中考数学二轮复习培优专题53压轴题之实验操作类 (含答案)

这是一份中考数学二轮复习培优专题53压轴题之实验操作类 (含答案)，共39页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

53第12章压轴题之实验操作类

一、选择题
1．在数学课上，老师让每个同学拿一张三角形纸片，，设，要求同学们利用所学的三角形全等的判定方法，剪下两个全等的三角形．下面是四位同学的裁剪方法，如图，剪刀沿着箭头方向剪开，能得到两个全等三角形小纸片的有（ ）

A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【答案】C
【分析】利用全等三角形的判定定理一一排查即可．
【解答】如图1中，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
，BE=FC=2，
∠B=∠C，
BF=CG=3，
△EBF≌△FCG（SAS），
剪刀沿着箭头方向剪开，能得到两个全等三角形小纸片的有，
，
如图2，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
BE=CG=3，
∠B=∠C，
BF=CF=2.5，
△BEF≌△CGF（SAS），
剪刀沿着箭头方向剪开，能得到两个全等三角形小纸片，
，
如图 3，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠EFG=，
∴∠BEF+∠EFB=180º-xº=∠EFB+∠GFC，
∴∠BEF=∠GFC，
BE的对应边是FC，相等情况不确定，
△BEF与△CGF全等不确定，

如图4，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠EFG=，
∴∠BEF+∠EFB=180º-xº=∠EFB+∠GFC，
∴∠BEF=∠GFC，
EB=FC=2，
∠B=∠C，
△BEF≌△CFG（ASA），
剪刀沿着箭头方向剪开，能得到两个全等三角形小纸片．

故选择：C．
【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，从图形中找到三角形全等的条件是否充足，够条件可以断定，条件不够或不确定就不断定．
2．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载，如图①，以直角三角形的各边为边向外作等边三角形，再把较小的两个等边三角形按如图②的方式放置在最大等边三角形内．若知道图②中阴影部分的面积，则一定能求出图②中（ ）

A．最大等边三角形与直角三角形面积的和 B．最大等边三角形的面积
C．较小两个等边三角形重叠部分的面积 D．直角三角形的面积
【答案】C
【分析】设三个等边三角形的面积分别为S1、S2、S3，则有S1+S2=S3，利用三角形面积的和与差可得结论．
【解答】解：如图，以直角三角形的三边为边向外作等边三角形，设它们的面积分别为S1、S2、S3，则有S1+S2=S3，
∴S1+S2+S阴影=S3+S△EFG，
∴S阴影=S△EFG，
即知道图②中阴影部分的面积，则一定能求出图②中较小两个等边三角形重叠部分的面积，
故选：C．

【点评】本题考查了勾股定理的证明和三角形的面积，直观识图是关键．
3．折叠矩形纸片：
第一步，如图1，在纸片一端折出一个正方形，再把纸片展开；
第二步，如图2，把这个正方形对折，再把纸片展开，得矩形和；
第三步，如图3，折出矩形的对角线，并把折到图中所示的处；
第四步，如图4，展平纸片，按所得点折出，得矩形.则的值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据图象折叠的性质，得，在中有，即，即可求得的值，且MN=BC，
进而求得的值．
【解答】∵，
在中有，即
解得，即
故选：C
【点评】本题考查了矩形折叠和正方形折叠的性质，利用勾股定理解直角三角形．
4．将矩形纸片 ABCD 按如图所示的方式折叠，得到菱形 AECF．若 AB＝3，则 BC 的长为（ ）

A． B．2 C．1.5 D．
【答案】D
【分析】设，先根据矩形的性质可得，再根据折叠的性质可得，从而可得，又根据菱形的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得，从而可得点共线，由此可得，最后在中，利用勾股定理即可得．
【解答】设，
四边形ABCD是矩形，
，
由折叠的性质得：，
，
四边形AECF是菱形，
，
在和中，，
，
，即，
点共线，
，
在中，，即，
解得或（不符题意，舍去），
即，
故选：D．
【点评】本题考查了矩形与菱形的性质、折叠的性质、三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，利用三角形全等的判定定理与性质证出，从而得出点共线是解题关键．

二、填空题
5．菱形ABCD中，AB=8,∠B=120°，沿过菱形不同的顶点裁剪两次，再将所裁下的图形拼接，若恰好能无缝，无重叠的拼接成一个矩形，则所得矩形的对角线长为_____．
【答案】或者
【分析】按两种情况讨论，根据题意可知两种情况可拼出的新矩形一样，再根据菱形的性质以及矩形的性质，由勾股定理求解即可得到新矩形的对角线的长度；
【解答】解：分情况讨论，
情况①，如图，分别沿菱形的对角线AC、BD裁剪，将剪下的四个三角形重新拼接得到矩形 或者矩形 ，如图，


