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备战2023年高考数学常考题型分类讲义 第18讲 直线与圆常考6种题型总结
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高考二轮数学复习策略
第二轮复习的首要任务是把整个高中基础知识有机地结合在一起，构建出高中数学知识的结构图。下面，小编给大家带来高考数学二轮复习策略，效果是十分显著的哦！
1、明确模拟练习的目的。不但检测知识的全面性、方法的熟练性和运算的准确性，更是训练书写规范，表述准确的过程。
2、查漏补缺，以“错”纠错。每过一段时间，就把“错题笔记”或标记错题的试卷有侧重的看一下。查漏补缺的过程也就是反思的过程，逐渐实现保强攻弱的目标。
3、严格有规律地进行限时训练。特别是强化对解答选择题、填空题的限时训练，将平时考试当作高考，严格按时完成，并在速度体验中提高正确率。
4、保证常规题型的坚持训练。做到百无一失，对学有余力的学生，可适当拓展高考中难点的训练。
5、注重题后反思总结。出现问题不可怕，可怕的是不知道问题的存在，在复习中出现的问题越多，说明你距离成功越近，及时处理问题，争取“问题不过夜”。
6、重视每次模拟考试的临考前状态的调整及考后心理的调整。以平和的心态面对高考。
第18讲 直线与圆常考6种题型总结
【考点分析】
考点一：圆的定义：在平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆
考点二：圆的标准方程
设圆心的坐标，半径为，则圆的标准方程为：
考点三：圆的一般方程
圆的一般方程为，圆心坐标：，半径：
注意：①对于的取值要求：
当时，方程只有实数解．它表示一个点
当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．
②二元二次方程，表示圆的充要条件是
考点四：以 为直径端点的圆的方程为
考点五： 阿波罗尼斯圆
设为平面上相异两定点，且，为平面上异于一动点且（且）则点轨迹为圆.
考点六：直线与圆的位置关系
设圆心到直线的距离，圆的半径为，则
直线与圆的位置关系 几何意义 代数意义 公共点的个数
①直线与圆相交 两个
②直线与圆相切 一个
③直线与圆相离 0个
注：代数法：联立直线方程与圆方程，得到关于的一元二次方程
考点七：直线与圆相交的弦长问题
法一：设圆心到直线的距离，圆的半径为，则弦长
法二：联立直线方程与圆方程，得到关于的一元二次方程 ，利用韦达定理，弦长公式即可
【题型目录】
题型一：圆的方程
题型二：直线与圆的位置关系
题型三：直线与圆的弦长问题
题型四：圆中的切线 切线长和切点弦问题
题型五：圆中最值问题
题型六：圆与圆的位置关系问题
【典型例题】
题型一：圆的方程
【例1】顶点坐标分别为，，．则外接圆的标准方程为______．
【答案】
【解析】设圆的标准方程为，因为过点，，
所以 解得
则圆的标准方程为
故答案为：
【例2】已知圆关于直线对称，则的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．8
【答案】B
【分析】求出圆心坐标，进而求出a，b的关系，再利用基本不等式中“1”的妙用求解作答.
【详解】圆的圆心为，依题意，点在直线上，
因此，即，
，当且仅当，即时“=”，
所以的最小值为.
故选：B
【例3】过点，且圆心在直线上的圆的方程为_______．
【答案】
【分析】设圆的标准方程为，根据题意列出方程组，求得的值，即可求解.
【详解】设圆的标准方程为，
因为圆过点，且圆心在直线上，
则有，解得，
所以所求圆的方程为．
故答案为：.
【例4】设甲：实数；乙：方程是圆，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】由方程表示圆可构造不等式求得的范围，根据推出关系可得结论.
【详解】若方程表示圆，则，解得：；
∵，，，甲是乙的必要不充分条件.
故选：B.
【例5】苏州有很多圆拱的悬索拱桥（如寒山桥），经测得某圆拱索桥（如图）的跨度米，拱高米，在建造圆拱桥时每隔米需用一根支柱支撑，则与相距米的支柱的高度是（ ）米.（注意：≈）
A．6.48 B．5.48 C．4.48 D．3.48
【答案】A
【解析】以O为原点,以AB所在直线为x轴,以OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系.
设圆心坐标为（0，a），则P(0,10),A(-50,0).
可设圆拱所在圆的方程为,由题意可得：
解得： .
所以所求圆的方程为.
将x=-30代入圆方程,得: ,
因为y>0,所以.
故选：A.
【例6】阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：在平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，则面积的最大值是（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】C
【解析】设经过点A，B的直线为x轴，的方向为x轴正方向，线段AB的垂直平分线为y轴，线段AB的中点O为原点，建立平面直角坐标系.则，．
设，∵，∴，
两边平方并整理得，即．
要使的面积最大，只需点P到AB（x轴）的距离最大时，
此时面积为．
故选：C.
【题型专练】
1．设点M在直线上，点和均在上，则的方程为______________．
【答案】
【分析】设出点M的坐标，利用和均在上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.
【详解】解：∵点M在直线上，
∴设点M为，又因为点和均在上，
∴点M到两点的距离相等且为半径R，
∴，
，解得，
∴，，
的方程为.
故答案为：
2.经过三个点的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据三点在坐标系的位置，确定出是直角三角形，其中是斜边，则有过三点的圆的半径为的一半，圆心坐标为的中点，进而根据圆的标准方程求解.
【详解】由已知得，分别在原点、轴、轴上，
，
经过三点圆的半径为，
圆心坐标为的中点，即，
圆的标准方程为.
故选：C.
3.过四点中的三点的一个圆的方程为____________．
【答案】或或或（答案不唯一，填其中一个即可）
【解析】设圆的方程为
若圆过，，三点，则，解得，故圆的方程为；
若圆过，，三点，则，解得，故圆的方程为；
若圆过，，三点，则，解得，故圆的方程为；
若圆过，，三点，则，解得，故圆的方程为.
4.已知“”是“”表示圆的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出表示圆的充要条件，然后可判断出答案.
【详解】若表示圆，则，
解得.
“”是“”表示圆的必要不充分条件，
所以实数的取值范围是.
故选：B
5.若两定点，，动点M满足，则动点M的轨迹围成区域的面积为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件求出动点M的轨迹方程，再确定轨迹即可计算作答.
【详解】设，依题意，，化简整理得：，
因此，动点M的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆，
所以动点M的轨迹围成区域的面积为.
故选：D
6.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两定点A，B的距离之比为定值λ（λ≠1）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy中，A（－2，0），B（4，0），点P满足＝.设点P的轨迹为C，则下列结论正确的是（ ）
A．轨迹C的方程为（x＋4）2＋y2＝9
B．在x轴上存在异于A，B的两点D，E使得＝
C．当A，B，P三点不共线时，射线PO是∠APB的平分线
D．在C上存在点M，使得
【答案】BC
【分析】根据阿波罗尼斯圆的定义，结合两点间距离公式逐一判断即可.
