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2022-2023学年北京三十五中九年级（下）月考数学试卷（3月份）(含解析）
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这是一份2022-2023学年北京三十五中九年级（下）月考数学试卷（3月份）(含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年北京三十五中九年级（下）月考数学试卷（3月份）
一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列几何体中，主视图为矩形的是( )
A. B. C. D.
2. 中国国家航天局2020年4月24日在“中国航天日”之际宣布，将中国行星探测任务命名为“天问”，将中国首次火星探测任务命名为“天问一号”.火星具有与地球十分相近的环境，与地球最近的时候距离约5500万千米，将5500用科学记数法表示为( )
A. 0.55×104 B. 5.5×103 C. 5.5×102 D. 55×102
3. 如图，将一块含有30°角的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，若∠1=48°，那么∠2的度数是( )
A. 48° B. 78° C. 92° D. 102°
4. 点O，A，B，C在数轴上的位置如图所示，O为原点，AC=1，OA=OB.若点C所表示的数为a，则点B所表示的数为( )
A. −a−1 B. −a+1 C. a+1 D. a−1
5. 若关于x的一元二次方程x2+x+m=0有两个相等的实数根，则实数m的值为( )
A. −4 B. −14 C. 14 D. 4
6. 如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，CD=4，tanC=12，则AB的长为( )
A. 2.5
B. 4
C. 5
D. 10
7. 某数学兴趣小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率．绘制了如图所示的统计图，那么符合这一结果的实验最有可能的是( )
A. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
B. 一副只有四种花色的52张普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
C. 抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4
D. 暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球
8. 生活垃圾分类回收是实现垃圾减量化和资源化的重要途径和手段．为了解2019年某市第二季度日均可回收物回收量情况，随机抽取该市2019年第二季度的m天数据，整理后绘制成统计表进行分析．
日均可回收物回收量(千吨)
1≤x<2
2≤x<3
3≤x<4
4≤x<5
5≤x≤6
合计
频数
1
2
b
3
m
频率
0.05
0.10
a
0.15
1
表中3≤x<4组的频率a满足0.20≤a≤0.30．
下面有四个推断：
①表中m的值为20；
②表中b的值可以为7；
③这m天的日均可回收物回收量的中位数在4≤x<5组；
④这m天的日均可回收物回收量的平均数不低于3．
所有合理推断的序号是( )
A. ①② B. ①③ C. ②③④ D. ①③④
二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）
9. 若分式1x−2在实数范围内有意义，则 x的取值范围是 ．
10. 因式分解：a3−a= ．
11. 方程2x+5=1x的解为______．
12. 如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，若△ADE的面积为1，则△ABC的面积等于 ．
13. 如图，∠A=∠ABC=∠C=∠D=∠E，点F在AB的延长线上，则∠CBF的度数是 ．
14. 为了丰富同学们的课余生活，某年级买了3个篮球和2个足球，共花费了474元，其中篮球的单价比足球的单价多8元，求篮球和足球的单价，如果设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，依题意可列方程组为 ．
15. 某地扶贫人员甲从办公室出发，骑车匀速前往所A村走访群众，出发几分钟后，扶贫人员乙发现甲的手机落在办公室，无法联系，于是骑车沿相同的路线匀速去追甲．乙刚出发2分钟，甲也发现自己手机落在办公室，立刻原路原速骑车返回办公室，2分钟后甲遇到乙，乙把手机给甲后立即原路原速返回办公室，甲继续原路原速赶往A村．甲、乙两人相距的路程y(米)与甲出发的时间x(分)之间的关系如图所示(乙给甲手机的时间忽略不计)．
有下列三个说法：
①甲出发10分钟后与乙相遇；
②甲的速度是400米/分；
③乙返回办公室用时4分钟．
其中所有正确说法的序号是 ．
16. 某超市现有n个人在收银台排队等候结账．设结账人数按固定的速度增加，收银员结账的速度也是固定的．若同时开放2个收银台，需要20分钟可使排队等候人数为0；若同时开放3个收银台，需要12分钟可使排队等候人数为0.为减少顾客等待结账的时间，需要6分钟内使排队等候人数为0，则需要至少同时开放 个收银台．
三、计算题（本大题共2小题，共10.0分）
17. 计算：|− 3|+2cos60°−(π−2020)0+(13)−1．
18. 解不等式组：2(x−1)
19. (本小题5.0分)
已知x2+2x−2=0，求代数式x(x+2)+(x+1)2的值．
20. (本小题5.0分)
下面是小明设计的“在已知三角形的一边上取一点，使得这点到这个三角形的另外两边的距离相等”的尺规作图过程：
已知：△ABC．
求作：点D，使得点D在BC边上，且到AB，AC边的距离相等．
作法：如图，
作∠BAC的平分线，交BC于点D．
则点D即为所求．
根据小明设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，补全图形(保留作图痕迹)；
(2)完成下面的证明．
证明：作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F，
∵AD平分∠BAC，
∴______=______(______)(括号里填推理的依据)．
21. (本小题6.0分)
如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA=OB，过点B作BE⊥AC于点E．
(1)求证：▱ABCD是矩形；
(2)若AD=2 5，cos∠ABE=2 55，求AC的长．
22. (本小题5.0分)
在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y=12x的图象向下平移1个单位长度得到．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)当x>−2时，对于x的每一个值，函数y=mx(m≠0)的值大于一次函数y=kx+b的值，直接写出m的取值范围．
23. (本小题6.0分)
某医院医生为了研究该院某种疾病的诊断情况，需要调查来院就诊的病人的两个生理指标x，y，于是他分别在这种疾病的患者和非患者中，各随机选取20人作为调查对象，将收集到的数据整理后，绘制统计图如下：
注“●”表示患者，“▲”表示非患者．
根据以上信息，回答下列问题：
(1)在这40名被调查者中，①指标y低于0.4的有 人；②将20名患者的指标x的平均数记作x−1，方差记作s12，20名非患者的指标x的平均数记作x−2，方差记作s22，则x−1 x−2，s12 s22(填“ >；”，“=”或“ <；”)；
(2)来该院就诊的500名未患这种疾病的人中，估计指标x低于0.3的大约有 人；
(3)若将“指标x低于0.3，且指标y低于0.8”作为判断是否患有这种疾病的依据，则发生漏判的概率多少．
24. (本小题6.0分)
如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，且CD=CB，连接OC，BD，OD．
(1)求证：OC垂直平分BD；
(2)过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，连接AD，CD．