∵AB=8,∠B=120°，
∴ , ，
当拼成矩形时，有 , ,
∴矩形对角线长为： ，
当拼成矩形时，有 , ,
∴矩形对角线长为：；
情况②，过B作BE⊥AD，过D作DF⊥BC，分别沿BE、DF裁剪，将剪下的三角形和剩余的矩形重新拼接得到和①一样的新矩形 或者矩形，如图，


因此新矩形的对角线长为或者，
故答案为：或者；
【点评】本题主要考查了菱形的性质以及矩形的判定与性质、勾股定理，学会分情况讨论以及勾股定理求解对角线是解题的关键；
6．如图是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图，则的度数__度，再沿折叠成图．则图中的的度数是度______．

【答案】140° 120°
【分析】根据平行线的性质得，∠EFB=∠DEF，从而求出∠GFC的度数，进而求解求解．
【解答】∵AD∥BC，
∴∠EFG=∠DEF=20°，
∴在图b中，∠GFC=180°-2∠EFG=140°，=180°-2∠DEF=140°
∴∠GFE=∠GFC-∠EFB=140°-20°=120°．
故答案是：140°；120°．
【点评】本题主要考查平行线的性质以及折叠的性质，掌握“两直线平行，内错角相等”，是解题的关键．
7．如图，在平面直角坐标系中，函数y=2x和y=﹣x的图象分别为直线l1，l2，过点(1，0)作x轴的垂线交l1于点A1，过点A1作y轴的垂线交l2于点A2，过点A2作x轴的垂线交l1于点A3，过点A3作y轴的垂线交l2于点A4，…依次进行下去，则点A2017的坐标为________．

【答案】(21008，21009)
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征可得出点A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7、A8等的坐标，根据坐标的变化即可找出变化规律“，，，（n为自然数）”，依此规律结合2017=1008×2+1即可找出点的坐标．
【解答】由图可知：A1(1，2)，A2(﹣2，2)，A3(﹣2，﹣4)，A4(4，﹣4)，A5(4，8)，…，
∵2017=504×4+1，
∴点A2017在第一象限，
∵2017=1008×2+1，
∴A2n+1((﹣2)n，2(﹣2)n)(n为自然数)．
∴A2017的坐标为((﹣2)1008，2(﹣2)1008)=(21008，21009)．
故答案是：(21008，21009)
【点评】本题考查了两条直线相交或平行问题、一次函数图象上点的坐标特征以及规律型中点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是解题的关键．
8．如图，在三角形纸片中，，，，将纸片沿过点的直线折叠，使点落在斜边上的点处，折痕记为，剪去△后得到双层△，再沿着过△某顶点的直线将双层三角形剪开，使得展开后的平面图形中有一个是平行四边形，则所得平行四边形的面积是_____．

【答案】
【分析】利用三角函数先求解得到是的中垂线，由对折的性质求解分情况讨论， ①如图中，当时，沿着直线EF将双层三角形剪开，展开后的平面图形中有一个是平行四边形，②如图中，当FD=FB时，沿着直线DF将双层三角形剪开，展开后的平面图形中有一个是平行四边形，利用平行四边形的面积是三角形面积的倍，从而可得答案．
【解答】解：如图，



∴

由对折设


是的中垂线，

在Rt中，
∴，
∴，

①如图中，当时，沿着直线EF将双层三角形剪开，展开后的平面图形中有一个是平行四边形，




为等边三角形，
过作于，




②如图中，当FD=FB时，沿着直线DF将双层三角形剪开，展开后的平面图形中有一个是平行四边形，
过作于，









综上：所得平行四边形的面积是
故答案为：
【点评】本题考查翻折变换、线段的垂直平分线的判定与性质，勾股定理的应用，平行四边形的判定和性质、含角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．

三、解答题
9．操作与推理：我们知道，任何一个有理数都可以用数轴上一个点来表示，根据下列题意解决问题：
（1）已知x=2，请画出数轴表示出x的点：
（2）在数轴上，我们把表示数2的点定为基准点，记作点O，对于两个不同的点A和B，若点A、 B到点O的距离相等，则称点A与点B互为基准等距变换点．例如图2，点A表示数-1，点B表示数5，它们与基准点O的距离都是3个单位长度，我们称点A与点B互为基准等距变换点．
①记已知点M表示数m，点N表示数n，点M与点N互为基准等距变换点．I．若m=3，则n= ；II．用含m的代数式表示n= ；
②对点M进行如下操作：先把点M表示的数乘以23，再把所得数表示的点沿着数轴向右移动2个单位长度得到点N，若点M与点N互为基准等距变换点，求点M表示的数；
③点P在点Q的左边，点P与点Q之间的距离为8个单位长度，对Q点做如下操作： Q1为Q的基准等距变换点，将数轴沿原点对折后Q1的落点为Q2这样为一次变换： Q3为Q2的基准等距变换点，将数轴沿原点对折后Q3的落点为Q4这样为二次变换： Q5为Q4的基准等距变换点．．．．．．，依此顺序不断地重复变换，得到Q5，Q6，Q7．．．．Qn，若P与Qn．两点间的距离是4，直接写出n的值．

