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备战2023年高考数学常考题型分类讲义 第13讲 平面向量十大题型总结
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这是一份备战2023年高考数学常考题型分类讲义 第13讲 平面向量十大题型总结，文件包含第13讲平面向量十大题型总结解析版docx、第13讲平面向量十大题型总结原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共102页， 欢迎下载使用。
高考二轮数学复习策略
第二轮复习的首要任务是把整个高中基础知识有机地结合在一起，构建出高中数学知识的结构图。下面，小编给大家带来高考数学二轮复习策略，效果是十分显著的哦！
1、明确模拟练习的目的。不但检测知识的全面性、方法的熟练性和运算的准确性，更是训练书写规范，表述准确的过程。
2、查漏补缺，以“错”纠错。每过一段时间，就把“错题笔记”或标记错题的试卷有侧重的看一下。查漏补缺的过程也就是反思的过程，逐渐实现保强攻弱的目标。
3、严格有规律地进行限时训练。特别是强化对解答选择题、填空题的限时训练，将平时考试当作高考，严格按时完成，并在速度体验中提高正确率。
4、保证常规题型的坚持训练。做到百无一失，对学有余力的学生，可适当拓展高考中难点的训练。
5、注重题后反思总结。出现问题不可怕，可怕的是不知道问题的存在，在复习中出现的问题越多，说明你距离成功越近，及时处理问题，争取“问题不过夜”。
6、重视每次模拟考试的临考前状态的调整及考后心理的调整。以平和的心态面对高考。
第13讲 平面向量十大题型总结
【题型目录】
题型一：平面向量线性运算
题型二：平面向量共线问题
题型三：平面向量垂直问题
题型四：平面向量的夹角问题
题型五：平面向量数量积的计算
题型六：平面向量的模问题
题型七：平面向量的投影问题
题型八：万能建系法解决向量问题
题型九：平面向量中的最值范围问题
题型十：平面向量中多选题
【典型例题】
题型一：平面向量线性运算
【例1】在中，是边上的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【例2】在△中，为边上的中线，为的中点，则
A． B．
C． D．
【例3】在中，点P为中点，点D在上，且，则( )
A． B．
C． D．
【例4】在中，为边上的中线，E为的中点，且，则________，_________．
【例5】如图，等腰梯形ABCD中，，点E为线段CD中点，点F为线段BC的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【题型专练】
1.设分别为的三边的中点，则( )
A． B． C． D．
2.设D为△ABC所在平面内的一点,若,则_____.
3.在中，，为上一点，若，则实数的值（ ）
A． B． C． D．
4.在中，，，，为边上的高，为的中点，若，则（ ）
A． B． C． D．
5.已知是所在平面内一点，为边中点，且，那么（ ）
A． B． C． D．
6．设为所在平面内一点，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
题型二：平面向量共线问题
【例1】已知向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．2
【例2】与模长为13的向量平行的单位向量为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【例3】已知向量，，，若A，B，D三点共线，则________．
【例4】设向量不平行，向量与平行，则实数= ___．
【例5】在中，点满足，过点的直线与、所在的直线分别交于点、，若，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【题型专练】
1.已知非零向量，，，若，，且，则（ ）
A．4 B． C． D．
2.已知向量的，，，若A，C，D三点共线，则m=______.
3.已知向量，是两个不共线的向量，且，，，若，，三点共线，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
4.设是两个不共线的向量，若向量（）与向量共线，则
A． B． C． D．
5.如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，则（ ）
A．1 B． C．2 D．3
6.已知M为的边的中点，N为内一点，且，则（ ）
A． B． C． D．
题型三：平面向量垂直问题
【例1】已知向量，且，则=（ ）
A． B． C．6 D．8
【例2】已知单位向量a，b的夹角为45°，ka–b与a垂直，则k=__________.
【例3】已知单位向量的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是 （ ）
A． B． C． D．
【例4】已知向量，且，则实数___________.
