向，（k＞0，过一、三；k＜0，过二、四）
看b是把图像向上或向下平移（b＞0向上平移；b＜0向下平移）
4、 两个一次函数的图像平行，说明两函数解析式的K值相等（图像平移前后也说明k值相等，5、平移口诀：左加右减，上加下减）
6、用待定系数法求一次函数解析式：
关键：确定一次函数y= kx+ b中的字母 与 的值
步骤：1、设一次函数表达式
2、将x，y的对应值或点的坐标代入表达式
3、解关于系数的方程或方程组
4、将所求的待定系数代入所设函数表达式中
7、一次函数与不等式求参数步骤：
若只有一个函数：让y=0，求得x的值（x的值为图像与x轴的交点坐标）
找到满足条件的y值(大于0找x轴上方；小于0找x轴下方）
若有两个函数：先找到两函数图像交点坐标（或把两函数解析式联立方程组求解）
利用捂交点法：谁的值大，谁的图像在上，进行判断，写出相对应的x值
函数常用方法：
1、两函数图像有交点 《=》两函数解析式组成的方程组，就是交点坐标
2、函数值比较大小 《=》
利用捂交点的方法，谁大谁的图像在上面，得到的自变量的取值
3、一次函数与反比例函数的图像与坐标轴围成的三角形面积求法
《=》以一次函数图像在y轴的截距为底
4、正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称
中考在线：
1、（2018•常德）若一次函数y=（k﹣2）x+1的函数值y随x的增大而增大，则（ ）
A．k＜2 B．k＞2 C．k＞0 D．k＜0
【分析】根据一次函数的性质，可得答案．
【解答】解：由题意，得
k﹣2＞0，
解得k＞2，
故选：B．
2．（2018•湘西州）一次函数y=x+2的图象与y轴的交点坐标为（ ）
A．（0，2） B．（0，﹣2） C．（2，0） D．（﹣2，0）
【分析】代入x=0求出y值，进而即可得出发一次函数y=x+2的图象与y轴的交点坐标．
【解答】解：当x=0时，y=x+2=0+2=2，
∴一次函数y=x+2的图象与y轴的交点坐标为（0，2）．
故选：A．
3．（2018•娄底）将直线y=2x﹣3向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，所得的直线的表达式为（ ）
A．y=2x﹣4 B．y=2x+4 C．y=2x+2 D．y=2x﹣2
【分析】根据平移的性质“左加右减，上加下减”，即可找出平移后的直线解析式，此题得解．
【解答】解：y=2（x﹣2）﹣3+3=2x﹣4．
化简，得
y=2x﹣4，
故选：A．
4、（2019•鞍山）如图，若一次函数y＝﹣2x+b的图象与两坐标轴分别交于A，B两点，点A的坐标为（0，3），则不等式﹣2x+b＞0的解集为（ ）
A．x＞ B．x＜ C．x＞3 D．x＜3
【解答】解：∵一次函数y＝﹣2x+b的图象交y轴于点A（0，3），
∴b＝3，
令y＝﹣2x+3中y＝0，则﹣2x+3＝0，解得：x＝，
∴点B（，0）．
观察函数图象，发现：
当x＜时，一次函数图象在x轴上方，
∴不等式﹣2x+b＞0的解集为x＜．
故选：B．
5、（2019•辽阳）若ab＜0且a＞b，则函数y＝ax+b的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵ab＜0，且a＞b，
∴a＞0，b＜0，
∴函数y＝ax+b的图象经过第一、三、四象限．
故选：A．
6、（2019•陕西）在平面直角坐标系中，将函数y＝3x的图象向上平移6个单位长度，则平移后的图象与x轴的交点坐标为（ ）
A．（2，0） B．（﹣2，0） C．（6，0） D．（﹣6，0）
【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将函数y＝3x的图象向上平移6个单位长度所得函数的解析式为y＝3x+6，
∵此时与x轴相交，则y＝0，
∴3x+6＝0，即x＝﹣2，
∴点坐标为（﹣2，0），
故选：B．
7、（2019•陕西）若正比例函数y＝﹣2x的图象经过点O（a﹣1，4），则a的值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【解答】解：∵正比例函数y＝﹣2x的图象经过点O（a﹣1，4），
∴4＝﹣2（a﹣1），解得：a＝﹣1．
故选：A．
8、（2019•通辽）如图，直线y＝kx+b（k≠0）经过点（﹣1，3），则不等式kx+b≥3的解集为（ ）
A．x＞﹣1 B．x＜﹣1 C．x≥3 D．x≥﹣1
【解答】解：观察图象知：当x≥﹣1时，kx+b≥3，
故选：D．
9、（2018•湘潭）若b＞0，则一次函数y=﹣x+b的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据一次函数的k、b的符号确定其经过的象限即可确定答案．
【解答】解：∵一次函数y=x+b中k=﹣1＜0，b＞0，
∴一次函数的图象经过一、二、四象限，
故选：C．
10、（2018•包头）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=﹣x+1与x轴，y轴分别交于点A和点B，直线l2：y=kx（k≠0）与直线l1在第一象限交于点C．若∠BOC=∠BCO，则k的值为（ ）
A． B． C． D．2
【分析】利用直线l1：y=﹣x+1，即可得到A（2，0）B（0，1），AB==3，过C作CD⊥OA于D，依据CD∥BO，可得OD=AO=，CD=BO=，进而得到C（，），代入直线l2：y=kx，可得k=．
【解答】解：直线l1：y=﹣x+1中，令x=0，则y=1，令y=0，则x=2，
即A（2，0）B（0，1），
∴Rt△AOB中，AB==3，
如图，过C作CD⊥OA于D，
∵∠BOC=∠BCO，
∴CB=BO=1，AC=2，