【答案】（1）见解析；（2）①I，1；II 4-m ②；③2或6．
【分析】（1）在数轴上描点；
（2）由基准点的定义可知，；
（3）（3）设P点表示的数是m，则Q点表示的数是m+8，由题可知Q1与Q是基准点，Q2与Q1关于原点对称，Q3与Q2是基准点，Q4与Q3关于原点对称，…
由此规律可得到当n为偶数，Qn表示的数是m+8-2n，P与Qn两点间的距离是4，则有|m-m-8+2n|=4即可求n；
【解答】解：（1）如图所示，

（2）①Ⅰ．∵2是基准点，m=3，3到2的距离是1，所以到2的距离是1的另外一个点是1，
∴n=1；
故答案为1；
Ⅱ．有定义可知：m+n=4，
∴n=4-m；
故答案为：4-m
②设点M表示的数是m，
先乘以23，得到23m，
再沿着数轴向右移动2个单位长度得到点N为23m+2，
∵点M与点N互为基准等距变换点，
∴23m+2+m=4，
∴m=；
③设P点表示的数是m，则Q点表示的数是m+8，如图，

由题可知Q1表示的数是4-(m+8)，Q2表示的数是-4+(m+8)，Q3表示的数是8-(m+8)，Q4表示的数是-8+(m+8)，Q5表示的数是12-(m+8)，Q6表示的数是-12+(m+8)…
∴当n为偶数，Qn表示的数是-2n+（m+8），
∵若P与Qn两点间的距离是4，
∴|m-[-2n+(m+8)]|=4，
∴n=2或n=6．
【点评】本题考查新定义，数轴上数的特点；能够理解基准点的定义是解决问题的基础，从定义中探究出基准点的两个点是关于2对称的；（3）中找到Q的变换规律是解题的关键．
10．如图，矩形ABCD中，∠ACB=30°，将一块直角三角板的直角顶点P放在两对角线AC，BD的交点处，以点P为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别于边AB，BC所在的直线相交，交点分别为E，F．

（1）当PE⊥AB，PF⊥BC时，如图1，则的值为　 　；
（2）现将三角板绕点P逆时针旋转α（0°＜α＜60°）角，如图2，求的值；
（3）在（2）的基础上继续旋转，当60°＜α＜90°，且使AP：PC=1：2时，如图3，的值是否变化？证明你的结论．
【答案】（1）；（2）；（3）变化.证明见解析.
【分析】（1）证明△APE≌△PCF，得PE=CF；在Rt△PCF中，解直角三角形求得的值即可；
（2）如答图1所示，作辅助线，构造直角三角形，证明△PME∽△PNF，并利用（1）的结论，求得的值；
（3）如答图2所示，作辅助线，构造直角三角形，首先证明△APM∽△PCN，求得；然后证明△PME∽△PNF，从而由求得的值.与（1）（2）问相比较，的值发生了变化.
【解答】（1）∵矩形ABCD，∴AB⊥BC，PA=PC.
∵PE⊥AB，BC⊥AB，∴PE∥BC.∴∠APE=∠PCF.
∵PF⊥BC，AB⊥BC，∴PF∥AB.∴∠PAE=∠CPF.
∵在△APE与△PCF中，∠PAE=∠CPF，PA=PC，∠APE=∠PCF，
∴△APE≌△PCF（ASA）.∴PE=CF.
在Rt△PCF中，，∴；
（2）如答图1，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，则PM⊥PN.

∵PM⊥PN，PE⊥PF，∴∠EPM=∠FPN.
又∵∠PME=∠PNF=90°，∴△PME∽△PNF.
∴.
由（1）知，，
∴.
（3）变化.证明如下：
如答图2，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，则PM⊥PN，PM∥BC，PN∥AB.