①依题意补全图形；
②若AD=6，sin∠AEC=35，求CD的长．
25. (本小题5.0分)
学校举办“科技之星”颁奖典礼，颁奖现场入口为一个拱门.小明要在拱门上顺次粘贴“科”“技”“之”“星”四个大字(如图1)，其中，“科”与“星”距地面的高度相同，“技”与“之”距地面的高度相同，他发现拱门可以看作是抛物线的一部分，四个字和五角星可以看作抛物线上的点.通过测量得到拱门的最大跨度是10米，最高点的五角星距地面6.25米．
(1)请在图2中建立平面直角坐标系xOy，并求出该抛物线的解析式；
(2)“技”与“之”的水平距离为2a米.小明想同时达到如下两个设计效果：
①“科”与“星”的水平距离是“技”与“之”的水平距离的2倍；
②“技”与“科”距地面的高度差为1.5米．
小明的设计能否实现？若能实现，直接写出a的值；若不能实现，请说明理由．
26. (本小题6.0分)
在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线：y=ax2−2ax+4(a>0)．
(1)抛物线的对称轴为x= ______ ；抛物线与y轴的交点坐标为______ ；
(2)若抛物线的顶点恰好在x轴上，写出抛物线的顶点坐标，并求它的解析式；
(3)若A(m−1,y1)，B(m,y2)，C(m+2,y3)为抛物线上三点，且总有y1>y3>y2，结合图象，求m的取值范围．
27. (本小题7.0分)
在正方形ABCD中，E是CD边上一点(CE>DE)，AE，BD交于点F．
(1)如图1，过点F作GH⊥AE，分别交边AD，BC于点G，H．
求证：∠EAB=∠GHC；
(2)AE的垂直平分线分别与AD，AE，BD交于点P，M，N，连接CN．
①依题意补全图形；
②用等式表示线段AE与CN之间的数量关系，并证明．
28. (本小题7.0分)
在平面直角坐标系xOy中．⊙O的半径为1，对于直线l和线段AB，给出如下定义：若将线段AB关于直线l对称，可以得到⊙O的弦A′B′(A′,B′分别为A，B的对应点)，则称线段AB是⊙O的关于直线l对称的“关联线段”.例如：在图1中，线段AB是⊙O的关于直线l对称的“关联线段”．
(1)如图2，点A1，B1，A2，B2，A3，B3的横、纵坐标都是整数．
①在线段A1B1，A2B2，A3B3中，⊙O的关于直线y=x+2对称的“关联线段”是______；
②若线段A1B1，A2B2，A3B3中，存在⊙O的关于直线y=−x+m对称的“关联线段”，则m=______；
(2)已知直线y=− 33x+b(b>0)交x轴于点C，在△ABC中，AC=3，AB=1.若线段AB是⊙O的关于直线y=− 33x+b(b>0)对称的“关联线段”，直接写出b的最大值和最小值，以及相应的BC长．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、圆锥的主视图是等腰三角形，不符合题意；
B、长方体的主视图是矩形，符合题意；
C、球的主视图是圆形，不合题意；
D、该几何体的主视图是梯形，不符合题意．
故选：B．
根据主视图是从物体正面看，所得到的图形，分别得出四个几何体的主视图，即可解答．
本题考查了简单几何体的主视图，注意主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
2.【答案】B
【解析】解：5500=5.5×103，
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查了平行线的性质及邻补角，正确得出∠3的度数是解题关键．直接利用已知角的度数结合邻补角、平行线的性质得出答案即可．
【解答】
解：如图，
∵将一块含有30°角的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，∠1=48°，
∴∠2=∠3=180°−48°−30°=102°．
故选：D．
4.【答案】B
【解析】解：由图可得，
点A表示的数为a−1，
∵OA=OB，
∴点B表示的数为−(a−1)=−a+1，
故选：B．
根据题意和数轴，可以用含a的代数式表示出点B，本题得以解决．
本题考查列代数式、数轴，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
5.【答案】C
【解析】解：根据题意得Δ=12−4m=0，
解得m=14．
故选：C．
根据根的判别式的意义得到12−4m=0，然后解一次方程即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
6.【答案】C
【解析】解：∵AB⊥CD，CD=4，
∴CE=DE=2，
∵∠B=∠C，tanC=12，
∴tanB=12，
∴AE=1，BE=4，
∴AB=AE+BE=1+4=5，
故选：C．
首先根据垂径定理和CD的长求得CE和DE的长，然后根据同弧所对的圆周角相等确定∠B=∠C，根据正切的定义求得AE和BE的长即可求得答案．
本题考查了圆周角定理及垂径定理，锐角三角函数的定义知识，解题的关键是根据垂径定理求得CE和DE的长，难度不大．
7.【答案】C
【解析】解：A、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀“的概率为13，故A选项不符合题意；
B、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是1352=14；故B选项不符合题意；
C、掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4的概率为16≈0.17，故C选项符合题意；
D、暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球的概率为23，故D选项不符合题意；
故选：C．
根据统计图可知，试验结果在0.17附近波动，即其概率P≈0.17，计算四个选项的概率，约为0.17者即为正确答案．
此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式．
8.【答案】D
【解析】
解：①1÷0.05=20．
故表中m的值为20，是合理推断；
②20×0.20=4，
20×0.30=6，所以3≤x<4的频数可能为4，5，6
∴b的值可能为8，9，10，
故表中b的值可以为7，是不合理推断；
③1+2+6=9，
故这m天的日均可回收物回收量的中位数在4≤x<5组，是合理推断；
④因为0.20≤a≤0.30，所以中位数在4≤x<5，易得a的值越大x的数值越小，
当a=0.3时，
0.05+0.1+0.3=0.45<0.5，
故这m天的日均可回收物回收量的平均数不低于3，是合理推断．
故选：D．
【分析】
①根据数据总和=频数÷频率，列式计算可求m的值；
②根据3≤x<4组的频率a满足0.20≤a≤0.30，可求该范围的频数，进一步得到b的值的范围，从而求解；
③根据中位数的定义即可求解；
④根据加权平均数的计算公式即可求解．
本题考查频数(率)分布表，从表中获取数量及数量之间的关系是解决问题的关键．
9.【答案】x≠2
【解析】解：∵分式1x−2在实数范围内有意义，
∴x的取值范围是：x≠2．
故答案为：x≠2．
直接利用分式有意义的条件为分母不为零，进而得出答案．
此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键．
10.【答案】a(a+1)(a−1)
【解析】
【分析】
此题考查了提公因式与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
原式提取a，再利用平方差公式分解即可．
【解答】
解：原式=a(a2−1)=a(a+1)(a−1)，
故答案为a(a+1)(a−1)．
11.【答案】x=5
【解析】解：去分母得：2x=x+5，
解得：x=5，
检验：把x=5代入得：x(x+5)≠0，
∴分式方程的解为x=5．
故答案为：x=5．
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
12.【答案】4
【解析】解：∵D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//BC，DE=12BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADES△ABC=(DEBC)2=14，