【详解】在平面直角坐标系xOy中，A（－2，0），B（4，0），点P满足，设P（x，y），则，化简得（x＋4）2＋y2＝16，所以A错误；
假设在x轴上存在异于A，B的两点D，E使得，设D（m，0），E（n，0），则，化简得3x2＋3y2－（8m－2n）x＋4m2－n2＝0，由轨迹C的方程为x2＋y2＋8x＝0，可得8m－2n＝－24，4m2－n2＝0，
解得m＝－6，n＝－12或m＝－2，n＝4（舍去），即在x轴上存在异于A，B的两点D，E使，所以B正确；
当A，B，P三点不共线时，，
可得射线PO是∠APB的平分线，所以C正确；
若在C上存在点M，使得，可设M（x，y），
则有＝2，化简得x2＋y2＋x＋＝0，与x2＋y2＋8x＝0联立，方程组无解，故不存在点M，所以D错误．
故选：BC
【点睛】关键点睛：运用两点间距离公式是解题的关键.
7．已知动点M与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离满足，则在O，A，M三点所能构成的三角形中面积的最大值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】设，求出点轨迹方程得其轨迹，由面积公式转化为，由三角形面积公式易得最大值．
【详解】设，则得，
化简整理得，所以点轨迹是以为圆心，2为半径的圆，如图，
，
，
易知时，取得最大值3．
故选：C．
题型二：直线与圆的位置关系
【例1】直线与圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相离
C．相切 D．无法确定
【答案】A
【分析】直线l过定点，求出定点的坐标，根据定点与圆的位置关系来确定l与圆的位置关系.
【详解】由 得： ，所以直线l过定点 ，
圆 的圆心为原点，半径为 ，由 知：
点A在圆内，所以直线l与圆相交；
故选：A.
【例2】（黑龙江哈尔滨市）若过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意知，直线的斜率存在，设直线的斜率为，则直线方程为，即，圆心为，半径为，所以圆心到直线得距离，解得
【例3】直线 与曲线只有一个公共点，则实数范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】确定直线恒过定点，确定曲线表示圆心为，半径为1，且位于直线右侧的半圆，包括点，由直线与圆位置关系解决即可.
【详解】由题知，直线 恒过定点，曲线表示圆心为，半径为1，且位于直线右侧的半圆，包括点，
当直线经过点时，与曲线有2个交点，此时，不满足题意，直线记为，
当直线经过点时，与曲线有1个交点，此时，满足题意，直线记为，
如图，当直线与半圆相切时，由，解得，直线记为，
由图知，当或，与曲线有1个交点，
故选：C
【例4】已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（ ）
A．若点在圆上，则直线与圆相切
B．若点在圆内，则直线与圆相交
C．若点在圆外，则直线与圆相离
D．若点在直线上，则直线与圆相切
【答案】AD
【分析】根据直线与圆的位置关系相应条件判断即可．
【详解】解：圆心到直线的距离，
若点在圆上，
则，
所以，
则直线与圆相切，故A正确；
若点在圆内，则，
所以，
则直线与圆相离，故B错误；
若点在圆外，则，
所以，
则直线与圆相交，故C错误；
若点在直线上，则，
即，
所以，
直线与圆相切，故D正确．
故选：AD．
【题型专练】
1.直线与圆的公共点个数为 （ ）
A．个 B．个 C．个 D．个或个
【答案】D
【解析】将直线变形为，令，解得，所以直线过定点，因为，所以点在圆上，所以直线与圆相切或者相交
2.已知关于的方程有两个不同的实数根，则实数的范围______.
【答案】
【分析】画出和的图像，数形结合得出实数的范围.
【详解】设，，图像如图所示，
当直线与半圆相切时，圆心到直线的距离，即，
解得：（舍），或
当直线过点时，可求得直线的斜率，
则利用图像得：实数的范围为
故答案为：
3.（2022全国新高考2卷）设点A(－2，3)，B(0，a)，若直线AB关于y＝a对称的直线与圆C：
＋＝1有公共点，则a的取值范围为_______．
【答案】
【解析】关于对称的点的坐标为，在直线上，
所以所在直线即为直线，所以直线为，即；
圆，圆心，半径，依题意圆心到直线的距离，
即，解得，即；故答案为：
题型三：直线与圆的弦长问题
【例1】已知圆C：与直线l：x-y-1=0相交于A，B两点，若△ABC的面积为2，则圆C的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
如图，
由圆C方程可知圆心，半径为a，由点到直线的距离公式可知圆心C到直线l的距离，
又△ABC的面积为，解得，由勾股定理可得，则a=2，
即圆C的半径为2.则圆C的面积为.
故选：C.
【例2】已知圆，过点的直线，，…，被该圆M截得的弦长依次为，，…，，若，，…，是公差为的等差数列，则n的最大值是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】D
【分析】求出弦长的最小和最大值，根据等差数列的关系即可求出n的最大值
【详解】解：由题意
在圆中
∴圆心，半径为3，
过点的直线，，…，被该圆M截得的弦长依次为，，…，
过圆心作弦的垂线，交圆于两点，如下图所示：
由几何知识得，当时，
为最短弦长；为最长弦长，为6.
此时，
直线的解析式为：
直线的解析式为：
圆心到弦BC所在直线的距离：
连接,
由勾股定理得，
∴，
∴最短弦长，
∵，，…，是公差为的等差数列
∴设
∵最长弦长为6
∴
解得：
故选：D.
【例3】已知直线与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点，则当最小时，（ ）
A．4 B． C．8 D．
【答案】D
【分析】首先求出直线过定点，即可求出弦的最小值，求出直线的倾斜角的倾斜角，再利用锐角三角函数计算可得.
【详解】解：直线过定点，最小时，，
圆心到直线的距离，，
因为，所以此时，所以直线的倾斜角为，
过点作交于点，则，
在中，所以.
故选：D
【例4】（多选题）若直线l经过点，且被圆截得的弦长为4，则l的方程可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】由弦长公式得出圆心到直线距离，考虑直线斜率不存在和存在两种情况，根据距离公式得出所求方程.
【详解】圆的标准方程为：，由题意圆心到直线l的距离
①当直线的斜率不存在时，直线方程为，圆心到直线的距离，符合题意，
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
圆心到直线的距离为，解得，则直线方程为，
综上，直线 l的方程为或．
故选：AC．
【题型专练】
1.直线与圆相交于A，B两点，若，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令圆的圆心到直线l的距离为d，而圆半径为，弦AB长满足，
则有，又，于是得，解得，
所以实数m的取值范围为.
故选：B
2.在圆内，过点的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】圆化简为可得圆心为
易知过点的最长弦为直径，即
而最短弦为过与垂直的弦，圆心到的距离：
所以弦
所以四边形ABCD的面积：
故选：D.
