2023年山西省忻州市高考数学百日冲刺试卷（含答案解析）

这是一份2023年山西省忻州市高考数学百日冲刺试卷（含答案解析），共16页。试卷主要包含了 已知抛物线C， 已知直线l1等内容，欢迎下载使用。

A. ⌀B. [4,+∞)C. (2,+∞)D. [0,2)
2. 已知抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F，点A(4,2)在抛物线C上，则|AF|=( )
A. 4B. 2 5C. 8D. 4 5
3. 已知a>2，则2a+8a−2的最小值是( )
A. 6B. 8C. 10D. 12
4. 如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=PD= 2AB，E，F分别是棱BC，PD的中点，则异面直线EF与AB所成角的余弦值是( )
A. 33B. 63C. 36D. 66
5. 已知直线l1：(a−1)x−(2a+3)y+a+4=0与圆C：x2+y2+2x−m−2=0，则“m>2”是“直线l与圆C一定相交”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6. 溶液酸碱度是通过PH计量的，PH的计算公式为PH=−lg[H+]，其中[H+]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.已知某溶液的PH值为2.921，则该溶液中氢离子的浓度约为(取lg2=0.301，lg3=0.477)( )
A. 1.2×10−3摩尔/升B. 1.2×10−4摩尔/升
C. 6×10−3摩尔/升D. 6×10−4摩尔/升
7. 春节期间，某地政府在该地的一个广场布置了一个如图所示的圆形花坛，花坛分为5个区域.现有5种不同的花卉可供选择，要求相邻区域不能布置相同的花卉，且每个区域只布置一种花卉，则不同的布置方案有( )
A. 120种
B. 240种
C. 420种
D. 720种
8. 若函数f(x)=4cs(2x+φ)−2 2(0≤φ≤π)在[0,11π6]内恰有4个零点，则φ的取值范围是( )
A. [0,π4]∪[π2,7π12]B. [π12,π4]∪[π2,7π12]C. [0,π4]∪[7π12,π]D. [π12,π4]∪[7π12,π]
9. 下列关于非零复数z1，z2的结论正确的是( )
A. 若z1，z2互为共轭复数，则z1⋅z2∈RB. 若z1⋅z2∈R，则z1，z2互为共轭复数
C. 若z1，z2互为共轭复数，则|z1z2|=1D. 若|z1z2|=1，则z1，z2互为共轭复数
10. 已知x>0，y>0，且x−y>lnyx，则( )
A. x>yB. x+1y>y+1xC. ln(x−y)<0D. 12x<2−y
11. 若△ABC的三个内角均小于120∘，点M满足∠AMB=∠AMC=∠BMC=120∘，则点M到三角形三个顶点的距离之和最小，点M被人们称为费马点.根据以上性质，已知a是平面内任意一个向量，向量b，c满足b⊥c，且|b|=2|c|=2 3，则|a−b|+|a−c|+|a+c|的取值可以是( )
A. 9B. 4 3C. 3 3D. 6
12. 已知f′(x)，g′(x)分别是定义在R上的函数f(x)，g(x)的导函数，f(x+1)−g(3−x)=3，f′(x−2)=g′(x+2)，且f(x+1)是奇函数，则( )
A. g(x)的图象关于直线x=4对称B. f(x)的图象关于点(−1,0)对称
C. k=12025f(k)=0D. k=12025g(k)=0
13. 某蛋糕店新推出一款蛋糕，连续一周每天的销量分别为18，22，25，29，21，20，19，则这组数据的平均数是______ .
14. 在等比数列{an}中，若a1+a3=62，a2+a4=31，则当a1a2⋯an取得最大值时，n=______ .
15. 一个正方体的体积为m立方米，表面积为n平方米，则m−n的最小值是______ ，此时，该正方体内切球的体积是______ 立方米.
16. 已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，直线l：y= 3x与双曲线C交于A，B两点，若AF⊥AB，则双曲线C的离心率是______ .
17. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，a1+a5=10，S7=49.
(1)求{an}的通项公式；
(2)若bn=(−1)n+1Sn，求数列{bn}的前100项和.