【例5】已知非零向量满足，．若，则实数t的值为（ ）
A．4 B．–4 C． D．–
【例6】已知向量与的夹角，且||=3，||=2，若，且，则实数的值为_____．
【题型专练】
1.是边长为的等边三角形，已知向量，满足，，则下列结论正确的是 （ ）
A． B． C． D．
2.已知，是互相垂直的单位向量，若与的夹角为，则实数的值是 ．
3.已知向量，若，则__________.
4.已知向量，且，则实数_____________．
5.（多选题）在中，，，，若为直角三角形，则的值为（ ）
A． B． C．－1 D．
题型四：平面向量的夹角问题
【例1】已知平面向量，满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【例2】已知，，则与的夹角等于（ ）
A．150° B．90° C．60° D．30°
【例3】（多选题）已知向量=（2，1），，则（ ）
A．若，则 B．向量在向量上的投影向量为
C．与的夹角余弦值为 D．
【例4】若向量，满足，，，则与的夹角为_________．
【例5】已知向量满足，则( )
A． B． C． D．
【例6】若非零向量满足，则与夹角的余弦值为________．
【例7】设向量，，，，若平分与的夹角，则的值为 ．
【例8】已知的三个顶点分别为求的大小．
【题型专练】
1.设非零向量满足，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
2.已知，，且，则___________.
3.已知向量满足，，，则的夹角等于___________.
4.若两个非零向量、满足，则与的夹角___________.
5.已知单位向量，满足，若向量，则＝（ ）
A． B． C． D．
6.已知向量满足，则向量与所成的夹角为（ ）
A． B． C． D．
7.已知向量，满足，，则向量，的夹角为（ ）
A． B． C． D．
8.已知向量，，则
A． B．
C． D．
9.非零向量，满足：，，则与夹角的大小为
A． B．
C． D．
10.已知a，b为单位向量，且a·b=0，若，则___________.
11.已知向量，的夹角为，则__________.
12.已知向量满足，则 （ ）
A． B． C． D．
题型五：平面向量数量积的计算
【例1】（2021新高考2卷）已知向量_______．
【例2】在△中，为△的外心，则等于
A． B．6 C．12 D．
【例3】已知边长为3的正，则（ ）
A．3 B．9 C． D．6
【例4】已知为等边三角形，AB=2，设点P，Q满足，，，若，则=（ ）
A． B．
C． D．
【例5】在中，，，，，则=______．
【题型专练】
1.如图，在△ABC中，AD⊥AB，，，则=（ ）
A． B． C． D．
2.在中，，﹒若，则______．
3.中，，，为线段上任一点，则（ ）
A．8 B．4 C．2 D．6
4.已知为等边三角形，为的中点，，则（ ）
A． B． C．2 D．4
5.如图，在中，，，P为上一点，且满足，若，，则的值为（ ）
A．-3 B． C． D．
6．在平行四边形ABCD中，＝6，＝5，则＝____________.
7．已知在中，，，，为的中点，，交于，则_______
题型六：平面向量的模问题
【例1】已知，，则的最小值为________．
【例2】（2021新高考1卷多选题）已知为坐标原点，点，，，，则：
A． B． C． D．
【例3】已知向量，的夹角为60°，，，则= ．
【例4】已知与均为单位向量，其中夹角为，有下列四个命题
：∈[0，） ：∈(，]
： ∈[0， ） ：∈(，]
其中真命题是
（A）， (B) ， (C) ， (D) ，
【例5】设，是两个非零向量
A．若，则
B．若，则
C．若，则存在实数，使得
D．若存在实数，使得，则
【题型专练】
1．设向量，，若(∈R)，则的最小值为
A． B．1 C． D．
2.已知向量，，且，则（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
3.已知向量，满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
4.（多选题）已知，，，且，则可能为（ ）
A． B． C． D．
5.平面向量与的夹角为，，则_____________．
6.已知向量满足，且，则__________．
7.设为单位向量，且，则______________.