∵△ADE的面积为1，
∴△ABC的面积为4，
故答案为：4．
根据三角形中位线定理得到DE//BC，DE=12BC，证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质计算，得到答案．
本题考查的是三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
13.【答案】72°
【解析】解：∵∠A=∠ABC=∠C=∠D=∠E，
∴五边形ABCDE是正多边形，
∵正多边形的外角和是360°，
∴∠CBF=360°÷5=72°．
故答案为：72°．
正多边形的外角和是360°，这个正多边形的每个外角相等，因而用360°除以多边形的边数，就得到外角的度数．
本题考查了多边形的内角与外角．根据正多边形的外角和求多边形的边数和外角的度数是常用的一种方法，需要熟记．
14.【答案】3x+2y=474x−y=8
【解析】解：设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，
根据题意可列方程组为3x+2y=474x−y=8，
故答案为：3x+2y=474x−y=8．
根据“3个篮球的价钱+2个足球的价钱=474元和篮球单价−足球的单价=8元”可列方程组．
本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系．
15.【答案】①②③
【解析】解：由题意可得，
甲出发10分钟后与乙相遇，故①正确；
甲的速度为2400÷6=400(米/分)，故②正确；
乙返回办公室用时14−10=4(分钟)，故③正确；
故答案为：①②③．
根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个小题中的说法是否正确，从而可以解答本题．
本题考查函数图象的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
16.【答案】6
【解析】
【分析】
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用．设结账人数每分钟增加x人，收银员每分钟给y人结账，根据“同时开放2个收银台，需要20分钟可使排队等候人数为0；同时开放3个收银台，需要12分钟可使排队等候人数为0”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可用含n的代数式表示出x，y的值，设同时开放m个收银台，根据需要6分钟内使排队等候人数为0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再取其中的最小整数值即可得出结论．
【解答】
解：设结账人数每分钟增加x人，收银员每分钟给y人结账，
依题意得：20×2y=20x+n12×3y=12x+n，
解得：x=160ny=130n．
设同时开放m个收银台，
则6my>6x+n，
解得：m>112，
又∵m为整数，
∴m的最小值为6，
则需要至少同时开放6个收银台．
17.【答案】解：原式= 3+2×12−1+3
= 3+1−1+3
= 3+3．
【解析】此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
原式利用绝对值的代数意义，特殊角的三角函数值，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值．
18.【答案】解：2(x−1)
由②得：x>1，
则不等式组的解集为1
此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
19.【答案】解：x(x+2)+(x+1)2
=x2+2x+x2+2x+1
=2x2+4x+1，
∵x2+2x−2=0，
∴x2+2x=2，
∴当x2+2x=2时，原式=2(x2+2x)+1
=2×2+1
=4+1
=5．
【解析】先去括号，再合并同类项，然后把x2+2x=2代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了整式的混合运算−化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20.【答案】解：(1)补全图形如图所示；
(2)DE，DF，角平分线的性质．
【解析】解：(1)见答案；
(2)证明：作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F，
∵AD平分∠BAC，
∴DE=DF(角平分线的性质)，
故答案为：DE，DF，角平分线的性质．
本题考查了作图−基本作图，角平分线的性质，解决本题的关键是掌握角平分线的作法．
(1)根据题意补全图形即可；
(2)作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F，根据角平分线的性质即可得到结论．
21.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵OA=OB，
∴OA=OB=OC=OD，
∴AC=BD，
∴▱ABCD是矩形；
(2)解：∵▱ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ADC=90°，
∴∠BAC+∠CAD=90°，
∵BE⊥AC，
∴∠BAC+∠ABE=90°，
∴∠CAD=∠ABE，
在Rt△ACD中，AD=2 5，cos∠CAD=cos∠ABE=2 55，
∴AC=5．
【解析】(1)根据平行四边形的性质得到OA=OC，OB=OD，求得AC=BD，于是得到结论；
(2)根据矩形的性质得到∠BAD=∠ADC=90°，求得∠CAD=∠ABE，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，解直角三角形，熟练掌握矩形的判定和性质定理是解题的关键．
22.【答案】解：(1)函数y=12x的图象向下平移1个单位长度得到y=12x−1，
∵一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y=12x的图象向下平移1个单位长度得到，
∴这个一次函数的表达式为y=12x−1．
(2)把x=−2代入y=12x−1，求得y=−2，
∴函数y=mx(m≠0)与一次函数y=12x−1的交点为(−2,−2)，
把点(−2,−2)代入y=mx，求得m=1，
∵当x>−2时，对于x的每一个值，函数y=mx(m≠0)的值大于一次函数y=12x−1的值，
∴12≤m≤1．
【解析】(1)根据平移的规律即可求得．
(2)根据点(−2,−2)结合图象即可求得．
本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键．
23.【答案】9 < > 100
【解析】解：(1)①经统计指标y低于0.4的有9人，故答案为9；
②观察统计图可以发现，x−1大约在0.3左右，x−2大约在0.6左右，故x−1
故答案为：>、<；
(2)由统计图可知：在20名未患病的样本中，指标x低于0.3的大约有4人，则概率为420；
所以的500名未患这种疾病的人中，估计指标x低于0.3的大约有500×420=100人．
故答案为：100；
(3)通过统计图可以发现有五名患病者没在“指标x低于0.3，且指标y低于0.8”，漏判；
则被漏判的概率为520=0.25．
答：被漏判的概率为0.25．
(1)①直接统计指标y低于0.4的有人的个数即可；
②通过观察图表估算出指标x、y的平均数，然后再进行比较即可确定平均数的大小；根据点的分散程度可以确定方差的大小关系．
(2)先估算出样本中未患这种疾病的人中指标x低于0.3的概率，然后500乘以该概率即可；
(3)通过观察统计图确定不在“指标x低于0.3，且指标y低于0.8”范围内且患病的人数，最后用概率公式求解即可．
本题考查概率的求法，平均数、方差的估计等基础知识，从统计图中获取信息、估计平均数和方差是解答本题的关键．
24.【答案】解：(1)证明：∵CD=CB，
∴∠COD=∠COB．
∵OD=OB，
∴OC垂直平分BD；
(2)①补全图形，如图所示：
；
②∵CE是⊙O的切线，切点为C，
∴OC⊥CE于点C．
记OC与BD交于点F，由(1)知OC⊥BD，
∴∠OCE=∠OFB=90°．
∴DB//CE，
∴∠AEC=∠ABD．