∵CD∥BO，
∴OD=AO=，CD=BO=，
即C（，），
把C（，）代入直线l2：y=kx，可得
=k，
即k=，
故选：B．
11、（2018•咸宁）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列结论：
①甲步行的速度为60米/分；
②乙走完全程用了32分钟；
③乙用16分钟追上甲；
④乙到达终点时，甲离终点还有300米[来源:学科网]
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：由图可得，
甲步行的速度为：240÷4=60米/分，故①正确，
乙走完全程用的时间为：2400÷（16×60÷12）=30（分钟），故②错误，
乙追上甲用的时间为：16﹣4=12（分钟），故③错误，
乙到达终点时，甲离终点距离是：2400﹣（4+30）×60=360米，故④错误，
故选：A．
12．（2018•陕西）若直线l1经过点（0，4），l2经过点（3，2），且l1与l2关于x轴对称，则l1与l2的交点坐标为（ ）
A．（﹣2，0） B．（2，0） C．（﹣6，0） D．（6，0）
【分析】根据对称的性质得出两个点关于x轴对称的对称点，再根据待定系数法确定函数关系式，求出一次函数与x轴的交点即可．
【解答】解：∵直线l1经过点（0，4），l2经过点（3，2），且l1与l2关于x轴对称，
∴两直线相交于x轴上，
∵直线l1经过点（0，4），l2经过点（3，2），且l1与l2关于x轴对称，
∴直线l1经过点（3，﹣2），l2经过点（0，﹣4），
把（0，4）和（3，﹣2）代入直线l1经过的解析式y=kx+b，
则，
解得：，
故直线l1经过的解析式为：y=﹣2x+4，
可得l1与l2的交点坐标为l1与l2与x轴的交点，解得：x=2，
即l1与l2的交点坐标为（2，0）．
故选：B．
13、（2018•郴州）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的一个顶点在原点O处，且∠AOC=60°，A点的坐标是（0，4），则直线AC的表达式是 y=﹣x+4 ．
【分析】根据菱形的性质，可得OC的长，根据三角函数，可得OD与CD，根据待定系数法，可得答案．
【解答】解：如图，
由菱形OABC的一个顶点在原点O处，A点的坐标是（0，4），得
OC=OA=4．
又∵∠1=60°，
∴∠2=30°．
sin∠2==，
∴CD=2．
cos∠2=cos30°==，
OD=2，
∴C（2，2）．
设AC的解析式为y=kx+b，
将A，C点坐标代入函数解析式，得
，
解得，
直线AC的表达式是y=﹣x+4，
故答案为：y=﹣x+4．
14、（2018•温州）如图，直线y=﹣x+4与x轴、y轴分别交于A，B两点，C是OB的中点，D是AB上一点，四边形OEDC是菱形，则△OAE的面积为 2 ．
【分析】延长DE交OA于F，如图，先利用一次函数解析式确定B（0，4），A（4，0），利用三角函数得到∠OBA=60°，接着根据菱形的性质判定△BCD为等边三角形，则∠BCD=∠COE=60°，所以∠EOF=30°，则EF=OE=1，然后根据三角形面积公式计算．
【解答】解：延长DE交OA于F，如图，
当x=0时，y=﹣x+4=4，则B（0，4），
当y=0时，﹣x+4=0，解得x=4，则A（4，0），
在Rt△AOB中，tan∠OBA==，
∴∠OBA=60°，
∵C是OB的中点，
∴OC=CB=2，
∵四边形OEDC是菱形，
∴CD=BC=DE=CE=2，CD∥OE，
∴△BCD为等边三角形，
∴∠BCD=60°，
∴∠COE=60°，
∴∠EOF=30°，
∴EF=OE=1，
△OAE的面积=×4×1=2．
故答案为2．
15、（2017•枣庄）如图，直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，点P为OA上一动点，当PC+PD最小时，点P的坐标为（ ）
A．（﹣3，0） B．（﹣6，0） C．（﹣，0） D．（﹣，0）
【解答】解：（方法一）作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P，此时PC+PD值最小，如图所示．
令y＝x+4中x＝0，则y＝4，
∴点B的坐标为（0，4）；
令y＝x+4中y＝0，则x+4＝0，解得：x＝﹣6，
∴点A的坐标为（﹣6，0）．
∵点C、D分别为线段AB、OB的中点，
∴点C（﹣3，2），点D（0，2）．
∵点D′和点D关于x轴对称，
∴点D′的坐标为（0，﹣2）．
设直线CD′的解析式为y＝kx+b，
∵直线CD′过点C（﹣3，2），D′（0，﹣2），
∴有，解得：，
∴直线CD′的解析式为y＝﹣x﹣2．
令y＝﹣x﹣2中y＝0，则0＝﹣x﹣2，解得：x＝﹣，
∴点P的坐标为（﹣，0）．
故选C．
（方法二）连接CD，作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P，此时PC+PD值最小，如图所示．
令y＝x+4中x＝0，则y＝4，
∴点B的坐标为（0，4）；
令y＝x+4中y＝0，则x+4＝0，解得：x＝﹣6，
∴点A的坐标为（﹣6，0）．
∵点C、D分别为线段AB、OB的中点，
∴点C（﹣3，2），点D（0，2），CD∥x轴，
∵点D′和点D关于x轴对称，
∴点D′的坐标为（0，﹣2），点O为线段DD′的中点．
又∵OP∥CD，
∴点P为线段CD′的中点，
∴点P的坐标为（﹣，0）．
故选：C．
16、（2018•枣庄）如图，直线l是一次函数y＝kx+b的图象，若点A（3，m）在直线l上，则m的值是（ ）
A．﹣5 B． C． D．7
【解答】解：将（﹣2，0）、（0，1）代入，得：
解得：，
∴y＝x+1，