18. 某校为了解高三年级学生的学习情况，进行了一次高考模拟测试，从参加测试的高三学生中随机抽取200名学生的成绩进行分析，得到如下列联表：
将频率视为概率.
(1)从该校高三男、女学生中各随机抽取1名，求这2名高三学生中恰有1名的成绩在本科分数线以下的概率；
(2)从该校所有高三学生中随机抽取3名，记被抽取到的3名高三学生本次高考模拟成绩在本科分数线以上(包含本科分数线)的男生人数为X，求X的分布列和数学期望E(X).
19. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且cs2A+cs(B+C)=0.
(1)求角A的大小；
(2)若BC=3BD，且△ABC的面积是6 3，求AD的最小值.
20. 如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，∠ABC=60∘，平面ADE⊥平面ABCD，AE//BF，DE= 2AD= 2AE.
(1)证明：BD⊥平面ACE；
(2)若平面CEF与平面ABFE夹角的余弦值为 104，求BF的长.
21. 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为 33，点A(1,4 33)在椭圆C上.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点M(0,3)的直线l交椭圆C于P，Q两点，O为坐标原点，求△OPQ面积的最大值.
22. 已知函数f(x)=e2x+(a−2)ex−ax.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由题意可得A={x|3−x<1}={x|x>2}，B={y|y≥0}，
则A∩B={x|x>2}.
故选：C.
先求出集合A，B，再结合交集的定义，即可求解．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：∵点A(4,2)在抛物线C：x2=2py上，
∴4p=16，∴p=4，
∴|AF|=p2+xA=2+2=4，
故选：A.
根据题意，建立方程，即可求解．
本题考查抛物线的几何性质，方程思想，属基础题．
3.【答案】D
【解析】解：∵a>2，∴a−2>0，∴2a+8a−2=2(a−2)+8a−2+4≥2 16+4=12，
当且仅当2(a−2)=8a−2，(a−2)2=4，又a>2，即a=4时，等号成立．
故选：D.
利用配凑法，可求2a+8a−2的最小值．
本题考查基本不等式，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：如图所示，取棱AD的中点H，连接PH，EH，HF，则EH//AB，
所以∠HEF是异面直线EF与AB所成的角(或补角).
设AB=2，则EH=2，HF= 2.
因为平面PAD⊥平面ABCD，PH⊂平面PAD，且PH⊥AD，所以PH⊥平面ABCD，
又因为HE⊂平面ABCD，所以PH⊥HE，
又因为HE//AB，AB⊥AD，所以EH⊥AD，
且AD∩PH=H，所以EH⊥平面PAD，
又因为HF⊂平面PAD，所以EH⊥HF，
在△EFH中，EF= 22+( 2)2= 6，
所以cs∠HEF=HEEF=2 6= 63.
故选：B.
取棱AD的中点H，连接PH，EH，HF，判断∠HEF是异面直线EF与AB所成的角(或补角)，证明EH⊥平面PAD，得出EH⊥HF，再计算cs∠HEF的值．
本题考查了空间中异面直线所成的角计算问题，也考查了推理与运算能力的核心素养，是基础题．
5.【答案】A
【解析】解：直线l1：(a−1)x−(2a+3)y+a+4=0，即a(x−2y+1)+(−x−3y+4)=0，
令x−2y+1=0−x−3y+4=0，解得x=1y=1，即直线l1过定点(1,1)，
圆C：x2+y2+2x−m−2=0，即(x+1)2+y2=m+3，圆心为(−1,0)，半径为 m+3，
充分性：当m>2时， (1+1)2+(1−0)2< m+3，则定点(1,1)在圆内，充分性成立，
必要性：当直线l与圆C相交时，根据直线与圆相交的性质可得圆心到直线的距离小于半径，
由于直线中的a没有范围界定，故无法求得m的范围，
这里结合图象思考，举出反例：当直线l1为y=x，m=1时，满足圆与直线相交，但不满足m>2，
故必要性不成立；
故“m>2”是“直线l与圆C一定相交”的充分不必要条件．
故选：A.