∵在Rt△ABD中，AD=6，sin∠ABD=sin∠AEC=35，
∴BD=8，AB=10．
∴OA=OB=OC=5．
由(1)可知OC平分BD，即DF=BF，
∴BF=DF=4，OF为△ABD的中位线，
∴OF=12AD=3，
∴CF=2．
∴在Rt△CFD中，CD= CF2+DF2=2 5．
∴CD的长为2 5．
【解析】本题考查了线段的垂直平分线的判定、切线的性质、解直角三角形、三角形的中位线定理及勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
(1)由同弧所对的圆心角相等可得∠COD=∠COB，再由等腰三角形的“三线合一“性质可得OD=OB，从而问题得证；
(2)①依照题意补全图形即可；②由切线的性质可得OC⊥CE；由同位角相等可证DB//CE；由等角的正弦值相等可得sin∠ABD=sin∠AEC=35，从而可求得BD、AB、OA、OB和OC的值，由OC垂直平分BD，可得BF及DF的值；由三角形的中位线定理可得OF的值，进而求得CF的值，最后在Rt△CFD中，由勾股定理可得CD的长．
25.【答案】解：(1)以过拱顶为原点，以过拱顶平行于地面的直线为x轴建立如图所示坐标系：
设抛物线解析式为y=mx2，
∵抛物线过点(−5,−6.25)，
∴25m=−6.25，
解得m=−0.25，
∴抛物线解析式为y=−0.25x2；
(2)能实现，
由(1)知抛物线解析式为y=−0.25x2，
设“之”的坐标为(a,−y)，
则“星”的坐标为(2a,−y−1.5)，
∴−y=−0.25a2，y−1.5=−0.25×4a2，
∴−0.25a2−1.5=−a2，
解得a=± 2，
∵a>0，
∴a= 2，
∴能实现，a= 2．
【解析】(1)建立如图所示坐标系，由待定系数法求函数解析式即可；
(2)根据题意求出“之”和“星”的坐标，然后求出a的值即可．
本题考查二次函数的应用，关键是建立适当坐标系求出抛物线解析式．
26.【答案】1 (0,4)
【解析】解：(1)x=−−2a2a=1，
当x=0时，y=ax2−2ax+4=4，
所以抛物线的对称轴是直线x=1，抛物线与y轴的交点坐标是(0,4)，
故答案为：1，(0,4)；
(2)∵抛物线的顶点恰好在x轴上；
∴抛物线的顶点坐标为(1,0)，
把(1,0)代入y=ax2−2ax+4得：0=a×12−2a×1+4，
解得：a=4，
∴抛物线的解析式为y=4x2−8x+4；
(3)A(m−1,y1)关于对称轴x=1的对称点为A′(3−m,y1)，
B(m,y2)关于对称轴x=1的对称点为B′(2−m,y2)，
若要y1>y3>y2，则3−m>m+2>2−m，
解得：0
(2)把点(1,0)代入y=ax2−2ax+4，再求出a即可；
(3)先求出A、B关于直线x=1的对称点坐标，再根据二次函数的性质和已知条件得出3−m>m+2>2−m，再求出答案即可．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质等知识点，能综合运用知识点进行计算是解此题的关键．
27.【答案】(1)证明：在正方形ABCD中，AD//BC，∠BAD=90°，
∴∠AGH=∠GHC．
∵GH⊥AE，
∴∠GAF+∠AGH=90°，
又∵∠GAF+∠EAB=90°
∴∠EAB=∠AGH．
∴∠EAB=∠GHC．
(2)解：①补全图形，如图所示．
②AE= 2CN．
证明：连接AN，连接EN并延长，交AB边于点Q．
∵四边形ABCD是正方形，
∴点A，点C关于BD对称．
∴NA=NC，∠BAN=∠BCN．
∵PN垂直平分AE，
∴NA=NE．
∴NC=NE．
∴∠NEC=∠NCE．
在正方形ABCD中，BA//CE，∠BCD=90°，
∴∠AQE=∠NEC．
∴∠BAN+∠AQE=∠BCN+∠NCE=90°．
∴∠ANE=∠ANQ=90°．
在Rt△ANE中，
∴AE= 2NE= 2CN．
【解析】本题考查了正方形的性质，平行线的性质，轴对称的性质，线段的垂直平分线的性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
(1)由平行线的性质可得出∠AGH=∠GHC.证得∠EAB=∠AGH.则结论得证；
(2)①依题意补全图形即可；
②连接AN，连接EN并延长，交AB边于点Q.证得NA=NE.得出∠ANE=∠ANQ=90°.则可得出AE= 2CN．
28.【答案】 解：(1)①A1B1；
②3或2；
(2) b的最大值为43 3，BC= 13；最小值为23 3，BC= 7．
【解析】本题考查了以圆为背景的阅读理解题，勾股定理，三角形三边关系，解决问题的关键是找出不同情境下的“关联线段”和阅读理解能力．
(1)①分别画出线段A1B1，A2B2，A3B3关于直线y=x+2对称线段，如图，即可求解；
②从图象性质可知，直线y=−x+m与x轴的夹角为45°，而线段A1B1⊥直线y=−x+m，线段A1B1关于直线y=−x+m对称线段还在直线A1B1上，显然不可能是⊙O的弦；线段A3B3= 5，⊙O的最长的弦为2，得线段A3B3的对称线段不可能是⊙O的弦，而线段A2B2//直线y=−x+m，线段A2B2= 2，则线段A2B2的对称线段为线段A2′B2′，且线段A2′B2′= 2，平移这条线段，使其在⊙O上，有两种可能，画出对应图形即可求解；
(2)先表示出OC= 3b，b最大时就是OC最大，b最小时就是OC长最小，根据线段AB关于直线y=− 33x+b对称线段A′B′是⊙O的弦，得A′C′=AC=3，再由三角形三边关系得A′C−OA′≤OC≤A′C+OA′，得当A′为(−1,0)时，如图3，OC最小，此时C点坐标为(2,0)；当A′为(1,0)时，如图4，OC最大，此时C点坐标为(4,0)，分两种情形分别求解．
解：(1)①分别画出线段A1B1，A2B2，A3B3关于直线y=x+2对称线段，如图1，
发现线段A1B1的对称线段是⊙O的弦，
∴线段A1B1，A2B2，A3B3中，⊙O的关于直线y=x+2对称的“关联线段”是A1B1，
故答案为：A1B1；
②如图2，
∵从图象性质可知，直线y=−x+m与x轴的夹角为45°，
∴线段A1B1⊥直线y=−x+m，
∴线段A1B1关于直线y=−x+m对称线段还在直线A1B1上，显然不可能是⊙O的弦，
∵线段A3B3= 5，⊙O的最长的弦为2，
∴线段A3B3的对称线段不可能是⊙O的弦，
∴线段A2B2是⊙O的关于直线y=−x+m对称的“关联线段”，
而线段A2B2//直线y=−x+m，线段A2B2= 2，
∴线段A2B2的对称线段为线段A2′B2′，且线段A2′B2′= 2，
平移这条线段，使其在⊙O上，有两种可能，
第一种情况：A2′、B2′的坐标分别为(0,1)、(1,0)，
此时m=3；
第二种情况：A2′、B2′的坐标分别为(−1,0)、(0,−1)，
此时m=2，
故答案为：3或2；
(2)∵直线y=− 33x+b(b>0)交x轴于点C，
当y=0时，y=− 33x+b=0，
解得：x= 3b，
∴OC= 3b，
b最大时就是OC的长最大，
b最小时就是OC的长最小，
∵线段AB是⊙O的关于直线y=− 33x+b(b>0)对称的“关联线段”，
∴线段AB关于直线y=− 33x+b对称线段A′B′是⊙O的弦，
∴A′C′=AC=3，
在△A′CO中，A′C−OA′≤OC≤A′C+OA′，
∴当A′为(−1,0)时，如图3，OC最小，此时C点坐标为(2,0)，
将点C代入直线y=− 33x+b中，
− 33×2+b=0，解得：b=23 3，
过点B′作B′D⊥A′C于点D，
∵A′B′=A′O=B′O=1，
∴∠B′A′D=60°，
∴A′D=12，B′D= 32，
∴CD=3−12=52，
在Rt△B′DC中，B′C= (52)2+( 32)2= 7；
∴当A′为(1,0)时，如图4，OC最大，此时C点坐标为(4,0)，
将点C代入直线y=− 33x+b中，
− 33×4+b=0，解得：b=43 3，
过点B′作B′D⊥A′C于点D，
∵A′B′=A′O=B′O=1，
∴∠B′A′D=60°，
∴A′D=12，B′D= 32，
∴CD=3+12=72，
在Rt△B′DC中，B′C= (72)2+( 32)2= 13，
∴b的最大值为43 3，BC= 13；最小值为23 3，BC= 7．
2022-2023学年北京三十五中九年级（下）月考数学试卷（3月份）
一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列几何体中，主视图为矩形的是( )