∵PM∥BC，PN∥AB，
∴∠APM=∠PCN，∠PAM=∠CPN.
∴△APM∽△PCN.
∴，得CN=2PM.
在Rt△PCN中，，
∴.
∵PM⊥PN，PE⊥PF，∴∠EPM=∠FPN.
又∵∠PME=∠PNF=90°，∴△PME∽△PNF.
∴.
∴的值发生变化.
11．阅读材料
如图1，三角形中，，三角形的面积为10，为底边上一点，，，垂足分别为，．易证．解题过程如下：
如图，连接，
∵，，
∴，
∵．
∴

∴．
结论：过等腰三角形底边上的一点作两腰的高，两条高线之和等于等腰三角形面积的2倍再除以腰长．

类比探究
如图2，在边长为5的菱形中，对角线，点是直线上的动点，于，于．

①填空：
对角线的长是_________；菱形的面积是_________．
②探究：
如图2，当点在对角线上运动时，求的值；
③拓展：
当点在对角线和的延长线上时，请直接写出，之间的数量关系．
【答案】①6； 24；②；③当点P在对角线BD的延长线上时，；当点P在对角线DB的延长线上时，．
【分析】（1）连接AC交BD于点O，根据菱形的性质及勾股定理即可得出；
（2）根据菱形的性质得出ΔABD的面积为12，再结合材料即可得出答案；
（3）分两种情况讨论：当点P在对角线BD的延长线上及当点P在对角线DB的延长线上时，根据菱形的性质及材料即可得出答案．
【解答】解：（1）连接AC交BD于点O
四边形ABCD为菱形BD=8


在中，



（2）如图，

在菱形ABCD中，
由菱形性质得，ΔABD是等腰三角形，且
∵菱形ABCD的面积为24，
∴ΔABD的面积为12
又∵PE⊥AB，PF⊥AD，
根据阅读材料得，
∴
（3）当点P在对角线BD的延长线上时，如图①，延长CD交PE于点M


在菱形ABCD中，



即DP平分




∴；
当点P在对角线DB的延长线上时，如图②
延长CB交PF于点N，同理可得：

∴．

【点评】本题考查了菱形的性质，灵活运用材料中的结论是解题的关键．
12．综合与实践
问题背景：
综合与实践课上，同学们以两个全等的三角形纸片为操作对象，进行相一次相关问题的研究． 下面是创新小组在操作过程中研究的问题， 如图一，△ABC≌△DEF， 其中∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°．

操作与发现：
（1）如图二，创新小组将两张三角形纸片按如图示的方式放置，四边形ACBF的形状是 ，CF= ；
（2）创新小组在图二的基础上，将△DEF纸片沿AB方向平移至图三的位置，其中点E与AB的中点重合．连接CE，BF．四边形BCEF的形状是 ，CF= ．
操作与探究 ：
（3）创新小组在图三的基础上又进行了探究，将△DEF纸片绕点E逆时针旋转至DE与BC平行的位置，如图四所示，连接AF， BF． 经过观察和推理后发现四边形ACBF也是矩形，请你证明这个结论．
【答案】（1）矩形，4 ；（2）菱形，；（3）详见解析．
【分析】（1）由题意及图形可直接解答；
（2）根据题意及图形，结合直角三角形的性质定理可直接得到答案；
（3）根据旋转的性质及题意易得，然后得到四边形ACBF为平行四边形，最后问题得证．
【解答】（1）如图所示：

△ABC≌△DEF， 其中∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°，
，
，四边形ACBF是矩形，AB=4，
AB=CF=4；
故答案为：矩形，4 ；
（2）如图所示：

△ABC≌△DEF， 其中∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°，
，
，四边形ECBF是平行四边形，
点E与AB的中点重合，CE=BE，是等边三角形，
EC=BC，四边形ECBF是菱形，CF与EB互相垂直且平分，
，，
故答案为：菱形，；
（3）证明：如图所示：

∵
∵
∴
∴
∵
∵
∴为等边三角形
∴
∴
∵
∴四边形ACBF为平行四边形
∵
∴四边形ACBF为矩形．
【点评】本题主要考查特殊平行四边形的性质及判定、全等三角形的性质，关键是由题意图形的变化及三角形全等的性质得到线段的等量关系，然后结合特殊平行四边形的判定方法证明即可．
13．下面是小明同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线“的尺规作图过程．

已知：如图，直线和直线外一点．
求作：直线，使直线直线．
作法：如图，

①在直线上任取一点，作射线；
②以为圆心，为半径作弧，交直线于点，连接；
③以为圆心，长为半径作弧，交射线于点；分别以为圆心，大于长为半径作弧，在的右侧两弧交于点；
④作直线；
所以直线就是所求作的直线．
根据上述作图过程，回答问题：
（1）用直尺和圆规，补全图中的图形；
（2）完成下面的证明：
证明：由作图可知平分，
．
又，
．(_______________________________)(填依据1)．
，
．
，∴直线直线．(______________________)(填依据2)．
【答案】（1）作图见解析；（2）等边对等角；同位角相等，两直线平行
【分析】（1）依照画图做法作图即可；
（2）根据等边对等角以及平行线的判定解答即可.
【解答】解：（1）根据题中画图过程可得：
如图，PQ即为所作图形；

（2）由作图可知平分，
．
又，
．（等边对等角）．
，
．
，
∴直线直线．（同位角相等，两直线平行）．
【点评】本题考查了尺规作图，等腰三角形的性质，平行线的判定，解题的关键是根据题意作图，然后再进行推理论证.
14．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，，，为格点，为小正方形边的中点.