先求出过直线l1的定点，再通过判断该定点是否在圆内，即可求解．
本题主要考查直线与圆的位置关系，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：设该溶液中氢离子的浓度约为t摩尔/升，则−lgt=2.921，从而t=10−2.921=101.079×10−4=102lg2+lg3×10−4=1.2×10−3，所以溶液中氢离子的浓度约为1.2×10−3摩尔/升．
故选：A.
可设氢离子的浓度约为t摩尔/升，可得出t=101.079×10−4，并且1.079=2lg2+lg3，代入即可求出t的值．
本题考查了对数式和指数式的互化，对数的运算性质，考查了计算能力，属于中档题．
7.【答案】C
【解析】解：先在A中种植，有5种不同的选择，再在B中种植，有4种不同的选择，再在C中种植，有3种不同的选择，再在D中种植，
若D与B种植同一种花卉，则E有3种不同的选择，
若D与B种植不同花卉，则D有2种不同的选择，E有2种不同的选择，
故不同的布置方案有5×4×3×(3+2×2)=420种．
故选：C.
根据题意，给各个区域标记序号，先在A中种植，有5种不同的选择，再在B中种植，有4种不同的选择，再在C中种植，有3种不同的选择，再在D中种植，分D与B种植同一种花卉，D与B种植不同花卉，最后相加即可．
本题考查排列组合的应用，分情况讨论是解题关键，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】解：因为0≤x≤11π6，
所以φ≤2x+φ≤11π3+φ，
令f(x)=4cs(2x+φ)−2 2=0，解得cs(2x+φ)= 22，
函数f(x)=4cs(2x+φ)−2 2(0≤φ≤π)在[0,11π6]内恰有4个零点，
当0≤φ≤π4时，15π4≤11π3+φ<17π4，所以π12≤φ≤π4；
当π4<φ≤π时，17π4≤11π3+φ<23π4，所以7π12≤φ≤π，
综上，φ的取值范围是[π12,π4]∪[7π12,π].
故选：D.
根据已知条件，推得cs(2x+φ)= 22，再结合余弦函数的图象与性质，即可求解．
本题主要考查余弦函数的图象与性质，属于基础题．
9.【答案】AC
【解析】解：设z1=a+bi(a,b∈R)，由z1，z2互为共轭复数，
则z2=a−bi，则z1⋅z2=a2+b2∈R，故A正确；
当z1=2+2i，z2=1−i时，z1⋅z2=4∈R，但z1，z2不是共轭复数，故B错误；
∵z1，z2互为共轭复数，
∴|z1|=|z2|，即|z1||z2|=1，故C正确；
当z1=1，z2=i时，|z1|=|z2|=1，即|z1||z2|=1，此时，z1，z2不是共轭复数，则D错误．
故选：AC.
根据已知条件，结合共轭复数的定义，复数的四则运算，复数模公式，即可求解．
本题主要考查共轭复数的定义，复数的四则运算，复数模公式，属于基础题．
10.【答案】ABD
【解析】解：因为x−y>lnyx，
所以x−y>lny−lnx，
所以lnx+x>lny+y，
对于A：设f(x)=lnx+x，则f(x)在(0,+∞)上单调递增，
因为lnx+x>lny+y，
所以f(x)>f(y)，
所以x>y，故A正确；
对于B：因为x>0，y>0，且x>y，
所以1x<1y，
所以x+1y>y+1x，故B正确；
对于C：当x−y=e时，ln(x−y)=1，故C错误；
对于D：因为x>y，
所以−x<−y，
所以2−x<2−y，即12x<2−y，故D正确，
故选：ABD.