A. B. C. D.
2. 中国国家航天局2020年4月24日在“中国航天日”之际宣布，将中国行星探测任务命名为“天问”，将中国首次火星探测任务命名为“天问一号”.火星具有与地球十分相近的环境，与地球最近的时候距离约5500万千米，将5500用科学记数法表示为( )
A. 0.55×104 B. 5.5×103 C. 5.5×102 D. 55×102
3. 如图，将一块含有30°角的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，若∠1=48°，那么∠2的度数是( )
A. 48° B. 78° C. 92° D. 102°
4. 点O，A，B，C在数轴上的位置如图所示，O为原点，AC=1，OA=OB.若点C所表示的数为a，则点B所表示的数为( )
A. −a−1 B. −a+1 C. a+1 D. a−1
5. 若关于x的一元二次方程x2+x+m=0有两个相等的实数根，则实数m的值为( )
A. −4 B. −14 C. 14 D. 4
6. 如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，CD=4，tanC=12，则AB的长为( )
A. 2.5
B. 4
C. 5
D. 10
7. 某数学兴趣小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率．绘制了如图所示的统计图，那么符合这一结果的实验最有可能的是( )
A. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
B. 一副只有四种花色的52张普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
C. 抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4
D. 暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球
8. 生活垃圾分类回收是实现垃圾减量化和资源化的重要途径和手段．为了解2019年某市第二季度日均可回收物回收量情况，随机抽取该市2019年第二季度的m天数据，整理后绘制成统计表进行分析．
日均可回收物回收量(千吨)
1≤x<2
2≤x<3
3≤x<4
4≤x<5
5≤x≤6
合计
频数
1
2
b
3
m
频率
0.05
0.10
a
0.15
1
表中3≤x<4组的频率a满足0.20≤a≤0.30．
下面有四个推断：
①表中m的值为20；
②表中b的值可以为7；
③这m天的日均可回收物回收量的中位数在4≤x<5组；
④这m天的日均可回收物回收量的平均数不低于3．
所有合理推断的序号是( )
A. ①② B. ①③ C. ②③④ D. ①③④
二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）
9. 若分式1x−2在实数范围内有意义，则 x的取值范围是 ．
10. 因式分解：a3−a= ．
11. 方程2x+5=1x的解为______．
12. 如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，若△ADE的面积为1，则△ABC的面积等于 ．
13. 如图，∠A=∠ABC=∠C=∠D=∠E，点F在AB的延长线上，则∠CBF的度数是 ．
14. 为了丰富同学们的课余生活，某年级买了3个篮球和2个足球，共花费了474元，其中篮球的单价比足球的单价多8元，求篮球和足球的单价，如果设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，依题意可列方程组为 ．
15. 某地扶贫人员甲从办公室出发，骑车匀速前往所A村走访群众，出发几分钟后，扶贫人员乙发现甲的手机落在办公室，无法联系，于是骑车沿相同的路线匀速去追甲．乙刚出发2分钟，甲也发现自己手机落在办公室，立刻原路原速骑车返回办公室，2分钟后甲遇到乙，乙把手机给甲后立即原路原速返回办公室，甲继续原路原速赶往A村．甲、乙两人相距的路程y(米)与甲出发的时间x(分)之间的关系如图所示(乙给甲手机的时间忽略不计)．
有下列三个说法：
①甲出发10分钟后与乙相遇；
②甲的速度是400米/分；
③乙返回办公室用时4分钟．
其中所有正确说法的序号是 ．
16. 某超市现有n个人在收银台排队等候结账．设结账人数按固定的速度增加，收银员结账的速度也是固定的．若同时开放2个收银台，需要20分钟可使排队等候人数为0；若同时开放3个收银台，需要12分钟可使排队等候人数为0.为减少顾客等待结账的时间，需要6分钟内使排队等候人数为0，则需要至少同时开放 个收银台．
三、计算题（本大题共2小题，共10.0分）
17. 计算：|− 3|+2cos60°−(π−2020)0+(13)−1．
18. 解不等式组：2(x−1)
19. (本小题5.0分)
已知x2+2x−2=0，求代数式x(x+2)+(x+1)2的值．
20. (本小题5.0分)
下面是小明设计的“在已知三角形的一边上取一点，使得这点到这个三角形的另外两边的距离相等”的尺规作图过程：
已知：△ABC．
求作：点D，使得点D在BC边上，且到AB，AC边的距离相等．
作法：如图，
作∠BAC的平分线，交BC于点D．
则点D即为所求．
根据小明设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，补全图形(保留作图痕迹)；
(2)完成下面的证明．
证明：作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F，
∵AD平分∠BAC，
∴______=______(______)(括号里填推理的依据)．
21. (本小题6.0分)
如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA=OB，过点B作BE⊥AC于点E．
(1)求证：▱ABCD是矩形；
(2)若AD=2 5，cos∠ABE=2 55，求AC的长．
22. (本小题5.0分)
在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y=12x的图象向下平移1个单位长度得到．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)当x>−2时，对于x的每一个值，函数y=mx(m≠0)的值大于一次函数y=kx+b的值，直接写出m的取值范围．
23. (本小题6.0分)
某医院医生为了研究该院某种疾病的诊断情况，需要调查来院就诊的病人的两个生理指标x，y，于是他分别在这种疾病的患者和非患者中，各随机选取20人作为调查对象，将收集到的数据整理后，绘制统计图如下：
注“●”表示患者，“▲”表示非患者．
根据以上信息，回答下列问题：
(1)在这40名被调查者中，①指标y低于0.4的有 人；②将20名患者的指标x的平均数记作x−1，方差记作s12，20名非患者的指标x的平均数记作x−2，方差记作s22，则x−1 x−2，s12 s22(填“ >；”，“=”或“ <；”)；
(2)来该院就诊的500名未患这种疾病的人中，估计指标x低于0.3的大约有 人；
(3)若将“指标x低于0.3，且指标y低于0.8”作为判断是否患有这种疾病的依据，则发生漏判的概率多少．
24. (本小题6.0分)
如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，且CD=CB，连接OC，BD，OD．
(1)求证：OC垂直平分BD；
(2)过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，连接AD，CD．
①依题意补全图形；
②若AD=6，sin∠AEC=35，求CD的长．
25. (本小题5.0分)
学校举办“科技之星”颁奖典礼，颁奖现场入口为一个拱门.小明要在拱门上顺次粘贴“科”“技”“之”“星”四个大字(如图1)，其中，“科”与“星”距地面的高度相同，“技”与“之”距地面的高度相同，他发现拱门可以看作是抛物线的一部分，四个字和五角星可以看作抛物线上的点.通过测量得到拱门的最大跨度是10米，最高点的五角星距地面6.25米．
