专题02 平面向量范围与最值问题-2022-2023学年高一数学下学期期中期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

专题02 平面向量范围与最值问题  

【考点预测】

平面向量范围与最值问题常用方法：

1、定义法

第一步:利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系

第二步：运用基木不等式求其最值问题

第三步:得出结论

2、坐标法

第一步 : 根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标

第二步: 将平面向量的运算坐标化

第三步:运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解

3、基底法

第一步：利用其底转化向量

第二步：根据向量运算律化简目标

第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论

3、几何意义法

第一步: 先确定向量所表达的点的轨迹

第二步: 根据直线与曲线位置关系列式

第三步：解得结果

【典型例题】

例1．（2023春·陕西商洛·高一统考期末）已知向量，，满足，，，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题意可设，，，

则，，

则，

，

，

其中，

，

则，

故选：D.

例2．（2023春·山东济南·高一统考期末）如图，正方形ABCD的顶点A，D分别在x轴正半轴、y轴正半轴上移动．若，则a的最大值是（    ）

A．1 B． C．2 D．3

【答案】A

【解析】设，所以点，，所以

，即，当且仅当时取等号，所以a的最大值是1.

故选：A.

例3．（2023·陕西西安·高一西北工业大学附属中学校考期末）已知平面向量与的夹角为，则的最大值为（    ）

A． B．2 C．4 D．8

【答案】C

【解析】以向量与为两边作△，，，

则

则在△中，即，

则，当且仅当即时等号成立.

故选：C

例4．（2023·高一单元测试）如图，在等腰直角中，斜边，且，点是线段上任一点，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题意可知，,

,

设，则，，

所以

，

因为，

所以当时，取最小值，当时，取最大值4，

所以的取值范围是，

故选：B

例5．（2023·辽宁·高一大连二十四中校联考期末）已知点在直线上，点在直线外，若，且，，则的最小值为______.

【答案】

【解析】根据题意，当时，最小；

 由，

  ，

∴ ，即，

∴ ，

∴当时，由面积法得 ，，

所以的最小值为.

故答案为：

例6．（2023·高一课时练习）已知，，则的取值范围是________．

【答案】

【解析】由向量模长的三角不等式可得，当且仅当、的方向相同时，等号成立；

，当且仅当、的方向相反时，等号成立.

因此，的取值范围是.

故答案为：.

例7．（2023·高一单元测试）已知向量，且，则的取值范围是___________．

【答案】

【解析】因为，

所以，

又因为，

所以，

所以，

设，则，

则，

化简得：，

方程有解，则，

化简得：，

当，，

所以，

所以不等式的解集为：.

故答案为：.

例8．（2023·高一课时练习）如图，已知是边长为的正六边形的一条边，点在正六边形内(含边界)，则的取值范围是___________.

【答案】

【解析】如图，取的中点，

由已知得：，则，，

.

以为圆心， (为边的对边的中点)为半径作圆，

由正六边形的性质可知，该圆与边相切于点，且点为或点时，最大，

此时.

；

当与重合时，最小；

，即的取值范围为.

故答案为：.

【过关测试】

一、单选题

1．（2023·福建宁德·高一统考期末）如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，是半径上的动点，.则面积的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设，则，

，，，，，

在中，由正弦定理得：，

，

，，

当，即时，取得最大值.

故选：B.

2．（2023春·天津·高一校联考期末）已知，，，；若P是△ABC所在平面内一点，，则的最大值为是（    ）

A．17 B．13 C．12 D．15

【答案】B

【解析】由题意建立如图所示的坐标系，可得，，，

，，

，，

，当且仅当时，等号成立，

故选：B.

3．（2023·陕西西安·高一西北工业大学附属中学校考期末）已知向量，且 与方向相同，则的取值范围是（    ）

A．（1，+∞） B．（-1，1）

C．（-1，+∞） D．（-∞，1）

【答案】C

【解析】因为与同向，所以可设

则有，又因为，，

所以

所以的取值范围是(-1，+∞)，

故选：C.

4．（2023·高一课时练习）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，

因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，

设，，

所以，，

所以

，其中，，

因为，所以，即；

故选：D

二、多选题

5．（2023·高一单元测试）在边长为2的正方形ABCD中，P，Q在正方形（含边）内，满足，则下列结论正确的是（    ）

A．若点P在BD上时，则

B．的取值范围为

C．若点P在BD上时，

D．若P，Q在线段BD上，且，则的最小值为1

【答案】ACD

【解析】当点P在BD上时，因为，所以，故A正确；

因为P在边长为2的正方形ABCD（含边）内，且，

所以，则，故B错误；

当点P在BD上时，，

所以，故C正确；

若P，Q在线段BD上，且，如图建立平面直角坐标系，

设，则，，

∴

∴当时，有最小值为1，故D正确.

故选：ACD.

三、填空题

6．（2023·高一单元测试）在梯形中，，，，，、分别为线段和线段上的动点，且，，则的取值范围为______．

【答案】

【解析】以点为坐标原点，直线为轴，过点且垂直于直线的直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，

则、、、，则，

由题意可得，解得，

，

所以，，

由对勾函数的单调性可知，函数在区间上单调递增，

当时，.

因此，的取值范围是.

故答案为：.

7．（2023·高一课时练习）已知点，其中，则的取值范围为___________.

【答案】

【解析】由，

得，

则，

所以，

因为，

所以，

所以，

即的取值范围为.