3.若直线 与圆相交于两点， 且(其中为原点)，则的值为（ ）
A．或 B． C．或 D．
【答案】A
【分析】根据点到直线的距离公式即可求解.
【详解】由可知，圆心到直线的距离为，根据点到直线的距离公式可得
故选：A
4.直线：与圆：相交于A，B两点，则的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】D
【解析】分别取，则，得，即直线过定点，
将圆C化为标准方程：，圆心为，半径.
如图，因为，所以当圆心到直线距离最大时最小.
当CP不垂直直线时，总有，故当时最小，因为，所以的最小值为.
故选：D
题型四：圆中的切线 切线长和切点弦问题
【例1】直线l过点且与圆相切，则直线l的方程为______________．
【答案】或.
【分析】先求出圆的圆心和半径，然后分直线的斜率不存在和存在两种情况求解即可.
【详解】由，得圆心为，半径，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时直线恰好与圆相切，符合题意，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，则
，，
解得，
所以直线的方程为，即，
综上，直线l的方程为或，
故答案为：或.
【例2】已知圆：，且圆外有一点，过点作圆的两条切线，且切点分别为，，则______.
【答案】
【分析】画出图象，利用等面积法求得
【详解】圆：，即，
圆的圆心为，半径.
画出图象如下图所示，，
四边形的面积为，解得.
故答案为：
【例3】点在圆：上，，，则最大时，___________.
【答案】3
【分析】根据题意最大时，直线与圆相切从而可得出答案.
【详解】点在圆：上，即圆心为，已知，，
如图将绕点沿逆时针方向旋转，当刚好与圆相切时，最小.
当旋转到与圆相切于点时，最大.
所以最大时，直线与圆相切，
故答案为：3
【例4】过点作圆：的切线，切点分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．四边形的外接圆方程为
C．直线方程为
D．三角形的面积为
【答案】BCD
【分析】求出，由勾股定理求解，即可判断选项；
利用为所求圆的直径，求出圆心和半径，即可判断选项；利用，求出直线的斜率，即可判断选项；求出直线和的交点坐标，利用三角形的面积公式求解，即可判断选项.
【详解】对于，由题意可得：，由勾股定理可得，，故选项错误；
对于，由题意知，，则为所求圆的直径，所以线段的中点为，半径为，则所求圆的方程为，化为一般方程为，故选项正确；
对于，由题意，其中一个切点的坐标为，不妨设为点，则，又，所以，所以直线的方程为，故选项正确；
对于，因为，且直线的方程为，直线的方程为，联立方程组，解得，所以两条直线的交点坐标为，则，，
故的面积为，所以的面积为，故选项正确，
故选：.
【题型专练】
1.过点作与圆相切的直线l，则直线l的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】将圆的方程配成标准式，即可得到圆心坐标与半径，再分斜率存在与不存在两种情况讨论，分别求出切线方程.
【详解】解：圆，即，则圆心为，半径为1，易知点在圆外，
显然是其中一条切线.
当切线斜率存在时，设切线方程为，则，解得，
所以切线方程为.综上，切线方程为或.
故选：BC.
2.直线平分圆的周长，过点作圆C的一条切线，切点为Q，则（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【详解】圆的圆心为，半径为，
因为直线平分圆的周长，
所以直线经过，所以，故，
由已知，，，圆的半径为3，
所以，
故选：B.
3.过点作圆的两条切线，切点分别为 、，则直线的方程为_______．
【答案】
【分析】由题知、，进而求解方程即可.
【详解】解：方法1：由题知，圆的圆心为，半径为，
所以过点作圆的两条切线，切点分别为、，
所以，
所以直线的方程为，即；
方法2：设，，则由，可得，
同理可得，
所以直线的方程为.
故答案为：
题型五：圆中最值问题
【例1】已知：，分别交，轴于，两点，在圆：上运动，则面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
如图所示，以为底边，则面积最大等价于点到距离最大，
而点到距离最大值等于到的距离加半径看，到的距离，又圆的半径，
，，则，所以面积的最大值为
故选：C
【例2】已知点是圆上的点，点是直线上的点，点是直线上的点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设圆心，记点，作圆关于直线的对称圆，计算出圆心到直线的距离，结合对称性可得出的最小值为，即可得解.
【详解】设圆心，记点，作圆关于直线的对称圆，
由对称性可知，
点到直线的距离为，
故当与直线垂直时，且当为与直线的交点以及点为圆与线段的交点(靠近直线)时，取得最小值，
且.
故选：B.
【例3】已知直线与、轴的交点分别为、，且直线与直线相交于点，则面积的最大值是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】求出点、的坐标，可得出的值，求出直线、所过定点的坐标，根据可求得点的轨迹方程，根据圆的几何性质可求得点在直线距离的最大值，再利用三角形的面积公式可求得面积的最大值.
【详解】在直线的方程中，令可得，令可得，
即点、，故，
将直线的方程变形可得，由可得，
所以，直线过定点，
将直线的方程变形为，由可得，
所以，直线过定点，
，则，设点.
①若点不与或重合，则，且，，
，整理可得；
②当点与或重合，则点、的坐标满足方程.
所以，点的轨迹方程为.
圆圆心到直线的距离为，
所以，点到直线的最大距离为，
因此，面积的最大值是.
故选：A.
【例4】已知圆的圆心为，为直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由圆的方程可确定圆心和半径，结合向量线性运算和数量积运算定义可求得，则当为圆心到直线的距离时，取得最小值，结合点到直线距离公式可求得结果.
【详解】由圆的方程可知：圆心为，半径；
；
，，
，
则当为圆心到直线的距离时，取得最小值，
，.
故选：B.
【例5】已知复数z满足（i为虚数单位），则的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】B
【解析】令，x，，则，
即，表示点与点距离为1的点集，
此时，表示圆
上点到原点距离，所以的最大值，即为圆上点到原点的距离的最大值，
而圆心到原点距离为，且半径为1，
所以圆上点到原点的距离的最大值为．
故选：B．
【例6】若，则的取值范围为
【答案】
【解析】因为，所以所以
如图，此方程表示的是圆心在原点，半径为1的半圆,
的几何意义是点与点连线的斜率
如图，，
，
所以的取值范围为故选：D
【例】AB为⊙C：(x－2)2＋(y－4)2＝25的一条弦，，若点P为⊙C上一动点，则的取值范围是（ ）
A．[0，100] B．[－12，48] C．[－9，64] D．[－8，72]
【答案】D
【解析】
【分析】
取AB中点为Q,利用数量积的运算性质可得，再利用圆的性质可得取值范围，即求.
【详解】
取AB中点为Q，连接PQ
，
，
又，
，
∵点P为⊙C上一动点，
∴
的取值范围[－8，72].
故选：D.
【题型专练】
1．直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则面积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据已知条件及两点的距离公式，利用圆的标准方程及点到直线的距离公式，结合圆上的点到直线的最值问题及三角形的面积公式即可求解.