由x−y>lnyx，得lnx+x>lny+y，对于A：设f(x)=lnx+x，分析f(x)的单调性，即可判断A是否正确；对于B：由不等式的性质，即可判断B是否正确；对于C：当x−y=e时，ln(x−y)=1，即可判断C是否正确；对于D：由x>y，得−x<−y，由指数函数的性质，即可判断D是否正确．
本题考查函数的单调性，不等式的证明，解题中需要理清思路，属于中档题．
11.【答案】AB
【解析】解：设a=(x,y)，b=(0,2 3)，c=( 3,0)，
则|a−b|+|a−c|+|a+c|= x2+(y−2 3)2+ (x− 3)2+y2+ (x+ 3)2+y2即为点M(x,y)到A(− 3,0)，B( 3,0)，C(0,2 3)三个点的距离之和，
又向量b，c满足b⊥c，且|b|=2|c|=2 3，
则△ABC是等腰锐角三角形，
由费马点的性质可知当点M满足∠AMB=∠AMC=∠BMC=120∘时，点M到△ABC三个顶点的距离之和最小，
因为A(− 3,0)，B( 3,0)，C(0,2 3)，
所以M(0,1)，
则|a−b|+|a−c|+|a+c|的最小值是2 3−1+2+2=2 3+3，
故选：AB.
设a=(x,y)，b=(0,2 3)，c=( 3,0)，则|a−b|+|a−c|+|a+c|= x2+(y−2 3)2+ (x− 3)2+y2+ (x+ 3)2+y2即为点M(x,y)到A(− 3,0)，B( 3,0)，C(0,2 3)三个点的距离之和，由费马点的性质可知当点M(0,1)时|a−b|+|a−c|+|a+c|取最小值，然后求解即可．
本题考查了平面向量的模的运算，重点考查了阅读理解能力，属中档题．
12.【答案】ABC
【解析】解：对于A，由f′(x−2)=g′(x+2)，可知f(x−2)−g(x+2)=t(其中t为常数)，
所以f(x+1)−g(x+5)=t，①
因为f(x+1)−g(3−x)=3，②
由②-①，得g(x+5)−g(3−x)=3−t.
令x=−1，得g(4)−g(4)=3−t=0，解得t=3，
所以g(x+5)=g(3−x)，
则g(x)的图象关于直线x=5+32=4对称，故选项A正确．
对于B，因为f(x+1)−g(3−x)=3，
所以f(−x−2+1)−g(x+5)=3，即f(−x−1)−g(x+5)=3，
又g(x+5)=g(3−x)，
所以f(x+1)=f(−x−1)，
所以f(x)=f(−x)，则f(x)是偶函数．
因为f(x+1)是奇函数，
所以f(x+1)的图象关于点(0,0)对称，则f(x)的图象关于点(1,0)对称，
又f(x)是偶函数，
所以f(x)的图象关于点(−1,0)对称，则选项B正确．
对于C，因为f(x+1)是奇函数，
所以f(x+1)=−f(−x+1)，
所以f(−x−1)=f(−x+1)，
所以f(x)=f(x+2)=f(x+4)，则f(x)是周期为4的函数．
因为f(x)=−f(x+2)，
所以f(x)+f(x+2)=0，
所以f(1)+f(3)=0，f(2)+f(4)=0，则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0.
因为f(x+1)是奇函数，
所以f(1)=0，
所以k=12025f(k)=506×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)=0，则选项C正确．
对于D，因为f(x+1)−g(3−x)=3，
所以g(3−x)=f(x+1)−3，
所以g(1)=f(3)−3=−3，g(2)=f(2)−3，g(3)=f(1)−3=−3，g(4)=f(0)−3=−f(2)−3，
所以k=12025g(k)=506×(−12)−3=−6075，则选项D错误．
故选：ABC.
根据题意可得以g(x+5)=g(3−x)，由此可判断选项A；分析可知f(x)为偶函数，且关于点(1,0)对称，由此可判断选项B；分析可知f(x)的周期为4，且f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0，由此可判断选项C；由k=12025g(k)=506×(−12)−3=−6075，可知选项D错误．
本题考查函数与导数的综合运用，考查抽象函数及其运用，考查数学抽象思维以及运算求解能力，属于中档题．
13.【答案】22
【解析】解：因为每天的销量分别为18，22，25，29，21，20，19，
所以这组数据的平均数是18+22+25+29+21+20+197=22.
故答案为：22.