（1）的长等于_________；
（2）点，分别为线段，上的动点，当取得最小值时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段，，并简要说明点和点的位置是如何找到的（不要求证明）.
【答案】（1）5；（2）见解析
【分析】（1）直接利用勾股定理计算可得；
（2）令BC与网格交于P，再分别取网格线中点G和H，连接，与AC交于Q，从而可得.
【解答】解：（1）由图可得：
AC=，
故答案为：5；
（2）如图，与网格线相交，得点；取格点，，连接，与网格线相交，得点，取格点，，连接，与网格线相交，得点，连接，与相交，得点.连接，.线段，即为所求.
如图，延长DP，交网格线于点T，连接AB，GH与DP交于点S，
由计算可得：AB=，BC=，AC=5，
∴△ABC为直角三角形，∠ABC=90°，
∴tan∠ACB=2，
∵tan∠BCT=PT：TC=2，
∴∠ACB=∠BCT，即BC平分∠ACT，
根据画图可知：GH∥BC，
∴∠ACB=∠CQH，∠BCT=∠GHC，
∵∠BCT=∠BCA，
∴∠CQH=∠GHC，
∴CQ=CH，
由题意可得：BS=CH，
∴BS=CQ，
又∵BP=CP，∠PBS=∠PCQ，
∴△BPS≌△CPQ，
∴∠PSB=∠PHC=90°，即PQ⊥AC，
∴PD+PQ的最小值即为PD+PT，
∴所画图形符合要求.

【点评】本题考查轴对称—最短问题，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角函数的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
15．实践操作：第一步：如图1，将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在上的点处，得到折痕，然后把纸片展平．第二步：如图2，将图1中的矩形纸片沿过点E的直线折叠，点C恰好落在上的点处，点B落在点处，得到折痕，交于点M，交于点N，再把纸片展平．

问题解决：
（1）如图1，填空：四边形的形状是_____________________；
（2）如图2，线段与是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由；
（3）如图2，若，求的值．
【答案】（1）正方形；（2），见解析；（3）
【分析】（1）有一组邻边相等且一个角为直角的平行四边形是正方形；
（2）连接，由（1）问的结论可知，，又因为矩形纸片沿过点E的直线折叠，可知折叠前后对应角以及对应边相等，有，，，可以证明和全等，得到，从而有；
（3）由，有；由折叠知，，可以计算出；用勾股定理计算出DF的长度，再证明得出等量关系，从而得到的值．
【解答】（1）解：∵ABCD是平行四边形，
∴，
∴四边形是平行四边形
∵矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在上的点处
∴
∴
∵
∴四边形的形状是正方形
故最后答案为：四边形的形状是正方形；
（2）
理由如下：如图，连接，由（1）知：
∵四边形是矩形，
∴
由折叠知：
∴
又，
∴
∴
∴

（3）∵，∴
由折叠知：，∴
∵
∴
设，则
在中，由勾股定理得：
解得：，即
如图，延长交于点G，则
∴
∴
∴
∵，∴
∴
【点评】（1）本问主要考查了正方形的定义，即有一组邻边相等且一个角为直角的平行四边形是正方形，其中明确折叠前后对应边、对应角相等是解题的关键；
（2）本问利用了正方形的性质以及折叠前后对应边、对应角相等来证明三角形全等，再根据角相等则边相等即可做题，其中知道角相等则边相等的思想是解题的关键；
（3）本问考查了全等三角形、相似三角形的性质、角相等则正切值相等以及勾股定理的应用，其中知道三角形相似则对应边成比例是解题的关键．
16．综合与实践
在线上教学中，教师和学生都学习到了新知识，掌握了许多新技能．例如教材八年级下册的数学活动﹣﹣折纸，就引起了许多同学的兴趣．在经历图形变换的过程中，进一步发展了同学们的空间观念，积累了数学活动经验．
实践发现：
对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，把纸片展平，连接AN，如图①．