将点A（3，m）代入，得：+1＝m，
即m＝，
故选：C．
17．（2019•枣庄）如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，P是线段AB上任意一点（不包括端点），过点P分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为8，则该直线的函数表达式是（ ）
A．y＝﹣x+4 B．y＝x+4 C．y＝x+8 D．y＝﹣x+8
【解答】解：如图，过P点分别作PD⊥x轴，PC⊥y轴，垂足分别为D、C，
设P点坐标为（x，y），
∵P点在第一象限，
∴PD＝y，PC＝x，
∵矩形PDOC的周长为8，[来源:Zxxk.Com]
∴2（x+y）＝8，
∴x+y＝4，
即该直线的函数表达式是y＝﹣x+4，
故选：A．
18．（2019•枣庄）从﹣1、2、3、﹣6这四个数中任取两数，分别记为m、n，那么点（m，n）在函数y＝图象的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵点（m，n）在函数y＝的图象上，
∴mn＝6．
列表如下：
m
﹣1
﹣1
﹣1
2
2
2
3
3
3
﹣6
﹣6
﹣6
n
2
3
﹣6
﹣1
3
﹣6
﹣1
2
﹣6
﹣1
2
3
mn
﹣2
﹣3
6
﹣2
6
﹣12
﹣3
6
﹣18
6
﹣12
﹣18
mn的值为6的概率是＝．
故选：B．
四：反比例函数
1、定义：形如（k≠0），因为k≠0，且x≠0，所以函数值y也不可能为0。
（k≠0）还可以写成（k≠0）或xy＝k（k≠0）的形式
2、反比例函数 的图象是双曲线. 性质：
当k>0时，双曲线的两支分别在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小，并且第一象限内的y值大于第三象限内的y值；
当k<0时，双曲线的两支分别在第二、四象限，在每一象限内，y的值随x值的增大而增大，并且第二象限内的y值大于第四象限内的y值.
3、反比例函数k与面积的题目：
反比例函数图像上的点与坐标轴围成的矩形面积为 ：
三角形面积为 ：
中考在线：
1．（2019•济南）函数y＝﹣ax+a与y＝（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：a＞0时，﹣a＜0，y＝﹣ax+a在一、二、四象限，y＝在一、三象限，无选项符合．
a＜0时，﹣a＞0，y＝﹣ax+a在一、三、四象限，y＝（a≠0）在二、四象限，只有D符合；
故选：D．
2．（2019•阜新）如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，点C在y轴上，则△ABC的面积为（ ）
A．3 B．2 C． D．1
【解答】解：连结OA，如图，
∵AB⊥x轴，
∴OC∥AB，
∴S△OAB＝S△CAB，
而S△OAB＝|k|＝，
∴S△CAB＝，
故选：C．
3．（2019•朝阳）若点A（﹣1，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y2＜y1
【解答】解：∵点A（﹣1，y1）、B（﹣2，y2）、C（3，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上，
∴y1＝﹣＝8，y2＝﹣＝4，y3＝﹣，
又∵﹣＜4＜8，
∴y3＜y2＜y1．
故选：D．
4．（2019•营口）如图，A，B是反比例函数y＝（k＞0，x＞0）图象上的两点，过点A，B分别作x轴的平行线交y轴于点C，D，直线AB交y轴正半轴于点E．若点B的横坐标为5，CD＝3AC，cos∠BED＝，则k的值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．
【解答】解：∵BD∥x轴，
∴∠EDB＝90°，
∵cos∠BED＝＝，
∴设DE＝3a，BE＝5a，
∴BD＝＝＝4a，
∵点B的横坐标为5，
∴4a＝5，则a＝，
∴DE＝，
设AC＝b，则CD＝3b，
∵AC∥BD，
∴＝＝＝，
∴EC＝b，
∴ED＝3b+b＝，
∴＝，则b＝1，
∴AC＝1，CD＝3，
设B点的纵坐标为n，
∴OD＝n，则OC＝3+n，
∵A（1，3+n），B（5，n），
∴A，B是反比例函数y＝（k＞0，x＞0）图象上的两点，
∴k＝1×（3+n）＝5n，
解得k＝，
故选：D．
5．（2019•莱芜区）如图，直线l与x轴，y轴分别交于A，B两点，且与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点C，若S△AOB＝S△BOC＝1，则k＝（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：如图，作CD⊥x轴于D，设OB＝a（a＞0）．
∵S△AOB＝S△BOC，
∴AB＝BC．
∵△AOB的面积为1，
∴OA•OB＝1，
∴OA＝，
∵CD∥OB，AB＝BC，
∴OD＝OA＝，CD＝2OB＝2a，
∴C（，2a），
∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点C，
∴k＝×2a＝4．
故选：D．
6．（2019•遵义）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为4，2，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A，B两点，若菱形ABCD的面积为2，则k的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【解答】解：过点A作x轴的垂线，交CB的延长线于点E，
