专题04 尺规作图与图形旋转过关20题-【基础过关】2023年中考数学总复习高频考点必刷题

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题型一：作角平分线
1．按要求完成作图，不要求写作法，只保留作图痕迹．
已知：∠AOB，作出∠AOB的平分线OC．
【解答】解：如图，OC为所作；
2．如图，，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线AP，交CD于点M．
(1)若，求的度数；
(2)若，垂足为N，试说明：．
【详解】（1）解：∵，，∴．由作法可知是的平分线，∴．
（2）证明：∵，∴，∵是的平分线，∴，
∴，∴，又∵，∴．
3．如图，在中，，，边的垂直平分线交于点．
(1)尺规作图：作的平分线交于点；（要求：保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）所作的图中，求的度数．
【详解】（1）如图所示：即为所求；
（2）∵垂直平分线段，∴，∴，∵，
∴，∴，∵平分，
∴．
题型二：作垂直平分线
4.如图,△ABC中,∠C＝90º, AC＝4, BC＝8.
(1)用直尺和圆规作AB的垂直平分线; (保留作图痕迹,不要求写作法)
(2)若(1)中所作的垂直平分线交BC于点D,求BD的长.
【详解】（1）如图直线即为所求．
（2）∵垂直平分线段，∴，设，在中，
∵，∴，解得，∴．
5．尺规作图：（只保留作图痕迹，不要求写出作法）
如图，已知，且，是的外角．
(1)在边上求作点，使；
(2)作的平分线．
【详解】（1）解：分别以为圆心，大于长为半径在两侧上下画弧，连接两弧交点的直线交于点，即为所求，如下图：
（2）解：以点为圆心，画弧交、于点，再分别以为圆心，大于长为半径作弧两弧相交与点，连接即就为的平分线，如下图：
6．如图，某市有两个粮食市场C、D，附近有两条交叉的公路．现计划修建一座大型粮仓P，为了运输方便，希望该粮仓到两条公路的距离相等，且到两个粮食市场C、D的距离也相等，请在图中设计出该粮仓的位置．（尺规作图，不写作法，写清结论．）
【详解】
7．如图，点M，N是内部两点．尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法．
(1)作：
(2)作的平分线：
(3)求作点P，使，且点P到，的距离相等．
【详解】（1）如图1，图2，即为所求．
（2）如图1，射线即为所求．
（3）如图1，点即为所求．
题型三：将军饮马类最短路径作图
8．如图网格中，的顶点均在格点上，点、的坐标分别是、．
（1）点A关于点中心对称点的坐标为（_______，_______）；
（2）绕点顺时针旋转后得到，在方格纸中画出，并写出点的坐标（______，_______）；
（3）在轴上找一点，使得最小，请在图中标出点的位置，并求出这个最小值．
【详解】解：（1）∵与点A关于点中心对称点的特征是横纵坐标符号改变，
∵点，
∴点A关于点中心对称点的坐标为(-3，-2)，
故答案为∶-3，-2；
（2）把点A、B顺时针旋转90°对应点分别为A1、B1，连结OA1、OB1、A1B1，则为所求如图，
点B1到y轴距离=点B到x轴的距离，点B1到x轴距离=点B到y轴的距离，
∵，点B1在第四象限，
∴点B1坐标为（3，-1）；
（3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，
∵的坐标是．则，
PB=PB′，=PA+PB′≤AB′，
此时最短，
∵，，
∴．
9．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点的坐标分别是A（－3，2），B（0，4），C（0，2）．
（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C；平移△ABC，若A的对应点A2的坐标为（0，-4），画出平移后对应的△A2B2C2；
（2）若将△A1B1C绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标；
（3）若在x轴上有一点P，使得PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标．
【详解】解：（1）如图所示：△A1B1C，△A2B2C2，即为所求；
（2）如图所示：旋转中心的坐标为：（1.5，-1）；
（3）如图所示：点P的坐标为：（-2，0）．
10．如图：在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度；已知△ABC．
（1）作出△ABC以O为旋转中心，顺时针旋转90°的△A1B1C1（只画出图形）
（2）作出△ABC关于原点O成中对心称的△A2B2C2，（只画出图形），写出B2和C2的坐标．
（3）请在轴上找一点P，使PB1+PC1的值最小，并直接写出点P的坐标．
【详解】解：（1）如图所示：
（2）B2 (4，-1)， C2 (1，-2) ；
（3）如图，B1关于y轴的对称点B’（-1，4），又C1（2，1），
设C1B’的解析式为y=kx+b
把（-1，4）、C1（2，1）代入得，解得，
∴C1B’的解析式为y=-x+3，令x=0，得y=3∴P（0，3）．