（1）折痕BM　 　（填“是”或“不是”）线段AN的垂直平分线；请判断图中△ABN是什么特殊三角形？答：　 　；进一步计算出∠MNE＝　 　°；
（2）继续折叠纸片，使点A落在BC边上的点H处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，把纸片展平，如图②，则∠GBN＝　 　°；
拓展延伸：
（3）如图③，折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上的点A'处，并且折痕交BC边于点T，交AD边于点S，把纸片展平，连接AA'交ST于点O，连接AT．
求证：四边形SATA'是菱形．
解决问题：
（4）如图④，矩形纸片ABCD中，AB＝10，AD＝26，折叠纸片，使点A落在BC边上的点A'处，并且折痕交AB边于点T，交AD边于点S，把纸片展平．同学们小组讨论后，得出线段AT的长度有4，5，7，9．请写出以上4个数值中你认为正确的数值　 　．
【答案】（1）是；等边三角形；60°；（2）15°；（3）见解析；（4）7、9
【分析】（1）由折叠的性质可得AN＝BN，AE＝BE，∠NEA＝90°，BM垂直平分AN，∠BAM＝∠BNM＝90°，可证△ABN是等边三角形，由等边三角形的性质和直角三角形的性质可求解；
（2）由折叠的性质可得∠ABG＝∠HBG＝45°，可求解；
（3）由折叠的性质可得AO＝A'O，AA'⊥ST，由“AAS”可证△ASO≌△A'TO，可得SO＝TO，由菱形的判定可证四边形SATA'是菱形；
（4）先求出AT的范围，即可求解．
【解答】解：（1）如图①∵对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，
∴EF垂直平分AB，
∴AN＝BN，AE＝BE，∠NEA＝90°，
∵再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，
∴BM垂直平分AN，∠BAM＝∠BNM＝90°，
∴AB＝BN，
∴AB＝AN＝BN，
∴△ABN是等边三角形，
∴∠EBN＝60°，
∴∠ENB＝30°，
∴∠MNE＝60°，
故答案为：是，等边三角形，60；
（2）∵折叠纸片，使点A落在BC边上的点H处，
∴∠ABG＝∠HBG＝45°，
∴∠GBN＝∠ABN﹣∠ABG＝15°，
故答案为：15°；
（3）∵折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上的点A'处，
∴ST垂直平分AA'，
∴AO＝A'O，AA'⊥ST，
∵AD∥BC，
∴∠SAO＝∠TA'O，∠ASO＝∠A'TO，
∴△ASO≌△A'TO（AAS）
∴SO＝TO，
∴四边形ASA'T是平行四边形，
又∵AA'⊥ST，
∴边形SATA'是菱形；
（4）∵折叠纸片，使点A落在BC边上的点A'处，
∴AT＝A'T，
在Rt△A'TB中，A'T＞BT，
∴AT＞10﹣AT，
∴AT＞5，
∵点T在AB上，
∴当点T与点B重合时，AT有最大值为10，
∴5＜AT≤10，
∴正确的数值为7，9，
故答案为：7，9．
【点评】本题考查矩形和菱形的性质和判定,关键在于结合图形,牢记概念.
17．将一个矩形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点E，F分别在边，上．沿着折叠该纸片，使得点A落在边上，对应点为，如图①．再沿折叠，这时点E恰好与点C重合，如图②．

（Ⅰ）求点C的坐标；
（Ⅱ）将该矩形纸片展开，再折叠该矩形纸片，使点O与点F重合，折痕与相交于点P，展开矩形纸片，如图③．
①求的大小；
②点M，N分别为，上的动点，当取得最小值时，求点N的坐标（直接写出结果即可）．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）①，②
【分析】（Ⅰ）由翻折的性质可知，，，再由正方形的性质和勾股定理可得OE，继而即可求解；
（Ⅱ）①连接，由题意和（Ⅰ）可知，而，，由等角对等边可知，，设，则，然后根据翻折的性质可知即，把x代入列出方程，解方程求出，根据相似三角形的判定可证, ，再根据相似三角形的对应角相等和三角形内角和即可求解；
②利用角平分线上的点到角两边的距离相等这一性质可判断M、N的位置，进而根据题意即可求解．
【解答】解：（Ⅰ）∵点，∴．
由两次折叠可知，，．
∴是正方形．∴．
在中，．
∴点C的坐标为．
（Ⅱ）①如图③，连接，由和（Ⅰ）可知，
，而，
，
故，．
设，则，
由即，
得，解得．
所以．则有．
得．又，则，
即．

②如图④所示，过点P作⊥OC于点，交OF于点M，作关于OF的对称点N，连接MN，此时取得最小值时，且，
过点N作NG⊥x轴于点G，
∵由（Ⅱ）知，∠AOE＝45°,
∴∠NOG＝90°－45°＝45°
∴OG＝NG＝．
∴．