8.设，均为单位向量，则“”是“⊥”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
9.已知向量，夹角为，且||=1，||=，则||= ．
题型七：平面向量的投影问题
【例1】已知向量，则在上的投影向量的模为（ ）
A． B． C． D．1
【例2】已知，，向量在方向上投影向量是，则为（ ）
A．12 B．8 C．-8 D．2
【例3】已知平面向量，，满足，，与的夹角为，在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．1
【例4】已知平面向量，满足，，，则在上的投影向量的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【例5】已知为正三角形的中心，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【例6】设向量在向量上的投影向量为，则下列等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【题型专练】
1．已知，，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在平面四边形中，，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
3.（多选题）已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．向量与向量的夹角为 D．在的投影向量是
4.（多选题）已知，，下列结论正确的是（ ）
A．与同向共线的单位向量是
B．与的夹角余弦值为
C．向量在向量上的投影向量为
D．
5.（多选题）关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（ ）
A．若，则
B．点，与向量同方向的单位向量为
C．若，则与的夹角为60°
D．若向量，则向量在向量上的投影向量为
6．己知空间向量，且，则在上的投影向量为________．
7.已知，，且，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
8.已知点、、、，则向量在方向上的投影为
A． B． C． D．
9.若向量满足，则在方向上投影的最大值是
A． B． C． D．
题型八：万能建系法解决向量问题
边长为的等边三角形 已知夹角的任意三角形 正方形 矩形
平行四边形 直角梯形 等腰梯形 圆
建系必备 （1）三角函数知识；
（2） 向量三点共线知识（对面女孩看过来）．
【例1】如图，在等腰梯形中，，则（ ）
A． B． C． D．
【例2】如图，正八边形中，若，则的值为________．
【题型专练】
1.如图，在梯形中，，，，，，则___________.
2.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足，则_________；_________．
题型九：平面向量中的最值范围问题
【例1】如下图，在平面四边形ABCD中，，，，．若点M为边BC上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【例2】是边长为4的等边三角形，点D、E分别在边AC、BC上，且，则的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．－3
【例3】四边形ABCD中，，，，则的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．－3
【例4】如图，在梯形ABCD中，，，，，，若M，N是线段BC上的动点，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【例5】已知边长为2的菱形ABCD中，点F为BD上一动点，点E满足，，则的最小值为（ ）
A．0 B． C． D．2
【例6】已知向量，，共面，且均为单位向量，，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【例7】骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的半径均为，，，均是边长为4的等边三角形．设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最小值为（ ）
A．12 B．24 C．36 D．18
【例8】已知， ， ，若点是所在平面内一点，且 ，则 的最大值等于（ ）
A．13 B．15 C．19 D．21
【题型专练】
1．已知梯形ABCD中，，，，，点P，Q在线段BC上移动，且，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
2．在中，，点M为边AB的中点，点P在边BC上运动，则的最小值为___________.
3.为等边三角形，且边长为，则与的夹角大小为，若，，则的最小值为___________.
4．已知等边三角形的边长为1，点在的边上运动，则的最大值为___________.
