2022-2023学年安徽省合肥四十五中九年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年安徽省合肥四十五中九年级（下）期中数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各数绝对值最小的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  年月，新型冠状病毒肺炎爆发，目前检测出的新型冠状病毒的半径平均在纳米左右，即米，用科学记数法表示正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，是一个带有方形空洞和圆形空洞的儿童玩具，如果用下列几何体作为塞子，那么既可以堵住方形空洞，又可以堵住圆形空洞的几何体是(    )

A.
B.
C.
D.

4.  下列运算一定正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  甲、乙两位同学放学后走路回家，他们走过的路程千米与所用的时间分之间的函数关系如图所示根据图中信息，下列说法正确的是(    )

A. 前分钟，甲比乙的速度快 B. 甲的平均速度为千米分钟
C. 经过分钟，甲比乙走过的路程少 D. 经过分钟，甲、乙都走了千米

6.  如图，将长方形沿线段折叠到的位置，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图，是的直径，弦于点，，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，在的网格中，一只蚂蚁从爬行到，只能沿网格线向右或向上，经过每个格点时向右或向上的可能性相等，经过点的概率是(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，在中，，，为延长线上一点，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  将抛物线向上平移个单位，所得抛物线顶点一定在(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

11.  不等式组的解集是______．

12.  方程没有实数根，则的取值范围是______ ．

13.  把一块含角的三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中角的顶点在轴上，斜边与轴的夹角，若，当点，同时落在一个反比例函数图象上时，______．

14.  已知：点是内一点，，与的中垂线交于点，
______ ；
若，，，则的最小值是______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
计算：．

16.  本小题分
如图，方格纸中的每个小方格都是边长为个单位的正方形，的顶点均在格点上．
将绕点顺时针旋转后得到，的对应点是，试在图中画出；
连接，请用无刻度直尺作出的中点，并简要说明是如何找到的．

17.  本小题分
某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为元辆，小型汽车的停车费为元辆．现在停车场内停有辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费元，求中、小型汽车各有多少辆？

18.  本小题分
观察以下等式：
第个等式：；
第个等式：；
第个等式：；
第个等式：；

按照以上规律，解决下列问题：
写出第个等式：______ ；
写出你猜想的第个等式：______ 用含的等式表示，并证明．

19.  本小题分
如图，已知圆内接，为直径，于点，连接．
求证：；
若，，的半径为，求的长．

20.  本小题分
枯槔俗称“吊杆”“称杆”，如图，是我国古代农用工具，桔槔始见于墨子备城门，是一种利用杠杆原理的取水机械．如图所示的是桔槔示意图，是垂直于水平地面的支撑杆，是杠杆，且米，：：当点位于最高点时，；当点从最高点逆时针旋转到达最低点，求此时水桶上升的高度．
参考数据：，，
 

21.  本小题分
爱知中学为了解初三同学的体育中考准备情况，随机抽取该年级若干名学生进行体育模拟测试，根据测试成绩单位：分绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中信息回答下列问题：

请补全条形统计图；
所调查学生测试成绩中位数为______ ；众数为______ ；
若该校九年级共有学生人，请估计该校九年级学生在体育模拟测试中不低于分的学生约有多少人？

22.  本小题分
如图是某隧道截面示意图，它是由抛物线和长方形构成，已知米，米，抛物线顶点到地面的垂直距离为米，以所在直线为轴，以所在直线为轴建立直角坐标系．
求抛物线的解析式；
一辆特殊货运汽车载着一个长方体集装箱，集装箱宽为米，最高处与地面距离为米，隧道内设双向行车道，双向行车道间隔距离为米，交通部门规定，车载货物顶部距离隧道壁的竖直距离不少于米，才能安全通行，问这辆特殊货车能否安全通过隧道？