【详解】因为直线分别与轴，轴交于两点，
所以令，得，所以，
令，得，所以，
所以，
因为圆的方程为，
所以圆心坐标为，半径为，
所以圆心到直线的距离为
,
设点到直线的距离为，
所以，即，于是有，
所以，
故面积的取值范围为.
故选: A.
2.（多选题）已知点P在圆O:上,直线:分别与轴,轴交于两点,则（ ）
A．过点作圆O的切线,则切线长为 B．满足的点有3个
C．点到直线距离的最大值为 D．的最小值是
【答案】ACD
【分析】对于A,根据勾股定理求解即可;对于B,即,所以点在以为直径的圆上,设的中点为,写出圆的方程,根据两个圆的交点个数即可判断正误;对于C,根据圆上一点到直线的最大距离为圆心到直线的距离加上半径进行判断;对于D,,求解的最小值即可判断正误.
【详解】对于A,点,点,过点作圆O的切线,则切线长为,A正确;
对于B,,
点在以为直径的圆上,
设的中点为,
圆的方程:,
则圆与圆的圆心距为:,
,
圆与圆O相交,有两个交点,
即满足的点有2个,B不正确;
对于C,点,则圆心到直线的距离,所以点到该直线距离的最大值为,C正确;
对于D,的中点,,因为,的最小值是,D正确.
故选:ACD.
3．已知动点，分别在圆：和圆：上，动点在直线上，则的最小值是_______
【答案】##
【分析】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，设点关于直线对称的点为,进而根据对称性得，再结合题意得
【详解】解：由题知圆：的圆心为，半径为，
圆：的圆心为，半径为，
如图，设点关于直线对称的点为，
所以，，解得，即，
所以，
所以，，即的最小值是.
故答案为：
4．过直线上的一点P向圆作两条切线．设与的夹角为θ，则的最大值为______．
【答案】##
【分析】由题可得圆心为，半径为2，设与圆切于，根据圆的性质结合条件可得，进而即得.
【详解】由，可得圆心为，半径为2，
设与圆切于，则，
在中，，，
又到直线的距离为，
所以，，
所以的最大值为，即的最大值为.
故答案为：.
5．已知圆 是圆上的动点，则的最大值为_________；的最小值为____________．
【答案】 ##0.5
【分析】把变成代入圆方程，利用判别式不小于0求出最值即可，
利用原点到圆心的距离即可求得最小值．
【详解】圆标准方程是，，半径为，
由得代入圆的方程整理得，
，，
所以的最大值是；
表示点与坐标原点的距离的平方, ，
，所以的最小值是．
故答案为: ;
6.世纪末，挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，也即复数的模的几何意义为对应的点到原点的距离．已知复数满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，对应的点的轨迹为圆；
的几何意义为点到点的距离，
.故选：C.
题型六：圆与圆的位置关系问题
【例1】已知圆与圆，则圆与的位置关系是（ ）
A．内含 B．相交 C．外切 D．相离
【答案】D
【分析】根据两圆心距离与两半径关系确定两圆位置关系.
【详解】圆的圆心为，半径，
圆的圆心为，半径，
因为，
所以两圆相离，
故选：D.
【例2】已知点在圆：上，点，，满足的点的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【解析】
【分析】设，轨迹可得点P的轨迹方程，即可判断该轨迹与圆的交点个数.
【详解】
设点，则，
且，由，得
，
即，
故点P的轨迹为一个圆心为、半径为的圆，
则两圆的圆心距为，半径和为，半径差为，
有，所以两圆相交，满足这样的点P有2个.
故选：B.
【例3】圆与圆的公共弦长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】两圆的一般方程相减得到公共弦所在直线的方程，求出圆的圆心到公共弦的距离，再由
公共弦长公式求出答案即可.
【详解】联立两个圆的方程，
两式相减可得公共弦方程，
圆的圆心坐标为，半径为，
圆心到公共弦的距离为，
公共弦长为.
故选：A.
【例4】已知圆C：和两点，，若圆C上存在点P，使得，则m的最大值为（ ）
A．12 B．11 C．10 D．9
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意得点轨迹，转化为有交点问题
【详解】
，记中点为，则，故点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，
又P在圆C上，所以两圆有交点，则，而，
得．
故选：B
【题型专练】
1．写出与圆和圆都相切的一条直线的方程______.
【答案】（答案不唯一，写其它三条均可）
【分析】先判断两圆的位置关系，可设公切线方程为，根据圆心到直线的距离等于半径列出方程组，解之即可得出答案.
【详解】解：圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
则，
所以两圆外离，
由两圆的圆心都在轴上，则公切线的斜率一定存在，
设公切线方程为，即，
则有，
解得或或或
所以公切线方程为或或或，
即或或或.
故答案为：.（答案不唯一，写其它三条均可）
2.（2022全国新高考1卷）写出与圆＋＝1和＋＝16都相切的一条直线的方程_______．
【答案】或或
【解析】
【分析】
先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.
【详解】
圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，
两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切，
如图，
当切线为l时，因为，所以，设方程为
O到l的距离，解得，所以l的方程为，
当切线为m时，设直线方程为，其中，，
由题意，解得，
当切线为n时，易知切线方程为，
故答案为：或或.
3.（多选题）圆和圆的交点为A，B，则有（ ）
A．公共弦AB所在直线的方程为
B．公共弦AB所在直线的方程为
C．公共弦AB的长为
D．P为圆上一动点，则P到直线AB距离的最大值为
【答案】AD
【分析】对于AB，两圆方程相减消去二次项可求得公共弦AB所在直线的方程，对于C，求出圆心到公共弦的距离，然后利用弦心距，弦和半径的关系可求出公共弦的长，对于D，点P到直线AB距离的最大值为
【详解】由与作差可得，
即公共弦AB所在直线的方程为，故A正确，B错误；
对于C，圆心到直线的距离为，圆的半径，
所以，故C错误；
对于D，点P为圆上一动点，则点P到直线AB距离的最大值为，故D正确.
故选：AD.
4.已知点，则满足点到直线的距离为，点到直线距离为的直线的条数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】
【分析】
以为圆心，为半径，为圆心，为半径分别画圆，将所求转化为求圆与圆的公切线条数，判断两圆的位置关系，从而得公切线条数.
【详解】
以为圆心，为半径，为圆心，为半径分别画圆，如图所示，
由题意，满足点到直线的距离为，点到直线距离为的直线的条数
即为圆与圆的公切线条数，
因为，所以两圆外离，
所以两圆的公切线有4条，即满足条件的直线有4条.
故选：D
5.已知圆，圆，点M、N分别是圆、圆上的动点，点P为x轴上的动点，则的最大值是（ ）
A． B．9 C．7 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
分析可知，设点关于轴的对称点为，可得出，求出的最大值，即可得解.