5.已知是边长为1的正三角形，若点满足，则的最小值为
A． B．1 C． D．
6.如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________．
7.已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
8.已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范用是（ ）
A. B.
C. D.
9.已知点P是边长为2的菱形内的一点(包含边界)，且，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型十：平面向量中多选题
【例1】已知与均为单位向量，其夹角为，则（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
【例2】已知向量，其中m，n均为正数，且，下列说法正确的是（ ）
A．与的夹角为钝角 B．向量在方向上的投影为
C． D．的最大值为2
【例3】已知向量=（2，1），，则（ ）
A．若，则 B．向量在向量上的投影向量为
C．与的夹角余弦值为 D．
【例4】在直角三角形中，，，，点P在斜边BC的中线AD上，则的值可能为（ ）
A． B．8 C． D．2
【例5】已知向量，，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若在上的投影向量为，则向量与的夹角为
C．若与共线，则为或
D．存在θ，使得
【例6】已知非零平面向量，，，则下列结论正确的是（ ）
A．存在唯一的实数对，使
B．若，则
C．若且，则
D．若，则
【例7】正六角星是我们生活中比较常见的图形，如图二所示的正六角星的中心为O，A，B，C是该正六角星的顶点，则（ ）
A．向量，夹角的余弦值是
B．若，则
C．若，则
D．若，非零向量，则的最小值为
【例8】下列说法中错误的为（ ）
A．己知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
B．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底
C．非零向量，，满足且与同向，则
D．非零向量和，满足，则与的夹角为
【例9】已知的外接圆的圆心为O，半径为2，，且，下列结论正确的是（ ）
A．在方向上的投影长为
B．
C．在方向上的投影长为
D．
【例10】如图，为内任意一点，角的对边分别为，则总有优美等式成立,此结论称为三角形中的奔驰定理.由此判断以下命题中，正确的有（ ）
A．若是的重心，则有
B．若，则是的内心
C．若，则
D．若是的外心，且，则
【题型专练】
1.在中，D，E，F分别是边的中点，点G为的重心，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2.已知为所在的平面内一点，则下列命题正确的是（ ）
A．若为的垂心，，则
B．若为锐角的外心，且，则
C．若，则点的轨迹经过的重心
D．若，则点的轨迹经过的内心
3.向量是近代数学中重要和基本的概念之一，它既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通代数与几何的桥梁若向量，满足，，则（ ）
A． B．与的夹角为
C． D．在上的投影向量为
4.在平面四边形中，，若点E为线段上的动点，则的值可能为（ ）
A．1 B． C．2 D．
5.已知是平面向量，是单位向量，非零向量与的夹角为，向量满足，则可能取到的值为（ ）
A． B． C． D．
6.设向量，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7.已知是单位向量，且，则（ ）
A． B．与垂直
C．与的夹角为 D．
8.下列选项中正确的是（ ）
A．若平面向量，满足，则的最大值是5；
B．在中，，，O是的外心，则的值为4；
C．函数的图象的对称中心坐标为
D．已知P为内任意一点，若，则点P为的垂心；
9.向量 满足，，，则的值可以是（ ）
A．3 B． C．2 D．
10.已知，，，且，则可能为（ ）
A． B． C． D．
11.已知P是边长为2的正六边形内的一点，则的最小值与最大值分别是（ ）
A． B． C．4 D．6
12.八卦是我国古代的一套有象征意义的符号.如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中，则（ ）
A． B．
C． D．
13.平面向量，其中，则（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
高考二轮数学复习策略
第二轮复习的首要任务是把整个高中基础知识有机地结合在一起，构建出高中数学知识的结构图。下面，小编给大家带来高考数学二轮复习策略，效果是十分显著的哦！
1、明确模拟练习的目的。不但检测知识的全面性、方法的熟练性和运算的准确性，更是训练书写规范，表述准确的过程。
2、查漏补缺，以“错”纠错。每过一段时间，就把“错题笔记”或标记错题的试卷有侧重的看一下。查漏补缺的过程也就是反思的过程，逐渐实现保强攻弱的目标。
3、严格有规律地进行限时训练。特别是强化对解答选择题、填空题的限时训练，将平时考试当作高考，严格按时完成，并在速度体验中提高正确率。
4、保证常规题型的坚持训练。做到百无一失，对学有余力的学生，可适当拓展高考中难点的训练。
5、注重题后反思总结。出现问题不可怕，可怕的是不知道问题的存在，在复习中出现的问题越多，说明你距离成功越近，及时处理问题，争取“问题不过夜”。
6、重视每次模拟考试的临考前状态的调整及考后心理的调整。以平和的心态面对高考。
第13讲 平面向量十大题型总结
【题型目录】
题型一：平面向量线性运算
题型二：平面向量共线问题
题型三：平面向量垂直问题
题型四：平面向量的夹角问题
题型五：平面向量数量积的计算
题型六：平面向量的模问题
题型七：平面向量的投影问题
题型八：万能建系法解决向量问题
题型九：平面向量中的最值范围问题
题型十：平面向量中多选题
【典型例题】
题型一：平面向量线性运算
【例1】在中，是边上的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【例2】在△中，为边上的中线，为的中点，则
A． B．
C． D．
【例3】在中，点P为中点，点D在上，且，则( )
A． B．
C． D．
【例4】在中，为边上的中线，E为的中点，且，则________，_________．
【例5】如图，等腰梯形ABCD中，，点E为线段CD中点，点F为线段BC的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【题型专练】
1.设分别为的三边的中点，则( )
A． B． C． D．
2.设D为△ABC所在平面内的一点,若,则_____.