23.  本小题分
如图，在正方形中，点为中点，连接，的垂直平分线交于点，交于点，与交于点．

若正方形的边长为，求的长；
求证：；
如图，连接，，与交于点，求：的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，，，
，
所给的各数绝对值最小的是．
故选：．
首先求出所给的各数的绝对值，然后根据有理数大小比较的方法判断即可．
此题主要考查了绝对值的含义和求法，以及有理数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查了用科学记数法表示较小的数，掌握形式为，其中是关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：圆柱从上边看是一个圆，从正面看是一个矩形，既可以堵住方形空洞，又可以堵住圆形空洞，
故选：．
根据各选项几何体的三视图，可得答案．
本题考查了简单几何体的三视图，从正面看得到的图形是主视图，从上边看得到的图形是俯视图．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，故本选项错误，不符合题意；
B、，故本选项正确，符合题意；
C、，故本选项错误，不符合题意；
D、，故本选项错误，不符合题意；
故选：．
根据同底数幂相乘，积的乘方，合并同类项，平方差公式，逐项判断即可求解．
本题主要考查了同底数幂相乘，积的乘方，合并同类项，平方差公式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：前分钟，甲走了千米，乙走了千米，所以乙比甲的速度快，故此选项错误，不符合题意；
B.根据图象可知，甲分钟走了千米，所以甲的平均速度为千米分钟，故此选项错误，不符合题意；
C.经过分钟，甲走了千米，乙走了千米，所以甲比乙走过的路程多，故此选项错误，不符合题意；
D.经过分钟，由函数图象可知，甲、乙都走了千米，故此选项正确，符合题意．
故选：．
根据函数图象逐项判断即可．
本题主要考查一次函数的图象及其在行程问题中的应，理解函数图象是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：由翻折知，，
，
，
故选：．
由轴对称的性质可求出的度数，可由式子直接求出的度数．
本题考查了翻折变化轴对称的性质及角的计算，解题关键是熟练掌握并能够灵活运用轴对称变换的性质等．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图，连接，，
弦于点，，
．
，
，
，，
，
．
设，则，
，
，
，
，
，
故选：．
连接，，由圆周角定理得出，根据垂径定理可得，根据，列式可得结论．
此题主要考查了圆周角定理、垂径定理、以及勾股定理；关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图：

画树状图如下：

由图知，共有种等可能结果，其中经过点的有种结果，
所以经过点的概率是．
故选：．
画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题主要考查列表法与树状图法，列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，求出概率．列举法树形图法求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，过点作，交的延长线于点，
，
，，
∽，
，
是的外角，
，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
过点作，交的延长线于点，可得∽，则，再说明，代入比例式可得的长，进而解决问题．
本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，作辅助线构造相似三角形是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：将抛物线向上平移个单位可得，，
，
抛物线顶点为，
，
，

，，
抛物线顶点一定在第一象限，
故选：．
根据“上加下减”可得出平移后的抛物线解析式，再利用配方法配方，可表达顶点的纵坐标，再求最大值．
本题主要考查二次函数的图象与几何变换，二次函数的性质，求得抛物线的顶点坐标是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：由，得：，
由，得：，
则不等式组的解集为，
故答案为：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：方程没有实数根，
，即，
．
故答案为：．
根据方程没有实数根可得出关于的不等式，求出的取值范围即可．
本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的根与判别式的关系是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图所示：过点作轴于点，过点作轴于点，

在中，，
，
，
轴，
，即，
，
，，
设，则点的坐标为，
，
，
轴，
，即，
，
，，
，
点坐标为，
点，同时落在一个反比例函数图象上，
，解得：，
，
故答案为：．
根据题意作出辅助线，然后得出这三个直角三角形都是含有的特殊直角三角形，然后利用其性质可求出、、、的长，设的长为，则可用含有的式子表示出点、点的坐标，再根据点，同时落在一个反比例函数图象上，即可求出的值，即可求出的长．
本题主要考查了反比例函数的性质以及含有角的直角三角形的性质：解题关键：用含有的式子表示出点和点的坐标．
 

14.【答案】  

【解析】解：如图，连接，，
设，，，
，分别垂直平分、，
，
，，，
，
，
，
．
故答案为：．
如图，，分别垂直平分、，
，
点在以为圆心，以为半径的圆上，
当、、三点线时取得最小值，
过点作于，则，
，，
，
，
，
，
故A的最小值是．
设，，，由，用、、表示各个角，求出即可得结论．
点在以为圆心，以为半径的圆上，当、、三点线时取得最小值，先求出，再求半径名片，则．
本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，勾股定理，锐角三角函数定义等知识，综合性较强，正确判断出点的运动轨迹，灵活添加辅助线是解题关键．
 