【详解】
圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为．
，
又，，
．
点关于轴的对称点为，
，
所以，，
故选：B．
高考二轮数学复习策略
第二轮复习的首要任务是把整个高中基础知识有机地结合在一起，构建出高中数学知识的结构图。下面，小编给大家带来高考数学二轮复习策略，效果是十分显著的哦！
1、明确模拟练习的目的。不但检测知识的全面性、方法的熟练性和运算的准确性，更是训练书写规范，表述准确的过程。
2、查漏补缺，以“错”纠错。每过一段时间，就把“错题笔记”或标记错题的试卷有侧重的看一下。查漏补缺的过程也就是反思的过程，逐渐实现保强攻弱的目标。
3、严格有规律地进行限时训练。特别是强化对解答选择题、填空题的限时训练，将平时考试当作高考，严格按时完成，并在速度体验中提高正确率。
4、保证常规题型的坚持训练。做到百无一失，对学有余力的学生，可适当拓展高考中难点的训练。
5、注重题后反思总结。出现问题不可怕，可怕的是不知道问题的存在，在复习中出现的问题越多，说明你距离成功越近，及时处理问题，争取“问题不过夜”。
6、重视每次模拟考试的临考前状态的调整及考后心理的调整。以平和的心态面对高考。
第18讲 直线与圆常考6种题型总结
【考点分析】
考点一：圆的定义：在平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆
考点二：圆的标准方程
设圆心的坐标，半径为，则圆的标准方程为：
考点三：圆的一般方程
圆的一般方程为，圆心坐标：，半径：
注意：①对于的取值要求：
当时，方程只有实数解．它表示一个点
当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．
②二元二次方程，表示圆的充要条件是
考点四：以 为直径端点的圆的方程为
考点五： 阿波罗尼斯圆
设为平面上相异两定点，且，为平面上异于一动点且（且）则点轨迹为圆.
考点六：直线与圆的位置关系
设圆心到直线的距离，圆的半径为，则
直线与圆的位置关系 几何意义 代数意义 公共点的个数
①直线与圆相交 两个
②直线与圆相切 一个
③直线与圆相离 0个
注：代数法：联立直线方程与圆方程，得到关于的一元二次方程
考点七：直线与圆相交的弦长问题
法一：设圆心到直线的距离，圆的半径为，则弦长
法二：联立直线方程与圆方程，得到关于的一元二次方程 ，利用韦达定理，弦长公式即可
【题型目录】
题型一：圆的方程
题型二：直线与圆的位置关系
题型三：直线与圆的弦长问题
题型四：圆中的切线 切线长和切点弦问题
题型五：圆中最值问题
题型六：圆与圆的位置关系问题
【典型例题】
题型一：圆的方程
【例1】顶点坐标分别为，，．则外接圆的标准方程为______．
【答案】
【解析】设圆的标准方程为，因为过点，，
所以 解得
则圆的标准方程为
故答案为：
【例2】已知圆关于直线对称，则的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．8
【答案】B
【分析】求出圆心坐标，进而求出a，b的关系，再利用基本不等式中“1”的妙用求解作答.
【详解】圆的圆心为，依题意，点在直线上，
因此，即，
，当且仅当，即时“=”，
所以的最小值为.
故选：B
【例3】过点，且圆心在直线上的圆的方程为_______．
【答案】
【分析】设圆的标准方程为，根据题意列出方程组，求得的值，即可求解.
【详解】设圆的标准方程为，
因为圆过点，且圆心在直线上，
则有，解得，
所以所求圆的方程为．
故答案为：.
【例4】设甲：实数；乙：方程是圆，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】由方程表示圆可构造不等式求得的范围，根据推出关系可得结论.
【详解】若方程表示圆，则，解得：；
∵，，，甲是乙的必要不充分条件.
故选：B.
【例5】苏州有很多圆拱的悬索拱桥（如寒山桥），经测得某圆拱索桥（如图）的跨度米，拱高米，在建造圆拱桥时每隔米需用一根支柱支撑，则与相距米的支柱的高度是（ ）米.（注意：≈）
A．6.48 B．5.48 C．4.48 D．3.48
【答案】A
【解析】以O为原点,以AB所在直线为x轴,以OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系.
设圆心坐标为（0，a），则P(0,10),A(-50,0).
可设圆拱所在圆的方程为,由题意可得：
解得： .
所以所求圆的方程为.
将x=-30代入圆方程,得: ,
因为y>0,所以.
故选：A.
【例6】阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：在平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，则面积的最大值是（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】C
【解析】设经过点A，B的直线为x轴，的方向为x轴正方向，线段AB的垂直平分线为y轴，线段AB的中点O为原点，建立平面直角坐标系.则，．
设，∵，∴，
两边平方并整理得，即．
要使的面积最大，只需点P到AB（x轴）的距离最大时，
此时面积为．
故选：C.
【题型专练】
1．设点M在直线上，点和均在上，则的方程为______________．
【答案】
【分析】设出点M的坐标，利用和均在上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.
【详解】解：∵点M在直线上，
∴设点M为，又因为点和均在上，
∴点M到两点的距离相等且为半径R，
∴，
，解得，
∴，，
的方程为.
故答案为：
2.经过三个点的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据三点在坐标系的位置，确定出是直角三角形，其中是斜边，则有过三点的圆的半径为的一半，圆心坐标为的中点，进而根据圆的标准方程求解.
【详解】由已知得，分别在原点、轴、轴上，
，
经过三点圆的半径为，
圆心坐标为的中点，即，
圆的标准方程为.
故选：C.
3.过四点中的三点的一个圆的方程为____________．
【答案】或或或（答案不唯一，填其中一个即可）
【解析】设圆的方程为
若圆过，，三点，则，解得，故圆的方程为；
若圆过，，三点，则，解得，故圆的方程为；
若圆过，，三点，则，解得，故圆的方程为；
若圆过，，三点，则，解得，故圆的方程为.
4.已知“”是“”表示圆的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出表示圆的充要条件，然后可判断出答案.
【详解】若表示圆，则，
解得.
“”是“”表示圆的必要不充分条件，
所以实数的取值范围是.
故选：B
5.若两定点，，动点M满足，则动点M的轨迹围成区域的面积为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件求出动点M的轨迹方程，再确定轨迹即可计算作答.
【详解】设，依题意，，化简整理得：，
因此，动点M的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆，
所以动点M的轨迹围成区域的面积为.
故选：D
6.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两定点A，B的距离之比为定值λ（λ≠1）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy中，A（－2，0），B（4，0），点P满足＝.设点P的轨迹为C，则下列结论正确的是（ ）
A．轨迹C的方程为（x＋4）2＋y2＝9
B．在x轴上存在异于A，B的两点D，E使得＝
C．当A，B，P三点不共线时，射线PO是∠APB的平分线
D．在C上存在点M，使得
【答案】BC
【分析】根据阿波罗尼斯圆的定义，结合两点间距离公式逐一判断即可.