3.在中，，为上一点，若，则实数的值（ ）
A． B． C． D．
4.在中，，，，为边上的高，为的中点，若，则（ ）
A． B． C． D．
5.已知是所在平面内一点，为边中点，且，那么（ ）
A． B． C． D．
6．设为所在平面内一点，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
题型二：平面向量共线问题
【例1】已知向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．2
【例2】与模长为13的向量平行的单位向量为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【例3】已知向量，，，若A，B，D三点共线，则________．
【例4】设向量不平行，向量与平行，则实数= ___．
【例5】在中，点满足，过点的直线与、所在的直线分别交于点、，若，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【题型专练】
1.已知非零向量，，，若，，且，则（ ）
A．4 B． C． D．
2.已知向量的，，，若A，C，D三点共线，则m=______.
3.已知向量，是两个不共线的向量，且，，，若，，三点共线，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
4.设是两个不共线的向量，若向量（）与向量共线，则
A． B． C． D．
5.如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，则（ ）
A．1 B． C．2 D．3
6.已知M为的边的中点，N为内一点，且，则（ ）
A． B． C． D．
题型三：平面向量垂直问题
【例1】已知向量，且，则=（ ）
A． B． C．6 D．8
【例2】已知单位向量a，b的夹角为45°，ka–b与a垂直，则k=__________.
【例3】已知单位向量的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是 （ ）
A． B． C． D．
【例4】已知向量，且，则实数___________.
【例5】已知非零向量满足，．若，则实数t的值为（ ）
A．4 B．–4 C． D．–
【例6】已知向量与的夹角，且||=3，||=2，若，且，则实数的值为_____．
【题型专练】
1.是边长为的等边三角形，已知向量，满足，，则下列结论正确的是 （ ）
A． B． C． D．
2.已知，是互相垂直的单位向量，若与的夹角为，则实数的值是 ．
3.已知向量，若，则__________.
4.已知向量，且，则实数_____________．
5.（多选题）在中，，，，若为直角三角形，则的值为（ ）
A． B． C．－1 D．
题型四：平面向量的夹角问题
【例1】已知平面向量，满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【例2】已知，，则与的夹角等于（ ）
A．150° B．90° C．60° D．30°
【例3】（多选题）已知向量=（2，1），，则（ ）
A．若，则 B．向量在向量上的投影向量为
C．与的夹角余弦值为 D．
【例4】若向量，满足，，，则与的夹角为_________．
【例5】已知向量满足，则( )
A． B． C． D．
【例6】若非零向量满足，则与夹角的余弦值为________．
【例7】设向量，，，，若平分与的夹角，则的值为 ．
【例8】已知的三个顶点分别为求的大小．
【题型专练】
1.设非零向量满足，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
2.已知，，且，则___________.
3.已知向量满足，，，则的夹角等于___________.
4.若两个非零向量、满足，则与的夹角___________.
5.已知单位向量，满足，若向量，则＝（ ）
A． B． C． D．
6.已知向量满足，则向量与所成的夹角为（ ）
A． B． C． D．
7.已知向量，满足，，则向量，的夹角为（ ）
A． B． C． D．
8.已知向量，，则
A． B．
C． D．
9.非零向量，满足：，，则与夹角的大小为
A． B．
C． D．
10.已知a，b为单位向量，且a·b=0，若，则___________.
11.已知向量，的夹角为，则__________.