(1)请在图2中建立平面直角坐标系xOy，并求出该抛物线的解析式；
(2)“技”与“之”的水平距离为2a米.小明想同时达到如下两个设计效果：
①“科”与“星”的水平距离是“技”与“之”的水平距离的2倍；
②“技”与“科”距地面的高度差为1.5米．
小明的设计能否实现？若能实现，直接写出a的值；若不能实现，请说明理由．
26. (本小题6.0分)
在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线：y=ax2−2ax+4(a>0)．
(1)抛物线的对称轴为x= ______ ；抛物线与y轴的交点坐标为______ ；
(2)若抛物线的顶点恰好在x轴上，写出抛物线的顶点坐标，并求它的解析式；
(3)若A(m−1,y1)，B(m,y2)，C(m+2,y3)为抛物线上三点，且总有y1>y3>y2，结合图象，求m的取值范围．
27. (本小题7.0分)
在正方形ABCD中，E是CD边上一点(CE>DE)，AE，BD交于点F．
(1)如图1，过点F作GH⊥AE，分别交边AD，BC于点G，H．
求证：∠EAB=∠GHC；
(2)AE的垂直平分线分别与AD，AE，BD交于点P，M，N，连接CN．
①依题意补全图形；
②用等式表示线段AE与CN之间的数量关系，并证明．
28. (本小题7.0分)
在平面直角坐标系xOy中．⊙O的半径为1，对于直线l和线段AB，给出如下定义：若将线段AB关于直线l对称，可以得到⊙O的弦A′B′(A′,B′分别为A，B的对应点)，则称线段AB是⊙O的关于直线l对称的“关联线段”.例如：在图1中，线段AB是⊙O的关于直线l对称的“关联线段”．
(1)如图2，点A1，B1，A2，B2，A3，B3的横、纵坐标都是整数．
①在线段A1B1，A2B2，A3B3中，⊙O的关于直线y=x+2对称的“关联线段”是______；
②若线段A1B1，A2B2，A3B3中，存在⊙O的关于直线y=−x+m对称的“关联线段”，则m=______；
(2)已知直线y=− 33x+b(b>0)交x轴于点C，在△ABC中，AC=3，AB=1.若线段AB是⊙O的关于直线y=− 33x+b(b>0)对称的“关联线段”，直接写出b的最大值和最小值，以及相应的BC长．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、圆锥的主视图是等腰三角形，不符合题意；
B、长方体的主视图是矩形，符合题意；
C、球的主视图是圆形，不合题意；
D、该几何体的主视图是梯形，不符合题意．
故选：B．
根据主视图是从物体正面看，所得到的图形，分别得出四个几何体的主视图，即可解答．
本题考查了简单几何体的主视图，注意主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
2.【答案】B
【解析】解：5500=5.5×103，
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查了平行线的性质及邻补角，正确得出∠3的度数是解题关键．直接利用已知角的度数结合邻补角、平行线的性质得出答案即可．
【解答】
解：如图，
∵将一块含有30°角的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，∠1=48°，
∴∠2=∠3=180°−48°−30°=102°．
故选：D．
4.【答案】B
【解析】解：由图可得，
点A表示的数为a−1，
∵OA=OB，
∴点B表示的数为−(a−1)=−a+1，
故选：B．
根据题意和数轴，可以用含a的代数式表示出点B，本题得以解决．
本题考查列代数式、数轴，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
5.【答案】C
【解析】解：根据题意得Δ=12−4m=0，
解得m=14．
故选：C．
根据根的判别式的意义得到12−4m=0，然后解一次方程即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
6.【答案】C
【解析】解：∵AB⊥CD，CD=4，
∴CE=DE=2，
∵∠B=∠C，tanC=12，
∴tanB=12，
∴AE=1，BE=4，
∴AB=AE+BE=1+4=5，
故选：C．
首先根据垂径定理和CD的长求得CE和DE的长，然后根据同弧所对的圆周角相等确定∠B=∠C，根据正切的定义求得AE和BE的长即可求得答案．
本题考查了圆周角定理及垂径定理，锐角三角函数的定义知识，解题的关键是根据垂径定理求得CE和DE的长，难度不大．
7.【答案】C
【解析】解：A、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀“的概率为13，故A选项不符合题意；
B、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是1352=14；故B选项不符合题意；
C、掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4的概率为16≈0.17，故C选项符合题意；
D、暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球的概率为23，故D选项不符合题意；
故选：C．
根据统计图可知，试验结果在0.17附近波动，即其概率P≈0.17，计算四个选项的概率，约为0.17者即为正确答案．
此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式．
8.【答案】D
【解析】
解：①1÷0.05=20．
故表中m的值为20，是合理推断；
②20×0.20=4，
20×0.30=6，所以3≤x<4的频数可能为4，5，6
∴b的值可能为8，9，10，
故表中b的值可以为7，是不合理推断；
③1+2+6=9，
故这m天的日均可回收物回收量的中位数在4≤x<5组，是合理推断；
④因为0.20≤a≤0.30，所以中位数在4≤x<5，易得a的值越大x的数值越小，
当a=0.3时，
0.05+0.1+0.3=0.45<0.5，
故这m天的日均可回收物回收量的平均数不低于3，是合理推断．
故选：D．
【分析】
①根据数据总和=频数÷频率，列式计算可求m的值；
②根据3≤x<4组的频率a满足0.20≤a≤0.30，可求该范围的频数，进一步得到b的值的范围，从而求解；
③根据中位数的定义即可求解；
④根据加权平均数的计算公式即可求解．
本题考查频数(率)分布表，从表中获取数量及数量之间的关系是解决问题的关键．
9.【答案】x≠2
【解析】解：∵分式1x−2在实数范围内有意义，
∴x的取值范围是：x≠2．
故答案为：x≠2．
直接利用分式有意义的条件为分母不为零，进而得出答案．
此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键．
10.【答案】a(a+1)(a−1)
【解析】
【分析】
此题考查了提公因式与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
原式提取a，再利用平方差公式分解即可．
【解答】
解：原式=a(a2−1)=a(a+1)(a−1)，
故答案为a(a+1)(a−1)．
11.【答案】x=5
【解析】解：去分母得：2x=x+5，
解得：x=5，
检验：把x=5代入得：x(x+5)≠0，
∴分式方程的解为x=5．
故答案为：x=5．
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
12.【答案】4
【解析】解：∵D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//BC，DE=12BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADES△ABC=(DEBC)2=14，
∵△ADE的面积为1，
∴△ABC的面积为4，
故答案为：4．
根据三角形中位线定理得到DE//BC，DE=12BC，证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质计算，得到答案．