∵A，B两点在反比例函数y＝（x＞0）的图象，且纵坐标分别为4，2，
∴A（，4），B（，2），
∴AE＝2，BE＝k﹣k＝k，
∵菱形ABCD的面积为2，
∴BC×AE＝2，即BC＝，
∴AB＝BC＝，
在Rt△AEB中，BE＝＝1
∴k＝1，
∴k＝4．
故选：C．
7、（呼和浩特）如图，平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与双曲线在第一象限内交于点B，BC丄x轴于点C，OC=2AO．则双曲线的解析式为 ．
解：由直线与x轴交于点A的坐标为（﹣1，0），
∴OA=1．
又∵OC=2OA，
∴OC=2，
∴点B的横坐标为2，
代入直线，得y=，
∴B（2，）．
∵点B在双曲线上，
∴k=xy=2×=3，
∴双曲线的解析式为y=．
8．（2019•西藏）已知点A是直线y＝2x与双曲线y＝（m为常数）一支的交点，过点A作x轴的垂线，垂足为B，且OB＝2，则m的值为（ ）
A．﹣7 B．﹣8 C．8 D．7
【解答】解：由题意，可知点A的横坐标是±2，由点A在正比例函数y＝2x的图象上，
∴点A的坐标为（2，4）或（﹣2，﹣4），
又∵点A在反比例函数y＝（m为常数）的图象上，
∴m+1＝8，即m＝7，
故选：D．
9、（2019•鸡西）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形OABC的顶点A在反比例函数y＝上，顶点B在反比例函数y＝上，点C在x轴的正半轴上，则平行四边形OABC的面积是（ ）
A． B． C．4 D．6
【解答】解：如图作BD⊥x轴于D，延长BA交y轴于E，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AB∥OC，OA＝BC，
∴BE⊥y轴，
∴OE＝BD，
∴Rt△AOE≌Rt△CBD（HL），
根据系数k的几何意义，S矩形BDOE＝5，S△AOE＝，
∴四边形OABC的面积＝5﹣﹣＝4，
故选：C．
10、（2019•天门）反比例函数y＝﹣，下列说法不正确的是（ ）
A．图象经过点（1，﹣3） B．图象位于第二、四象限
C．图象关于直线y＝x对称 D．y随x的增大而增大
【解答】解：由点（1，﹣3）的坐标满足反比例函数y＝﹣，故A是正确的；
由k＝﹣3＜0，双曲线位于二、四象限，故B也是正确的；
由反比例函数图象的对称性，可知反比例函数y＝﹣的图象关于y＝x对称是正确的，故C也是正确的，
由反比例函数的性质，k＜0，在每个象限内，y随x的增大而增大，不在同一象限，不具有此性质，故D是不正确的，
故选：D．
11、（2019•泸州）如图，一次函数y1＝ax+b和反比例函数y2＝的图象相交于A，B两点，则使y1＞y2成立的x取值范围是（ ）
A．﹣2＜x＜0或0＜x＜4 B．x＜﹣2或0＜x＜4
C．x＜﹣2或x＞4 D．﹣2＜x＜0或x＞4
【解答】解：观察函数图象可发现：当x＜﹣2或0＜x＜4时，一次函数图象在反比例函数图象上方，
∴使y1＞y2成立的x取值范围是x＜﹣2或0＜x＜4．
故选：B．
12、（2019•咸宁）在平面直角坐标系中，将一块直角三角板如图放置，直角顶点与原点O重合，顶点A，B恰好分别落在函数y＝﹣（x＜0），y＝（x＞0）的图象上，则sin∠ABO的值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：过点A、B分别作AD⊥x轴，BE⊥x轴，垂足为D、E，
∵点A在反比例函数y＝﹣（x＜0）上，点B在y＝（x＞0）上，
∴S△AOD＝，S△BOE＝2，
又∵∠AOB＝90°
∴∠AOD＝∠OBE，
∴△AOD∽△OBE，
∴（）2＝，
∴
设OA＝m，则OB＝2m，AB＝，
在RtAOB中，sin∠ABO＝
故选：D．
13、（2019•宿迁）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点A与原点O重合，顶点B落在x轴的正半轴上，对角线AC、BD交于点M，点D、M恰好都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．
【解答】解：设D（m，），B（t，0），
∵M点为菱形对角线的交点，
∴BD⊥AC，AM＝CM，BM＝DM，
∴M（，），
把M（，）代入y＝得•＝k，
∴t＝3m，
∵四边形ABCD为菱形，
∴OD＝AB＝t，
∴m2+（）2＝（3m）2，解得k＝2m2，
∴M（2m，m），
在Rt△ABM中，tan∠MAB＝＝＝，
∴＝．
故选：A．
14、（2019•株洲）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C为反比例函数y＝（k＞0）上不同的三点，连接OA、OB、OC，过点A作AD⊥y轴于点D，过点B、C分别作BE，CF垂直x轴于点E、F，OC与BE相交于点M，记△AOD、△BOM、四边形CMEF的面积分别为S1、S2、S3，则（ ）
A．S1＝S2+S3 B．S2＝S3 C．S3＞S2＞S1 D．S1S2＜S32
【解答】解：∵点A、B、C为反比例函数y＝（k＞0）上不同的三点，AD⊥y轴，BE，CF垂直x轴于点E、F，
∴S1＝k，S△BOE＝S△COF＝k，
∵S△BOE﹣SOME＝S△CDF﹣S△OME，
∴S3＝S2，
故选：B．
15、（2019•无锡）如图，已知A为反比例函数y＝（x＜0）的图象上一点，过点A作AB⊥y轴，垂足为B．若△OAB的面积为2，则k的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
【解答】解：
∵AB⊥y轴，
∴S△OAB＝|k|，
∴|k|＝2，
∵k＜0，
∴k＝﹣4．
