第二章 一元二次函数、方程和不等式【过关测试】-2022-2023学年高一数学单元复习（人教A版2019必修第一册）

第二章  一元二次函数、方程和不等式

考试时间：120分钟，满分：150分

一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．设集合，，则

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】集合，集合，所以,故选D.

2．若则一定有

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】本题主要考查不等关系．已知,所以，所以，故．故选

3．已知区间是关于x的一元二次不等式的解集，则的最小值是（       ）

A． B． C． D．3

【答案】C

【解析】由题知是关于x的一元二次方程的两个不同的实数根，

则有，，，所以，且是两个不同的正数，

则有

，

当且仅当时，等号成立，故的最小值是.

故选：C

4．若对任意，恒成立，则实数a的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】由题意，对任意，则有，

当且仅当时，即时，等号成立，即的最大值为，

又由对任意时，恒成立，所以，

即的取值范围为.

故选：A.

5．关于x的不等式的解集为，且：，则a=（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为关于x的不等式的解集为，

所以，又，

所以，

解得，因为，所以.

故选：A.

6．若函数在处取最小值，则等于（        ）

A．3 B． C． D．4

【答案】A

【分析】将函数的解析式配凑为，再利用基本不等式求出该函数的最小值，利用等号成立得出相应的值，可得出的值.

【解析】当时，，则，

当且仅当时，即当时，等号成立，因此，，故选A.

7．已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】方程的两根都大于2，则二次函数的图象与轴的两个交点都在x=2的右侧，根据图象得：方程的判别式；当时函数值；函数对称轴．即，解得，所以正确选项为B.

8．设，，则三个数（        ）

A．都小于4 B．至少有一个不大于4

C．都大于4 D．至少有一个不小于4

【答案】D

【解析】假设三个数且且，相加得：

，由基本不等式得：

；；；

相加得：，与假设矛盾；

所以假设不成立，

三个数、、至少有一个不小于4．

故选．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

9．已知集合，，则下列命题中正确的是（       ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则或 D．若，则

【答案】ABC

【解析】由己知得：，令

A：若，即是方程的两个根，则，得，正确；

B：若，则，解得，正确；

C：当时，，解得或，正确；

D：当时，有，所以，错误；

故选：ABC.

10．已知不等式的解集为，则下列结论正确的是（     ）

A． B． C． D．

【答案】BCD

【解析】解：对A，不等式的解集为，

故相应的二次函数的图象开口向下，

即，故A错误；

对B，C，由题意知： 和是关于的方程的两个根，

则有，，

又，故，故B，C正确；

对D，，

，

又，

，故D正确.

故选：BCD.

11．下列命题为真命题的是（       ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】BC

【解析】解：A项，若，取，可得，故A不正确；

B项, 若,可得：，故，故B正确；

C项，若可得，由可得：，故C正确；

C项，举反例，虽然，但是，故D不正确；

故选：BC.

12．已知全集，集合，，则使成立的实数的取值范围可以是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【解析】当时，，即，此时，符合题意，

当时，，即，

由可得或，

因为，所以或，可得或，

因为，所以，

所以实数的取值范围为或，

所以选项ABC正确，选项D不正确；

故选：ABC.

三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知函数的值域为，若关于x的不等式的解集为，则实数c的值为__________．

【答案】9．

【解析】∵f(x)＝x2＋ax＋b的值域为[0，＋∞)，∴Δ＝0，

∴b－＝0，∴f(x)＝x2＋ax＋a2＝2.

又∵f(x)＜c的解集为(m，m＋6)，

∴m，m＋6是方程x2＋ax＋－c＝0的两根．由一元二次方程根与系数的关系得解得c＝9.

14．已知,,且,则的取值范围是_____.

【答案】

【解析】试题分析：，所以当时，取最大值1；当 时，取最小值.因此的取值范围为.

15．若，，且，则 最小值是_____．

【答案】13

【解析】由题得 ，故

又，当且仅当x=8,y=5,等号成立

故答案为13

16．若命题“,使”为真命题，实数的取值范围为__________

【答案】

【解析】令,是关于a的一次函数,

由题意得:

且.即且.

解得

四、解答题：共6小题，其中第1大题10分，其余题目每题12分，共70分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

17．已知函数.

（1）若 ，试求函数的最小值；

（2）对于任意的，不等式成立，试求a的取值范围.

【答案】（1）最小值为；（2）.

【解析】解：（1）依题意得.

因为x>0，所以 .

当且仅当，即时，等号成立.

所以.

故当时，的最小值为 .

（2）因为，所以要使得“任意的，不等式成立”，只要“在上恒成立”.

不妨设，

则只要在上恒成立.

所以 即

解得.

所以a的取值范围是.

18．设函数

（1）若对一切实数x，恒成立，求m的取值范围；

（2）若对于，恒成立，求m的取值范围：

【答案】（1）.（2）

【解析】（1）对恒成立，

若，显然成立，

若，则，解得.

所以，.

（2）对于，恒成立，即

对恒成立

对恒成立

∴对恒成立，

即求在的最小值，

的对称轴为，

，，，

可得即.

19．已知，求的最小值，并求取到最小值时x的值；

已知，，，求xy的最大值，并求取到最大值时x、y的值．

【答案】当时，y的最小值为7． ，时，xy的最大值为6．

【解析】已知，

则：，

故：，

当且仅当：，

解得：，

即：当时，y的最小值为7．

已知，，，

则：，

解得：，

即：，

解得：，时，xy的最大值为6．

20．设函数．

（1）若对于一切实数，恒成立，求的取值范围；

（2）解不等式．

【答案】（1）；（2）答案见解析．

【解析】（1）由知：，

当时，，满足题意；

当时，则，解得：；

综上所述：的取值范围为．

（2）由得，

即，即；

当时，解得：；当时，解得；当时，解集为．

综上所述：当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为．

21．已知函数

（1）解关于的不等式；

（2）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（Ⅰ）答案不唯一，具体见解析.（Ⅱ）

【解析】（Ⅰ） 即，

，（ⅰ）当时，不等式解集为；

（ⅱ）当时，不等式解集为；

（ⅲ）当时，不等式解集为，

综上所述，（ⅰ）当时，不等式解集为；

（ⅱ）当时，不等式解集为；

（ⅲ）当时，不等式解集为 .

（Ⅱ）对任意的恒成立，即恒成立，即对任意的，恒成立.

①时，不等式为恒成立，此时；     

②当时，，

， ， ，

当且仅当时，即，时取“”, .

综上 .

22．已知函数，且的解集为.

（1）求函数的解析式；

（2）解关于的不等式，；

（3）设，若对于任意的都有，求的最小值.

【答案】（1）（2）答案不唯一，具体见解析（3）1

【解析】（1）的解集为可得1，2是方程的两根，

则，

（2）

时，

时，

时，

（3），为上的奇函数

当时，

当时，，则函数在上单调递增，在上单调递减，且时，，在时，取得最大值，即；

当时，，则函数在上单调递减，在上单调递减，且时，，在时，取得最小值，即；

对于任意的都有则等价于

或（）

则的最小值为1