本题考查的是三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
13.【答案】72°
【解析】解：∵∠A=∠ABC=∠C=∠D=∠E，
∴五边形ABCDE是正多边形，
∵正多边形的外角和是360°，
∴∠CBF=360°÷5=72°．
故答案为：72°．
正多边形的外角和是360°，这个正多边形的每个外角相等，因而用360°除以多边形的边数，就得到外角的度数．
本题考查了多边形的内角与外角．根据正多边形的外角和求多边形的边数和外角的度数是常用的一种方法，需要熟记．
14.【答案】3x+2y=474x−y=8
【解析】解：设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，
根据题意可列方程组为3x+2y=474x−y=8，
故答案为：3x+2y=474x−y=8．
根据“3个篮球的价钱+2个足球的价钱=474元和篮球单价−足球的单价=8元”可列方程组．
本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系．
15.【答案】①②③
【解析】解：由题意可得，
甲出发10分钟后与乙相遇，故①正确；
甲的速度为2400÷6=400(米/分)，故②正确；
乙返回办公室用时14−10=4(分钟)，故③正确；
故答案为：①②③．
根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个小题中的说法是否正确，从而可以解答本题．
本题考查函数图象的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
16.【答案】6
【解析】
【分析】
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用．设结账人数每分钟增加x人，收银员每分钟给y人结账，根据“同时开放2个收银台，需要20分钟可使排队等候人数为0；同时开放3个收银台，需要12分钟可使排队等候人数为0”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可用含n的代数式表示出x，y的值，设同时开放m个收银台，根据需要6分钟内使排队等候人数为0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再取其中的最小整数值即可得出结论．
【解答】
解：设结账人数每分钟增加x人，收银员每分钟给y人结账，
依题意得：20×2y=20x+n12×3y=12x+n，
解得：x=160ny=130n．
设同时开放m个收银台，
则6my>6x+n，
解得：m>112，
又∵m为整数，
∴m的最小值为6，
则需要至少同时开放6个收银台．
17.【答案】解：原式= 3+2×12−1+3
= 3+1−1+3
= 3+3．
【解析】此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
原式利用绝对值的代数意义，特殊角的三角函数值，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值．
18.【答案】解：2(x−1)
由②得：x>1，
则不等式组的解集为1
此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
19.【答案】解：x(x+2)+(x+1)2
=x2+2x+x2+2x+1
=2x2+4x+1，
∵x2+2x−2=0，
∴x2+2x=2，
∴当x2+2x=2时，原式=2(x2+2x)+1
=2×2+1
=4+1
=5．
【解析】先去括号，再合并同类项，然后把x2+2x=2代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了整式的混合运算−化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20.【答案】解：(1)补全图形如图所示；
(2)DE，DF，角平分线的性质．
【解析】解：(1)见答案；
(2)证明：作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F，
∵AD平分∠BAC，
∴DE=DF(角平分线的性质)，
故答案为：DE，DF，角平分线的性质．
本题考查了作图−基本作图，角平分线的性质，解决本题的关键是掌握角平分线的作法．
(1)根据题意补全图形即可；
(2)作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F，根据角平分线的性质即可得到结论．
21.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵OA=OB，
∴OA=OB=OC=OD，
∴AC=BD，
∴▱ABCD是矩形；
(2)解：∵▱ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ADC=90°，
∴∠BAC+∠CAD=90°，
∵BE⊥AC，
∴∠BAC+∠ABE=90°，
∴∠CAD=∠ABE，
在Rt△ACD中，AD=2 5，cos∠CAD=cos∠ABE=2 55，
∴AC=5．
【解析】(1)根据平行四边形的性质得到OA=OC，OB=OD，求得AC=BD，于是得到结论；
(2)根据矩形的性质得到∠BAD=∠ADC=90°，求得∠CAD=∠ABE，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，解直角三角形，熟练掌握矩形的判定和性质定理是解题的关键．
22.【答案】解：(1)函数y=12x的图象向下平移1个单位长度得到y=12x−1，
∵一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y=12x的图象向下平移1个单位长度得到，
∴这个一次函数的表达式为y=12x−1．
(2)把x=−2代入y=12x−1，求得y=−2，
∴函数y=mx(m≠0)与一次函数y=12x−1的交点为(−2,−2)，
把点(−2,−2)代入y=mx，求得m=1，
∵当x>−2时，对于x的每一个值，函数y=mx(m≠0)的值大于一次函数y=12x−1的值，
∴12≤m≤1．
【解析】(1)根据平移的规律即可求得．
(2)根据点(−2,−2)结合图象即可求得．
本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键．
23.【答案】9 < > 100
【解析】解：(1)①经统计指标y低于0.4的有9人，故答案为9；
②观察统计图可以发现，x−1大约在0.3左右，x−2大约在0.6左右，故x−1
故答案为：>、<；
(2)由统计图可知：在20名未患病的样本中，指标x低于0.3的大约有4人，则概率为420；
所以的500名未患这种疾病的人中，估计指标x低于0.3的大约有500×420=100人．
故答案为：100；
(3)通过统计图可以发现有五名患病者没在“指标x低于0.3，且指标y低于0.8”，漏判；
则被漏判的概率为520=0.25．
答：被漏判的概率为0.25．
(1)①直接统计指标y低于0.4的有人的个数即可；
②通过观察图表估算出指标x、y的平均数，然后再进行比较即可确定平均数的大小；根据点的分散程度可以确定方差的大小关系．
(2)先估算出样本中未患这种疾病的人中指标x低于0.3的概率，然后500乘以该概率即可；
(3)通过观察统计图确定不在“指标x低于0.3，且指标y低于0.8”范围内且患病的人数，最后用概率公式求解即可．
本题考查概率的求法，平均数、方差的估计等基础知识，从统计图中获取信息、估计平均数和方差是解答本题的关键．
24.【答案】解：(1)证明：∵CD=CB，
∴∠COD=∠COB．
∵OD=OB，
∴OC垂直平分BD；
(2)①补全图形，如图所示：
；
②∵CE是⊙O的切线，切点为C，
∴OC⊥CE于点C．
记OC与BD交于点F，由(1)知OC⊥BD，
∴∠OCE=∠OFB=90°．
∴DB//CE，
∴∠AEC=∠ABD．
∵在Rt△ABD中，AD=6，sin∠ABD=sin∠AEC=35，
∴BD=8，AB=10．