由题意利用平均数的定义即可求解．
本题考查了平均数的定义和运算，属于基础题．
14.【答案】6
【解析】解：在等比数列{an}中，
∵a1+a3=62，a2+a4=31，
∴公比q=a2+a4a1+a3=12，则a1=2485，
∴an=2485×(12)n−1.
∵a6=3120>1，a7=3140<1，
∴当a1a2⋯an取得最大值时，n=6.
故答案为：6.
利用等比数列的性质直接求解．
本题考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15.【答案】−32323π
【解析】解：设该正方体的棱长为x，故可以得到m=x3，n=6x2，所以m−n=x3−6x2，
令f(x)=x3−6x2(x>0)，
求导得到f′(x)=3x2−12x=3x(x−4)，
令f′(x)>0，解得x>4，令f′(x)<0，解得0所以函数f(x)在(0,4)上单调递减，在(4,+∞)上单调递增，
易知f(x)≥f(4)=−32，
所以m−n的最小值是−32.此时该正方体的棱长是4，
则其内切球的半径r=2，
从而该正方体内切球的体积为43πr3=323π.
设该正方体的棱长为 x，则m=x3，n=6x2，故m−n=x3−6x2，设f(x)=x3−6x2(x>0)，对f(x)求导，求出f(x)的单调性，即可求出m−n的最小值；由题意可知内切球的半径r=2，由球的体积公式即可得出答案．
本题主要考查几何体的体积，属于中档题．
16.【答案】 3+ 7
【解析】解：由题意不妨设A在第一象限，由直线l：y= 3x，知直线倾斜角为60∘，
又AF⊥AB，所以△AFO(O为坐标原点)为直角三角形且∠AOF=60∘，
则|OA|=12c，|AF|= 32c.
设双曲线C的左焦点为F′，由双曲线的对称性可知|BF|=|AF′|= 32c+2a，
则|AB|2+|AF|2=|BF|2，即c2+( 32c)2=( 32c+2a)2，化简可得c2−2 3ac−4a2=0，
两边同除以a2可得e2−2 3e−4=0，解得e=2 3± 12+162= 3± 7.
因为e>1，所以e= 3+ 7.
故答案为： 3+ 7.
由已知可得|OA|=12c，|AF|= 32c，|BF|=|AF′|= 32c+2a，进而可得c2+( 32c)2=( 32c+2a)2，计算可求离心率．
本题考查求双曲线的离心率，考查转化能力，属中档题．
17.【答案】解：(1)由题意，设等差数列{an}的公差为d，
则a1+a5=2a1+4d=10S7=7a1+7×62d=49，
整理，得a1+2d=5a1+3d=7，
解得a1=1d=2，
∴an=1+2(n−1)=2n−1，n∈N*.
(2)由题意及(1)可得，Sn=n(1+2n−1)2=n2，
则bn=(−1)n+1Sn=(−1)n+1⋅n2，
∴数列{bn}的前100项和为：
b1+b2+b3+b4+⋯+b99+b100
=12−22+32−42+⋯+992−1002
=(1+2)⋅(1−2)+(3+4)⋅(3−4)+⋅⋅⋅+(99+100)⋅(99−100)
=−(1+2)−(3+4)−⋯−(99+100)
=−(1+2+3+4+⋯+99+100)
=−(1+100)×1002
=−5050.
【解析】(1)先设等差数列{an}的公差为d，再根据题干已知条件列出关于首项a1与公差d的方程组，解出a1与d的值，即可计算出等差数列{an}的通项公式；
(2)先根据第(1)题的结果计算出等差数列{an}前n项和Sn的表达式，进一步计算出数列{bn}的通项公式，再运用分组求和法及等差数列的求和公式即可计算出数列{bn}的前100项和．
本题主要考查数列求通项公式，以及运用分组求和法求前n项和问题．考查了方程思想，转化与化归思想，等差数列求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
18.【答案】解：(1)由题意可知本次高考模拟测试中，该校高三男生的成绩在本科分数线以下的概率是P=40120=13，
高三女生的成绩在本科分数线以下的概率是3280=25，
则这2名高三学生中恰有1名的成绩在本科分数线以下的概率为：
P=13×35+23×25=715.