故选：D．
16、（2019•滨州）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴的正半轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过对角线OB的中点D和顶点C．若菱形OABC的面积为12，则k的值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3[来源:学科网ZXXK]
【解答】解：设点A的坐标为（a，0），点C的坐标为（c，），
则，点D的坐标为（），
∴，
解得，k＝4，
故选：C．
17、（2019•重庆）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，点A（10，0），sin∠COA＝．若反比例函数y＝（k＞0，x＞0）经过点C，则k的值等于（ ）
A．10 B．24 C．48 D．50
【解答】解：如图，过点C作CE⊥OA于点E，
∵菱形OABC的边OA在x轴上，点A（10，0），
∴OC＝OA＝10，
∵sin∠COA＝＝．
∴CE＝8，
∴OE＝＝6
∴点C坐标（6，8）
∵若反比例函数y＝（k＞0，x＞0）经过点C，
∴k＝6×8＝48
故选：C．
18、（2019•抚顺）如图，矩形ABCD的顶点A，C在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，若点A的坐标为（3，4），AB＝2，AD∥x轴，则点C的坐标为 ．
【解答】解：∵点A的坐标为（3，4），AB＝2，
∴B（3，2），
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∵AD∥x轴，
∴BC∥x轴，
∴C点的纵坐标为2，
设C（x，2），
∵矩形ABCD的顶点A，C在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，
∴k＝2x＝3×4，
∴x＝6，
∴C（6，2），
故答案为（6，2）．
19、（2019•沈阳）如图，正比例函数y1＝k1x的图象与反比例函数y2＝（x＞0）的图象相交于点A（，2），点B是反比例函数图象上一点，它的横坐标是3，连接OB，AB，则△AOB的面积是 ．
【解答】解：（1）∵正比例函数y1＝k1x的图象与反比例函数y2＝（x＞0）的图象相交于点A（，2），
∴2＝k1，2＝，
∴k1＝2，k2＝6，
∴正比例函数为y＝2x，反比例函数为：y＝，
过点B作BD∥x轴交OA于点D，
∵点B是反比例函数图象上一点，它的横坐标是3，
∴y＝＝2，
∴B（3，2），
∴D（1，2），
∴BD＝3﹣1＝2．
∴S△AOB＝S△ABD+S△OBD＝×2×（2﹣2）+×2×2＝2，
故答案为2．
20、（2019•齐齐哈尔）如图，矩形ABOC的顶点B、C分别在x轴，y轴上，顶点A在第二象限，点B的坐标为（﹣2，0）．将线段OC绕点O逆时针旋转60°至线段OD，若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过A、D两点，则k值为 ．
【解答】解：过点D作DE⊥x轴于点E，
∵点B的坐标为（﹣2，0），
∴AB＝﹣，
∴OC＝﹣，
由旋转性质知OD＝OC＝﹣、∠COD＝60°，
∴∠DOE＝30°，
∴DE＝OD＝﹣k，OE＝ODcos30°＝×（﹣）＝﹣k，
即D（k，﹣k），
∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过D点，
∴k＝（k）（﹣k）＝﹣k2，
解得：k＝0（舍）或k＝﹣，
故答案为：﹣．
21、（2019•北京）在平面直角坐标系xOy中，点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线y＝上，点A关于x轴的对称点B在双曲线y＝，则k1+k2的值为 ．
【解答】解：∵点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线y＝上，
∴k1＝ab；
又∵点A与点B关于x轴的对称，
∴B（a，﹣b）
∵点B在双曲线y＝上，
∴k2＝﹣ab；
∴k1+k2＝ab+（﹣ab）＝0；
故答案为：0．
22、（ 广东）如图，已知A（﹣4，），B（﹣1，2）是一次函数y=kx+b与反比例函数y=（m≠0，m＜0）图象的两个交点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D．
（1）根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数大于反比例函数的值？
（2）求一次函数解析式及m的值；
（3）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．
解：（1）由图象得一次函数图象在上的部分，﹣4＜x＜﹣1，
当﹣4＜x＜﹣1时，一次函数大于反比例函数的值；
（2）设一次函数的解析式为y=kx+b，
y=kx+b的图象过点（﹣4，），（﹣1，2），则
，
解得
一次函数的解析式为y=x+，
反比例函数y=图象过点（﹣1，2），
m=﹣1×2=﹣2
（3）连接PC、PD，如图，
设P（x，x+）
由△PCA和△PDB面积相等得
（x+4）=|﹣1|×（2﹣x﹣），
x=﹣，y=x+=，
∴P点坐标是（﹣，）
23、（菏泽）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=﹣x的图象与反比例函数的图象交于A、B两点．
①根据图象求k的值；
②点P在y轴上，且满足以点A、B、P为顶点的三角形是直角三角形，试写出点P所有可能的坐标．