【点评】本题主要考查几何变换的综合题，涉及到翻折的性质、勾股定理、相似三角形的判定及其性质、角平分线的性质等知识点，熟练运用所学知识是解题的关键．
18．折纸是一种许多人熟悉的活动．近些年，经过许多人的努力，已经找到了多种将正方形折纸的一边三等分的精确折法，下面探讨其中的一种折法：
（综合与实践）
操作一：如图1，将正方形纸片ABCD对折，使点A与点D重合，点B与点C重合，再将正方形纸片ABCD展开，得到折痕MN；
操作二：如图2，将正方形纸片ABCD的右上角沿MC折叠，得到点D的对应的点为D′；
操作三：如图3，将正方形纸片ABCD的左上角沿MD′折叠再展开，折痕MD′与边AB交于点P；
（问题解决）
请在图3中解决下列问题：
（1）求证：BP＝D′P；
（2）AP：BP＝　 　；

（拓展探究）
（3）在图3的基础上，将正方形纸片ABCD的左下角沿CD′折叠再展开，折痕CD′与边AB交于点Q．再将正方形纸片ABCD过点D′折叠，使点A落在AD边上，点B落在BC边上，然后再将正方形纸片ABCD展开，折痕EF与边AD交于点E，与边BC交于点F，如图4．试探究：点Q与点E分别是边AB，AD的几等分点？请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）2：1；（3）点Q是AB边的四等分点，点E是AD边的五等分点，理由见解析
【分析】（1）如图1，连接PC，根据正方形的性质、HL定理证明△CD′P≌△CBP，根据全等三角形的性质得出结论；
（2）设BP＝x，根据翻转变换的性质、勾股定理列出方程，解方程即可；
（3）如图2，连接QM，证明Rt△AQM≌Rt△D′QM（HL），得到AQ＝D′Q，设正方形ABCD的边长为1，AQ＝QD′＝y，根据勾股定理列出方程，解方程即可．
【解答】（1）证明：如图1，连接PC．

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，
∴∠MD′C＝∠D＝90°，
∴∠CD′P＝∠B＝90°，
在Rt△CD′P和Rt△CBP中，
，
∴Rt△CD′P≌Rt△CBP（HL），
∴BP＝D′P；
（2）解：设正方形纸片ABCD的边长为1．则AM＝DM＝D′M＝．
设BP＝x，则MP＝MD′+D′P＝DM+BP＝+x，AP＝1﹣x，
在Rt△AMP中，根据勾股定理得AM2+AP2＝MP2．
∴（）2+（1﹣x）2＝（+x）2，
解得x＝，
∴BP＝，AP＝，
∴AP：BP＝2：1，
故答案为：2：1．
（3）解：点Q是AB边的四等分点，点E是AD边的五等分点．
理由：如图2，连接QM．

∴∠QD′M＝180°﹣∠MD′C＝90°，
∴∠QD′M＝∠A＝90°．
在Rt△AQM和Rt△D′QM中，
，
∴Rt△AQM≌Rt△D′QM（HL），
∴AQ＝D′Q，
设正方形ABCD的边长为1，AQ＝QD′＝y，
则QP＝AP﹣AQ＝﹣y．
在Rt△QPD′中，根据勾股定理得QD′2+D′P2＝QP2．
∵D′P＝BP＝，
∴y2+（）2＝（﹣y）2，
解得y＝．
∴AQ：AB＝1：4，即点Q是AB边的四等分点，
∵EF∥AB，
∴，即，
解得AE＝．
∴点E为AD的五等分点．
【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，折叠的性质，翻转变换的性质全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质及方程思想是解题的关键．
19．问题情境
在综合实践课上，同学们以“正方形和直线的旋转”为主题分组开展数学探究活动，已知正方形ABCD，直线PQ经过点A，并绕点A旋转，作点B关于直线PQ的对称点E，直线DE交直线PQ于点F，连结AE，BE．

操作发现
（1）如图1，设∠PAB=25°则∠ADF=　 　°．
（2）“梦想小组”的同学们发现，∠BEF的度数是一个定值，这个值为　 　．
（3）“创新小组”的同学们发现，线段AB、DF、EF之间存在特殊的数量关系，请写出这一关系式，并说明理由：
拓展应用
（4）如图2，当直线PQ在正方形ABCD的外部时，“进取小组”的同学们发现（3）的结论仍然成立，并提出新问题；若DF=3，EF=4，直接写出正方形ABCD的边长．
【答案】（1）70°；（2）45°；（3）EF2+DF2=2AB2，详见解析；（4）5
【分析】（1）利用折叠得出∠BAP=∠EAP=25°，进而求出∠BAE=50°，即可得出结论；
（2）设∠BAP=α，先求出∠AED=45°+α，再求出∠AEB，即可得出结论；
（3）利用（2）判断出∠BFE=90°，即△BDF是直角三角形，利用勾股定理即可得出结论；
（4）先判断出∠AED=∠ABF，再判断出∠AED=∠ADE，即可得出∠BFD=90°，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵∠PAB=25°，