12.已知向量满足，则 （ ）
A． B． C． D．
题型五：平面向量数量积的计算
【例1】（2021新高考2卷）已知向量_______．
【例2】在△中，为△的外心，则等于
A． B．6 C．12 D．
【例3】已知边长为3的正，则（ ）
A．3 B．9 C． D．6
【例4】已知为等边三角形，AB=2，设点P，Q满足，，，若，则=（ ）
A． B．
C． D．
【例5】在中，，，，，则=______．
【题型专练】
1.如图，在△ABC中，AD⊥AB，，，则=（ ）
A． B． C． D．
2.在中，，﹒若，则______．
3.中，，，为线段上任一点，则（ ）
A．8 B．4 C．2 D．6
4.已知为等边三角形，为的中点，，则（ ）
A． B． C．2 D．4
5.如图，在中，，，P为上一点，且满足，若，，则的值为（ ）
A．-3 B． C． D．
6．在平行四边形ABCD中，＝6，＝5，则＝____________.
7．已知在中，，，，为的中点，，交于，则_______
题型六：平面向量的模问题
【例1】已知，，则的最小值为________．
【例2】（2021新高考1卷多选题）已知为坐标原点，点，，，，则：
A． B． C． D．
【例3】已知向量，的夹角为60°，，，则= ．
【例4】已知与均为单位向量，其中夹角为，有下列四个命题
：∈[0，） ：∈(，]
： ∈[0， ） ：∈(，]
其中真命题是
（A）， (B) ， (C) ， (D) ，
【例5】设，是两个非零向量
A．若，则
B．若，则
C．若，则存在实数，使得
D．若存在实数，使得，则
【题型专练】
1．设向量，，若(∈R)，则的最小值为
A． B．1 C． D．
2.已知向量，，且，则（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
3.已知向量，满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
4.（多选题）已知，，，且，则可能为（ ）
A． B． C． D．
5.平面向量与的夹角为，，则_____________．
6.已知向量满足，且，则__________．
7.设为单位向量，且，则______________.
8.设，均为单位向量，则“”是“⊥”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
9.已知向量，夹角为，且||=1，||=，则||= ．
题型七：平面向量的投影问题
【例1】已知向量，则在上的投影向量的模为（ ）
A． B． C． D．1
【例2】已知，，向量在方向上投影向量是，则为（ ）
A．12 B．8 C．-8 D．2
【例3】已知平面向量，，满足，，与的夹角为，在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．1
【例4】已知平面向量，满足，，，则在上的投影向量的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【例5】已知为正三角形的中心，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【例6】设向量在向量上的投影向量为，则下列等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【题型专练】
1．已知，，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在平面四边形中，，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
3.（多选题）已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．向量与向量的夹角为 D．在的投影向量是
4.（多选题）已知，，下列结论正确的是（ ）
A．与同向共线的单位向量是
B．与的夹角余弦值为
C．向量在向量上的投影向量为
D．
5.（多选题）关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（ ）
A．若，则
B．点，与向量同方向的单位向量为
C．若，则与的夹角为60°
D．若向量，则向量在向量上的投影向量为
6．己知空间向量，且，则在上的投影向量为________．
7.已知，，且，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
8.已知点、、、，则向量在方向上的投影为
A． B． C． D．
9.若向量满足，则在方向上投影的最大值是
A． B． C． D．
题型八：万能建系法解决向量问题
边长为的等边三角形 已知夹角的任意三角形 正方形 矩形
平行四边形 直角梯形 等腰梯形 圆
建系必备 （1）三角函数知识；
（2） 向量三点共线知识（对面女孩看过来）．
【例1】如图，在等腰梯形中，，则（ ）
A． B． C． D．
【例2】如图，正八边形中，若，则的值为________．
【题型专练】
1.如图，在梯形中，，，，，，则___________.
2.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足，则_________；_________．
题型九：平面向量中的最值范围问题
【例1】如下图，在平面四边形ABCD中，，，，．若点M为边BC上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【例2】是边长为4的等边三角形，点D、E分别在边AC、BC上，且，则的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．－3
【例3】四边形ABCD中，，，，则的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．－3
【例4】如图，在梯形ABCD中，，，，，，若M，N是线段BC上的动点，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【例5】已知边长为2的菱形ABCD中，点F为BD上一动点，点E满足，，则的最小值为（ ）
A．0 B． C． D．2
【例6】已知向量，，共面，且均为单位向量，，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【例7】骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的半径均为，，，均是边长为4的等边三角形．设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最小值为（ ）
A．12 B．24 C．36 D．18
【例8】已知， ， ，若点是所在平面内一点，且 ，则 的最大值等于（ ）
A．13 B．15 C．19 D．21
【题型专练】
1．已知梯形ABCD中，，，，，点P，Q在线段BC上移动，且，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
2．在中，，点M为边AB的中点，点P在边BC上运动，则的最小值为___________.