解答：解：①把x=﹣1代入y=﹣x得：y=1，
即A的坐标是（﹣1，1），
∵反比例函数y=经过A点，
∴k=﹣1×1=﹣1；
②点P的所有可能的坐标是（0，），（0，﹣），（0，2），（0，﹣2）．
五、 二次函数
1、二次函数的平移口诀：左加右减、上加下减
2、二次函数的 顶点坐标（、）
3、二次函数a、b、c 的符号
a看开口方向，向上=a大于0，反之a小于0
C看与y轴交点，交点在y轴正半轴=C大于0，
在y轴负半轴=C小于0，
图像过原点c=0
b用对称轴在y轴左右和a的符号判断
a+b+c==让x的值为1，所对应y的值;
a-b+c==让x的值为--1，所对应y的值
的符号，看图像与X轴的交点个数确定，
两个==大于0
一个==等于0；
无交点===小于0
4、二次函数中
（1）求两线段的和最小（周长最短） 《=》先找一个定点关于动点所在直线对称点，连接对称点与另一定点的线段就是所求（若求动点的坐标，把动点所在直线的值代入即可） [来源:学*科*网Z*X*X*K]
（2）求一条线段的最大值（面积最大）《=》用大值减小值
(在x轴上用点的横坐标相减；在y轴上用点的纵坐标相减）
（3）形成特殊三角形：等腰三角形和直角三角形
解题思路是：用字母分别表示出构成三角形的三边的长度，
构成等腰三角形：分别让三边中的两条边两两相等；
构成直角三角形：分别让三边为斜边，根据勾股定理列出方程，即可。
若题目中有特殊要求的，按题目中的要求去做。
（4）形成相似三角形：相似三角形存在的形式一般有：A字型和旋转型两种。
解题思路是：一般是利用两角对应相等，两三角形相似。判断角相等一般找公共角或线平行；特殊情况要依据：对应边成比例且夹角相等进行判定。
（5）形成特殊平行四边形： 解题思路是：利用特殊平行四边形对边分别相等且平行的性质进行判断。
讨论：动点所在的线段为对边和对角线两种情况。
中考在线：
1、（2019•雅安）在平面直角坐标系中，对于二次函数y＝（x﹣2）2+1，下列说法中错误的是（ ）
A．y的最小值为1
B．图象顶点坐标为（2，1），对称轴为直线x＝2
C．当x＜2时，y的值随x值的增大而增大，当x≥2时，y的值随x值的增大而减小
D．它的图象可以由y＝x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到
【解答】解：二次函数y＝（x﹣2）2+1，a＝1＞0，
∴该函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点为（2，1），当x＝2时，y有最小值1，当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，当x＜2时，y的值随x值的增大而减小；
故选项A、B的说法正确，C的说法错误；
根据平移的规律，y＝x2的图象向右平移2个单位长度得到y＝（x﹣2）2，再向上平移1个单位长度得到y＝（x﹣2）2+1；
故选项D的说法正确，
故选：C．
2、（2019•朝阳）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现给出下列结论：
①abc＞0；②9a+3b+c＝0；③b2﹣4ac＜8a；④5a+b+c＞0．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：①由图象可知：a＞0，c＜0，
∴由于对称轴＞0，
∴b＜0，
∴abc＞0，故①正确；
②抛物线过（3，0），
∴x＝3，y＝9a+3b+c＝0，故②正确；
③顶点坐标为：（，）
由图象可知：＜﹣2，
∵a＞0，
∴4ac﹣b2＜﹣8a，
即b2﹣4ac＞8a，故③错误；
④由图象可知：＞1，a＞0，
∴2a+b＜0，
∵9a+3b+c＝0，
∴c＝﹣9a﹣3b，
∴5a+b+c＝5a+b﹣9a﹣3b＝﹣4a﹣2b＝﹣2（2a+b）＞0，故④正确；
故选：C．
3、（2019•西藏）把函数y＝﹣x2的图象，经过怎样的平移变换以后，可以得到函数y＝﹣（x﹣1）2+1的图象（ ）
A．向左平移1个单位，再向下平移1个单位
B．向左平移1个单位，再向上平移1个单位
C．向右平移1个单位，再向上平移1个单位
D．向右平移1个单位，再向下平移1个单位
【解答】解：抛物线y＝﹣x2的顶点坐标是（0，0），抛物线线y＝﹣（ x﹣1）2+1的顶点坐标是（1，1），
所以将顶点（0，0）向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到顶点（1，1），
即将函数y＝﹣x2的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到函数y＝﹣（x﹣1）2+1的图象．
故选：C．
4、（2019•河南）已知抛物线y＝﹣x2+bx+4经过（﹣2，n）和（4，n）两点，则n的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．4
【解答】解：抛物线y＝﹣x2+bx+4经过（﹣2，n）和（4，n）两点，
可知函数的对称轴x＝1，
∴＝1，
∴b＝2；
∴y＝﹣x2+2x+4，
将点（﹣2，n）代入函数解析式，可得n＝﹣4；
故选：B．
5、（2019•呼和浩特）二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax+a在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：由一次函数y＝ax+a可知，一次函数的图象与x轴交于点（﹣1，0），排除A、B；
当a＞0时，二次函数y＝ax2开口向上，一次函数y＝ax+a经过一、二、三象限，当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、三、四象限，排除C；