∴OA=OB=OC=5．
由(1)可知OC平分BD，即DF=BF，
∴BF=DF=4，OF为△ABD的中位线，
∴OF=12AD=3，
∴CF=2．
∴在Rt△CFD中，CD= CF2+DF2=2 5．
∴CD的长为2 5．
【解析】本题考查了线段的垂直平分线的判定、切线的性质、解直角三角形、三角形的中位线定理及勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
(1)由同弧所对的圆心角相等可得∠COD=∠COB，再由等腰三角形的“三线合一“性质可得OD=OB，从而问题得证；
(2)①依照题意补全图形即可；②由切线的性质可得OC⊥CE；由同位角相等可证DB//CE；由等角的正弦值相等可得sin∠ABD=sin∠AEC=35，从而可求得BD、AB、OA、OB和OC的值，由OC垂直平分BD，可得BF及DF的值；由三角形的中位线定理可得OF的值，进而求得CF的值，最后在Rt△CFD中，由勾股定理可得CD的长．
25.【答案】解：(1)以过拱顶为原点，以过拱顶平行于地面的直线为x轴建立如图所示坐标系：
设抛物线解析式为y=mx2，
∵抛物线过点(−5,−6.25)，
∴25m=−6.25，
解得m=−0.25，
∴抛物线解析式为y=−0.25x2；
(2)能实现，
由(1)知抛物线解析式为y=−0.25x2，
设“之”的坐标为(a,−y)，
则“星”的坐标为(2a,−y−1.5)，
∴−y=−0.25a2，y−1.5=−0.25×4a2，
∴−0.25a2−1.5=−a2，
解得a=± 2，
∵a>0，
∴a= 2，
∴能实现，a= 2．
【解析】(1)建立如图所示坐标系，由待定系数法求函数解析式即可；
(2)根据题意求出“之”和“星”的坐标，然后求出a的值即可．
本题考查二次函数的应用，关键是建立适当坐标系求出抛物线解析式．
26.【答案】1 (0,4)
【解析】解：(1)x=−−2a2a=1，
当x=0时，y=ax2−2ax+4=4，
所以抛物线的对称轴是直线x=1，抛物线与y轴的交点坐标是(0,4)，
故答案为：1，(0,4)；
(2)∵抛物线的顶点恰好在x轴上；
∴抛物线的顶点坐标为(1,0)，
把(1,0)代入y=ax2−2ax+4得：0=a×12−2a×1+4，
解得：a=4，
∴抛物线的解析式为y=4x2−8x+4；
(3)A(m−1,y1)关于对称轴x=1的对称点为A′(3−m,y1)，
B(m,y2)关于对称轴x=1的对称点为B′(2−m,y2)，
若要y1>y3>y2，则3−m>m+2>2−m，
解得：0
(2)把点(1,0)代入y=ax2−2ax+4，再求出a即可；
(3)先求出A、B关于直线x=1的对称点坐标，再根据二次函数的性质和已知条件得出3−m>m+2>2−m，再求出答案即可．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质等知识点，能综合运用知识点进行计算是解此题的关键．
27.【答案】(1)证明：在正方形ABCD中，AD//BC，∠BAD=90°，
∴∠AGH=∠GHC．
∵GH⊥AE，
∴∠GAF+∠AGH=90°，
又∵∠GAF+∠EAB=90°
∴∠EAB=∠AGH．
∴∠EAB=∠GHC．
(2)解：①补全图形，如图所示．
②AE= 2CN．
证明：连接AN，连接EN并延长，交AB边于点Q．
∵四边形ABCD是正方形，
∴点A，点C关于BD对称．
∴NA=NC，∠BAN=∠BCN．
∵PN垂直平分AE，
∴NA=NE．
∴NC=NE．
∴∠NEC=∠NCE．
在正方形ABCD中，BA//CE，∠BCD=90°，
∴∠AQE=∠NEC．
∴∠BAN+∠AQE=∠BCN+∠NCE=90°．
∴∠ANE=∠ANQ=90°．
在Rt△ANE中，
∴AE= 2NE= 2CN．
【解析】本题考查了正方形的性质，平行线的性质，轴对称的性质，线段的垂直平分线的性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
(1)由平行线的性质可得出∠AGH=∠GHC.证得∠EAB=∠AGH.则结论得证；
(2)①依题意补全图形即可；
②连接AN，连接EN并延长，交AB边于点Q.证得NA=NE.得出∠ANE=∠ANQ=90°.则可得出AE= 2CN．
28.【答案】 解：(1)①A1B1；
②3或2；
(2) b的最大值为43 3，BC= 13；最小值为23 3，BC= 7．
【解析】本题考查了以圆为背景的阅读理解题，勾股定理，三角形三边关系，解决问题的关键是找出不同情境下的“关联线段”和阅读理解能力．
(1)①分别画出线段A1B1，A2B2，A3B3关于直线y=x+2对称线段，如图，即可求解；
②从图象性质可知，直线y=−x+m与x轴的夹角为45°，而线段A1B1⊥直线y=−x+m，线段A1B1关于直线y=−x+m对称线段还在直线A1B1上，显然不可能是⊙O的弦；线段A3B3= 5，⊙O的最长的弦为2，得线段A3B3的对称线段不可能是⊙O的弦，而线段A2B2//直线y=−x+m，线段A2B2= 2，则线段A2B2的对称线段为线段A2′B2′，且线段A2′B2′= 2，平移这条线段，使其在⊙O上，有两种可能，画出对应图形即可求解；
(2)先表示出OC= 3b，b最大时就是OC最大，b最小时就是OC长最小，根据线段AB关于直线y=− 33x+b对称线段A′B′是⊙O的弦，得A′C′=AC=3，再由三角形三边关系得A′C−OA′≤OC≤A′C+OA′，得当A′为(−1,0)时，如图3，OC最小，此时C点坐标为(2,0)；当A′为(1,0)时，如图4，OC最大，此时C点坐标为(4,0)，分两种情形分别求解．
解：(1)①分别画出线段A1B1，A2B2，A3B3关于直线y=x+2对称线段，如图1，
发现线段A1B1的对称线段是⊙O的弦，
∴线段A1B1，A2B2，A3B3中，⊙O的关于直线y=x+2对称的“关联线段”是A1B1，
故答案为：A1B1；
②如图2，
∵从图象性质可知，直线y=−x+m与x轴的夹角为45°，
∴线段A1B1⊥直线y=−x+m，
∴线段A1B1关于直线y=−x+m对称线段还在直线A1B1上，显然不可能是⊙O的弦，
∵线段A3B3= 5，⊙O的最长的弦为2，
∴线段A3B3的对称线段不可能是⊙O的弦，
∴线段A2B2是⊙O的关于直线y=−x+m对称的“关联线段”，
而线段A2B2//直线y=−x+m，线段A2B2= 2，
∴线段A2B2的对称线段为线段A2′B2′，且线段A2′B2′= 2，
平移这条线段，使其在⊙O上，有两种可能，
第一种情况：A2′、B2′的坐标分别为(0,1)、(1,0)，
此时m=3；
第二种情况：A2′、B2′的坐标分别为(−1,0)、(0,−1)，
此时m=2，
故答案为：3或2；
(2)∵直线y=− 33x+b(b>0)交x轴于点C，
当y=0时，y=− 33x+b=0，
解得：x= 3b，
∴OC= 3b，
b最大时就是OC的长最大，
b最小时就是OC的长最小，
∵线段AB是⊙O的关于直线y=− 33x+b(b>0)对称的“关联线段”，
∴线段AB关于直线y=− 33x+b对称线段A′B′是⊙O的弦，
∴A′C′=AC=3，
在△A′CO中，A′C−OA′≤OC≤A′C+OA′，
∴当A′为(−1,0)时，如图3，OC最小，此时C点坐标为(2,0)，
将点C代入直线y=− 33x+b中，
− 33×2+b=0，解得：b=23 3，
过点B′作B′D⊥A′C于点D，
∵A′B′=A′O=B′O=1，
∴∠B′A′D=60°，
∴A′D=12，B′D= 32，
∴CD=3−12=52，
在Rt△B′DC中，B′C= (52)2+( 32)2= 7；
∴当A′为(1,0)时，如图4，OC最大，此时C点坐标为(4,0)，
将点C代入直线y=− 33x+b中，
− 33×4+b=0，解得：b=43 3，
过点B′作B′D⊥A′C于点D，
∵A′B′=A′O=B′O=1，
∴∠B′A′D=60°，
∴A′D=12，B′D= 32，
∴CD=3+12=72，
在Rt△B′DC中，B′C= (72)2+( 32)2= 13，
∴b的最大值为43 3，BC= 13；最小值为23 3，BC= 7．
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