15.【答案】解：

． 

【解析】第一项用乘方法则计算，第二项用绝对值的代数意义化简，第三项用特殊角的三角函数值计算即可解答．
本题主要考查实数的运算，解题关键是熟练掌握计算法则．
 

16.【答案】解：如图，即为所求．
取格点，，连接，，，，
可得矩形，
连接，与的交于点，
则点即为的中点． 

【解析】根据旋转的性质作图即可．
取格点，，连接，与的交点即为点．
本题考查作图旋转变换、矩形的性质，熟练掌握旋转的性质、矩形的性质是解答本题的关键．
 

17.【答案】解：设中型汽车有辆，小型汽车有辆，
依题意，得：，
解得：
答：中型汽车有辆，小型汽车有辆． 

【解析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键。
设中型汽车有辆，小型汽车有辆，根据“停车场内停有辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．
 

18.【答案】
 
证明：





，
故成立． 

【解析】解：由题意可得，
第个等式是，
故答案为：；
见答案
根据题目中给出的等式，可以写出第个等式；
根据题目中的式子，可以猜想出第个等式，并加以证明．
本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，写出相应的猜想并加以证明．
 

19.【答案】证明是圆的直径，
，
，
，
，
，
；
解，，
∽，
：：，
的半径为，
，
：：，
． 

【解析】由圆周角定理，推出，，由垂直的定义得到，由三角形内角和定理推出；
由∽，得到：：，代入有关数据，即可求出的长．
本题考查圆周角定理，相似三角形的判定和性质，关键是掌握圆周角定理，相似三角形的判定和性质．
 

20.【答案】解：过作，过作于，过作于，如图所示：
则，
，，
，，
米，：：，
米，米，
，，
米，米，
米，
即此时水桶上升的高度约为米． 

【解析】过作，过作于，过作于，先求出，，再求出米，米，然后由锐角三角函数定义求出米，米，即可解决问题．
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
 

21.【答案】   

【解析】解：抽样学生中成绩为分的有人，占抽样学生数的，
本次抽样人数为：人，
成绩分的人数占抽样人数的，
抽样学生中成绩为分的有：人，
补全条形统计图如下：

把该组数据按从小到大的顺序排列后，第、个数都是，
该组数据的中位数是，
该组数据中，分出现的次数最多，
众数是，
所调查学生测试成绩，中位数为，众数为；
故答案为：，；
由扇形图知，抽样学生中成绩不少于分的占：，
该校九年级学生在体育模拟测试中不低于分的学生约有：人，
该校九年级学生在体育模拟测试中不低于分的学生约有人．
根据条形统计图和扇形统计图，先算出分学生的人数，再补全条形统计图；
利用中位数、众数的求法，直接求值即可；
先计算抽样学生中成绩不低于分的百分比，再估计全部九年级学生的成绩情况．
本题考查了条形统计图、扇形统计图、中位数、众数及用样本估计总体等知识点，读懂条形统计图和扇形统计图，并掌握中位数、众数的求法是解题的关键．
 

22.【答案】解：根据题意，顶点的坐标为，点的坐标为，
设抛物线的解析式为，
把点代入得：，
解得：，
即所求抛物线的解析式为：；
根据题意，当时，
，
能安全通过隧道，
答：这辆特殊货车能安全通过隧道． 

【解析】抛物线顶点坐标为，设抛物线的解析式为，把点的坐标代入即可，
由图象结合题意可知，集装箱与隧道最接近的位置在此坐标系中的纵坐标为，代入所得解析式，判断是够大于即可．
本题考查了二次函数的应用，解题的关键是分析题意并结合图象列式求解，难度较大，综合程度较高．
 

23.【答案】解：过点作，交、于、，如图，

四边形是正方形，设其边长为，
，，，四边形是矩形，
则，，
∽，
，
又是的垂直平分线，
，，
，
，，
又是的中点，
，
，
则，
，，
，
又，
，
∽，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
正方形的边长为，即，
；
证明：由知：∽，
，
；
解：过点作，交于点，交于点，作，交、于、，

则，四边形、四边形均为矩形，
，，
，
∽，∽，
，
，
，
． 

【解析】过点作，交、于、，可证四边形是矩形，由四边形内角和为，可得，可证∽，∽，∽，设，结合题意，利用相似三角形性质列出比例式求得，即可求得答案；
由可知∽，得出，即可证得结论；
过点作，交于点，交于点，则，四边形、四边形均为矩形，可证得∽，∽，可得，求得，，由即可求得比值．
本题是正方形综合题，考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确添加辅助线构造相似三角形是解题关键．