故选：D．
6、（2019•烟台）已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表：
x
﹣1
0
2
3
4
y
5
0
﹣4
﹣3
0
下列结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线x＝2；③当0＜x＜4时，y＞0；④抛物线与x轴的两个交点间的距离是4；⑤若A（x1，2），B（x2，3）是抛物线上两点，则x1＜x2，其中正确的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：设抛物线解析式为y＝ax（x﹣4），
把（﹣1，5）代入得5＝a×（﹣1）×（﹣1﹣4），解得a＝1，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x，所以①正确；
抛物线的对称轴为直线x＝2，所以②正确；
∵抛物线与x轴的交点坐标为（0，0），（4，0），
∴当0＜x＜4时，y＜0，所以③错误；
抛物线与x轴的两个交点间的距离是4，所以④正确；
若A（x1，2），B（x2，3）是抛物线上两点，则|x2﹣2|＞|x1﹣2|，所以⑤错误．
故选：B．
7、（2019•长春）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax+（a＞0）与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于点M．P为抛物线的顶点．若直线OP交直线AM于点B，且M为线段AB的中点，则a的值为 ．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax+（a＞0）与y轴交于点A，
∴A（0，），抛物线的对称轴为x＝1
∴顶点P坐标为（1，﹣a），点M坐标为（2，）
∵点M为线段AB的中点，
∴点B坐标为（4，）
设直线OP解析式为y＝kx（k为常数，且k≠0）
将点P（1，）代入得＝k
∴y＝（）x[来源:Zxxk.Com]
将点B（4，）代入得＝（）×4
解得a＝2
故答案为：2．
8、（2019•天水）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，若M＝4a+2b，N＝a﹣b．则M、N的大小关系为M N．（填“＞”、“＝”或“＜”）
【解答】解：当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，
当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，
M﹣N＝4a+2b﹣（a﹣b）
＝4a+2b+c﹣（a﹣b+c）＜0，
即M＜N，
故答案为：＜
9、（2019•潍坊）如图，直线y＝x+1与抛物线y＝x2﹣4x+5交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点，当△PAB的周长最小时，S△PAB＝ ．
【解答】解：，
解得，或，
∴点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（4，5），
∴AB＝＝3，
作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B与y轴的交于P，则此时△PAB的周长最小，
点A′的坐标为（﹣1，2），点B的坐标为（4，5），
设直线A′B的函数解析式为y＝kx+b，
，得，
∴直线A′B的函数解析式为y＝x+，
当x＝0时，y＝，
即点P的坐标为（0，），
将x＝0代入直线y＝x+1中，得y＝1，
∵直线y＝x+1与y轴的夹角是45°，
∴点P到直线AB的距离是：（﹣1）×sin45°＝＝，
∴△PAB的面积是：＝，
故答案为：．
10、（2019•永州）如图，已知抛物线经过两点A（﹣3，0），B（0，3），且其对称轴为直线x＝﹣1．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点P是抛物线上点A与点B之间的动点（不包括点A，点B），求△PAB的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线对称轴是直线x＝﹣1且经过点A（﹣3，0）
由抛物线的对称性可知：抛物线还经过点（1，0）
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0）
即：y＝a（x﹣1）（x+3）
把B（0，3）代入得：3＝﹣3a
∴a＝﹣1
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3．
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∵A（﹣3，0），B（0，3），
∴，
∴直线AB为y＝x+3，
作PQ⊥x轴于Q，交直线AB于M，
设P（x，﹣x2﹣2x+3），则M（x，x+3），
∴PM＝﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x，
∴S＝（﹣x2﹣3x）×3＝﹣（x+）2+．
当x＝﹣时，S最大＝，y＝﹣（﹣）2﹣2×（﹣）+3＝，
∴△PAB的面积的最大值为，此时点P的坐标为（﹣，）
11、（2018•岳阳）已知抛物线F：y＝x2+bx+c的图象经过坐标原点O，且与x轴另一交点为（﹣，0）．
（1）求抛物线F的解析式；
（2）如图1，直线l：y＝x+m（m＞0）与抛物线F相交于点A（x1，y1）和点B（x2，y2）（点A在第二象限），求y2﹣y1的值（用含m的式子表示）；