【详解】在平面直角坐标系xOy中，A（－2，0），B（4，0），点P满足，设P（x，y），则，化简得（x＋4）2＋y2＝16，所以A错误；
假设在x轴上存在异于A，B的两点D，E使得，设D（m，0），E（n，0），则，化简得3x2＋3y2－（8m－2n）x＋4m2－n2＝0，由轨迹C的方程为x2＋y2＋8x＝0，可得8m－2n＝－24，4m2－n2＝0，
解得m＝－6，n＝－12或m＝－2，n＝4（舍去），即在x轴上存在异于A，B的两点D，E使，所以B正确；
当A，B，P三点不共线时，，
可得射线PO是∠APB的平分线，所以C正确；
若在C上存在点M，使得，可设M（x，y），
则有＝2，化简得x2＋y2＋x＋＝0，与x2＋y2＋8x＝0联立，方程组无解，故不存在点M，所以D错误．
故选：BC
【点睛】关键点睛：运用两点间距离公式是解题的关键.
7．已知动点M与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离满足，则在O，A，M三点所能构成的三角形中面积的最大值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】设，求出点轨迹方程得其轨迹，由面积公式转化为，由三角形面积公式易得最大值．
【详解】设，则得，
化简整理得，所以点轨迹是以为圆心，2为半径的圆，如图，
，
，
易知时，取得最大值3．
故选：C．
题型二：直线与圆的位置关系
【例1】直线与圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相离
C．相切 D．无法确定
【答案】A
【分析】直线l过定点，求出定点的坐标，根据定点与圆的位置关系来确定l与圆的位置关系.
【详解】由 得： ，所以直线l过定点 ，
圆 的圆心为原点，半径为 ，由 知：
点A在圆内，所以直线l与圆相交；
故选：A.
【例2】（黑龙江哈尔滨市）若过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意知，直线的斜率存在，设直线的斜率为，则直线方程为，即，圆心为，半径为，所以圆心到直线得距离，解得
【例3】直线 与曲线只有一个公共点，则实数范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】确定直线恒过定点，确定曲线表示圆心为，半径为1，且位于直线右侧的半圆，包括点，由直线与圆位置关系解决即可.
【详解】由题知，直线 恒过定点，曲线表示圆心为，半径为1，且位于直线右侧的半圆，包括点，
当直线经过点时，与曲线有2个交点，此时，不满足题意，直线记为，
当直线经过点时，与曲线有1个交点，此时，满足题意，直线记为，
如图，当直线与半圆相切时，由，解得，直线记为，
由图知，当或，与曲线有1个交点，
故选：C
【例4】已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（ ）
A．若点在圆上，则直线与圆相切
B．若点在圆内，则直线与圆相交
C．若点在圆外，则直线与圆相离
D．若点在直线上，则直线与圆相切
【答案】AD
【分析】根据直线与圆的位置关系相应条件判断即可．
【详解】解：圆心到直线的距离，
若点在圆上，
则，
所以，
则直线与圆相切，故A正确；
若点在圆内，则，
所以，
则直线与圆相离，故B错误；
若点在圆外，则，
所以，
则直线与圆相交，故C错误；
若点在直线上，则，
即，
所以，
直线与圆相切，故D正确．
故选：AD．
【题型专练】
1.直线与圆的公共点个数为 （ ）
A．个 B．个 C．个 D．个或个
【答案】D
【解析】将直线变形为，令，解得，所以直线过定点，因为，所以点在圆上，所以直线与圆相切或者相交
2.已知关于的方程有两个不同的实数根，则实数的范围______.
【答案】
【分析】画出和的图像，数形结合得出实数的范围.
【详解】设，，图像如图所示，
当直线与半圆相切时，圆心到直线的距离，即，
解得：（舍），或
当直线过点时，可求得直线的斜率，
则利用图像得：实数的范围为
故答案为：
3.（2022全国新高考2卷）设点A(－2，3)，B(0，a)，若直线AB关于y＝a对称的直线与圆C：
＋＝1有公共点，则a的取值范围为_______．
【答案】
【解析】关于对称的点的坐标为，在直线上，
所以所在直线即为直线，所以直线为，即；
圆，圆心，半径，依题意圆心到直线的距离，
即，解得，即；故答案为：
题型三：直线与圆的弦长问题
【例1】已知圆C：与直线l：x-y-1=0相交于A，B两点，若△ABC的面积为2，则圆C的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
如图，
由圆C方程可知圆心，半径为a，由点到直线的距离公式可知圆心C到直线l的距离，
又△ABC的面积为，解得，由勾股定理可得，则a=2，
即圆C的半径为2.则圆C的面积为.
故选：C.
【例2】已知圆，过点的直线，，…，被该圆M截得的弦长依次为，，…，，若，，…，是公差为的等差数列，则n的最大值是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】D
【分析】求出弦长的最小和最大值，根据等差数列的关系即可求出n的最大值
【详解】解：由题意
在圆中
∴圆心，半径为3，
过点的直线，，…，被该圆M截得的弦长依次为，，…，
过圆心作弦的垂线，交圆于两点，如下图所示：
由几何知识得，当时，
为最短弦长；为最长弦长，为6.
此时，
直线的解析式为：
直线的解析式为：
圆心到弦BC所在直线的距离：
连接,
由勾股定理得，
∴，
∴最短弦长，
∵，，…，是公差为的等差数列
∴设
∵最长弦长为6
∴
解得：
故选：D.
【例3】已知直线与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点，则当最小时，（ ）
A．4 B． C．8 D．
【答案】D
【分析】首先求出直线过定点，即可求出弦的最小值，求出直线的倾斜角的倾斜角，再利用锐角三角函数计算可得.
【详解】解：直线过定点，最小时，，
圆心到直线的距离，，
因为，所以此时，所以直线的倾斜角为，
过点作交于点，则，
在中，所以.
故选：D
【例4】（多选题）若直线l经过点，且被圆截得的弦长为4，则l的方程可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】由弦长公式得出圆心到直线距离，考虑直线斜率不存在和存在两种情况，根据距离公式得出所求方程.
【详解】圆的标准方程为：，由题意圆心到直线l的距离
①当直线的斜率不存在时，直线方程为，圆心到直线的距离，符合题意，
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
圆心到直线的距离为，解得，则直线方程为，
综上，直线 l的方程为或．
故选：AC．
【题型专练】
1.直线与圆相交于A，B两点，若，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令圆的圆心到直线l的距离为d，而圆半径为，弦AB长满足，
则有，又，于是得，解得，
所以实数m的取值范围为.
故选：B
2.在圆内，过点的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】圆化简为可得圆心为
易知过点的最长弦为直径，即
而最短弦为过与垂直的弦，圆心到的距离：
所以弦
所以四边形ABCD的面积：
故选：D.