(2)由题意可知从该校所有高三学生中随机抽取1名学生，
抽到男生成绩在本科分数线以上(包含本科分数线)的概率是80200=25.
从该校所有高三学生中随机抽取3名，记被抽取到的3名高三学生本次高考模拟成绩在本科分数线以上(包含本科分数线)的男生人数为X，
X所有可能取值为0，1，2，3，
由题意得：
P(X=0)=C30×(35)3=27125，
P(X=1)=C31×25×(35)2=54125，
P(X=2)=C32×(25)2×35=36125，
P(X=3)=C33×(25)3=8125，
则X的分布列为：
故E(X)=0×27125+1×54125+2×36125+3×8125=65.
【解析】(1)该校高三男生的成绩在本科分数线以下的概率是40120=13，高三女生的成绩在本科分数线以下的概率是3280=25，利用相互独立事件概率乘法公式能求出这2名高三学生中恰有1名的成绩在本科分数线以下的概率．
(2)X所有可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，能求出X的分布列和数学期望．
本题考查相互独立事件概率乘法公式、离散型随机变量分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
19.【答案】解：(1)∵内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且cs2A+cs(B+C)=0，
∵A+B+C=π，
∴cs(B+C)=−csA，
∴2cs2A−1−csA=0，
∴(2csA+1)(csA−1)=0，解得csA=−12或csA=1，
∵0∴A=2π3；
(2)∵△ABC的面积是6 3，A=2π3，
∴12bcsinA= 34bc=6 3，解得bc=24，
∵BC=3BD，
∴BD=13BC=13AC−13AB，
∴AD=AB+BD=23AB+13AC，
∴两边平方可得，AD2=(23AB+13AC)2=49AB2+49AB⋅AC+19AC，
∵A=2π3，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，
∴|AB|=c，|AC|=b，
∴AB⋅AC=bccsA=−12bc，
∴AD2=49c2+49×(−12bc)+19b2=19b2+49c2−29bc，
∵19b2+49c2≥49bc，当且仅当19b2=49c2，即b=2c时，等号成立，
∴AD2≥29bc=29×24=163，即当b=2c时，
故AD取得最小值4 33.
【解析】(1)根据已知条件，结合二倍角公式，以及三角函数的诱导公式，求出csA=−12或csA=1，再结合角A的取值范围，即可求解；
(2)根据已知条件，先求出bc，再结合向量的线性运算，以及基本不等式的公式，即可求解．
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．
20.【答案】证明：(1)由题意知DE= 2AD= 2AE，
得到DE2=AD2+AE2，故可以得到AD⊥AE，
又面ADE⊥面ABCD，且面ADE∩面ABCD=AD，所以得到AE⊥平面ABCD，
又BD⊂面ABCD，故AE⊥BD，
又四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，
又AE，AC⊂平面ACE，且AE∩AC=A，
所以BD⊥平面ACE，
问题得证．
解：(2)设BD∩AC=O，故以O为坐标原点，以OC，OD的方向为x，y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
设AB=2，BF=a，
所以可得A(−1,0,0)，C(1,0,0)，B(0,− 3,0)，E(−1,0,2)，F(0,− 3,a)，
所以得到AB=(1,− 3,0)，AE=(0,0,2)，CE=(−2,0,2)，CF=(−1,− 3,a).
设平面ABFE的法向量为n=(x1,y1,z1)，
则n⋅AB=x1− 3y1=0n⋅AE=2z1=0，设x1= 3，则n=( 3,1,0).
同理可得平面CEF的法向量为m=( 3,a−1, 3).
设平面CEF与平面ABFE的夹角为θ，
则csθ=|cs|=|n⋅m||n||m|=a+22× (a−1)2+6= 104，
解得a=3，即当平面CEF与平面ABFE夹角的余弦值是 104时，BF的长为3.