由折叠知，∠PAB=∠EAP=25°，
∴∠BAE=50°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，
∴∠DAE=40°，
∴∠ADF=（180°﹣40°）=70°
（2）设∠BAP=α，
由折叠知，AE=AD，∠EAF=∠BAF=α，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∴AD=AE，∠DAE=90°﹣∠BAE=90°﹣2α，
∴∠AED=（180°﹣∠DAE）=90°﹣∠DAE=90°﹣（90°﹣2α）=45°+α，
由折叠知，BE⊥AP，
∴∠AEB+∠EAF=90°，
∴∠AEB=90°﹣∠EAF=90°﹣α，
∴∠BEF=180°﹣∠AEB﹣∠AED=180°﹣（90°﹣α）﹣（45°+α）=45°，
故答案为：45°；
（3）EF2+DF2=2AB2；
理由：如图1，连接BF，

由折叠知，BF=EF，∠BEF=∠EBF，
由（2）知，∠BEF=45°，
∴∠BFE=90°，
连接BD，
∴△BDF是直角三角形，
∴BD2=BF2+DF2=EF2+DF2，
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴BD2=2AB2，
∴EF2+DF2=2AB2；
（4）如图2，连接BD，BF，

由折叠知，∠BEF=∠EBF，∠AEB=∠ABE，
∴∠AED=∠ABF，
由折叠知，EF=BF，AE=AB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，AB=AD，
∴AE=AD，
∴∠AED=∠ADE，
∴∠ABF=∠ADE，
∵∠AOB=∠FOD，
∴∠BFD=∠BAD=90°
∴△BDF是直角三角形，
∴BD2=BF2+DF2=EF2+DF2，
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴BD2=2AB2，
∴EF2+DF2=2AB2，
∵DF=，EF=，
∴2AB2=32+18=50，
∴AB=5
即：正方形ABCD的边长为5．
【点评】此题是四边形综合题，主要考查了折叠的性质，正方形的性质，直角三角形的判定，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，解本题的关键是判断出∠BEF=45°．
20．如图，将一条长为60cm的卷尺铺平后折叠，使得卷尺自身的一部分重合，然后在重合部分（阴影处）沿与卷尺边垂直的方向剪一刀，此时卷尺分为了三段，若这三段长度由短到长的比为1：2：3，则折痕对应的刻度有几种可能．

【答案】折痕对应的刻度有4种：20cm、25cm、35cm和40cm．
【分析】先确定这三段的长度分别为10厘米、20厘米、30厘米，再分以下6种情况：（1）剪切处右边部分长度为10cm，左边为20cm；（2）剪切处右边部分长度为10cm，左边为30cm；（3）剪切处右边部分长度为20cm，左边为10cm；（4）剪切处右边部分长度为20cm，左边为30cm；（5）剪切处右边部分长度为30cm，左边为10cm；（6）剪切处右边部分长度为30cm，左边为20cm；分别求出折痕刻度，问题即得解决．
【解答】解：60÷（1+2+3）＝60÷6＝10（cm），
10×1＝10（cm），10×2＝20（cm），10×3＝30（cm），即三段长分别为10cm、20cm、30cm；
（1）当剪切处右边部分长度为10cm，剪切处左边的卷尺为20cm时，折痕对应刻度为10+20÷2＝20（cm）；
（2）当剪切处右边部分长度为10cm，剪切处左边的卷尺为30cm时，折痕对应刻度为10+30÷2＝25（cm）；
（3）当剪切处右边部分长度为20cm，剪切处左边的卷尺为10cm时，折痕对应刻度为20+10÷2＝25（cm）；
（4）当剪切处右边部分长度为20cm，剪切处左边的卷尺为30cm时，折痕对应刻度为20+30÷2＝35（cm）；
（5）当剪切处右边部分长度为30cm，剪切处左边的卷尺为10cm时，折痕对应刻度为30+10÷2＝35（cm）；
（6）当剪切处右边部分长度为30cm，剪切处左边的卷尺为20cm时，折痕对应刻度为30+20÷2＝40（cm）．
综上所述：折痕对应的刻度有4种：20cm、25cm、35cm和40cm．
【点评】本题考查了图形的剪拼和线段的和差计算，解答此题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件全面讨论、正确列式求解．