3.若直线 与圆相交于两点， 且(其中为原点)，则的值为（ ）
A．或 B． C．或 D．
【答案】A
【分析】根据点到直线的距离公式即可求解.
【详解】由可知，圆心到直线的距离为，根据点到直线的距离公式可得
故选：A
4.直线：与圆：相交于A，B两点，则的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】D
【解析】分别取，则，得，即直线过定点，
将圆C化为标准方程：，圆心为，半径.
如图，因为，所以当圆心到直线距离最大时最小.
当CP不垂直直线时，总有，故当时最小，因为，所以的最小值为.
故选：D
题型四：圆中的切线 切线长和切点弦问题
【例1】直线l过点且与圆相切，则直线l的方程为______________．
【答案】或.
【分析】先求出圆的圆心和半径，然后分直线的斜率不存在和存在两种情况求解即可.
【详解】由，得圆心为，半径，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时直线恰好与圆相切，符合题意，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，则
，，
解得，
所以直线的方程为，即，
综上，直线l的方程为或，
故答案为：或.
【例2】已知圆：，且圆外有一点，过点作圆的两条切线，且切点分别为，，则______.
【答案】
【分析】画出图象，利用等面积法求得
【详解】圆：，即，
圆的圆心为，半径.
画出图象如下图所示，，
四边形的面积为，解得.
故答案为：
【例3】点在圆：上，，，则最大时，___________.
【答案】3
【分析】根据题意最大时，直线与圆相切从而可得出答案.
【详解】点在圆：上，即圆心为，已知，，
如图将绕点沿逆时针方向旋转，当刚好与圆相切时，最小.
当旋转到与圆相切于点时，最大.
所以最大时，直线与圆相切，
故答案为：3
【例4】过点作圆：的切线，切点分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．四边形的外接圆方程为
C．直线方程为
D．三角形的面积为
【答案】BCD
【分析】求出，由勾股定理求解，即可判断选项；
利用为所求圆的直径，求出圆心和半径，即可判断选项；利用，求出直线的斜率，即可判断选项；求出直线和的交点坐标，利用三角形的面积公式求解，即可判断选项.
【详解】对于，由题意可得：，由勾股定理可得，，故选项错误；
对于，由题意知，，则为所求圆的直径，所以线段的中点为，半径为，则所求圆的方程为，化为一般方程为，故选项正确；
对于，由题意，其中一个切点的坐标为，不妨设为点，则，又，所以，所以直线的方程为，故选项正确；
对于，因为，且直线的方程为，直线的方程为，联立方程组，解得，所以两条直线的交点坐标为，则，，
故的面积为，所以的面积为，故选项正确，
故选：.
【题型专练】
1.过点作与圆相切的直线l，则直线l的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】将圆的方程配成标准式，即可得到圆心坐标与半径，再分斜率存在与不存在两种情况讨论，分别求出切线方程.
【详解】解：圆，即，则圆心为，半径为1，易知点在圆外，
显然是其中一条切线.
当切线斜率存在时，设切线方程为，则，解得，
所以切线方程为.综上，切线方程为或.
故选：BC.
2.直线平分圆的周长，过点作圆C的一条切线，切点为Q，则（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【详解】圆的圆心为，半径为，
因为直线平分圆的周长，
所以直线经过，所以，故，
由已知，，，圆的半径为3，
所以，
故选：B.
3.过点作圆的两条切线，切点分别为 、，则直线的方程为_______．
【答案】
【分析】由题知、，进而求解方程即可.
【详解】解：方法1：由题知，圆的圆心为，半径为，
所以过点作圆的两条切线，切点分别为、，
所以，
所以直线的方程为，即；
方法2：设，，则由，可得，
同理可得，
所以直线的方程为.
故答案为：
题型五：圆中最值问题
【例1】已知：，分别交，轴于，两点，在圆：上运动，则面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
如图所示，以为底边，则面积最大等价于点到距离最大，
而点到距离最大值等于到的距离加半径看，到的距离，又圆的半径，
，，则，所以面积的最大值为
故选：C
【例2】已知点是圆上的点，点是直线上的点，点是直线上的点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设圆心，记点，作圆关于直线的对称圆，计算出圆心到直线的距离，结合对称性可得出的最小值为，即可得解.
【详解】设圆心，记点，作圆关于直线的对称圆，
由对称性可知，
点到直线的距离为，
故当与直线垂直时，且当为与直线的交点以及点为圆与线段的交点(靠近直线)时，取得最小值，
且.
故选：B.
【例3】已知直线与、轴的交点分别为、，且直线与直线相交于点，则面积的最大值是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】求出点、的坐标，可得出的值，求出直线、所过定点的坐标，根据可求得点的轨迹方程，根据圆的几何性质可求得点在直线距离的最大值，再利用三角形的面积公式可求得面积的最大值.
【详解】在直线的方程中，令可得，令可得，
即点、，故，
将直线的方程变形可得，由可得，
所以，直线过定点，
将直线的方程变形为，由可得，
所以，直线过定点，
，则，设点.
①若点不与或重合，则，且，，
，整理可得；
②当点与或重合，则点、的坐标满足方程.
所以，点的轨迹方程为.
圆圆心到直线的距离为，
所以，点到直线的最大距离为，
因此，面积的最大值是.
故选：A.
【例4】已知圆的圆心为，为直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由圆的方程可确定圆心和半径，结合向量线性运算和数量积运算定义可求得，则当为圆心到直线的距离时，取得最小值，结合点到直线距离公式可求得结果.
【详解】由圆的方程可知：圆心为，半径；
；
，，
，
则当为圆心到直线的距离时，取得最小值，
，.
故选：B.
【例5】已知复数z满足（i为虚数单位），则的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】B
【解析】令，x，，则，
即，表示点与点距离为1的点集，
此时，表示圆
上点到原点距离，所以的最大值，即为圆上点到原点的距离的最大值，
而圆心到原点距离为，且半径为1，
所以圆上点到原点的距离的最大值为．
故选：B．
【例6】若，则的取值范围为
【答案】
【解析】因为，所以所以
如图，此方程表示的是圆心在原点，半径为1的半圆,
的几何意义是点与点连线的斜率
如图，，
，
所以的取值范围为故选：D
【例】AB为⊙C：(x－2)2＋(y－4)2＝25的一条弦，，若点P为⊙C上一动点，则的取值范围是（ ）
A．[0，100] B．[－12，48] C．[－9，64] D．[－8，72]
【答案】D
【解析】
【分析】
取AB中点为Q,利用数量积的运算性质可得，再利用圆的性质可得取值范围，即求.
【详解】
取AB中点为Q，连接PQ
，
，
又，
，
∵点P为⊙C上一动点，
∴
的取值范围[－8，72].
故选：D.
【题型专练】
1．直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则面积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据已知条件及两点的距离公式，利用圆的标准方程及点到直线的距离公式，结合圆上的点到直线的最值问题及三角形的面积公式即可求解.