题型四：尺规作圆
11．已知：．求作：，使它经过点和点，并且圆心在的平分线上，
【详解】解：根据题意可知，先作∠A的角平分线，
再作线段BC的垂直平分线相交于O，
即以O点为圆心，OB为半径，作圆O，
如下图所示：
12．如图，已知△ABC，BD⊥AC于点D，请利用尺规作⊙O，使得⊙O经过A、B、D三点．（不写作法，保留作图痕迹）
【详解】如图，⊙O即为所作．
13.已知：在△ABC中，AB＝AC．
（1）求作：△ABC的外接圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为4，BC＝6，则S⊙O＝ ．
解：（1）如图⊙O即为所求．
（2）设线段BC的垂直平分线交BC于点E．由题意可知，OE＝4，BE＝EC＝3，
在Rt△OBE中，OB＝＝5，∴S圆O＝π•52＝25π．故答案为25π．
14．如图，已知锐角中，．
（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作的平分线；作的外接圆；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若，的半径为5，则________．（如需画草图，请使用图2）
【详解】解：（1）如图所示：
（2）连接OA，
∵，的平分线，
∴AD=BD=，CD⊥AB，
∵的半径为5，
∴OD=，
∴CD=CO+OD=5+=，
∴BC=，
∴．
15．如图，已知是锐角三角形．
（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图；作直线，使上的各点到、两点的距离相等；设直线与、分别交于点、，作一个圆，使得圆心在线段上，且与边、相切；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若，，则的半径为________．
【详解】解：（1）①先作的垂直平分线：分别以B，C为圆心，大于的长为半径画弧，连接两个交点即为直线l，分别交、于、；
②再作的角平分线：以点B为圆心，任意长为半径作圆弧，与的两条边分别有一个交点，再以这两个交点为圆心，相同长度为半径作弧，连接这两条弧的交点与点B，即为的角平分线，这条角平分线与线段MN的交点即为；
③以为圆心，为半径画圆，圆即为所求；
（2）过点作，垂足为，设
∵，，∴，∴
根据面积法，∴
∴，解得，
故答案为：．
题型五：图形的旋转
16．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，1），B（4，1），C（3，3）．
（1）将△ABC向下平移5个单位后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2；
（3）判断以O，A1，B为顶点的三角形的形状．（无须说明理由）
【详解】（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求；
（3）三角形的形状为等腰直角三角形，OB=OA1=，A1B==，
即OB2+OA12=A1B2，所以三角形的形状为等腰直角三角形．
17．如图，方格中，每个小正方形的边长都是单位1，△ABC的位置如图．
（1）画出将△ABC向右平移2个单位得到的△A1B1C1；
（2）画出将△ABC绕点O顺时针方向旋转90°得到的△A2B2C2；
（3）写出C2点的坐标．
【详解】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求，
（3）由（2）中点C2的位置可得，
C2点的坐标为(2，3)．
18．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，．将绕原点顺时针旋转后得到．
(1)请写出、、三点的坐标：_________，_________，_________
(2)求点旋转到点的弧长．
（1）解：将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A1B1C1，点A1，B1，C1的坐标即为点A，B，C绕着点O按顺时针方向旋转90°得到的点，
所以A1（1，1）；B1（0，4）；C1（2，2）
（2）解：由图知点旋转到点的弧长所对的圆心角是90度，OB=4，
∴点旋转到点的弧长==2π
19．如图，在平面直角坐标系中，网格的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，点，，的坐标分别为，，，先以原点为位似中心在第三象限内画一个，使它与位似，且相似比为2：1，然后再把绕原点逆时针旋转90°得到．
（1）画出，并直接写出点的坐标；
（2）画出，直接写出在旋转过程中，点到点所经过的路径长．
【详解】（1）如图所示，A1(-2，-4)；
（2）如图所示，
∵OA=
∴的长为：．
20．如图，在平面直角坐标系中，点、、的坐标分别为、、，先将沿一确定方向平移得到，点的对应点的坐标是，再将绕原点顺时针旋转得到，点的对应点为点．
（1）画出和；
（2）求出在这两次变换过程中，点经过点到达的路径总长；
（3）求线段旋转到所扫过的图形的面积．
【详解】（1）如图
（2），点A经过点A1到达A2的路径总长为；
（3）。