【解析】(1)根据题意，由面面垂直的性质定理可得AE⊥平面ABCD.然后再由线面平行的判定定理即可证明；
(2)由题意，记BD∩AC=O，以O为坐标原点，分别以OC，OD的方向为 x， y轴的正方向，建立空间直角坐标系，然后由空间向量的坐标运算，代入计算即可得到结果．
本题主要考查二面角的平面角，属于中档题．
21.【答案】解：(1)设椭圆C的焦距为2c，
∵椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为 33，点A(1,4 33)在椭圆C上．
∴可得a2=b2+c2e=ca= 331a2+163b2=1，
解得a=3b= 6c= 3，
故椭圆C的标准方程为x29+y26=1.
(2)设直线l的方程为y=kx+3(k≠0)，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，
联立y=kx+3x29+y26=1，
整理得(3k2+2)x2+18kx+9=0，
则Δ>0，即3k2−1>0，
解得k2>13，x1+x2=−18k3k2+2，x1x2=93k2+2.
故△OPQ的面积S=|S△OMQ−S△OMP|=12|OM||x1−x2|=32 (x1+x2)2−4x1x2=9 2 3k2−13k2+2.
设t= 3k2−1，
因为k2>13，所以t>0，
所以S=9 2tt2+3=9 2t+3t，
因为t>0，所以t+3t≥2 3，
当且仅当t=3t，即k2=43时，等号成立，
则9 2t+3t≤3 62，即△OPQ面积的最大值为3 62.
【解析】(1)由题意可得a2=b2+c2e=ca= 331a2+163b2=1，求解即可；
(2)设直线l的方程为y=kx+3(k≠0)，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，联立方程组可得(3k2+2)x2+18kx+9=0，进而可得S=9 2 3k2−13k2+2，可求△OPQ面积的最大值．
本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查三角形的面积的最大值，考查转化思想，考查计算能力，属中档题．
22.【答案】解：(1)由题意可得f′(x)=2e2x+(a−2)ex−a=(2ex+a)(ex−1)，
当a≥0时，令f′(x)>0，得x>0，
令f′(x)<0，得x<0，
所以f(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，
当−2令f′(x)>0，得x>0或x令f′(x)<0，得ln(−a2)所以f(x)在(ln(−a2),0)上单调递减，在(−∞,ln(−a2))上单调递增，
当a=−2时，f′(x)≥0在R上恒成立，则f(x)在R上单调递增，
当a<−2时，−a2>1，则ln(−a2)>0，
令f′(x)>0，得x<0或x>ln(−a2)，
令f′(x)<0，得0所以f(x)在(0,ln(−a2))上单调递减，在(ln(−a2),+∞)上单调递增，
综上所述，当a≥0时，f(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，
当−2当a=−2时，f(x)在R上单调递增，
当a<−2时，f(x)在(0,ln(−a2))上单调递减，在(ln(−a2),+∞)上单调递增．
(2)由(1)可知当a>0时，f(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增．
要使f(x)有两个零点，需至少满足f(0)=a−1<0，即a<1.
当0(a−2)−(a−2)=0，
f(1)=e2−2e+ae−a=e(e−2)+a(e−1)>0，
则f(x)在(a−2a,0)与(0,1)上各有一个零点，即0当a=0时，f(x)=e2x−2ex=ex(ex−2)只有一个零点，则a=0不符合题意，
当a<0时，由f(x)=ex(ex+a−2)−ax，当x≤0时，ex(ex+a−2)<0，−ax≤0，
则f(x)<0在(−∞,0]上恒成立，
由(1)可知f(x)在(0,+∞)上单调递增或先递减后递增，
所以f(x)不可能有两个零点，即a<0不符合题意．
综上所述，a的取值范围为(0,1).
【解析】(1)求导可得f′(x)=(2ex+a)(ex−1)，分四种情况：当a≥0时，当−2(2)由(1)可知f(x)的单调性，则至少满足f(0)=a−1<0，即a<1，分三种情况：当0本题考查导数的综合应用，解题中注意分类讨论思想的应用，属于中档题．
本科分数线以下
本科分数线以上(包含本科分数线)
合计
男
40
80
120
女
32
48
80
合计
72
128
200
X
0
1
2
3
P
27125
54125
36125
8125