故答案为：.

8．（2023·高一课时练习）在矩形ABCD中，边AB､AD的长分别为2､1，若M､N分别是边BC､CD上的点，且满足，则的取值范围是___________.

【答案】[1，4]

【解析】如图建系，

所以，设，则，

因为，所以，即，

又，

所以，

故答案为：[1，4]

四、解答题

9．（2023·辽宁葫芦岛·高一统考期末）平面内给定三个向量，且．

(1)求实数k关于n的表达式；

(2)如图，在中，G为中线OM上一点，且，过点G的直线与边OA，OB分别交于点P，Q（不与重合）.设向量，求的最小值．

【解析】（1）因为，

所以，即.

（2）由（1）可知，，，由题意可知

因为，所以

又，，所以.

因为三点共线，所以.

当且仅当时，取等号，即时，取最小值.

10．（2023春·江苏常州·高一江苏省前黄高级中学校考开学考试）如图，在直角三角形中，．点分别是线段上的点，满足．

(1)求的取值范围；

(2)是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

【解析】（1）在直角三角形中，．

∴，，

，

∵，∴．

（2）

令，得或（舍）.

∴存在实数，使得．

11．（2023·高一课时练习）如图，在边长为1的正方形ABCD中，P是对角线AC上一动点，于点E，于点F．

(1)求；

(2)设，点Q满足．

①证明：；

②当点P运动时，求的取值范围．

【解析】（1）如图，以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，

则，，，，

设，则，，

所以，，

所以，

所以．

（2）①证明：因为，所以，所以．

②因为，所以，即．

设M是线段DQ的中点，则，

因此，

从而，因此P、M、C三点共线．

结合，及线段QD的中点M在AC上，

得Q、D关于直线AC轴对称，因此Q与B重合，

所以，结合P与C不重合，有t≠1，

所以，，

所以的取值范围是

12．（2023·高一课时练习）在学习向量三点共线定理时，我们知道当P、A、B三点共线，O为直线外一点，且时，（如图1），小明同学提出了如下两个问题，请同学们帮助小明解答．

(1)当或时，O、P两点的位置与AB所在直线之间存在什么关系？写出你的结论，并说明理由；

(2)如图2，射线，点P在由射线OM、线段OA及BA的延长线围成的区域内（不含边界）运动，且，求实数x的取值范围，并求当时，实数y的取值范围．

【解析】（1）若，则，在直线AB异侧；若，则，在直线AB同侧．

理由如下：

设，则由，得：

，

则在直线上有一点，使得，如下图所示：

则，即，

当时，则与同向，且，

由平面共线定理可得，，在直线AB异侧；

当时，与反向，如下图所示，且，

由平面共线定理可得，，在直线AB同侧．

（2）射线，点P在由射线OM、线段OA及BA的延长线围成的区域内（不含边界）运动

如图所示，阴影部分为点P的运动区域（不含边界），

由（1）可知，，在直线同侧，由于，则．

过点作交射线于，过点作交射线的延长线于,

由平行四边形法则可得，

又与方向相同，则，且，与方向相反，则，且，

则，故，即实数的取值范围是，

当时，此时为中点，过作直线平行与交于，交射线于，则点运动轨迹为线段（不含端点），如下图：

当点运动到时，，此时；

当点运动到时，，此时；

且由平面向量加法的平行四边形法则得.

13．（2023·高一课时练习）已知的面积为S，，若，求与的夹角的取值范围．

【解析】因为，，

所以，又，

所以，又，

所以．

14．（2023·高一单元测试）如图，在中，点为中点，点为的三等分点，且靠近点，设，，，，且，与交于点.

(1)求；

(2)若点为线段上的任意一点，连接，求的取值范围.

【解析】（1），

，

又，所以，所以，

由得，

所以

.

所以；

（2）以点C为坐标原点，CB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系如下图所示，则

，，，，，，

又点为线段上的任意一点，设点，且，则，，

所以，

所以当时，取得最大值：，

当或时，取得最小值：，

所以的取值范围为.

15．（2023·高一单元测试）如图所示，是的一条中线，点满足，过点的直线分别与射线，射线交于，两点.

(1)求证：；

(2)设，，，，求的值；

(3)如果是边长为的等边三角形，求的取值范围.

【解析】（1）证明：因，所以，又因为的中点，所以，所以.

（2）因，，，，所以，，又因，所以，又因，，三点共线，所以，即.

（3）设，，，，由（1）（2）可知，，即.

因，，

所以

，

又因是边长为的等边三角形，

所以，

令，因，即，当且仅当时，等号成立，所以.

因此，

又因，所以，所以.

16．（2023·高一课时练习）已知中，过重心G的直线交边于P，交边于Q，设的面积为，的面积为，，.

（1）求证：.

（2）求的取值范围.

【解析】设，又，

，

三点共线，则存在，使得，即

即

，整理得，即，

两边同除以得，

（2）由，

利用三角形面积公式得：

，则，可知

，

则当时，取得最小值，当时，取得最小值，

又，故的取值范围为

17．（2023·高一单元测试）在如图所示的平面图形中，已知，，点A，B分别是线段CE，ED的中点．

（1）试用，表示；

（2）若，，且，的夹角，试求的取值范围．

【解析】（1）连接AB，则，

∵A，B分别是线段CE，ED的中点，

∴，则．

（2)

，

将，代入，

则．

∵，

∴，则，

故．