3.为等边三角形，且边长为，则与的夹角大小为，若，，则的最小值为___________.
4．已知等边三角形的边长为1，点在的边上运动，则的最大值为___________.
5.已知是边长为1的正三角形，若点满足，则的最小值为
A． B．1 C． D．
6.如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________．
7.已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
8.已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范用是（ ）
A. B.
C. D.
9.已知点P是边长为2的菱形内的一点(包含边界)，且，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型十：平面向量中多选题
【例1】已知与均为单位向量，其夹角为，则（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
【例2】已知向量，其中m，n均为正数，且，下列说法正确的是（ ）
A．与的夹角为钝角 B．向量在方向上的投影为
C． D．的最大值为2
【例3】已知向量=（2，1），，则（ ）
A．若，则 B．向量在向量上的投影向量为
C．与的夹角余弦值为 D．
【例4】在直角三角形中，，，，点P在斜边BC的中线AD上，则的值可能为（ ）
A． B．8 C． D．2
【例5】已知向量，，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若在上的投影向量为，则向量与的夹角为
C．若与共线，则为或
D．存在θ，使得
【例6】已知非零平面向量，，，则下列结论正确的是（ ）
A．存在唯一的实数对，使
B．若，则
C．若且，则
D．若，则
【例7】正六角星是我们生活中比较常见的图形，如图二所示的正六角星的中心为O，A，B，C是该正六角星的顶点，则（ ）
A．向量，夹角的余弦值是
B．若，则
C．若，则
D．若，非零向量，则的最小值为
【例8】下列说法中错误的为（ ）
A．己知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
B．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底
C．非零向量，，满足且与同向，则
D．非零向量和，满足，则与的夹角为
【例9】已知的外接圆的圆心为O，半径为2，，且，下列结论正确的是（ ）
A．在方向上的投影长为
B．
C．在方向上的投影长为
D．
【例10】如图，为内任意一点，角的对边分别为，则总有优美等式成立,此结论称为三角形中的奔驰定理.由此判断以下命题中，正确的有（ ）
A．若是的重心，则有
B．若，则是的内心
C．若，则
D．若是的外心，且，则
【题型专练】
1.在中，D，E，F分别是边的中点，点G为的重心，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2.已知为所在的平面内一点，则下列命题正确的是（ ）
A．若为的垂心，，则
B．若为锐角的外心，且，则
C．若，则点的轨迹经过的重心
D．若，则点的轨迹经过的内心
3.向量是近代数学中重要和基本的概念之一，它既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通代数与几何的桥梁若向量，满足，，则（ ）
A． B．与的夹角为
C． D．在上的投影向量为
4.在平面四边形中，，若点E为线段上的动点，则的值可能为（ ）
A．1 B． C．2 D．
5.已知是平面向量，是单位向量，非零向量与的夹角为，向量满足，则可能取到的值为（ ）
A． B． C． D．
6.设向量，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7.已知是单位向量，且，则（ ）
A． B．与垂直
C．与的夹角为 D．
8.下列选项中正确的是（ ）
A．若平面向量，满足，则的最大值是5；
B．在中，，，O是的外心，则的值为4；
C．函数的图象的对称中心坐标为
D．已知P为内任意一点，若，则点P为的垂心；
9.向量 满足，，，则的值可以是（ ）
A．3 B． C．2 D．
10.已知，，，且，则可能为（ ）
A． B． C． D．
11.已知P是边长为2的正六边形内的一点，则的最小值与最大值分别是（ ）
A． B． C．4 D．6
12.八卦是我国古代的一套有象征意义的符号.如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中，则（ ）
A． B．
C． D．
13.平面向量，其中，则（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
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