（3）在（2）中，若m＝，设点A′是点A关于原点O的对称点，如图2．
①判断△AA′B的形状，并说明理由；
②平面内是否存在点P，使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c的图象经过点（0，0）和（﹣，0），
∴，解得：，
∴抛物线F的解析式为y＝x2+x．
（2）将y＝x+m代入y＝x2+x，得：x2＝m，
解得：x1＝﹣，x2＝，
∴y1＝﹣+m，y2＝+m，
∴y2﹣y1＝（+m）﹣（﹣+m）＝（m＞0）．
（3）∵m＝，
∴点A的坐标为（﹣，），点B的坐标为（，2）．
∵点A′是点A关于原点O的对称点，
∴点A′的坐标为（，﹣）．
①△AA′B为等边三角形，理由如下：
∵A（﹣，），B（，2），A′（，﹣），
∴AA′＝，AB＝，A′B＝，
∴AA′＝AB＝A′B，
∴△AA′B为等边三角形．
②∵△AA′B为等边三角形，
∴存在符合题意的点P，且以点A、B、A′、P为顶点的菱形分三种情况，设点P的坐标为（x，y）．
（i）当A′B为对角线时，有，
解得：，
∴点P的坐标为（2，）；
（ii）当AB为对角线时，有，
解得：，
∴点P的坐标为（﹣，）；
（iii）当AA′为对角线时，有，
解得：，
∴点P的坐标为（﹣，﹣2）．
综上所述：平面内存在点P，使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形，点P的坐标为（2，）、（﹣，）和（﹣，﹣2）．
12、（2017•雅安）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c的图象经过点A（1，0），B（﹣3，0），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴与x轴相交于点E，连接BD．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若点P在直线BD上，当PE＝PC时，求点P的坐标．
（3）在（2）的条件下，作PF⊥x轴于F，点M为x轴上一动点，N为直线PF上一动点，G为抛物线上一动点，当以点F，N，G，M四点为顶点的四边形为正方形时，求点M的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c的图象经过点A（1，0），B（﹣3，0），
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3；
（2）由（1）知，抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3；
∴C（0，﹣3），抛物线的顶点D（﹣1，﹣4），
∴E（﹣1，0），
设直线BD的解析式为y＝mx+n，
∴，
∴，
∴直线BD的解析式为y＝﹣2x﹣6，
设点P（a，﹣2a﹣6），
∵C（0，﹣3），E（﹣1，0），
根据勾股定理得，PE2＝（a+1）2+（﹣2a﹣6）2，PC2＝a2+（﹣2a﹣6+3）2，
∵PC＝PE，
∴（a+1）2+（﹣2a﹣6）2＝a2+（﹣2a﹣6+3）2，
∴a＝﹣2，
∴y＝﹣2×（﹣2）﹣6＝﹣2，
∴P（﹣2，﹣2），
（3）如图，作PF⊥x轴于F，
∴F（﹣2，0），
设M（d，0），
∴G（d，d2+2d﹣3），N（﹣2，d2+2d﹣3），
∵以点F，N，G，M四点为顶点的四边形为正方形，必有FM＝MG，
∴|d+2|＝|d2+2d﹣3|，
∴d＝或d＝，
∴点M的坐标为（，0），（，0），（，0），（，0）．
13．（2017•巴中）如图，已知两直线l1，l2分别经过点A（1，0），点B（﹣3，0），且两条直线相交于y轴的正半轴上的点C，当点C的坐标为（0，）时，恰好有l1⊥l2，经过点A、B、C的抛物线的对称轴与l1、l2、x轴分别交于点G、E、F，D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）试说明DG与DE的数量关系？并说明理由；
（3）若直线l2绕点C旋转时，与抛物线的另一个交点为M，当△MCG为等腰三角形时，请直接写出点M的坐标．
【解答】解：（1）设抛物线的函数解析式为y＝ax2+bx+c．
∵点A（1，0），点B（﹣3，0），点C（0，）在抛物线上，
∴，解得，
∴抛物线的函数解析式为y＝﹣x2﹣x+；
（2）DG＝DE．理由如下：
设直线l1的解析式为y＝k1x+b1，将A（1，0），C（0，）代入，解得y＝﹣x+；
设直线l2的解析式为y＝k2x+b2，将B（﹣3，0），C（0，）代入，解得y＝x+；
∵抛物线与x轴的交点为A（1，0），B（﹣3，0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
又∵点G、D、E均在对称轴上，
∴G（﹣1，2），D（﹣1，），E（﹣1，），
∴DG＝2﹣＝，DE＝﹣＝，
∴DG＝DE；
（3）若直线l2绕点C旋转时，与抛物线的另一个交点为M，当△MCG为等腰三角形时，分三种情况：
①以G为圆心，GC为半径画弧交抛物线于点M1、C，点M1与C关于抛物线的对称轴对称，则M1的坐标为（﹣2，）；
②以C为圆心，GC为半径画弧交抛物线于点M2、M3，点M2与点A重合，点A、C、G在一条直线上，不能构成三角形，M3与M1重合；
③作线段GC的垂直平分线，交抛物线于点M4、M5，点M4与点D重合，点D的坐标为（﹣1，），M5与M1重合；
综上所述，满足条件的点M只有两个，其坐标分别为（﹣2，），（﹣1，）．
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