【详解】因为直线分别与轴，轴交于两点，
所以令，得，所以，
令，得，所以，
所以，
因为圆的方程为，
所以圆心坐标为，半径为，
所以圆心到直线的距离为
,
设点到直线的距离为，
所以，即，于是有，
所以，
故面积的取值范围为.
故选: A.
2.（多选题）已知点P在圆O:上,直线:分别与轴,轴交于两点,则（ ）
A．过点作圆O的切线,则切线长为 B．满足的点有3个
C．点到直线距离的最大值为 D．的最小值是
【答案】ACD
【分析】对于A,根据勾股定理求解即可;对于B,即,所以点在以为直径的圆上,设的中点为,写出圆的方程,根据两个圆的交点个数即可判断正误;对于C,根据圆上一点到直线的最大距离为圆心到直线的距离加上半径进行判断;对于D,,求解的最小值即可判断正误.
【详解】对于A,点,点,过点作圆O的切线,则切线长为,A正确;
对于B,,
点在以为直径的圆上,
设的中点为,
圆的方程:,
则圆与圆的圆心距为:,
,
圆与圆O相交,有两个交点,
即满足的点有2个,B不正确;
对于C,点,则圆心到直线的距离,所以点到该直线距离的最大值为,C正确;
对于D,的中点,,因为,的最小值是,D正确.
故选:ACD.
3．已知动点，分别在圆：和圆：上，动点在直线上，则的最小值是_______
【答案】##
【分析】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，设点关于直线对称的点为,进而根据对称性得，再结合题意得
【详解】解：由题知圆：的圆心为，半径为，
圆：的圆心为，半径为，
如图，设点关于直线对称的点为，
所以，，解得，即，
所以，
所以，，即的最小值是.
故答案为：
4．过直线上的一点P向圆作两条切线．设与的夹角为θ，则的最大值为______．
【答案】##
【分析】由题可得圆心为，半径为2，设与圆切于，根据圆的性质结合条件可得，进而即得.
【详解】由，可得圆心为，半径为2，
设与圆切于，则，
在中，，，
又到直线的距离为，
所以，，
所以的最大值为，即的最大值为.
故答案为：.
5．已知圆 是圆上的动点，则的最大值为_________；的最小值为____________．
【答案】 ##0.5
【分析】把变成代入圆方程，利用判别式不小于0求出最值即可，
利用原点到圆心的距离即可求得最小值．
【详解】圆标准方程是，，半径为，
由得代入圆的方程整理得，
，，
所以的最大值是；
表示点与坐标原点的距离的平方, ，
，所以的最小值是．
故答案为: ;
6.世纪末，挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，也即复数的模的几何意义为对应的点到原点的距离．已知复数满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，对应的点的轨迹为圆；
的几何意义为点到点的距离，
.故选：C.
题型六：圆与圆的位置关系问题
【例1】已知圆与圆，则圆与的位置关系是（ ）
A．内含 B．相交 C．外切 D．相离
【答案】D
【分析】根据两圆心距离与两半径关系确定两圆位置关系.
【详解】圆的圆心为，半径，
圆的圆心为，半径，
因为，
所以两圆相离，
故选：D.
【例2】已知点在圆：上，点，，满足的点的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【解析】
【分析】设，轨迹可得点P的轨迹方程，即可判断该轨迹与圆的交点个数.
【详解】
设点，则，
且，由，得
，
即，
故点P的轨迹为一个圆心为、半径为的圆，
则两圆的圆心距为，半径和为，半径差为，
有，所以两圆相交，满足这样的点P有2个.
故选：B.
【例3】圆与圆的公共弦长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】两圆的一般方程相减得到公共弦所在直线的方程，求出圆的圆心到公共弦的距离，再由
公共弦长公式求出答案即可.
【详解】联立两个圆的方程，
两式相减可得公共弦方程，
圆的圆心坐标为，半径为，
圆心到公共弦的距离为，
公共弦长为.
故选：A.
【例4】已知圆C：和两点，，若圆C上存在点P，使得，则m的最大值为（ ）
A．12 B．11 C．10 D．9
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意得点轨迹，转化为有交点问题
【详解】
，记中点为，则，故点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，
又P在圆C上，所以两圆有交点，则，而，
得．
故选：B
【题型专练】
1．写出与圆和圆都相切的一条直线的方程______.
【答案】（答案不唯一，写其它三条均可）
【分析】先判断两圆的位置关系，可设公切线方程为，根据圆心到直线的距离等于半径列出方程组，解之即可得出答案.
【详解】解：圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
则，
所以两圆外离，
由两圆的圆心都在轴上，则公切线的斜率一定存在，
设公切线方程为，即，
则有，
解得或或或
所以公切线方程为或或或，
即或或或.
故答案为：.（答案不唯一，写其它三条均可）
2.（2022全国新高考1卷）写出与圆＋＝1和＋＝16都相切的一条直线的方程_______．
【答案】或或
【解析】
【分析】
先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.
【详解】
圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，
两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切，
如图，
当切线为l时，因为，所以，设方程为
O到l的距离，解得，所以l的方程为，
当切线为m时，设直线方程为，其中，，
由题意，解得，
当切线为n时，易知切线方程为，
故答案为：或或.
3.（多选题）圆和圆的交点为A，B，则有（ ）
A．公共弦AB所在直线的方程为
B．公共弦AB所在直线的方程为
C．公共弦AB的长为
D．P为圆上一动点，则P到直线AB距离的最大值为
【答案】AD
【分析】对于AB，两圆方程相减消去二次项可求得公共弦AB所在直线的方程，对于C，求出圆心到公共弦的距离，然后利用弦心距，弦和半径的关系可求出公共弦的长，对于D，点P到直线AB距离的最大值为
【详解】由与作差可得，
即公共弦AB所在直线的方程为，故A正确，B错误；
对于C，圆心到直线的距离为，圆的半径，
所以，故C错误；
对于D，点P为圆上一动点，则点P到直线AB距离的最大值为，故D正确.
故选：AD.
4.已知点，则满足点到直线的距离为，点到直线距离为的直线的条数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】
【分析】
以为圆心，为半径，为圆心，为半径分别画圆，将所求转化为求圆与圆的公切线条数，判断两圆的位置关系，从而得公切线条数.
【详解】
以为圆心，为半径，为圆心，为半径分别画圆，如图所示，
由题意，满足点到直线的距离为，点到直线距离为的直线的条数
即为圆与圆的公切线条数，
因为，所以两圆外离，
所以两圆的公切线有4条，即满足条件的直线有4条.
故选：D
5.已知圆，圆，点M、N分别是圆、圆上的动点，点P为x轴上的动点，则的最大值是（ ）
A． B．9 C．7 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
分析可知，设点关于轴的对称点为，可得出，求出的最大值，即可得解.
【详解】
圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为．
，
又，，
．
点关于轴的对称点为，
，
所以，，
故选：B．
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